Andrei Kolmogorov: Contribuições à Teoria das Probabilidades

127 Andrei Nikolaevich Kolmogorov em russo Андрей Николаевич Колмогоров Tam bov 25 de Abril de 1903 Moscou 20 de Outubro de 1987 foi um matemático sovié tico Kolmogorov participou das principais des cobertas científicas do século XX nas áreas de probabilidade e estatística e em teoria da informação Foi ele o autor da principal teoria científica no campo das probabilida des a teoria da medida que revolucionou o cálculo de integrais permitindo que as inte grais fossem generalizadas para domínios exóticos integral de Lebesgue Um de seus principais trabalhos publicados foi Grundbegriffe der Wahrscheinlich keitsrechnung Fundamentos de Teoria das Probabilidades em que ele lança as bases da axiomatização da teoria das proba bilidades e esboça o que seria a teoria da medida Como grande cientista que era Kolmogorov recebeu diversas honrarias ao longo de sua carreira Em 1939 ele foi eleito para a Aca demia de Ciências da URSS Ele recebeu um dos primeiros prêmios científicos dados pelo estado soviético em 1941 o prêmio Le nin de 1965 a Ordem de Lenin em seis oca siões diferentes a Medalha Lobachevsky em 1986 entre outros Ele também foi eleito para inúmeras outras academias e so ciedades científicas como por exemplo a Sociedade Estatística Real de Londres em 1956 Kolmogorov teve muitos interesses fora da matemática em particular na forma e estru tura da poesia russa do autor Pushkin FONTEhttpptwikipediaorgwikiBrasil Introdução Função Distribuição de Probabilidades Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Bidimensionais Distribuições de Probabilidades Mar ginais Variáveis Aleatórias Independentes Medidas de Posição Medidas de Dispersão 128 Variáveis Aleatórias 129 7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 71 INTRODUÇÃO Muitos experimentos produzem resultados não numéricos Antes de analisálos é conveniente transformar seus resultados em números o que é feito através da Variável Aleatória que é uma regra de associação de um valor numérico a cada ponto do Espaço Amostral Definição Sejam E um experimento e S o Espaço Amostral associado e este experimento Uma Função X que associe a cada elemento s S um número real Xs é denominada Variável Aleatória Na jogada de duas moedas o Espaço Amostral é S KK KC CK CC Seja X o número de caras K A cada evento simples de S podemos associar um número conforme a seguir Evento KK KC CK CC X 2 1 1 0 Portanto teremos as probabilidades abaixo Número de Caras Obtidas X Px 0 ¼ 1 ½ 2 ¼ Uma Variável Aleatória X será DISCRETA se os valores que ela pode assumir forem INTEIROS e será CONTÍNUA se ela puder assumir qualquer valor real num intervalo dado Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas 72 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE A Probabilidade de que uma Variável Aleatória X assuma o valor xo é a Função de Probabilidade de X representada por PXxo ou simplesmente Pxo A Função de Probabilidade determina a Distribuição de Probabilidades da Variável Aleatória X que pode ser representada por uma tabela um gráfico ou uma fórmula Exemplo 71 Seja E lançar duas moedas e seja X número de caras K obtidas Representar Px através de uma tabela um gráfico e uma fórmula Capitulo 7 130 Solução Tabela Número de Caras Obtidas X Px 0 ¼ 1 ½ 2 ¼ Gráfico Fórmula 1 4 2 x P x C onde x 0 1 2 Observações 1 Qualquer Função de uma Variável Aleatória é também uma Variável Aleatória isto é se X é uma Variável Aleatória então y ax b ou 2 3 z cx x também são Variáveis Aleatórias 2 Por ser uma função podemos representar a P X x por P x ou por f x Para que uma função seja uma Distribuição de Probabilidades ela deve satisfazer as seguintes con dições f x 0 1 i i f x 722 FUNÇÃO REPARTIÇÃO FX A Função Repartição de uma Variável Aleatória X no ponto x xo é definida como sendo a proba bilidade de X assumir um