EDO - Equações de Ricatti e Dinâmica das Populações - Crescimento Exponencial

EDO Aplicações quintafeira 10 de setembro de 2020 1758 Eg do Ricatti As equações de Ricatti são equações da forma dydx px qxy rxy² 137 Sendo conhecida uma solução particular y a solução final é da forma yx y1x vx O objetivo é descobrir a função v dydx dy1dx dvdx Assim dydx px qxy rxy² dy1dx dvdx px qxy1 v rxy1 v² dy1dx dvdx p q y1 q v ry1² 2 y1 v v² dy1dx dvdx p q y1 q v r y1² 2 y1 r v r v² Como y1 é solução particular da EDO 137 então dy1dx px qx y1 rx y1² Assim dy1dx dvdx p q y1 q v r y1² 2 y1 r v r v² px qx y1 rx y1² dvdx p q y1 q v r y1² 2 y1 r v r v² dvdx q v 2 y1 r v r v² dvdx q 2 y1 r v r v² dvdx q 2 y1 r v r v² dvdx Px v Qx v² que é uma eq de Bernoulli para n2 Aplicações 1º Dinâmica das Populações I Crescimento Exponencial O modelo mais simples de crescimento populacional é aquele em que se supõe que a taxa de crescimento de uma população dydt é proporcional a população presente naquele instante yt Podemos descrever o problema de encontrar yt como o problema de valor inicial dydt k yt y0 y0 0 y k y y k y 0 EDO 1ª ordem linear y k y 0 EDO 1ª ordem linear Fator integrante μt ept dt e k dt ekt Multiplicando a EDO por ekt temos ekt y k ekt y 0 ddt ekt y 0 ddt ekt y dt 0 dt ekt yt c yt c ekt yt c ekt yt c ekt Como y0 y0 então y0 c ek 0 y0 c 1 c y0 Portanto a população em qualquer tempo é yt y0 ekt Exemplo 119 Consideremos uma situação formada por uma população de organismos zooplanctônicos São colocadas em um béquer 3 fêmeas partenogenéticas grávidas não há necessidade de fecundação pelo macho de um microcrustáceo chamado cladócero em condições ideais de alimentação temperatura aeração e iluminação e ausência de predadores Sabendose que em 10 dias havia 240 indivíduos determine a população em função do tempo supondose que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual crescimento exponencial A população yt é a solução do problema de valor inicial dydt k yt y10 3 y10 240 A solução do PVI é yt 3 ekt y10 3 ek 10 240 3 e10 k 240 e10 k 80 ln e10 k ln 80 10 k ln e ln 80 k ln 80 10 044 Portanto yt 3 e044 t t infinity y infinity Crescimento Logístico Para levar em conta que a população yt tem um valor máximo sustentável yM podemos supor que a taxa de crescimento além de ser proporcional a população atual é proporcional também à diferença entre yM e a população presente Neste caso a população como função do tempo yt é a solução do problema de valor inicial dydt k y yM y yt0 y0 y k y yM y 1 yyM y y k EDO separável 1 yyM y y dt k dt 1 yyM y dy kt c1 1 yyM y A y B yM y 1 yyM y AyM y B y yyM y 1 AyM y B y 1 y yM 1 A yM yM B yM 1 B yM B 1 yM 2 y 0 1 AyM 0 B 0 1 A yM A 1 yM Logo 1 yyM y 1yM y 1yM yM y 1 yyM y dy 1yM y dy 1yM yM y dy 1 yM 1y dy 1 yM 1 yM y dy 1 yM lny 1 yM lnyM y 1 cy dy 1 u du lnu u c y lncy u c y du dy Retornando 1 yym y dy k t c1 lemos que 1 ym ln y 1 ym ln ym y kt c1 1 ym ln y ln ym y k t c1 ln y ln ym y ym kt c1 ln y ym y ym k t c1 y ym y eym kt c1 y ym y eym kt eym c1 y ym y c eym kt y ym y c eym kt y c ym eym kt c eym kt y y c eym kt y c ym eym kt y 1 c eym kt c ym eym kt yt c ym eym kt 1 c eym kt yt y0 ym y0 ym y0 eym k t t0 Exemplo 121 Na tabela abaixo estão os dados dos 6 últimos recenseamentos realizados no Brasil Ano População 1950 52 milhões 1960 70 milhões 1970 93 milhões 1980 119 milhões 1991 147 milhões 2000 170 milhões Com base neles usando regressão linear podese estimar que o valor máximo da população é de yM 257 milhões de habitantes para o modelo de crescimento logístico e que k 004 yM Exercício 13 na página 116 Neste caso a população como função do tempo yt é a solução do problema de valor inicial dydt 0042 y257 y y2000 170 milhões A população do Brasil em função do tempo seguindo este modelo é dada por yt 257 106 1 05726 e004 t 2000 Graph with yaxis labeled y ranging from approximately 100 to 700 and xaxis labeled t ranging from approximately 5 to 30 showing data points that increase from about 0 to 600 following a sigmoidal curve with scattered data points mostly between 0 and 25 on the xaxis