Cálculo II - Equações Diferenciais

CÁLCULO II PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA Reitor Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira Próreitor Prof Me Ney Stival Gestão Educacional Profa Ma Daniela Ferreira Correa PRODUÇÃO DE MATERIAIS Diagramação Alan Michel Bariani Thiago Bruno Peraro Revisão Textual Gabriela de Castro Pereira Letícia Toniete Izeppe Bisconcim Mariana Tait Romancini Produção Audiovisual Heber Acuña Berger Leonardo Mateus Gusmão Lopes Márcio Alexandre Júnior Lara Gestão da Produção Kamila Ayumi Costa Yoshimura Fotos Shutterstock Direitos reservados à UNINGÁ Reprodução Proibida Rodovia PR 317 Av Morangueira n 6114 Prezado a Acadêmico a bemvindo a à UNINGÁ Centro Universitário Ingá Primeiramente deixo uma frase de Sócrates para reflexão a vida sem desafios não vale a pena ser vivida Cada um de nós tem uma grande responsabilidade sobre as escolhas que fazemos e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica e profissional refletindo diretamente em nossa vida pessoal e em nossas relações com a sociedade Hoje em dia essa sociedade é exigente e busca por tecnologia informação e conhecimento advindos de profissionais que possuam novas habilidades para liderança e sobrevivência no mercado de trabalho De fato a tecnologia e a comunicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas diminuindo distâncias rompendo fronteiras e nos proporcionando momentos inesquecíveis Assim a UNINGÁ se dispõe através do Ensino a Distância a proporcionar um ensino de qualidade capaz de formar cidadãos integrantes de uma sociedade justa preparados para o mercado de trabalho como planejadores e líderes atuantes Que esta nova caminhada lhes traga muita experiência conhecimento e sucesso Prof Me Ricardo Benedito de Oliveira REITOR 3 WWWUNINGABR U N I D A D E 01 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 4 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM 5 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM 12 3 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 14 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 17 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO II 4 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Após o estudo do cálculo diferencial e integral para funções reais de uma variável real em que são estudados os conceitos de derivada e integral a sequência natural é o estudo das equações diferenciais ordinárias Esta teoria é bem ampla e está diretamente relacionada com importantes aplicações às Ciências Naturais e Engenharia Nosso objetivo então é apresentar uma breve introdução a esta teoria pois um estudo completo demandaria muito espaço e tempo o que foge ao escopo deste material Para leitor interessado em um aprofundamento nesta teoria existem excelentes referências bibliográficas diante disso indicamos como leitura complementar Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William E Bouce Richard C Diprima 10a Edição Rio de Janeiro LTC 2015 indicação de leitura 5 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM De modo geral uma Equação Diferencial Ordinária EDO é uma equação envolvendo uma função incógnita necessariamente uma função de uma variável e suas derivadas derivadas ordinárias Para a abordagem de tais equações é conveniente considerar uma classificação quanto à ordem e tipos visto que a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada que aparece na equação Por exemplo as equações são EDOs de primeira ordem enquanto que são EDOs de segunda ordem Nesta seção vamos nos restringir às Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem ordem 1 Uma função yφx é uma solução de uma EDO em um intervalo aberto Iab que pode ser a e b se ao substituirmos yφx e suas derivadas na equação obtemos uma identidade válida para todo xЄI Exercício 1 Verifique que a função ye2x é uma solução da EDO y ye2x em I Solução Inicialmente observamos que a função ye2x é derivável em toda a reta e sua derivada é dada por y x2e2x Portanto substituindo na equação temos yy2e2xe2xe2x para todo x Є R o que mostra que ye2x é uma solução da EDO em toda reta real A função ye2x não é a única solução da EDO yye2x Na verdade podemos ver que para cada constante C a função ye2xC ex é uma solução da EDO em toda reta ou seja existem infinitas soluções De fato derivando obtemos y2e2xCex Então substituindo na equação temos yy2e2xCex e2xC ex e2xpara todo x ЄR 6 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Sobre o assunto em estudo como motivação indicamos a vídeo aula httpswwwyoutubecomwatchvXHyX5M6GO6w onde é possível assistir a uma interessante introdução ao tema Continuando com a classificação dividimos as EDOs de primeira ordem em dois grupos distintos as EDOs lineares e as EDOs nãolineares Precisamente uma EDO de