Lista de Exercicios Resolucao de Problemas de Fisica Oscilacoes e Harmonicos

1 01 Considere um cilindro de densidade 𝜌𝑐 imerso na água de tal modo que 𝜌𝑐 𝜌𝑎 onde 𝜌𝑎 é a densidade da água O cilindro tem altura 𝐻 e raio da base 𝑅 Ao ser colocado sobre a água ele irá flutuar com uma parte submersa a Determine o quanto do cilindro ficará submerso e b a frequência natural de oscilação em torno deste ponto de equilíbrio estável 02 Considere o circuito RLC sem fonte de alimentação Inicialmente o capacitor está carregado permitindo assim a circulação de corrente no circuito Utilizando a lei das malhas mostre que este circuito é um oscilador harmônico amortecido e que a constante de amortecimento é de massa desprezível e constante elástica 𝑘 Suponha que as partículas só podem se mover em uma dimensão e que a única força que atua nas mesmas é a força restauradora da mola Se 𝑃 é o comprimento de equilíbrio da mola e 𝑥1 e 𝑥2 as posições das partículas em relação à origem mostre que esse sistema é um oscilador harmônico simples e determine o período de oscilação deste sistema para 𝑚 2 kg 𝑀 3 kg e 𝑘 10 Nm quando o mesmo é posto a oscilar em torno de um ponto de equilíbrio estável 04 Considere o sistema massamola unidimensional ideal ou seja que não há presença de atrito Utilizando a mecânica Lagrangeana mostre que este sistema é um oscilador harmônico 𝛽 𝑅2𝐿 e a frequência de oscilação livre do cuja frequência natural de oscilação é 𝜔0 𝑘𝑚 circuito é 𝜔0 1𝐿𝐶 onde 𝑅 𝐿 e 𝐶 são a resistência indutância e capacitância presentes no circuito 03 Considere um sistema constituído por duas partículas de massas 𝑚 e 𝑀 ligadas por uma mola onde 𝑘 é a constante de mola e 𝑚 a massa do oscilador 05 Use o sistema de coordenadas 𝑥 𝑦 da figura a seguir para encontrar a energia cinética 𝑇 a energia potencial 𝑉 e a Langrangeana 𝑓 para o pêndulo simples movimentandose no plano 𝑥 𝑦 Determine as equações de transformação do sistema retangular 𝑥 𝑦 para a coordenada 𝜃 e encontre a equação de movimento quando o 2 sistema realiza pequenos deslocamentos em relação ao seu ponto de equilíbrio estável 06 Considere o caso do movimento de um projétil sob ação da gravidade em duas dimensões como discutido em sala Encontre as equações de movimento em coordenadas cartesianas e polares utilizando a formulação de Lagrange Explique ao final porque é melhor usar as coordenadas cartesianas ao invés das coordenadas polares 07 Considere um pêndulo simples de comprimento 𝑏 cujo o ponto de apoio está preso a um anel de raio 𝑎 que gira com uma velocidade angular 𝜔 constante conforme mostra a figura abaixo Obtenha via equação de Lagrange uma expressão para a aceleração angular 𝜃 e mostre ao final que se 𝜔 0 esse sistema equivale ao pêndulo simples como no problema 5 d2zdt2 ω2 z 0 com ω2 g ρa ρc H Eq do oscilador Logo ω g ρa ρc H 2 A energia total do circuito é U Li2 2 q2 2C Mas energia é dissipada por efeito Joule dUdt i2 R Logo dUdt Li didt qC dqdt i2 R Como i dqdt d2 qdt2 RL dqdt qLC 0 A expressão para o oscilador harmônico amortecido é d2xdt2 2γ dxdt ω2 x 0 Logo ω2 1LC ω 1LC 2γ RL γ R2L 3 Podemos analisar esse problema do ponto de vista da massa reduzida u mMmM aí temos de modo que F Kx u d2xdt2 1 a O corpo está em equilíbrio logo mg ρa g Vb onde Vb é o volume do cilindro dentro da água Mas m ρc V ρc π R2 H Logo Vb ρc ρa π R2 H b Vamos supor que o cilindro é deslocado uma altura z logo surgirá uma força restauradora devido ao empuxo adicional F π R2 z ρa g m d2 zdt2 Logo d2 zdt2 π R2 z ρa g m Mas m ρc π R2 H logo Logo d²xdt² km x 0 então T 2π mk 2π mM kmM T 2π 6 105 2π 650 217 s 4 Temos a energia cinética T m x²2 e a energia potencial elástica U k x²2 Temos a Lagrangiana L T U m x²2 k x²2 Por EulerLagrange temos ddt Lx Lx ddt m x k x m x k x x km x 0 x ω₀² x 0 com ω₀ km 5 Pela figura x l sen θ y l cos θ Logo ẋ l θ cos θ ẏ l θ sen θ Portanto ẋ² ẏ² l² θ² cos² θ l² θ² sen² θ ẋ² ẏ² l² θ² Portanto a energia cinética é T m2 ẋ² ẏ² m2 l² θ² A energia potencial é U m g y m g l cos θ A Lagrangiana é L T U m l² θ²2 m g l cos θ Por EulerLagrange ddt Lθ Lθ ddt m l² θ m g l sen θ mlθ mgl sin θ 0 θ gl sin θ 0 Para pequenos deslocamentos em torno de θ 0 temos sin θ θ então θ gl θ 0 que é a equação do oscilador Harmônico com frequêMcia w gl 6 Em coordenadas cartesianas T m2 x² y² e U mgy Logo L m2 x² y² mgy Para x ddt m x 0 x 0 Para y ddt m y mg y g Em coordenadas polares fazendo x r cos θ y r sen θ Temos T m2 r² r² θ² e U mg r sen θ Logo para r ddt m r mg sen θ r g sen θ Para θ ddt m r² θ mg r cos θ É melhor utilizar coordenadas cartesianas pois obtemos equações desacopladas que são mais fáceis de serem resolvidas 7 Pela figura podemos escrever X a cos ωt b sen θ y a sen ωt b cos θ De modo que U mgy Vou digitar as contas ẋ aω sin ωt b cos θθ ẏ aω cos ωt b sin θθ v² ẋ² ẏ² aω² bθ² 2abωθ cos θ sin ωt sin θ cos ωt O ultimo termo é sinθ ωt Logo T 12 mv² 12 maω² bθ² 2abωθ sinθ ωt E temos L 12 maω² bθ² 2abωθ sinθ ωt mga sin ωt b cos θ Temos Lθ ddt Lθ 0 usando EulerLagrange onde Lθ mabωθ cosθ ωt mgb sin θ e também Lθ mb²θ mabω sinθ ωt de modo que ddt Lθ mb²θ mabωθ ω cosθ ωt Portanto abωθ cosθ ωt gb sin θ b²θ abωθ ω cosθ ωt 0 E por fim θ gb sin θ ab ω² cosθ ωt Claramente se fizermos w0 recuperamos a equação do pêndulo da questão 5