valor menor ou igual a xo isto é o o F x P X x ou ox o x F x f x Variáveis Aleatórias 131 7221 Propriedades da Função Repartição 1 0 2 1 3 4 5 6 P F P F P P a x b F b F a onde b a P P a x b F b F a P X a P P a x b F b F a P X b P P a x b F b F a P X a P X b Exemplo 72 Suponha que uma Variável Aleatória X possa assumir apenas os valores 0 1 e 2 com pro babilidades 1 1 1 3 6 2 respectivamente Determine sua função repartição e representea graficamente Solução A Função Distribuição da Variável Aleatória X é X Px 0 13 1 16 2 1 2 A Função Repartição é a probabilidade de X assumir um valor menor ou igual a um x qualquer assim devemos analisar a Função Distribuição para vários valores de X cada um num determinado intervalo Estes intervalos são 0 0 1 1 2 e 2 x x x x Quando 0 x não existem probabilidades e portanto F x 0 Quando x está no intervalo 0 1 x ao somarmos todas as probabilidades desde até o valor de x existe apenas 13 P X 0 e portanto 13 F x Quando x está no intervalo 1 2 x ao somarmos todas as probabilidades desde até o valor de x existem duas probabilidades 1 1 3 6 0 1 P X e P X logo 12 F x Quando x está no intervalo 2 x ao somarmos todas as probabilidades desde até o valor de x estaremos somando todas as probabilidades possíveis e assim 1 F x A Distribuição Repartição da Variável Aleatória X será então 13 12 0 0 0 1 1 2 1 2 x x F x x x e seu gráfico fica Capitulo 7 132 73 PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 731 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE Seja X uma Variável Aleatória Contínua isto é X pode assumir qualquer Valor real num determi nado intervalo dado A Função Densidade de Probabilidade fx é uma função que satisfaz as seguintes condições x x f x 0 x f x dx 1 No caso de Variáveis Aleatórias Contínuas a probabilidade é dada pela área sob a curva de fx num intervalo dado assim não existe probabilidade no ponto e sim num intervalo Esta probabilidade é definida por b a f x dx b x P a Observações 1ª A probabilidade de X ser igual a um valor xo xo P X é igual a ZERO pois o o x x dx f x xo P X 0 Isto também implica que b x P a b x P a b x P a b x P a 2ª fx NÃO é probabilidade mas quando integramos fx num determinado intervalo ab pertencente à x obtêmse uma probabilidade que é igual à área delimitada pela curva o eixo dos X e as retas xa e xb Variáveis Aleatórias 133 732 FUNÇÃO REPARTIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Assim como para Variáveis Aleatórias Discretas a Função Repartição para Variáveis Aleatórias Con tínuas é definida como sendo a probabilidade de que a Variável Aleatória X assuma um valor menor ou igual a um valor qualquer xo isto é 0 o F x P X x e pode ser obtida por o x f x dx F xo Exemplo 73 Seja 2 3 2 1 0 1 0 x x f x caso contrário Demonstre que a função dada é uma Função Densidade de Probabilidade determine sua Função repartição e esboce seu gráfico Solução Para que a função dada seja uma Função Densidade de Probabilidades ela deve satisfazer as condi ções x x f x 0 x f x dx 1 Varrendo todo o eixo dos X isto é desde até verificamos que a função é sempre positiva ou 0 f x satisfazendose a primeira condição Para confirmar a segunda condição basta integrarmos a função no intervalo dado e verificar se a área delimitada pela curva é unitária 3 0 1 0 1 0 1 1 2 2 3 3 2 2 0 1 0 1 1 1 1 2 3 3 3 0 1 2 2 3 2 3 3 0 0 0 0 3 3 1 2 2 3 2 3 0 1x 0 1x 1 1 0 1 1 x P f x dx f x dx f x dx f x dx P dx dx dx dx P dx x dx x P Portanto a função dada é uma Função Densidade de Probabilidade Vamos agora determinar a Função Repartição Como a função dada é contínua iremos achar uma equação para a Função Repartição Isto é conseguido integrando a função dada em todos intervalos possíveis Para x 0 temos 0 F x pois não existe área sob a curva de fx Capitulo 7 134 Para 1 0 x temos 3 3 0 2 3 2 0 0 2 3 3 2 2 3 0 0 3 2 3 0 1 1 x x x x x x x F x f x dx f x dx f