Campo Magnético Estático e Lei de Biot-Savart

Unidade 6 Campo Magnético Estático Capítulo 8 Hayt 6ª edição Fenômenos de atração magnética foram inicialmente observados em torno de 600 AC numa cidade grega chamada Magnésia Daí os termos derivados magneto magnetismo magnetização Estudamos o magnetismo introduzindo o conceito de campo magnético Fontes de campo magnético estático imã permanente campo elétrico variável linearmente no tempo corrente contínua Estudo da magnetostática estudo dos campos magnéticos estáticos 61 Lei de BiotSavart Vamos focar nosso estudo nos campos magnéticos estáticos produzidos por correntes contínuas Começamos com a lei de BiotSavart proposta em 1820 Seja um condutor filamentar conduzindo uma corrente continua no espaço livre Um elemento diferencial de corrente Idl produz uma porção do campo magnético dH No sistema A lei de BiotSavart pode ser escrita de maneira concisa usando notação vetorial A unidade do campo magnético H é Ampèremetro Am Usando subscritos para identificar ponto fonte e ponto campo A lei de BiotSavart escrita na forma diferencial não pode ser comprovada experimentalmente porque não se pode isolar um elemento diferencial de corrente Explicação Para correntes contínuas a densidade de carga não varia no tempo ou seja da equação de continuidade da corrente Aplicando o teorema da divergência A corrente total através de qualquer superfície fechada é zero E esta condição só pode ser satisfeita se assumirmos um fluxo de corrente em um caminho fechado Assim não há circulação de corrente contínua se o caminho for aberto Isto significa que somente a forma integral da lei de BiotSavart pode ser experimentalmente observada Lei de BiotSavart A lei de BiotSavart também pode ser expressa em termos de correntes distribuídas tais como densidade corrente J Am2 e densidade superficial de corrente K Am A densidade de corrente J é um vetor e é medida em Ampères por metro quadrado e flui em um volume a corrente total é I J dS O vetor densidade superficial de corrente K é medido em Ampères por metro de largura e flui em uma lâmina ou folha Se K for uniforme a corrente total é Se K não for uniforme Assim o elemento diferencial de corrente IdL onde dL está na direção da corrente pode ser expresso em termos de densidade superficial de corrente K Am ou densidade de corrente J Am2 E obtemos outras duas formas de expressar a lei de Biot Savart Vamos aplicar a lei de BiotSavart a um filamento de corrente de comprimento infinito Campo magnético devido a um filamento retilíneo de corrente de comprimento infinito Ponto campo Ponto fonte Segmento orientado do ponto fonte para o ponto campo O vetor unitário do ponto fonte para o ponto campo é então E o campo dH O campo total Vetor unitário aϕ dentro da integral é constante E Linhas de fluxo do campo magnético corrente entrando na página Campo magnético devido a um filamento retilíneo de corrente de comprimento finitoinfinito Resolvendo agora a integral por substituição trigonométrica Campo devido a um filamento retilíneo de corrente com comprimento finito Se o filamento estiver posicionado parte ou no todo abaixo do plano z 0 os ângulos α1 e α2 podem ser negativos Exemplos 81 As a numerical example illustrating the use of 9 let us determine H at P204 03 0 in the field of an 8A filamentary current directed inward from infinity to the origin on the positive x axis and then outward to infinity along the y axis This arrangement is shown in Figure 86 Solution We first consider the semiinfinite current on the x axis identifying the two angles α1x 90 and α2x tan¹0403 531 The radial distance ρ is measured from the x axis and we have ρx 03 Thus this contribution to H2 is H I4πρsinα2 sinα1aφ campo devido a dois filamentos retilíneos de corrente com comprimento finito Exemplo um filamento retilíneo e infinito disposto sobre o eixo z conduz uma corrente contínua de 15A no sentido z positivo Determinar o campo H em coordenadas cartesianas nos pontos PA e PB b Ponto PB244 H I2πρaφ 152π20 ρ 12²4²20 ρ 20 H 152π204ax2ay H 0477 ax 0239 ay Am H 05335 Am Exercício de participação entregar dia 09052023 Determinar o campo H em coordenadas cartesianas no ponto 132 devido a dois filamentos retilíneos e infinitos de corrente tais que filamento 1 paralelo ao eixo x passando pelo ponto 225 com corrente de 20 A sentido x positivo filamento 2 paralelo ao eixo y passando pelo ponto 344 com corrente de 17 A sentido y negativo 62 Lei de Ampère A lei circuital de Ampère diz que a integral de linha do campo H em torno de qualquer caminho fechado é igual à corrente envolvida por esse caminho O uso da lei de Ampère é possível quando existe alto grau de simetria relacionada à fonte do campo magnético Neste caso a aplicação da lei de Ampère torna muito mais fácil a determinação do campo magnético quando comparada ao uso da lei de BiotSavart Assim como na lei de Gauss a aplicação da lei de Ampère requer uma análise cuidadosa da simetria do problema de forma a identificar quais coordenadas espaciais e componentes vetoriais estão presentes 62 Lei de Ampère A lei circuital de Ampère diz que a integral de linha do campo H em torno de qualquer caminho fechado é igual à corrente envolvida por esse caminho Definese