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Engenharia de Software ·
Probabilidade e Estatística 1
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TDE 1 Prof Filipe J Zabala 20240315 INSTRUÇÕES LEIA COM ATENÇÃO 1 Esta lista de exercícios pode ser discutida entre os colegas e pode ser entregue em até 3 pessoas 2 Entregue a resolução em papel indicando os nomes completos e a turma no cabeçalho do documento 3 Apresente o desenvolvimento completo das questões podendo ser composto de desenhos ou esquemas 4 Lembrese que o padrão de notação utilizado é o americano ie nos exercícios apresentados pontos separam decimais e vírgulas separam milhares Use o padrão de sua preferência 5 Sintase à vontade para utilizar os tópicos de discussão no Moodle da disciplina 6 Conforme detalhado no Plano de Ensino esta lista de exercícios será utilizada na ME que compõe a G1 e deve ser entregue na aula do dia 01042024 QUESTÃO 1 25 Em 13 de março de 1883 estavam Émile Durkheim e Max Weber no leito de morte de Karl Marx discutindo a respeito de propriedade intelectual Weber o mais jovem e disposto da turma com apenas 19 anos coletou algumas informações a respeito da Convenção de Paris de 1883 que aconteceria em uma semana Em suas anotações estava o número de unidades monetárias que deveria ser paga anualmente por cada país membro do tratado dependendo da classe à qual o país pertencesse1 O valor da unidade iria variar de acordo com a inflação e outros fatores econômicos da época corrente A tabela abaixo apresenta o resultado dos estudos de Weber Classe Unidades fi fri Fi Fri I 25 21 II 20 26 III 15 10 IV 10 9 V 5 32 VI 3 38 VII 1 37 Total 173 a 05 Qual a frequência simples da classe VI Interprete b 05 Qual a frequência relativa da classe I Interprete c 05 Qual a frequência acumulada da classe II Interprete d 05 Qual a frequência acumulada relativa da classe III Interprete e 05 Represente os dados utilizando o gráfico que você considerar mais adequado 1Paris Convention for the Protection of Industrial Property World Intellectual Property Organization 1883 1 QUESTÃO 2 35 As informações abaixo indicam o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 motoristas 15 11 20 9 6 5 3 1 a 05 Determine o número de motoristas com menos de 1 acidente b 05 Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes c 05 Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes d 05 Obtenha o número total de acidentes ocorrido no período e 05 Obtenha a média a moda e a mediana de acidentes Interprete f 05 Obtenha a variância e o desvio padrão de acidentes Interprete g 05 Obtenha a amplitude interquartílica de acidentes Interprete QUESTÃO 3 20 Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado 2 supervisores 1 chefe de seção e 1 gerente que ganham respectivamente R130000 R160000 R275000 R500000 a 10 Calcule o valor do salário médio e do desvio padrão do salário desses funcionários b 10 Obtenha a mediana e a amplitude interquartílica dos salários Compare com média e desvio padrão QUESTÃO 4 20 Considere as informações sobre três conjuntos de dados conforme tabela a seguir Indique as distribuições que apresentam a menor e b maior coeficiente de variação A B C D μ 8 μ 100 N 100 μ 50 σ2 4 σ2 121 xi 5000 xi 10000 xi2 256400 xi μ2 7200 Referências World Intellectual Property Organization WIPO 1883 Paris Convention for the Protection of Industrial Property httpswwwunidoorgsitesdefaultfiles201404ParisConvention0pdf