x dx x dx F x x dx x F x x e finalmente para x 1 temos 1 F x pois já teremos somado toda a área sob a curva Logo a Função Repartição será 1 1 1 0 3 2 3 0 0 3 x x x x x F x O gráfico de F x fica 74 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Sejam E um Experimento Aleatório S um Espaço Amostral associado à E e X Xs e Y Ys duas funções cada uma associando um número real a cada resultado s S Definiremos o par coordenado X Y como sendo uma Variável Aleatória Bidimensional Variáveis Aleatórias 135 741 DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS A Função de Probabilidade f x y é definida tal que a cada possível resultado i x yj associaremos um número i p x yj representado por i j P X x Y y satisfazendo as seguintes condições 0 i p x yj 1 i j i j p x y Exemplo 74 Considere E um Experimento onde são lançados dois dados O par X Y representam os pontos nos respectivos dados A tabela que representa as probabilidades de cada um dos resultados deste experimento é Y X 1 2 3 4 5 6 1 136 136 136 136 136 136 2 136 136 136 136 136 136 3 136 136 136 136 136 136 4 136 136 136 136 136 136 5 136 136 136 136 136 136 6 136 136 136 136 136 136 a fórmula desta função é 1 36 123456 123456 i p x yj x e y e o gráfico que representa esta função é Capitulo 7 136 742 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA Uma função f x y é dita Função Densidade de Probabilidade Conjunta de uma Variável Aleató ria X Y se satisfaz as seguintes condições f x y 0 1 f x y dx dy 743 FUNÇÃO REPARTIÇÃO CONJUNTA A Função Repartição Conjunta F x y é definida como sendo a probabilidade de simultanea mente X ser menor ou igual a um valor x qualquer e Y ser menor ou igual a um valor y qualquer isto é F x y P X x Y y Caso a Variável Aleatória X Y seja discreta a Função Repartição será determinada por 0 ox y o o x y F x y p x y Se a Variável Aleatória X Y for contínua a Função Repartição é dada por o o x y o o F x y f x y dxdy 75 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Seja X Y uma Variável Aleatória Bidimensional Podemos determinar a distribuição de X sem considerar Y e a distribuição de Y sem considerar X Para isso devemos fixar uma das variáveis e variar a outra Se X Y é uma Variável Aleatória Bidimensional Discreta então Distribuição de X i i i i j j P X x P X x Y P X x p x y Distribuição de Y j j j i j i P Y y P X Y y P Y y p x y Variáveis Aleatórias 137 Caso X Y é uma Variável Aleatória Bidimensional Contínua então Distribuição de X g x f x y dy Distribuição de Y h y f x y dx 76 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES Duas Variáveis Aleatórias X e Y são ditas Variáveis Aleatórias Independentes se a probabilidade conjunta de X Y é igual ao produto das probabilidades marginais de X e de Y isto é Se X Y é uma Variável Aleatória Discreta então as variáveis X e Y serão inde pendentes se e somente se i j i j p x y p x p y i e j Se X Y é uma Variável Aleatória Contínua então as variáveis X e Y serão inde pendentes se e somente se f x y g x h y x e y 77 MEDIDAS DE POSIÇÃO 771 ESPERANÇA MATEMÁTICA Também denominada Valor Esperado ou Média de uma Variável Aleatória a Esperança Mate mática é definida como sendo a soma de todos os produtos dos valores da Variável Aleatória pelas suas respectivas probabilidades isto é Se X é uma Variável Aleatória Discreta então i i i E x x p x Se X é uma Variável Aleatória Contínua então E x x f x dx Em termos gerais podemos calcular a Esperança de uma função de uma Variável Aleatória assim se é uma função da Variável Aleatória X x a Esperança desta função será obtida por i i i E x x p x se X é uma Variável Aleatória Discreta E x x f x dx se X é uma Variável Aleatória Contínua Exemplo 75 Seja 5 3 x x a Variável Aleatória X pode assumir os valores 2 1 5 6 e 7 com pro babilidades 020 015 022 035 e 008 respectivamente Determine a Esperança da função x Capitulo 7 138 