primeira ordem é dita linear se puder ser expressa na seguinte forma ypxyqx 1 Existe um método geral para resolver qualquer EDO de primeira ordem linear isto é um resultado surpreendente e muito raro de se encontrar Vejamos como se apresenta o método suponhamos que para isto as funções ppx e qqx sejam funções contínuas em um intervalo aberto I R Então está bem definida a função μxe pxdx denominada por fator integrante Multiplicando ambos os membros da EDO 1 pelo fator integrante μ temos ou ainda Integrando ambos os membros da equação em relação x obtemos onde C é uma constante arbitrária constante de integração Logo a solução geral da EDO 1 no intervalo I é dada pela expressão Aqui entendemos por solução geral a família de soluções a um parâmetro isto é uma solução contendo uma constante arbitrária de modo que para cada escolha da constante C temos uma solução particular da EDO 1 O gráfico de cada solução particular é chamado de curva integral da equação e a solução geral determina uma família de curvas integrais Exercício 2 Resolva a EDO y2y Solução Inicialmente reescrevemos a EDO na forma 1 ou seja y2y 0 É claro que se trata de uma EDO de primeira ordem linear com px2 e qx0 O fator integrante é μx e2dx e2x Multiplicando a EDO pelo fator integrante resulta 7 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Integrando em relação a xtemos para x ЄR Isto é a solução geral da EDO em toda a reta A EDO do exercício 2 é um modelo que afirma que a taxa de variação de y é proporcional a quantidade y sendo a constante de proporcionalidade igual a dois Este é um caso particular de um modelo de crescimento exponencial que consideraremos logo mais a frente Para muitos problemas práticos impõese além da EDO uma condição adicional que determina um valor específico para a constante arbitrária que aparece na solução geral Esta condição adicional consiste em especificar um valor determinado y0 para a solução y em um ponto x0 do intervalo I isto é yx0 y0 chamada de condição inicial A EDO e mais uma condição inicial formam o que chamamos de problema de valor inicial PVI Assim um PVI para uma EDO de primeira ordem linear é um problema do tipo Se p e q são contínuas no intervalo I e x0 I então para cada y0 R existe uma única solução para o PVI Exercício 3 Resolva o PVI Solução A EDO é de primeira ordem e linear O fator integrante é Multiplicando a EDO pelo fator μ temos Integrando resulta Integrando por partes duas vezes obtemos que Substituindo na expressão anterior encontramos a solução geral da EDO Para determinarmos o valor da constante C usamos a condição inicial isto é Portanto a solução do PVI é a função As EDOs de primeira ordem e lineares são importantes para as aplicações especialmente para aquelas grandezas que crescem ou decrescem a uma taxa que é proporcional à quantidade presente em cada instante Estes modelos são ditos modelo de crescimento ou de decrescimento exponencial Em termos precisos uma grandeza y y t que depende do tempo t tem um modelo de crescimento exponencial se a solução da EDO é de primeira ordem e linear 8 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA onde a constante de proporcionalidade k0 é chamada de constante de crescimento exponencial Analogamente afirmamos que uma grandeza tem um modelo de decrescimento exponencial se ela é solução da EDO de primeira ordem e linear e neste caso a constante de proporcionalidade é chamada de constante de decrescimento exponencial Repetindo o mesmo raciocínio aplicado no exercício 2 encontramos que a solução geral de 4 que é dada por É fácil ver que a constante Logo tem um modelo de crescimento exponencial com constante de crescimento e satisfaz se e somente se Analogamente tem um modelo de decrescimento exponencial com constante de decrescimento e satisfaz se e somente se Exercício 4 Em condições ideais podemos considerar que a população de uma cultura de bactérias tem um modelo de crescimento exponencial Sabendo que cada célula da bactéria E Colli dividese em duas a cada 20 minutos se iniciamos uma cultura com uma única célula e for o número de células presentes na cultura após minutos determine a o PVI cuja solução seja a função e uma fórmula para esta solução b o número de células da bactéria presentes na cultura após 2 horas c o tempo necessário para que a cultura atinja 1 milhão de células Solução a Conforme definimos se tem um modelo de crescimento exponencial então a taxa de variação de é proporcional à quantidade Como iniciamos a cultura com uma única célula a condição inicial imposta é Então o PVI tem a solução a partir da função é e Para determinarmos a constante de crescimento usamos a informação de que cada célula da bactéria E Colli dividese em duas a cada 20 minutos Assim devemos ter que Portanto b O número de células da bactéria