Questão 01 a Frequência simples da classe VI A frequência simples 𝑓𝑖 da classe VI é o número de vezes que essa classe aparece no estudo Olhando para a tabela vemos que 𝑓𝑉 𝐼 32 Isso significa que a classe VI apareceu 32 vezes no estudo A interpretação disso é que a unidade monetária referente à classe VI foi a quantidade determinada em 32 ocasiões b Frequência relativa da classe I A frequência relativa 𝑓𝑟𝑖 é calculada dividindo a frequência simples pela soma total das frequências Usando a tabela 𝑓𝑟𝐼 𝑓𝐼 Total 21 173 01214 Isso indica que aproximadamente 1214 das observações estão na classe I A interpretação é que cerca de 1214 dos pagamentos anuais se enquadram na classe I em relação ao total de pagamentos registrados c Frequência acumulada da classe II A frequência acumulada 𝐹𝑖 é a soma das frequências simples de todas as classes até a classe em questão Para a classe II 𝐹𝐼𝐼 𝑓𝐼 𝑓𝐼𝐼 21 26 47 Isso significa que somando as classes I e II temos um total de 47 unidades monetárias registradas d Frequência acumulada relativa da classe III A frequência acumulada relativa 𝐹𝑟𝑖 é a soma das frequências relativas até a classe em questão Então para calcular isso para a classe III primeiro calculamos as frequências relativas de I e II e somamos com a de III 𝐹𝑟𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑟𝐼 𝑓𝑟𝐼𝐼 𝑓𝑟𝐼𝐼𝐼 Primeiro vamos encontrar as frequências relativas individuais 𝑓𝑟𝐼 21 173 𝑓𝑟𝐼𝐼 26 173 𝑓𝑟𝐼𝐼𝐼 10 173 Agora somamos todas 𝐹𝑟𝐼𝐼𝐼 21 173 26 173 10 173 57 173 03295 Assim aproximadamente 3295 das observações são acumuladas até a classe III Em outras palavras até a classe III cerca de 3295 das unidades monetárias do estudo foram contabilizadas e Gráfico 1 I II III IV V VI VII Classe 0 5 10 15 20 25 30 35 Frequência Simples Frequência Simples por Classe I II III IV V VI VII Classe 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Frequência Acumulada Frequência Acumulada por Classe Frequência Acumulada 2 Questão 02 a Número de motoristas com menos de 1 acidente O número de motoristas com 0 acidentes é o número de motoristas com menos de 1 acidente Portanto Motoristas com menos de 1 acidente 15 b Percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes Para encontrar o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes somamos os motoristas que tiveram 3 ou mais acidentes e dividimos pelo total de motoristas multiplicando o resultado por 100 para obter a porcentagem Percentual 9 6 5 3 1 70 100 24 70 100 3429 c Percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes Agora vamos somar os motoristas com 0 1 e 2 acidentes e calcular o percentual sobre o total Percentual 15 11 20 70 100 46 70 100 6571 d Número total de acidentes ocorridos no período O total de acidentes é a soma dos produtos do número de acidentes pelo número de motoristas que os tiveram Total de acidentes 0 15 1 11 2 20 3 9 4 6 5 5 6 3 7 1 Total de acidentes 0 11 40 27 24 25 18 7 152 Portanto o número total de acidentes ocorridos no período de 5 anos foi de 152 e Média Moda e Mediana Média A média é o total de acidentes dividido pelo número total de motoristas Média Total de acidentes Total de motoristas 152 70 2 17 Isso indica que em média cada motorista teve cerca de 217 acidentes nos últimos 5 anos Moda A moda é o número de acidentes que ocorre com mais frequência entre os motoristas Ob servando os dados vemos que o maior número de motoristas 20 teve 2 acidentes Logo a moda é 2 Mediana A mediana é o valor