Solução 5 3 i i i i i E x x p x x p x 5 2 3 02 5 1 3 015 5 5 3 022 5 6 3 035 5 7 3 008 E x 2055 E x Observação Quando a função x é a Função Identidade isto é quando x x representamos a Esperança de X E x por x As duas simbologias representam a mesma média e qualquer uma das duas pode ser utilizada 7712 Propriedades da Esperança Matemática P1 A Esperança de uma Constante K é igual à própria constante E K K P2 A Esperança do produto de uma constante K por uma variável é igual ao produto desta constante pela Esperança da variável E K x K E x P3 A Esperança da soma algébrica de é igual à soma algébrica das Esperanças E x x E x E x P4 A Esperança dos desvios tomados em relação à Esperança de X é ZERO 0 x E x P5 Se X e Y são Variáveis Aleatórias Independentes então a Esperança do produto é igual ao produto das Esperanças x y Se X e Y são independentes E xy 772 MEDIANA MD Mediana é o valor da Variável Aleatória X que divide a distribuição em duas partes iguais cada uma contendo 50 dos valores sendo assim a Mediana pode também ser definida como sendo o valor cuja Função Repartição é igual a 05 Variáveis Aleatórias 139 Exemplo 76 Considere a Função Distribuição de Probabilidades da Variável Aleatória X Discreta De termine o valor mediano X fx Fx 1 015 015 4 020 035 7 020 055 8 030 085 12 015 100 100 Solução O valor Mediano é igual a 7 pois para 4 x a Função Repartição 4 035 F e como para 7 x a Função Repartição ultrapassa o valor 05 7 055 F assim a Mediana é um dos 7s coletados Exemplo 77 Dada a Função Densidade de Probabilidade a seguir determine o valor mediano 3 2 0 1 0 x x f x caso contrário Solução Sua Função Repartição é 3 0 0 0 1 1 1 x F x x x x A Mediana será 3 3 05 05 05 07937 F Md x x x Md 773 MODA MO É o valor da Variável Aleatória X de maior probabilidade No caso de X ser uma Variável Aleatória Discreta basta observarmos o valor de X de maior proba bilidade Se X é uma Variável Aleatória Contínua devemos analisar os pontos onde a Função Densidade de Probabilidade apresenta inclinação igual a zero e estudarmos seus limites à esquerda e à direita a fim de determinarmos seus pontos de máximo Uma Distribuição de Probabilidades e mesmo uma Função Densidade de Probabilidades pode apre sentar mais de um valor modal e neste caso a Distribuição ou a Função será dita Bimodal Trimodal ou Pluri modal dependendo do número de valores encontrados Capitulo 7 140 78 MEDIDAS DE DISPERSÃO 781 DESVIO PADRÃO x x ou É definido como sendo a raiz quadrada da Esperança do quadrado dos desvios tomados em relação à Esperança de X isto é 2 x x E x Observando a equação vemos que o Desvio Padrão é a distância Média Quadrática em que os va lores se afastam à esquerda e à direita da Esperança de X Média Aritmética 782 VARIÂNCIA 2 2 x x ou É definida como sendo o quadrado do Desvio Padrão isto é 2 2 x x E x Se a Variável Aleatória X é Discretas temos 2 2 2 x i x i i x E x x p x Se a Variável Aleatória X é Contínua então 2 2 x x VAR x E x x f x dx A Variância pode também ser obtida pela expressão 2 2 2 x x E x 7821 Propriedades da Variância P1 A Variância de uma constante é ZERO 2 0 K P2 A Variância do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto do quadrado desta constante pela Variância da variável 2 2 2 Kx k x P3 A Variância da soma algébrica de uma variável por uma constante é igual à Variância da vari ável 2 2 x K x P4 Se X e Y são duas Variáveis Aleatórias Independentes então a Variância da soma algébrica das variáveis X e Y é igual à soma algébrica das Variâncias de X e de Y 2 2 2 X Y X Y Variáveis Aleatórias 141 783 COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO Dizemos que se duas ou mais variáveis expressam a relação de causa e efeito ou se elas variam concomitantemente são variáveis consideradas correlacionadas O objetivo básico da Covariância e do Co eficiente de Correlação é medir o grau de