Série de Taylor e Convergência em Funções

2 Visão geral Por vezes não é possível se obter uma solução analítica para um determinado problema mas é suficiente ter em mãos uma solução aproximada que possa oferecer algum conhecimento sobre o comportamento do movimento de uma partícula Assim quando se escreve uma função qualquer em termos de uma série de Taylor isso pode facilitar o entendimento de um problema físico que de outra maneira poderia ser muito difícil Escrever uma função em termos de uma série de Taylor é análogo a escrever um vetor em termos de uma dada base vetorial mas aqui a base seria composta por outras funções e teria uma dimensão infinita No entanto nem sempre será necessário conhecer todos os termos da expansão de uma função em série de Taylor bastando apenas os primeiros termos desde que exista uma condição de convergência satisfatória Algumas funções essenciais que estão presente nesta disciplina serão especialmente tratadas aqui Objetivos 1 Calcular a série de Taylor de uma função qualquer Séries de Taylor Um vetor é um objeto matemático que pode ser realizado através de uma base vetorial Assim seja o vetor que em termos da base canônica cartesiana pode ser escrito como em que os escalares e são as componentes desse vetor na base dada que é finita e tridimensional Essas componentes do vetor podem ser calculadas através da projeção do vetor em um determinado elemento de base Por exemplo 3 em que representa o produto escalar entre o vetor e o vetor unitário da base Procedese de maneira similar com as duas outras componentes desse vetor Esse conceito de expandir ou representar um vetor em termos de uma base também pode ser estendido para as funções Um diferença importante nesse caso é que a base também é composta por outras funções e o espaço vetorial agora é infinito Outro detalhe muito importante nesse processo diz respeito à convergência dessa expansão A ideia é desenvolver a expansão em torno de um ponto conhecido que permita uma rápida convergência da função em termos da base escolhida Caso contrário seria necessário somar infinitos termos para se obter um resultado satisfatório Idealmente escolhendose o ponto certo apenas alguns termos da expansão já serão suficientes A base de funções mais simples é aquela composta por potências em que Considerando uma função arbitrária que seja continuamente diferenciável e que convirja satisfatoriamente em torno do ponto então é possível essa função em termos da base de potências como em que o conjunto representa os coeficientes da expansão da função na referida base A maneira como se determina esses coeficientes da expansão é um pouquinho diferente daquela usada para os vetores A ideia básica é eliminar a potência de associada com o coeficiente e fazer uma vez que é em torno deste ponto que a expansão ocorre Primeiramente fazendo na expansão acima temse e portanto 4 é o primeiro coeficiente Para se obter o próximo coeficiente calculase a primeira derivada da expansão em que Fazendo no resultado acima temse ou seja é o segundo coeficiente O terceiro coeficiente é obtido a partir da segunda derivada da expansão em que Fazendo no resultado acima temse ou seja em que é o fatorial O quarto coeficiente é obtido a partir da terceira derivada da expansão em que 5 Fazendo no resultado acima temse logo em que é o fatorial A partir daqui notase um padrão evidente no cálculo dos coeficientes da expansão O coeficiente de índice dito será igual a nésima derivada calculada em dividida por tal que em que representa a derivada de ordem da função calculada em Então a expansão da função pode ser escrita como que pode ser simplificada usando a notação se somatório em que é o número de termos da série Essa representação da série de Taylor que envolve a expansão da função em torno do ponto também é conhecida como série MacLaurin Alguns aspectos conceituais e operacionais nessa expressão merecem atenção Primeiro do ponto de vista conceitual a expansão para ser exata 6 isto é para representar a função completamente teria que ter infinitos termos No entanto apenas a representação aproximada é de interesse aqui o que se espera envolver alguns poucos termos dessa expansão considerando por hipótese uma convergência rápida da expansão isto é Depois do ponto de vista operacional temse que e ou seja a derivada de ordem zero da função é a própria função EXEMPLO 1 Calcule a série de Taylor em torno do ponto da função exponencial Escreva o seu resultado final em termos de um somatório Resolução A fim de se obter a série de Taylor da função exponencial é necessário calcular as várias derivadas da função no ponto Seja então Logo e assim por diante Logo é a série de Taylor da função exponencial em torno do ponto Se o argumento for pequeno a convergência é rápida e por isso não é necessário calcular infinitos termos da expansão mas apenas alguns deles até a precisão desejada EXEMPLO 2 Calcule a série de Taylor em torno do ponto da função Escreva o seu resultado final