do meio quando os dados estão em ordem Com 70 motoristas a mediana será a média dos valores na posição 35 e 36 quando ordenados Como há mais de 35 motoristas que tiveram 0 1 ou 2 acidentes a mediana está dentro do grupo que teve 2 acidentes Portanto a mediana também é 2 A interpretação destes resultados é que enquanto a média de acidentes é um pouco acima de 2 por motorista o número mais comum de acidentes que os motoristas têm é exatamente 2 Além disso metade dos motoristas teve 2 ou menos acidentes e a outra metade teve mais de 2 acidentes Para calcular a média a moda a mediana a variância o desvio padrão e a amplitude interquartílica vamos primeiro organizar os dados de maneira que possamos trabalhar com eles e Média Moda e Mediana 3 Média A média é o total de acidentes dividido pelo número total de motoristas Média Total de acidentes Total de motoristas 152 70 2 17 Isso indica que em média cada motorista teve cerca de 217 acidentes nos últimos 5 anos Moda A moda é o número de acidentes que ocorre com mais frequência entre os motoristas Ob servando os dados vemos que o maior número de motoristas 20 teve 2 acidentes Logo a moda é 2 Mediana A mediana é o valor do meio quando os dados estão em ordem Com 70 motoristas a mediana será a média dos valores na posição 35 e 36 quando ordenados Como há mais de 35 motoristas que tiveram 0 1 ou 2 acidentes a mediana está dentro do grupo que teve 2 acidentes Portanto a mediana também é 2 f Variância e Desvio Padrão Para calcular a variância e o desvio padrão usaremos as fórmulas para dados discretos Variância 𝑠2 A variância é uma medida da dispersão dos dados em relação à média Primeiro calculamos 𝑥 Média2 𝑓 0 2172 15 1 2172 11 2 2172 20 7 2172 1 15 2172 11 1172 20 0172 9 0832 6 1832 5 2832 3 3832 1 4832 31420 Desvio Padrão 𝑠 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância 𝑠 31420 178537 A variância e o desvio padrão medem o quanto os dados estão espalhados em relação à média Um desvio padrão baixo indica que os dados estão mais agrupados em torno da média enquanto um valor alto indica que estão mais dispersos g Amplitude Interquartílica Para calcular Q1 e Q3 precisamos ordenar todos os 70 dados de acidentes em ordem crescente o que é um pouco trabalhoso manualmente ou usar uma fórmula para encontrar a posição desses quartis Como temos uma distribuição de frequência podemos estimar os quartis utilizando a seguinte fórmula para a posição dos quartis 𝑃𝑄𝑘 𝑘 4 𝑛 1 Onde 𝑃𝑄𝑘 é a posição do késimo quartil no conjunto de dados ordenado e 𝑛 é o número total de dados Vamos calcular as posições de Q1 e Q3 𝑃𝑄1 1 4 70 1 1 4 71 1775 𝑃𝑄3 3 4 70 1 3 4 71 5325 Como as posições dos quartis são frações precisamos interpolar para encontrar os valores de Q1 e Q3 4 A interpolação pode ser feita encontrando os motoristas cujas posições acumuladas incluem os quartis e depois calculando o valor exato do quartil com base na distribuição dos acidentes Vamos fazer a interpolação para Q1 e Q3 com os dados acumulados Acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 Motoristas 15 11 20 9 6 5 3 1 Acumulado 15 26 46 55 61 66 69 70 Q1 está na posição 1775 o que cai na categoria de 1 acidente Q3 está na posição 5325 o que cai na categoria de 3 acidentes Por serem interpolações aproximadas e usando a categoria de acidentes como nossos quartis a amplitude interquartílica AIQ seria 𝐴𝐼𝑄 𝑄3 𝑄1 3 1 2 Isso significa que a amplitude interquartílica de acidentes é 2 A