relacionamento existente entre variáveis que imaginamos estarem ligadas por uma relação causa efeito A Covariância de duas Variáveis Aleatórias X e Y representada por xy COV é obtida por xy x y COV E x y ou simplesmente por xy x y COV E xy Já o Coeficiente de Correlação xy é definido como xy xy x y COV onde 1 1 xy Observações 1 Se as Variáveis Aleatórias X e Y são independentes então 0 xy e dizse que não há relação LINEAR entre as Variáveis Aleatórias 2 Se 0 xy então não existe uma relação LINEAR entres as Variáveis Aleatórias X e Y porém não quer dizer que não possa existir algum tipo de relação Não Linear entre elas 79 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 791 No lançamento simultâneo de dois dados consideremos as seguintes variáveis aleatórias X número de pontos obtidos no primeiro dado Y número de pontos obtidos no segundo dado Determinar a distribuição de Probabilidade através de uma tabela das Variáveis Aleatórias a W X Y b A 2Y c Z XY 792 Uma variável aleatória discreta tem a Distribuição de Probabilidade dada por a Calcular o valor de k b P X 5 793 Seja Z a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó a Construa a tabela de PZ b Determinar FZ c Calcular d Calcular F8 para 1357 k P x x x 2 6 P Z Capitulo 7 142 794 Numa sala existem 30 pessoas O quadro a seguir apresenta a lista de idades destas pessoas 17 18 20 22 18 20 20 21 19 21 22 25 19 17 22 19 25 17 22 25 20 17 25 21 18 19 25 25 18 18 a Construa a tabela de Distribuição de Probabilidade b P 18X20 c P X19 795 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições X 1 3 Y 5 10 12 Px 06 04 Py 03 05 02 a Calcule Ex e Ey b Calcular y x e 796 Um jogo consiste em se atirar um dado se der faces 2 ou 5 a pessoa ganha R 5000 por ponto obtido se der faces 1 ou 6 a pessoa ganha R 10000 por ponto obtido se der faces 3 ou 4 a pessoa ganha R 15000 por ponto obtido a O jogo é honesto b Calcule o desvio padrão da distribuição 797 Em uma classe há 6 homens e 3 mulheres Sorteados 3 alunos ao acaso e sem reposição faça X VA número de homens sorteados Calcule a média a moda e o desvio padrão da distribuição 798 Se uma variável aleatória x apresenta e 2 x calcule 2 E 2 2 E 3 2 4 3 a X b X c X d X 799 Determinar a média e o desvio padrão do peso líquido de um produto sabendose que a média do peso bruto é 800 g com desvio de 20 g e o peso médio da embalagem é 100 g com desvio de 10 g 7910 Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 30 g e desvio padrão de 07 g Essas peças são acondicionadas em pacotes de uma dezena cada A embalagem pesa em média 40 g com variância 225 g² Qual a média e o desvio padrão do peso total da distribuição 7911 O lucro unitário L de um produto é dado por L 12V 08C 35 Sabendose que o preço unitário de venda V tem média R 6000 e desvio padrão R 500 e que o preço do custo unitário C tem distribuição de média R 5000 e o desvio padrão R 200 qual a média e o desvio padrão do lucro unitário 7912 Uma variável aleatória x assume os valores 2 3 e 5 com probabilidade 030 050 e 020 respectiva mente Calcule o valor esperado e o desvio padrão da variável 2 3 y x 8 x Variáveis Aleatórias 143 7913 Dada a variável aleatória x 1 2 5 8 px 02 03 04 01 Calcule a média e o desvio padrão da variável 4 3 3 y x 7914 Uma confeitaria produz 5 bolos em determinado dia As probabilidades de vender nenhum 1 2 3 4 ou 5 valem respectivamente 1 5 20 30 29 e 15 O custo total de produção de cada bolo é R1000 e o preço unitário de venda é R2000 Calcule o lucro médio a variância e o desvio padrão 7915 Um negociante espera vender um automóvel até sextafeira A expectativa de que venda na se gundafeira é de 50 Na terçafeira é de 30 na quartafeira é de 10 na quintafeira é de 5 e na sextafeira é de 5 Seu lucro é de 3000 um se vender na segundafeira e diminui 40 a cada dia a Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda b Calcule a