em termos de um somatório Resolução A fim de se obter a série de Taylor da função seno é necessário calcular as várias derivadas da função no ponto Seja então Logo 7 e assim por diante Aqui percebese um padrão Os termos de índice são nulos e os termos ímpares se alternam ordenadamente entre e Logo é a série de Taylor da função seno em torno do ponto Verifique o último passo Se o argumento for pequeno a convergência é rápida e por isso não é necessário calcular infinitos termos da expansão mas apenas alguns deles até a precisão desejada E importante salientar que o argumento da função seno deve estar representado em radianos para que o cálculo da expansão possa ser feito EXEMPLO 3 Calcule a função na calculadora e depois utilizando a série de Taylor da função seno em torno do ponto Resolução Primeiramente é necessário transformar a unidade grau para a unidade radiano Sabese que Logo Na calculadora verificase que Usando apenas o primeiro termo da expansão temse que Note que o resultado aproximado considerando apenas um termo da expansão possui boa concordância com o resultado obtido na calculadora 8 Considerando agora dois termos da expansão temse que que é exatamente igual ao resultado obtido pelas calculadora É claro que para uma valor pequeno de ângulo a convergência é rápida Nesse caso apenas o primeiro termo da expansão já fornecia um excelente resultado Para valores maiores de ângulo serão necessário muito mais termos Como visto no exemplo anterior é claro que para uma valor pequeno de ângulo a convergência da série de Taylor em torno do ponto é rápida De fato apenas o primeiro termo da expansão já fornecia um excelente resultado Contudo para valores maiores de ângulo serão necessário muito mais termos e a convergência da série pode ser mais lenta A fim de se agilizar essa convergência é interessante escolher um outro ponto dito para se efetuar a expansão desde que o valor da função a ser expandida em torno desse ponto seja conhecido Assim calcular o valor aproximado de pela série de Taylor em torno de pode levar muitos termos para uma convergência satisfatória Seria mais prático escolher o ponto em que o valor da função seno já é conhecido e assim gerando uma convergência mais rápida da série Com efeito tornase necessário generalizar o resultado da expansão de uma função pela série de Taylor em torno de para um ponto E isso é relativamente simples Basta fazer as seguintes alterações e e a série de Taylor em torno do ponto fica 9 que em termos de um somatório pode ser escrita como Novamente limitouse a série a termos e por isso essa expansão não é uma representação exata da função Apenas no limite em que a série representa fielmente a função dada em torno do ponto Uma última questão que vale a pena ser mencionada aqui é relativa à precisão da aproximação No exemplo anterior foi visto que a convergência da série era de fato muito boa quando se comparado ao valor obtido pela calculadora No entanto nem sempre esse valor é préconhecido Assim a precisão mínima no cálculo da expansão da função está associada com o último termo da série de potências Quando a precisão mínima desejada é obtida truncase a série naquele último termo considerado No exemplo anterior o segundo termo é dado por e por isso a precisão é de no mínimo seis casas depois da vírgula Embora depois da vírgula apareçam sete zeros o número seguinte é um Se fosse um número ou menor então a precisão seria maior de sete casas decimais EXEMPLO 4 Calcule a função na calculadora e depois utilizando a série de Taylor da função seno em torno do ponto Resolução Utilizando a calculadora temse que Seja então Sabese que Além disso 10 Para os dois primeiros da expansão da série de Taylor em torno do ponto temse que em que Note que este resultando concorda com aquele obtido pela calculadora em até três casas decimais Considerando o próximo termo da expansão a série ficaria Com efeito essa aproximação da função em série de Taylor em torno do ponto com três termos tem precisão mínima de três casas depois da vírgula EXEMPLO 5 Obtenha uma aproximação de com quatro casas decimais Resolução Substituindo por na série de Taylor para a função seno temse Assim substituíse uma função complica para se efetuar a integração por outra que é uma série de potencias de fácil integração Integrando cada termo da série resulta em Somando apenas os três primeiros termos 11 O erro associado a este resultado é inferior a EXERCÍCIOS 1 Demonstre os seguintes resultados para a expansão em série de Taylor da função em torno do ponto a para b para c para 2 Uma das mais belas demonstrações matemáticas é a chamada fórmula de Euler Sabendo que é a unidade imaginária e que mostre que a expansão da exponencial complexa resulta em Referências K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004 S Thornton e J Marion Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Cengage Learning 1ª edição 2011 12 G B Arfken H J Weber F E Harris Física Matemática GEN LTC 7 edição 2017