corrente positiva aquela que flui na direção de avanço de um parafuso de rosca direita ao girarpercorrer o caminho fechado 62 Lei de Ampère Vamos aplicar a lei circuital de Ampère para determinar o campo H devido a um filamento retilíneo infinito conduzindo uma corrente contínua Por inspeção da simetria vemos que não há variação do campo com z e nem ϕ Aplicando BiotSavart para determinar as componentes vetoriais vemos que dH é perpendicular ao plano formado por dL e R e portanto está na direção âϕ Assim H só tem a componente Hϕ e é função somente de ρ Portanto escolhemos um caminho tal que Neste exemplo o caminho deve ser um círculo de raio ρ e assim obtemos Um segundo exemplo de aplicação da lei circuital de Ampère é uma linha de transmissão coaxial conforme mostra a figura Simetria mostra que H não depende de z e nem de ϕ Para determinar as componentes vetoriais presentes a análise nos mostra que só existe a componente Hϕ variando somente com ρ Para o lado direito da lei de Ampère temos que ver que a corrente envolvida varia conforme varia a posição radial Assim temos quatro regiões a serem consideradas Primeira região região dielétrica a ρ b Segunda região dentro do condutor interno 0 ρ a Qual é a corrente envolvida Considerando que a distribuição de corrente seja uniforme J constante implica que J Iπa2 Ienvπρ2 Terceira região fora do cabo coaxial raio ρ c A corrente total envolvida é zero e portanto Quarta região dentro do condutor externo b ρ c A corrente total envolvida é a corrente que circula dentro do condutor interno mais parte da corrente que retorna no condutor externo Gráfico Hϕ x ρ H I2π H IrHdL Iρ and r² H I2π H I2π H I2π H I2π H I2π H I2π H I2π Lâmina de Corrente Vamos aplicar a lei de Ampère para determinar o campo H devido a uma lâmina condutora infinita com corrente fluindo no sentido y positivo situada no plano z0 Densidade superficial de corrente K H não pode variar nem com x e nem com y Aplicando BiotSavart vemos que Hy 0 e considerando que a lâmina seja formada por infinitos filamentos infinitos a contribuição de filamentos opostos se cancela na direção z e Hz 0 Então o campo só tem componente na direção x Hx 0 62 Lei de Ampère Então escolhemos o caminho 11221 Se agora o caminho 33223 for escolhido a mesma corrente é envolvida Concluise que Hx é o mesmo para todo z positivo Similarmente Hx é o mesmo para todo z negativo Por causa da simetria a intensidade do campo magnético vista de um lado da lâmina é o oposto da do outro lado 62 Aplicação da Lei de Ampère Lâmina infinita de corrente O resultado obtido pode ser generalizado para qualquer posição da lâmina e corrente superficial em qualquer direção Utilizando notação vetorial E lembrando de como se define a direção de uma área ou superfície ou seja que ân é o vetor unitário normal ao plano da lâmina com sentido positivo saindo da lâmina Exemplo Exercício de participação entregar dia 25052023 Determinar o vetor campo magnético H devido a um plano infinito de corrente posicionado no plano yz em x 3 m contendo uma densidade superficial de corrente de 41ây Am Considerar os pontos a PA123 e PB442 63 Rotacional A lei circuital de Ampère nos diz que se H possui circulação em um percurso fechado então a corrente atravessa esse percurso Conceito de rotacional circulaçãounidade de área Vamos agora aplicar a lei circuital de Ampère a um percurso diferencial fechado com o objetivo de obter uma expressão para o rotacional de H 63 Rotacional Seja então o percurso incremental fechado de lados x e y Suponha que uma corrente produza um campo H no centro do percurso dado por Série de Taylor 1 4 3 2 1 12341 L H ld H ld H 63 Rotacional Pela lei circuital de Ampère este resultado pode ser igual à corrente envolvida pelo percurso ou a corrente que atravessa a superfície limitada pelo percurso Se considerarmos um J genérico a corrente envolvida é então E 63 Rotacional Ou Se escolhermos caminhos orientados perpendicularmente aos outros dois eixos obtemos 63 Rotacional Definição de rotacional o rotacional de qualquer vetor é um vetor e qualquer componente do rotacional é dado por é a área envolvida pela integral de linha fechada n representa qualquer componente em qualquer sistema de coordenadas indica também que a componente do rotacional é a componente que é normal à superfície envolvida pelo percurso Jn componente normal ao plano do caminho fechado n n S n S n J S I S ld H n n rot lim lim H 0 0 63 Rotacional Curl rotacional 63 Rotacional Em coordenadas cilíndricas Em coordenadas esféricas 63 Rotacional A lei circuital de Ampère na forma pontual 2ª equação de Maxwell Podemos agora expressar a 3ª equação de Maxwell para o campo elétrico estático 64 Teorema de Stokes Aplicando o Teorema de Stokes podemos representar a lei de Ampère na forma integral para a forma diferencial e viceversa 65 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético Definimos agora o vetor densidade de fluxo magnético B espaço livre somente Permeabilidade magnética do vácuo Fluxo magnético Fluxo elétrico 65 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético Lei de Gauss para o campo magnético B Determinar o fluxo magnético entre os condutores da linha coaxial Exemplo Fluxo magnético Exercício D87