variância c Calcule o desvio padrão 7916 Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum 1 2 3 ou 4 defeitos com probabilidade 90 5 3 1 e 1 respectivamente O preço de venda de uma placa perfeita é 10 um e à medida que apresente defeitos o preço cai 50 para cada defeito apresentado Qual é o preço médio de venda destas placas 7917 Uma prensa de fraldas descartáveis produz 4 modelos A B C e D A tabela abaixo anota as propor ções fabricadas a expectativa de vendas de cada tipo lucros correspondentes a peças vendidas A peça não comercializada é reaproveitada com um custo adicional A B C D Expectativa de venda 70 80 60 60 Lucro por unidade vendida 004 008 002 010 Custo adicional por unidade não vendida 002 005 001 004 Proporção na produção total 50 30 10 10 Qual é o retorno esperado por unidade 7918 A fim de verificar a precisão de sua situação financeira as companhias utilizam auditores que veri ficam a escrita Suponha que os empregados de uma companhia executem recebimentos errados 5 das vezes Se um auditor examina aleatoriamente 3 recebimentos a calcule a distribuição de x o número de erros detectados pelo auditor b calcule a probabilidade de o auditor detectar mais de 1 erro 7919 Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade X px 0 1 2 3 Calcule o valor esperado e a variância de X 18 14 12 18 Capitulo 7 144 7920 Seja Y o número de vezes que uma dona de casa visita um bazar durante uma semana Suponha que a distribuição de probabilidade de Y seja Y py 0 01 1 05 2 03 3 01 Calcule a o valor esperado de Y b seu desvio padrão 7921 Um vendedor de equipamento pesado tem possibilidade de manter contatos com um usuários ou dois usuários por dia com probabilidade de 13 e 23 respectivamente Pode resultar nenhuma venda ou venda de R 50 000 com probabilidades de 910 e 110 respectivamente Qual é o valor esperado para vendas diárias 7922 A distribuição de probabilidade de X número de automóveis novos vendidos diariamente por uma pequena concessionária está indicado na tabela a seguir X px 0 010 1 020 2 040 3 015 4 010 5 003 6 001 7 001 a Calcule o número esperado de vendas diárias b Calcule a variância e o desvio padrão c Qual a probabilidade de x pertencer ao intervalo d Escolhendose 3 dias aleatoriamente qual é a probabilidade de para esses 3 dias 7923 Dados sobre acidentes automobilísticos levantados por uma companhia de seguros informam o se guinte a probabilidade de que um motorista segurado sofra um acidente automobilístico é de 015 Se um acidente ocorrer os danos com o veículo montam 20 do seu valor de mercado com proba bilidade de 08 enquanto a probabilidade de esses danos atingirem 60 do seu valor de mercado é de 012 e uma perda total tem probabilidade de 008 Que prêmio deve a companhia pagar a um automóvel com valor de R 4 000 a fim de que o lucro esperado da companhia seja nulo 7924 Um soprador de vidro faz três tipos de jarras A primeira tem um peso médio de 12 Kg com desvio padrão de 120 g A segunda tem peso médio de 25 Kg com desvio padrão de 200 g A terceira tem peso médio de 3 Kg com desvio padrão de 250 g Um comprador fez um pedido de 5 jarras do primeiro tipo 7 do segundo e 4 do terceiro Sabendose que as jarras são embaladas individualmente em caixas com peso médio de 50 g com desvio padrão de 5 g e que depois todas as embalagens serão embaladas numa única caixa com peso médio de 750 g com desvio padrão de 50g de quanto até quanto variará o custo com o transporte se a transportadora cobra R 250 por kg 2 X 3 Variáveis Aleatórias 145 7925 Os valores médios e os desvios dos custos da fabricação de uma unidade de determinado produto e listada abaixo Itens Custo Médio Unitário R Desvio Padrão do Custo Unitário R Quantidade Matéria Prima A 15200 850 3 Kg Matéria Prima B 8500 320 7 Kg Matéria Prima C 29000 1200 15 Kg Mão de Obra 1530 200 8 Horas Se o fabricante quer ter um lucro médio de