Lista de Exercicios 2 - Teoria das Filas - Pesquisa Operacional

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS PUC MINAS DISCIPLINA PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS 2 TEORIA DAS FILAS 1 Defina os termos sistema modelagem e simulação 2 Um profissional do ramo da Pesquisa Operacional foi solicitado para efetuar um estudo em uma firma distribuidora de gasolina Esta firma possui um pátio com uma bomba onde os caminhões são carregados com gasolina Com o aumento das vendas tem acontecido freqüentemente que o pátio fica lotado de caminhões além de atrapalhar o trânsito na estrada ao lado Assim sua missão é redimensionar o pátio no que se refere ao número ótimo de postos de atendimento Inicialmente ele estudou o ritmo de chegada fazendo uma coleta de dados conforme mostrado a seguir que relaciona a quantidade de veículos que chegou ao pátio em cada um dos 80 intervalos de 1 hora Pedese verificar graficamente se o ritmo de chegadas se aproxima da Distribuição de Poisson Observação trace o gráfico no Excel para visualizar os dados Fazer as freqüências absoluta e relativa a cada valor e traçar o gráfico no Excel Ver no gráfico que segue uma distribuição de Poisson 3 O mesmo profissional do exercício anterior estudou a seguir o processo de atendimento no pátio Os dados da tabela abaixo mostram a duração de cada atendimento em minutos Pedese verifique graficamente se a duração do atendimento segue a Distribuição Exponencial Negativa 4 Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson com ritmo de 6 chegadas por hora A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que segue a distribuição exponencial Pede se a Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar b Qual o número médio de pessoas na fila c Qual o número médio de pessoas no sistema d Qual o número de clientes usando o telefone e Qual o tempo na fila f Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 minutos g Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso 5 Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa Verificouse que o ritmo de chegada λ 1 chegadahora e o ritmo de atendimento μ 12 atendimentos por hora seguem o modelo marcoviano MM1 A fábrica paga 900 por hora ao atendente e 1800 ao operário Pedese a O custo horário do sistema b A fração do dia em que o atendente não trabalha 6 Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora Para tal possui 2 opções um reparador lento que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora O salário hora do reparador lento é de 300 e o do reparador rápido é de 500 Qual a contratação deve ser efetuada para que o custo total reparador mais máquinas paradas seja mínimo Sabese que uma máquina parada implica um custo horário de 500 7 Em um sistema markoviano de filas sequenciais peças chegam em horas conforme mostra a figura abaixo calcule as filas que se formam em cada servidor 8 A cidade de Belo Horizonte mantém um serviço de ponte aérea com algumas cidades do país O principal aeroporto da cidade é o Pampulha que concentra todo o serviço de vôos regionais Isso faz com que o tráfego aéreo fique um pouco congestionado A intensidade do tráfego aéreo é função da hora do dia mas o momento mais crítico está entre 17 e 18 horas dos dias úteis exatamente durante o retorno das pessoas que deixaram a capital para trabalhar em outras cidades Os aviões que chegam ficam em uma fila aguardando a vez de aterrissar em uma única pista Eles ficam sobrevoando em grandes círculos nas proximidades do aeroporto até que a torre de controle libere a pista para pouso Para o horário entre 17 e 18 horas a taxa média de chegada de aviões é de um avião a cada 3 minutos A torre de controle por sua vez consegue aterrissar em média um 1 avião por minuto Supondo que a taxa de chegada assim como a taxa de pouso dos aviões obedece à distribuição de Poisson determinar a A taxa de utilização do sistema de aterrissagem do aeroporto b A probabilidade de que nenhum avião esteja pousando ou aguardando liberação da pista c A probabilidade de que haja apenas um avião aterrissando ou aguardando ordem para isso d A probabilidade de que não haja mais do que três aviões sobrevoando as cercanias do aeroporto aguardando instruções para o pouso e O número médio de aviões aguardando ordem de pouso f O número médio de aviões pousando ou aguardando ordem de pouso g O tempo médio que um avião fica sobrevoando as cercanias do aeroporto aguardando ordem para pousar h O tempo médio que um avião demora a aterrissar incluindo o tempo de aterrissagem em si mais o tempo que fica sobrevoando perto do aeroporto aguardando ordem para pousar 9 Em um sistema MM1 no qual λ 4 clientes hora e μ 6 clientes hora qual a probabilidade de existir no sistema a zero clientes b 1 cliente c Mais de 3 clientes Admitindose que o custo do cliente parado seja de 10 por hora pedese o custo horário de clientes no sistema 10 Em um sistema Markoviano de filas seqüenciais veja figura a seguir no qual as peças fluem pela linha de produção temos λ1 10 clienteshora λ2 5 clienteshora μ1 15 clienteshora μ2 30 clienteshora e μ3 20 clienteshora Calcule a NF TF NS e TS para cada servidor b NS e TS para o sistema como um todo 11 Em um setor de uma fábrica o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais trabalho este realizado por um operário Após instalados os componentes o produto é inspecionado por um profissional qualificado Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e os que são rejeitados 20 vão para uma área de reparo existente no próprio setor Atualmente os dados são os seguintes distribuição exponencial A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários Os tempos de deslocamentos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto Pedese a NF NS TF e TS b NS e TS para o sistema como um todo 12 O depósito central de um grande magazine ao qual chegam mercadorias vindas de fornecedores Um estudo sobre as distribuições probabilísticas dos ritmos de chegada e atendimento mostrou que o sistema é marcoviano com chegadas que seguem a distribuição de Poisson e atendimentos que seguem a distribuição Exponencial Negativa O depósito possui uma equipe que consegue atender descarregar três caminhões por hora em média Em princípio a equipe é suficiente para atender os caminhões que chegam a intervalos médios de 30 minutos Pede se a Qual é o ritmo de chegada dos caminhões b Qual é o tempo médio em horas que um caminhão espera na fila para ser atendido c Qual o tempo médio em horas de atendimento dos caminhões d Qual é o tempo médio em horas que um caminhão demora no depósito e Qual é o número médio de caminhões esperando na fila para serem atendidos f Qual é o número médio de caminhões no sistema g Qual é o número médio de caminhões sendo atendidos h Qual é a probabilidade de que um caminhão ao chegar deve esperar para ser atendido i Qual a probabilidade de que o depósito não receba nenhum caminhão j Qual é a probabilidade de que a fila não haja mais do que três caminhões esperando k Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja inferior a 40 minutos l Qual a probabilidade de que a duração do atendimento seja superior a 40 minutos m Qual a probabilidade de que o depósito receba até dois caminhões n Qual a probabilidade de que o depósito receba mais de dois caminhões o Qual a taxa de utilização do sistema 13 Em um sistema Markoviano clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora em média 16 minutos Qual o tempo médio de espera na recepção E no sistema 14 Em um sistema Markoviano pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora O tempo médio de atendimento na bilheteria é de 2 minutos Calcule o tamanho da fila o tempo médio de espera e a fração de tempo em que a bilheteria não trabalha