Prova Edos 2022-1

Questão 3 Ainda não respondida Vale 3,00 ponto(s). Marcar questão Tempo restante 1:51:52 A função \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) é solução do problema de valor inicial \[\left\{ \begin{array}{l} y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0, \\y(0) = -1, \ y'(0) = 0 \end{array}\right.\] onde \(p(x) = -3 + 6x + 590x^5 + 564x^{21} + 57x^{97} \) e \(q(x) = 4 + 4x^3 + 644x^8 + 452x^{23} + 195x^{162}.\) Determine a quinta derivada de \( y \) em \( 0 \). Resposta: Questão 4 Ainda não respondida Vale 3,00 ponto(s). Tempo restante 1:51:27 A função \( y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) é solução da equação \[3y'' - \ln \left(2x^3 + 1 \right) y = 0,\] sujeito às condições iniciais \( y(0) = -3 \) e \( y'(0) = -2.\) Determine \( a_6. \) Escolha uma opção: a. \( \frac{-2}{45} \) b. \( \frac{-2}{15} \) c. \( \frac{2}{3} \) d. \( \frac{1}{30} \) e. \( \frac{5}{18} \) f. \( \frac{1}{9} \) g. \( \frac{1}{15} \) h. \( \frac{-1}{12} \) Questão 1 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Tempo restante 1:52:50 Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. Justifique sua resposta. a) \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(n^3-1)^{3/7}} \) b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{(n-2)/3} - 1}{\sqrt{n}} \) Questão 2 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} 4^{n+9} n^7 (\ln n)^4 x^n. \) Dica: pode usar o teste da raiz. Entre o valor exato no formato decimal (tipo 1,23456). Resposta: QUESTÃO 2 Teste da raiz: 9 7 4 9 7 4 9 7 4 lim (4 ln ( ) lim (4 ln ( ) | | lim (4 ln ( ) n n n n n n n n n n n n n L n n x n n x x n n 9 7 4 9 7 lim (4 ln ( ) lim 4 lim lim 4 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n | | 4 | | 4 1 L x x 1 | | 4 x Portanto, o raio de convergência é 1 4 ou 0.25 QUESTÃO 1 b) Simplificando: 2 2 1 1 3 3 2 1 3 1 1 1 n n n n n n e e e e e e e n n n 2 3 1 n n e e e n Teste da razão 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n e e n e n n n e n e n n e n e n n n n n lim lim lim lim 1 1 1 1 n n n n e n e n n n e e n n n n lim1 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 lim1 n n n n n e e e e e n n n Portanto, 1, L pelo teste da razão, logo a série é divergente! QUESTÃO 1 a) Pelo TESTE DE COMPARAÇÃO NO LIMITE, a série dada é divergente! Se lim n n n a L b , onde 0 n , n a b e 0 L , Então nb e na serão convergentes ou divergentes. Aplicando a condição de Cauchy: Logo, lim ( ) ( ) lim ,lim ( ) 0 ( ) lim ( ) x a x a x a x a f x a f x g x g x g x Então, 3 3 7 2 lim( 1) 0 n n 3 3 3 3 3 7 7 7 2 2 lim( 1) lim(2 1) (7) 2.3 n n n 2 lim 2 0.8 2.3 2.3 n n , portanto, a série é DIVERGENTE, pois 1 p .