interpretação da AIQ é que ela nos dá uma medida da dispersão dos dados excluindo os valores extremos os 25 mais baixos e os 25 mais altos Neste caso a maioria dos motoristas 50 do meio tem uma contagem de acidentes que varia dentro de uma amplitude de 2 acidentes desconsiderando os extremos da distribuição Questão 03 a Média e Desvio padrão Salário Médio 𝑥 O salário médio é a soma de todos os salários dividida pelo número total de salários 𝑥 41300 21600 2750 5000 4 2 1 1 𝑥 5200 3200 2750 5000 8 𝑥 16150 8 𝑥 201875 Então o salário médio dos funcionários é R 201875 Desvio Padrão 𝑠 O desvio padrão é uma medida da quantidade de variação ou dispersão dos valores A fórmula para calcular o desvio padrão para uma população é 𝑠 1 𝑁 𝑁 𝑖1 𝑥𝑖 𝑥2 Neste caso temos 8 funcionários e já calculamos 𝑥 o salário médio Agora vamos calcular 𝑠 𝑠 41300 2018752 21600 2018752 2750 2018752 5000 2018752 8 𝑠 4718752 2418752 731252 2981252 8 5 𝑠 4516 14063 2175 39063 534 14063 8 887 64063 8 𝑠 2 064 56252 350 78126 534 14063 8 887 64063 8 𝑠 11 837 12504 8 𝑠 1 479 64063 𝑠 121642 O desvio padrão dos salários dos funcionários é aproximadamente R 121642 Isso significa que em média os salários dos funcionários se desviam em torno de R 121642 do salário médio da amostra Quanto maior o desvio padrão maior a variação entre os salários dos funcionários b Mediana Amplitude Interquartílica e comparação Salários em ordem crescente R130000 R130000 R130000 R130000 R160000 R160000 R275000 R500000 Mediana 𝑀 A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenados ao meio Com 8 salários a mediana será a média dos 4º e 5º salários pois o conjunto tem um número par de observações 𝑀 1300 1600 2 2900 2 1450 A mediana dos salários é R145000 Amplitude Interquartílica 𝐴𝐼𝑄 A amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro quartil 𝑄3 e o primeiro quartil 𝑄1 Para uma série com 8 números 𝑄1 é o valor médio entre o 2º e o 3º salários e 𝑄3 é o valor médio entre o 6º e o 7º salários 𝑄1 1300 1300 2 1300 𝑄3 1600 2750 2 2175 𝐴𝐼𝑄 𝑄3 𝑄1 2175 1300 875 A amplitude interquartílica dos salários é R87500 Comparação com a média e o desvio padrão A média dos salários é R201875 o que indica o valor central quando todos os salários são considerados igualmente O desvio padrão é aproximadamente R121642 que mostra uma variação relativamente grande em relação à média A mediana dos salários é R145000 que mostra que metade dos salários é inferior a R145000 e a outra metade é superior Como a mediana é menor que a média isso indica uma distribuição assimétrica dos salários com alguns salários altos puxando a média para cima A amplitude interquartílica de R87500 mostra que a metade central dos salários tem uma variação menor do que a indicada pelo desvio padrão Isso sugere que a maioria dos funcionários tem salários mais próximos uns dos outros com menos variação enquanto que os valores extremos distorcem o desvio padrão para cima 6 Questão 04 Vamos calcular o CV para cada conjunto de dados Conjunto A A média é 8 e a variância ² é 4 Primeiro encontramos o desvio padrão 𝜎𝐴 𝜎2 4 2 Agora calculamos o CV 𝐶𝑉𝐴 𝜎𝐴 𝜇𝐴 100 2 8 100 25 Conjunto B A média é 100 e a variância ² é 121 Primeiro encontramos o desvio padrão 𝜎𝐵 𝜎2 121 11 Agora calculamos o CV 𝐶𝑉𝐵 𝜎𝐵 𝜇𝐵 100 11 100 100 11 Conjunto C e D Para C e D precisamos primeiro calcular a variância e o desvio padrão A variância é dada pela fórmula 𝜎2 1 𝑁 𝑥2 𝑖 𝜇2 Então para o conjunto C 𝜇𝐶 𝑥𝑖 𝑁 5000 100 50 𝜎2 𝐶 𝑥2 𝑖 