Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas

Variáveis aleatórias Variáveis Aleatórias Nem sempre o espaço amostral é formado por número Assim uma função X que associa um espaço amostral não numérico a um espaço numérico é chamado de variável aleatória X Variáveis Aleatórias Variáveis Discretas Contínuas Variável Aleatória Discreta Assume números finitos ou infinitos enumeráveis 0 1 2 3 É obtida por meio de contagem Variável Aleatória Contínua Assume números finitos ou infinitos não enumeráveis 001 1002 323 É obtida por meio de Medição Exemplos Variável Aleatória Discreta Experimento Variável Aleatória Possíveis Valores Realizar 100 ligações de telemarketing Vendas 0 1 2 100 Inspecionar 70 TVs Defeituosas 0 1 2 70 Responder 33 Questões Corretas 0 1 2 33 Carros que passam no Pedágio entre 1100 2100 Carros 0 1 2 N Exemplos Variável Aleatória Contínuas Experimento Variável Aleatória Possíveis Valores Realizar 100 ligações de telemarketing Tempo das ligações X 0 Inspecionar 70 TVs Grau de ruído Y 0 Responder 33 Questões Nota 0 à 10 0 Z 10 Carros que passam no Pedágio entre 1100 e 2100 Valor total recebido W 0 Funções de Probabilidade Modelo Representação de algum fenômeno Fórmula Matemática Representa Variáveis Aleatórias Usada para obter probabilidades exatas Função de Probabilidade Discreta 1 Listar todos os pares possíveis Xi PXi Xi Valor da Variável Aleatória Resultado PXi Probabilidade associada a esse valor 2 0 PXi 1 3 S PXi 1 Exemplo Lance duas moedas seja X o número de Caras lançamento cara Cara 2 Coroa 1 coroa Cara 1 Coroa 0 Exemplo Distribuição de Probabilidade Discreta 0 025 1 050 2 025 Listagem Gráfico 0 025 050 0 1 2 X PX Equação P x n x n x p p x n x 1 Tabela Caras i fX Contagem PXi 0 1 25 1 2 50 2 1 25 Distribuição Binomial np Distribuição Binomial np Considere n realizações independentes de um experimento Bernoulli onde temos sucesso com probabilidade P e fracasso com probabilidade 1P Exemplo lançar um dado 5 vezes e aparecer a face 2 sucesso n5 e P16 Seja a variável aleatória X o número de sucesso nas n realizações Exemplo lançar um dado 5 vezes e aparecer a face 2 sucesso 3 vezes n5 P16 e X3 Probabilidades Binomiais Determine a probabilidade de aparecer a face 2 3 vezes em 5 lançamentos de um dado n5 P16 e X3 Considere uma sequência particular dada por Aparece o resultado 2 nas 3 primeiras realizações e nas ultimas 2 não ou seja SSSFF Assim PSSSFF 1616165656 163562 0003215 Uma vez que a ordem não importa qualquer combinação de três sucessos servirá Enumerando essas combinações temos SSSFF SSFSF SSFFS SFFSS SFSFS FFSSS FSFSS FSSFS SFSSF FFSSF Assim cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0003215 Px 3 10163562 100003215 00322 ou 322 Probabilidades Binomiais Para o número de combinações temos 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛𝑥 Exemplo 5 3 5 3 2 5432 322 120 62 120 12 10 E para cada uma dessas maneiras temos 𝑝𝑥1 𝑝𝑛𝑥 Exemplo 1 6 3 1 1 6 52 1 6 3 5 6 2 0003215 Assim a fórmula geral do modelo binomial é dado por 𝑃𝑋 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑝𝑥1 𝑝𝑛𝑥 Exemplo Um teste de múltipla escolha tem 8 questões cada qual com 3 alternativas uma delas correta Você quer saber qual a probabilidade de chutar certo em a Exatamente 5 questões PX5 b Pelo menos 5 questões PX 5 PX5 PX6 PX7 PX8 𝑛 8 𝑃 1 3 x 5 Exemplo Um teste de múltipla escolha tem 8 questões cada qual com 3 alternativas uma delas correta Você quer saber qual a probabilidade de chutar certo em a Exatamente 5 questões PX5 b Pelo menos 5 questões PX 5 PX5 PX6 PX7 PX8 𝑃𝑋 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑝𝑥1 𝑝𝑛𝑥 𝑃𝑋 5 8 5 8 5 1 3 5 1 1 3 85 00683 𝑃 𝑋 5 56 0001219326 00683 Exemplo b Pelo menos 5 questões PX 5 PX5 PX6 PX7 PX8 0088 𝑃𝑋 5 8 5 8 5 1 3 5 2 3 85 00683 𝑃𝑋 6 8 6 8 6 1 3 6 2 3 86 00171 𝑃𝑋 7 8 7 8 7 1 3 7 2 3 87 00024 𝑃𝑋 8 8 8 8 8 1 3 8 2 3 88 00002 Exemplo Um médico lhe diz que certa cirurgia é bemsucedida em 80 das vezes Se a cirurgia for realizada 7 vezes determine a probabilidade de ser bemsucedida em a Exatamente 6 b No máximo 6 Exemplo Um médico lhe diz que certa cirurgia é bemsucedida em 80 das vezes Se a cirurgia for realizada 7 vezes determine a probabilidade de ser bemsucedida em a Exatamente 6 b No máximo 6 PX6 1PX7 102097 07903 𝑃𝑋 6 7 6 7 6 08 6 1 08 76 0367 𝑃𝑋 7 7 7 7 7 08 7 1 08 77 02097 CASIO SVPAM fx82MS