R 20000 com um Desvio Padrão de R 1500 qual deve ser o preço médio de venda e seu desvio padrão 7926 Seja a Distribuição Conjunta de X e Y a seguir Y X 3 1 1 2 3 015 008 012 003 5 012 003 005 007 6 013 015 002 005 Determine a As Distribuições Marginais de X e de Y b A Esperança de X c A Esperança de Y d A Esperança de X2 e A Esperança de Y2 f A Esperança Conjunta de XY g A Variância de X h A Variância de Y i O Desvio Padrão de X j O Desvio Padrão de Y k A Covariância de XY l O Coeficiente de Correlação de XY 7927 Determine o Coeficiente de Correlação de XY das Distribuições Conjuntas de Xe Y a seguir a Y X 6 7 9 11 0 007 004 011 007 1 008 007 007 003 3 003 003 004 01 5 006 005 013 002 b Y X 3 1 2 3 6 1 004 002 001 01 001 2 005 006 003 003 002 5 007 004 004 004 005 7 006 005 007 002 004 8 002 003 002 005 003 Capitulo 7 146 c Y X 4 3 1 2 1 0015 02 0085 004 3 018 012 0004 0002 5 011 008 013 0034 d Y X 1 3 5 7 2 007 01 002 004 6 001 012 004 003 8 007 008 015 005 9 005 007 002 008 e Y X 4 3 1 1 2 0002 0009 011 014 1 0005 0003 0139 0003 2 0018 0135 003 0005 3 027 012 0009 0002 f Y X 4 3 1 2 0002 013 0205 1 0005 0087 0109 2 0018 0065 0007 3 0273 009 0009 7928 Ache a função repartição e esboce o gráfico de 2 3 1 0 1 2 0 caso contrario x x f x 7929 Ache a função repartição e esboce o gráfico de 1 x 0 2 2 0 caso contrario x f x 7930 Seja 1 xk 0 3 6 0 caso contrario x f x Pede se a o valor de K b P x 1 2 Variáveis Aleatórias 147 7931 Uma variável aleatória contínua X tem a seguinte densidade de probabilidade 0 0 0 2 1 2 4 0 4 x k x f x k x x x Pede se a O valor de K b Encontre Fx e esboce o gráfico 7932 A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é proporcional a x1x para 0 x 1 e é zero para outros valores de x Pede se a Mostre que f x x x 6 1 para 0 x 1 b Calcule a Função Repartição Fx c Calcule P x 12 7933 Seja X uma variável aleatória contínua tal que 0 para 0 para 0 500 1000 para 500 1000 0 para 1000 x Ax x f x A x x x Determinar a O valor da constante A b P x 250 750 7934 Dada a Função Repartição 0 para 1 1 para 1 1 2 1 para 1 x x F x x x Esboce o gráfico de f x e calcule 1 1 2 2 0 2 3 a P x b P x c P x Capitulo 7 148 7935 Dada a função densidade conjunta de XY 2 2 0 x 1 3 3 0 y 1 0 x y xy para f x y para outros valores a Determine a funções densidade marginais de X e Y b Calcular E x E y e c CalcularVAR x VAR y e d Calcular P x 0 5 0 75 e Calcular o coeficiente de correlação de X e Y 7936 Suponha que XY tenha a seguinte função densidade de probabilidade 0 1 0 1 0 x x y para y f x y casa contrario a Calcule as distribuições marginais de X e Y b Calcule as esperanças de X e de Y c Calcule a Covariância de X e Y 7937 Uma variável aleatória X tem uma densidade de probabilidade dada por 1 2 0 caso contraio k x x f x Determine a K b x c Mdx d Mox e VARx 7938 X é uma variável aleatória contínua tal que 2 3 f x Kx kx para 0 1 x e 0 f x para outros valores de x Determine a K b Ex c Mdx d VARx Variáveis Aleatórias 149 7939 X é uma variável aleatória contínua tal que a função repartição é dada por 3 0 0 0 1 1 1 x F x x x x a Calcule a média b Determine a mediana c Calcule a variância 7940 XY é uma variável bidimensional contínua com a função densidade conjunta 2 2 0 x 1 e 0 y 1 0 caso contrario c x y f x y Determine a A constante c b PX ½ Y ½ c P ¼ x ¾ d P Y ½ e Se X e Y são independentes f A Covariância de X e Y g O coeficiente de Correlação de X e Y 7941 Considere a função dada por 0 15 15 2 025 2 25 0 25 x x x f x x x a Mostre que f é uma Função Densidade de Probabilidades b Qual a probabilidade de 13 2 x 7942 A função f dada por 02 3 0 x a x b f x caso contrário é uma função Densidade de Probabilidade com 05 b a a Calcule a e b b Calcule a 2 a b P x 7943 Determine o Coeficiente de Correlação de XY da função Densidade de Probabilidade Conjunta de X e Y 2 2 0 2 3 3 0 1 0 x k x y f x y y Caso contrario