𝑁 𝜇2 𝐶 256400 100 502 2564 2500 64 𝜎𝐶 64 8 𝐶𝑉𝐶 𝜎𝐶 𝜇𝐶 100 8 50 100 16 Para o conjunto D já temos a variância como parte da soma dos quadrados das diferenças da média dado como 𝑥𝑖 𝜇2 7200 𝜎2 𝐷 𝑥𝑖 𝜇2 𝑁 7200 100 72 𝜎𝐷 72 8485 aproximadamente 𝐶𝑉𝐷 𝜎𝐷 𝜇𝐷 100 8485 50 100 1697 Resposta a O menor coeficiente de variação é o do Conjunto B com 11 b O maior coeficiente de variação é o do Conjunto A com 25 Isso indica que relativamente o conjunto B tem a menor dispersão em torno da média enquanto o conjunto A tem a maior dispersão em relação à média dos dados 7
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respeito da Convenção de Paris de 1883 que aconteceria em uma semana Em suas anotações estava o número de unidades monetárias que deveria ser paga anualmente por cada país membro do tratado dependendo da classe à qual o país pertencesse1 O valor da unidade iria variar de acordo com a inflação e outros fatores econômicos da época corrente A tabela abaixo apresenta o resultado dos estudos de Weber Classe Unidades fi fri Fi Fri I 25 21 II 20 26 III 15 10 IV 10 9 V 5 32 VI 3 38 VII 1 37 Total 173 a 05 Qual a frequência simples da classe VI Interprete b 05 Qual a frequência relativa da classe I Interprete c 05 Qual a frequência acumulada da classe II Interprete d 05 Qual a frequência acumulada relativa da classe III Interprete e 05 Represente os dados utilizando o gráfico que você considerar mais adequado 1Paris Convention for the Protection of Industrial Property World Intellectual Property Organization 1883 1 QUESTÃO 2 35 As informações abaixo indicam o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 motoristas 15 11 20 9 6 5 3 1 a 05 Determine o número de motoristas com menos de 1 acidente b 05 Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes c 05 Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes d 05 Obtenha o número total de acidentes ocorrido no período e 05 Obtenha a média a moda e a mediana de acidentes Interprete f 05 Obtenha a variância e o desvio padrão de acidentes Interprete g 05 Obtenha a amplitude interquartílica de acidentes Interprete QUESTÃO 3 20 Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado 2 supervisores 1 chefe de seção e 1 gerente que ganham respectivamente R130000 R160000 R275000 R500000 a 10 Calcule o valor do salário médio e do desvio padrão do salário desses funcionários b 10 Obtenha a mediana e a amplitude interquartílica dos salários Compare com média e desvio padrão QUESTÃO 4 20 Considere as informações sobre três conjuntos de dados conforme tabela a seguir Indique as distribuições que apresentam a menor e b maior coeficiente de variação A B C D μ 8 μ 100 N 100 μ 50 σ2 4 σ2 121 xi 5000 xi 10000 xi2 256400 xi μ2 7200 Referências World Intellectual Property Organization WIPO 1883 Paris Convention for the Protection of Industrial Property httpswwwunidoorgsitesdefaultfiles201404ParisConvention0pdf Questão 01 a Frequência simples da classe VI A frequência simples 𝑓𝑖 da classe VI é o número de vezes que essa classe aparece no estudo Olhando para a tabela vemos que 𝑓𝑉 𝐼 32 Isso significa que a classe VI apareceu 32 vezes no estudo A interpretação disso é que a unidade monetária referente à classe VI foi a quantidade determinada em 32 ocasiões b Frequência relativa da classe I A frequência relativa 𝑓𝑟𝑖 é calculada dividindo a frequência simples pela soma total das frequências Usando a tabela 𝑓𝑟𝐼 𝑓𝐼 Total 21 173 01214 Isso indica que aproximadamente 