Probabilidade e Teoremas: Aplicações em Eventos e Testes

Probabilidade Otaviano Francisco Neves Partição do Espaço amostral Considere A1 A2 An como partição do espaço amostral tal que A1 A2 An S PAi 0 Ai Aj Seja B um evento qualquer assim 𝑷𝑩 𝑷𝑨𝒊 𝑷 Τ 𝑩 𝑨𝒊 Teorema de Bayes Considere a probabilidade de ocorrência de Ai dado a ocorrência de B assim 𝑷 Τ 𝑨𝒊 𝑩 𝑷𝑨𝒊𝐁 𝑷𝑩 𝑷 Τ 𝑨𝒊 𝑩 𝑷𝑨𝒊 𝑷 Τ 𝑩 𝑨𝒊 𝑷𝑩 Exemplo Considere 3 caixas Caixa 1 com 10 lâmpadas sendo 3 defeituosas Caixa 2 com 8 lâmpadas sendo 1 defeituosa Caixa 3 com 6 lâmpadas sendo 4 defeituosas Uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma lâmpada é retirada Se a lâmpada é defeituosa qual a probabilidade de ter vindo da caixa 1 Resolução Considere 3 caixas A1 Caixa 1 A2 Caixa 2 A3 Caixa 3 B lâmpada defeituosa Assim PA1 PA2 PA3 13 PBA1 310 PBA2 18 PBA3 46 Resolução Assim PB PA1 PBA1 PA2 PBA2 PA3 PBA3 PB 13 310 13 18 13 46 PB 010 00417 02222 03639 Pelo teorema de Bayes temos 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐵 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 010 03639 02748 Teste de Câncer Suponha que existisse um teste para câncer com a propriedade de que 95 das pessoas com câncer e 5 das pessoas sem câncer reagem positivamente Admita que 2 dos pacientes de um hospital tem câncer Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso que reage positivamente a esse teste realmente tenha câncer Teste de Câncer B pessoa ter reagido positivamente ao teste A1 pessoa tem câncer A2 pessoa não tem câncer Assim PA1 002 PA2 098 PBA1 095 PBA2 005 Teste de Câncer Assim PB PA1 PBA1 PA2 PBA2 PB 002095 098005 PB 0019 0049 0068 Pelo teorema de Bayes temos 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐵 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 0019 0068 02794 Solução T N T N Hospital 002 098 095 005 0019 0049 0068 Bayes 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 0019 0068 02794 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐵 𝑃𝐴1 𝑃𝐴2 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐴2 𝑃 Τ 𝐵 𝐴2 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴2 𝑃𝐵 Preferência alimentar Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições salada completa ou um prato a base de carne Considere que 20 dos fregueses do sexo masculino e 65 dos fregueses do sexo feminino prefiram salada e que 25 dos fregueses são mulheres Calcule a probabilidade de uma pessoa que tenha pedido salada ser uma mulher Preferência alimentar B Pessoa pedir salada A1 pessoa do sexo Feminino A2 pessoa do sexo Masculino Assim PA1 025 PA2 075 PBA1 065 PBA2 020 Preferência alimentar Assim PB PA1 PBA1 PA2 PBA2 PB 025065 075020 PB 01625 015 03125 Pelo teorema de Bayes temos 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 01625 03125 052 Solução F M SF SM Restaurante 025 075 065 020 01625 0150 03125 Bayes 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 01625 03125 052 𝑃 Τ 𝐴1 𝐵 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐵 𝑃𝐴1 𝑃𝐴2 𝑃𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃𝐴2 𝑃 Τ 𝐵 𝐴2 𝑃 Τ 𝐵 𝐴1 𝑃 Τ 𝐵 𝐴2 𝑃𝐵