presentes na cultura após 2 horas 120 minutos é 9 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA c Para encontrar o tempo é necessário para que a cultura atinja 1 milhão de células devemos resolver a equação Então Exercício 5 Lei de resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton expõe que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença das temperaturas entre o objeto e o meio ambiente Durante a investigação de um assassinato a polícia técnica ao chegar ao local do crime coletou as seguintes informações às 1330 a temperatura do corpo estava a e uma hora depois a temperatura caiu para além disso a temperatura na sala onde se encontrava o corpo era constante de Admitindose que a temperatura do corpo no momento do assassinato era a normal de a que horas aconteceu o assassinato Solução Se é a temperatura do corpo medida em graus célsius no instante de tempo medido em minutos e é a temperatura do ambiente que supomos ser constante matematicamente a lei de resfriamento de Newton é modelada pela EDO onde é a constante de resfriamento constante de proporcionalidade Fazendo a mudança de variável temos que e Ou seja a nova variável deve satisfazer ao PVI Então devemos ter e consequentemente Para encontrarmos o valor da constante consideramos que às 1330 estamos em um instante de tempo assim após uma hora estaremos no instante de tempo Pelos dados coletados temos que Portanto ou seja Logo Agora vamos determinar o valor de tal que Para isto Portanto do momento do assassinato até a temperatura do corpo atingir quando era 1330 passaramse 1161 minutos 1 hora e 56 minutos e 6 segundos Portanto o assassinado aconteceu aproximadamente às 113354 10 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Diferentemente das EDOs de primeira ordem lineares as nãolineares não podem ser tratadas por um método geral Entretanto ainda é possível de se desenvolver métodos de soluções para algumas situações tipos muito especiais Uma EDO de primeira ordem é de variáveis separáveis que pode ser expressa na forma onde é uma função somente da variável e é uma função somente da variável y Podemos reescrever a EDO 6 na forma Denotando vemos que a EDO 6 pode ser reescrita na forma dita forma diferencial Observe que na forma diferencial 7 no primeiro membro da EDO só aparece a variável e no segundo membro somente a variável Esta é a razão da nomenclatura variáveis separáveis Exercício 6 Verifique que a EDO dada é uma EDO de primeira ordem de variáveis separáveis escreva a EDO na forma normal 6 e também na forma diferencial 7 Solução a A EDO é de primeira ordem Além disso podemos ver que que é a forma normal com e Na forma diferencial temos a equação Existem também outros tipos de EDO de primeira ordem interessantes para aplicações que possuem método de resolução como por exemplo as EDOs Homogêneas e as EDOs Exatas veja 6 e 7 11 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA b A EDO é de primeira ordem Além disso podemos ver que que é a forma normal com e Na forma diferencial temos a equação c A EDO é de primeira ordem Além disso podemos ver que que é a forma normal com e Na forma diferencial temos a equação A solução geral de uma EDO de primeira ordem de variáveis separáveis pode ser obtida por integração Basta integrar a equação 7 ambos os membros Exercício 7 Resolva as EDOs Solução a Integrando o primeiro membro em relação a e o segundo em relação a obtemos b Inicialmente observamos que a função nula é uma solução da equação Supondo então podemos dividir ambos os membros por Esta última equação define implicitamente como função de Podemos neste caso explicitar Logo considerando uma constante arbitrária podemos expressar todas as soluções numa única fórmula c Novamente vemos de início que a função é uma solução da EDO Para buscar soluções nãoidentificamente nulas supondo temos 12 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Integrando a equação acima temos Denotando por uma constante arbitrária a solução geral pode ser expressa por 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM De modo geral uma EDO de segunda ordem é uma equação do tipo onde é uma função dada Como feito anteriormente aqui também as EDOs de segunda ordem se dividem em dois grupos as equações lineares e as equações nãolineares A EDO 8 é linear e pode ser escrita na forma onde e são funções dadas Em particular quando a função do segundo membro é identicamente nula isto é a EDO é dita homogênea Além disso se as funções e são constantes temos uma EDO de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes ou seja uma equação do tipo As EDOs de segunda ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes aparecem no estudo de vários problemas práticos como no estudo de vibrações mecânicas sistemas massa mola e também