1214 das observações estão na classe I A interpretação é que cerca de 1214 dos pagamentos anuais se enquadram na classe I em relação ao total de pagamentos registrados c Frequência acumulada da classe II A frequência acumulada 𝐹𝑖 é a soma das frequências simples de todas as classes até a classe em questão Para a classe II 𝐹𝐼𝐼 𝑓𝐼 𝑓𝐼𝐼 21 26 47 Isso significa que somando as classes I e II temos um total de 47 unidades monetárias registradas d Frequência acumulada relativa da classe III A frequência acumulada relativa 𝐹𝑟𝑖 é a soma das frequências relativas até a classe em questão Então para calcular isso para a classe III primeiro calculamos as frequências relativas de I e II e somamos com a de III 𝐹𝑟𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑟𝐼 𝑓𝑟𝐼𝐼 𝑓𝑟𝐼𝐼𝐼 Primeiro vamos encontrar as frequências relativas individuais 𝑓𝑟𝐼 21 173 𝑓𝑟𝐼𝐼 26 173 𝑓𝑟𝐼𝐼𝐼 10 173 Agora somamos todas 𝐹𝑟𝐼𝐼𝐼 21 173 26 173 10 173 57 173 03295 Assim aproximadamente 3295 das observações são acumuladas até a classe III Em outras palavras até a classe III cerca de 3295 das unidades monetárias do estudo foram contabilizadas e Gráfico 1 I II III IV V VI VII Classe 0 5 10 15 20 25 30 35 Frequência Simples Frequência Simples por Classe I II III IV V VI VII Classe 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Frequência Acumulada Frequência Acumulada por Classe Frequência Acumulada 2 Questão 02 a Número de motoristas com menos de 1 acidente O número de motoristas com 0 acidentes é o número de motoristas com menos de 1 acidente Portanto Motoristas com menos de 1 acidente 15 b Percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes Para encontrar o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes somamos os motoristas que tiveram 3 ou mais acidentes e dividimos pelo total de motoristas multiplicando o resultado por 100 para obter a porcentagem Percentual 9 6 5 3 1 70 100 24 70 100 3429 c Percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes Agora vamos somar os motoristas com 0 1 e 2 acidentes e calcular o percentual sobre o total Percentual 15 11 20 70 100 46 70 100 6571 d Número total de acidentes ocorridos no período O total de acidentes é a soma dos produtos do número de acidentes pelo número de motoristas que os tiveram Total de acidentes 0 15 1 11 2 20 3 9 4 6 5 5 6 3 7 1 Total de acidentes 0 11 40 27 24 25 18 7 152 Portanto o número total de acidentes ocorridos no período de 5 anos foi de 152 e Média Moda e Mediana Média A média é o total de acidentes dividido pelo número total de motoristas Média Total de acidentes Total de motoristas 152 70 2 17 Isso indica que em média cada motorista teve cerca de 217 acidentes nos últimos 5 anos Moda A moda é o número de acidentes que ocorre com mais frequência entre os motoristas Ob servando os dados vemos que o maior número de motoristas 20 teve 2 acidentes Logo a moda é 2 Mediana A mediana é o valor do meio quando os dados estão em ordem Com 70 motoristas a mediana será a média dos valores na posição 35 e 36 quando ordenados Como há mais de 35 motoristas que tiveram 0 1 ou 2 acidentes a mediana está dentro do grupo que teve 2 acidentes Portanto a mediana também é 2 A interpretação destes resultados é que enquanto a média de acidentes é um pouco acima de 2 por motorista o número mais comum de acidentes que os motoristas têm é exatamente 2 Além disso metade dos motoristas teve 2 ou menos acidentes e a outra metade teve mais de 2 acidentes Para calcular a média a moda a mediana a variância o desvio padrão e a amplitude interquartílica vamos primeiro organizar os dados de maneira que possamos trabalhar com eles e Média Moda e Mediana 3 Média A média é o total de acidentes dividido pelo número total de motoristas Média Total de acidentes Total de motoristas 152 70 2 17 Isso indica que em média cada motorista teve cerca de 217 acidentes nos últimos 5 anos Moda A moda é o número de acidentes que ocorre com mais frequência entre os motoristas Ob servando os dados vemos que o maior número de motoristas 20 teve 2 acidentes Logo a moda é 2 Mediana A mediana é o valor do meio quando os dados estão em ordem Com 70 motoristas a mediana será a média dos valores na posição 35 e 36 quando ordenados Como há mais de 35 motoristas que tiveram 0 1 ou 2 acidentes a mediana está dentro do grupo que teve 2 acidentes Portanto a mediana também é 2 f Variância e Desvio Padrão Para calcular a variância e o desvio padrão usaremos as fórmulas para dados discretos Variância 𝑠2 A variância é uma medida da dispersão dos dados em relação à média Primeiro calculamos 𝑥 Média2 𝑓 0 2172 15 1 2172 11 2 2172 20 7 2172 1 15 2172 11 1172 20 0172 9 0832 6 1832 5 2832 3 3832 1 4832 31420 Desvio Padrão 𝑠 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância 𝑠 31420 178537 A variância e o desvio padrão medem o quanto os dados estão espalhados em relação à média Um desvio padrão baixo indica que os dados estão mais agrupados em torno da média enquanto um valor alto indica que estão mais dispersos g Amplitude Interquartílica Para calcular Q1 e Q3 precisamos ordenar todos os 70 dados de acidentes em ordem crescente o que é um pouco trabalhoso manualmente ou usar uma fórmula para encontrar a posição desses quartis Como temos uma distribuição de frequência podemos estimar os quartis utilizando a seguinte fórmula para a posição dos quartis 𝑃𝑄𝑘 𝑘 4 𝑛 1 Onde 𝑃𝑄𝑘 é a posição do késimo quartil no conjunto de dados ordenado e 𝑛 é o número total de dados Vamos calcular as posições de Q1 e Q3 𝑃𝑄1 1 4 70 1 1 4 71 1775 𝑃𝑄3 3 4 70 1 3 4 71 5325 Como as posições dos quartis são frações precisamos interpolar para encontrar os valores de Q1 e Q3 4 A interpolação pode ser feita encontrando os motoristas cujas posições acumuladas incluem os quartis e depois calculando o valor exato do quartil com base na distribuição dos acidentes Vamos fazer a interpolação para Q1 e Q3 com os dados acumulados Acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 Motoristas 15 11 20 9 6 5 3 1 Acumulado 15 26 46 55 61 66 69 70 Q1 está na posição 1775 o que cai na categoria de 1 acidente Q3 está na posição 5325 o que cai na categoria de 3 acidentes Por serem interpolações aproximadas e usando a categoria de acidentes como nossos quartis a amplitude interquartílica AIQ seria 𝐴𝐼𝑄 𝑄3 𝑄1 3 1 2 Isso significa que a amplitude interquartílica de acidentes é 2 A interpretação da AIQ é que ela nos dá uma medida da dispersão dos dados excluindo os valores extremos os 25 mais baixos e os 25 mais altos Neste caso a maioria dos motoristas 50 do meio tem uma contagem de acidentes que varia dentro de uma amplitude de 2 acidentes desconsiderando os extremos da distribuição Questão 03 a Média e Desvio padrão Salário Médio 𝑥 O salário médio é a soma de todos os salários dividida pelo número total de salários 𝑥 41300 21600 2750 5000 4 2 1 1 𝑥 5200 3200 2750 5000 8 𝑥 16150 8 𝑥 201875 Então o salário médio dos funcionários é R 201875 Desvio Padrão 𝑠 O desvio padrão é uma medida da quantidade de variação ou dispersão dos valores A fórmula para calcular o desvio padrão para uma população é 𝑠 1 𝑁 𝑁 𝑖1 𝑥𝑖 𝑥2 Neste caso temos 8 funcionários e já calculamos 𝑥 o salário médio Agora vamos calcular 𝑠 𝑠 41300 2018752 21600 2018752 2750 2018752 5000 2018752 8 𝑠 4718752 2418752 731252 2981252 8 5 𝑠 4516 14063 2175 39063 534 14063 8 887 64063 8 𝑠 2 064 56252 350 78126 534 14063 8 887 64063 8 𝑠 11 837 12504 8 𝑠 1 479 64063 𝑠 121642 O desvio padrão dos salários dos funcionários é aproximadamente R 121642 Isso significa que em média os salários dos funcionários se desviam em torno de R 121642 do salário médio da amostra Quanto maior o desvio padrão maior a variação entre os salários dos funcionários b Mediana Amplitude Interquartílica e comparação Salários em ordem crescente R130000 R130000 R130000 R130000 R160000 R160000 R275000 R500000 Mediana 𝑀 A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenados ao meio Com 8 salários a mediana será a média dos 4º e 5º salários pois o conjunto tem um número par de observações 𝑀 1300 1600 2 2900 2 1450 A mediana dos salários é R145000 Amplitude Interquartílica 𝐴𝐼𝑄 A amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro quartil 𝑄3 e o primeiro quartil 𝑄1 Para uma série com 8 números 𝑄1 é o valor médio entre o 2º e o 3º salários e 𝑄3 é o valor médio entre o 6º e o 7º salários 𝑄1 1300 1300 2 1300 𝑄3 1600 2750 2 2175 𝐴𝐼𝑄 𝑄3 𝑄1 2175 1300 875 A amplitude interquartílica dos salários é R87500 Comparação com a média e o desvio padrão A média dos salários é R201875 o que indica o valor central quando todos os salários são considerados igualmente O desvio padrão é aproximadamente R121642 que mostra uma variação relativamente grande em relação à média A mediana dos salários é R145000 que mostra que metade dos salários é inferior a R145000 e a outra metade é superior Como a mediana é menor que a média isso indica uma distribuição assimétrica dos salários com alguns salários altos puxando a média para cima A amplitude interquartílica de R87500 mostra que a metade central dos salários tem uma variação menor do que a indicada pelo desvio padrão Isso sugere que a maioria dos funcionários tem salários mais próximos uns dos outros com menos variação enquanto que os valores extremos distorcem o desvio padrão para cima 6 Questão 04 Vamos calcular o CV para cada conjunto de dados Conjunto A A média é 8 e a variância ² é 4 Primeiro encontramos o desvio padrão 𝜎𝐴 𝜎2 4 2 Agora calculamos o CV 𝐶𝑉𝐴 𝜎𝐴 𝜇𝐴 100 2 8 100 25 Conjunto B A média é 100 e a variância ² é 121 Primeiro encontramos o desvio padrão 𝜎𝐵 𝜎2 121 11 Agora calculamos o CV 𝐶𝑉𝐵 𝜎𝐵 𝜇𝐵 100 11 100 100 11 Conjunto C e D Para C e D precisamos primeiro calcular a variância e o desvio padrão A variância é dada pela fórmula 𝜎2 1 𝑁 𝑥2 𝑖 𝜇2 Então para o conjunto C 𝜇𝐶 𝑥𝑖 𝑁 5000 100 50 𝜎2 𝐶 𝑥2 𝑖 𝑁 𝜇2 𝐶 256400 100 502 2564 2500 64 𝜎𝐶 64 8 𝐶𝑉𝐶 𝜎𝐶 𝜇𝐶 100 8 50 100 16 Para o conjunto D já temos a variância como parte da soma dos quadrados das diferenças da média dado como 𝑥𝑖 𝜇2 7200 𝜎2 𝐷 𝑥𝑖 𝜇2 𝑁 7200 100 72 𝜎𝐷 72 8485 aproximadamente 𝐶𝑉𝐷 𝜎𝐷 𝜇𝐷 100 8485 50 100 1697 Resposta a O menor coeficiente de variação é o do Conjunto B com 11 b O maior coeficiente de variação é o do Conjunto A com 25 Isso indica que relativamente o conjunto B tem a menor dispersão em torno da média enquanto o conjunto A tem a maior dispersão em relação à média dos dados 7