no estudo de circuitos elétricos para aplicações consulte e Portanto no que segue nosso objetivo será apresentar um método para resolvêlas A teoria está baseada no tipo das raízes de uma equação algébrica associada chamada equação característica da EDO 10 Concretamente denominase equação característica associada à equação 10 a equação quadrática A depender do valor do seu discriminante existem três possibilidades a equação característica 11 pode ter duas raízes reais distintas e duas raízes reais iguais uma raiz com multiplicidade dois ou ainda duas raízes complexas conjugadas e Para cada uma dessas três possibilidades temos uma respectiva forma para a solução geral da EDO 10 13 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA 1 No primeiro caso a solução geral é 2 No segundo caso a solução geral é 3 No terceiro caso a solução geral é onde e são constantes arbitrárias Exercício 8 Resolva as EDOs Solução a A equação característica associada à EDO é que possui duas raízes reais distintas e Logo a solução geral é dada por b Neste item a equação característica é dada por Resolvendo esta equação encontramos que o discriminante Portanto temos raízes reais iguais ou uma única raiz com multiplicidade dois Assim a solução geral é c Por fim neste item a equação característica associada a EDO é cujo discriminante é Logo temos duas raízes complexas conjugadas e Então a solução geral é Quando impomos duas condições iniciais temos um problema de valores iniciais e neste caso as constantes arbitrárias e são determinadas Exercício 9 Resolva o problema de valores iniciais Solução Pelo item c do exercício anterior já sabemos que a solução geral da EDO é dada por Vamos determinar os valores das constantes e tais que as duas condições iniciais sejam satisfeitas Sabendo que devemos ter que Então Derivando calculando o resultado no ponto e usando que obtemos 14 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Portanto a única solução do problema de valores iniciais é 3 A TRANSFORMADA DE LAPLACE É uma transformada integral bastante útil para resolução de equações diferenciais ordinárias isto porque transforma uma EDO em uma equação algébrica O método consiste basicamente em aplicar a transformada de Laplace na EDO transformandoa em uma equação algébrica em seguida resolvemos a equação algébrica e aplicamos a transformada inversa para obter a solução da EDO Seja uma função seccionalmente contínua para todo tal que existem constantes e tais que Então para todo número real existe a integral imprópria Em outras palavras está bem definida uma função dada por chamada a Transformada de Laplace de Observação Por simplicidade é comum denotar a função original por uma letra minúscula e sua correspondente Transformada de Laplace pela mesma letra maiúscula Ou seja denota a Transformada de Laplace de e denota a Transformada de Laplace de e etc Exercício 10 Determine a Transformada de Laplace da função a função constante b onde é uma constante Solução a Pela definição da Transformada de Laplace temos Como a Transformada de Laplace é dada por uma integral é natural esperarmos que a linearidade do operador integral seja transferida para a Transformada De fato para quaisquer funções e cujas Transformadas de Laplace existam e quaisquer constantes e temos 15 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Usando a linearidade e a definição da Transformada de Laplace é possível obter a Transformada de Laplace de várias funções elementares importantes para as aplicações Na tabela resumimos a Transformada de Laplace de algumas dessas funções Comentamos no início desta seção sobre a utilidade da Transformada de Laplace como uma ferramenta para resolução de EDOs Nesta linha de raciocínio a propriedade que permite transformar equações diferenciais em equações algébricas é que Transformada de Laplace destrói derivadas ou seja a Transformada de Laplace da derivada de uma função resulta em simples multiplicação por da sua transformada Para simplificar os cálculos admita que seja continuamente diferenciável para e exista sua Transformada de Laplace isto é existem constantes e tais que então usando integração por partes temos A linearidade da Transformada de Laplace é essencial para que a técnica funcione mas não é somente isto que basta É ainda necessário propriedades sobre a Transformada de Laplace de derivadas e integrais 16 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Aqui usamos que Logo verificamos que Admitindose suficiente regularidade e existência das Transformadas de Laplace para f e suas derivadas aplicamos sucessivamente o raciocínio acima e concluímos que e de modo geral para a nésima derivada temos Exercício 11 Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valores iniciais Solução Aplicando a Transformada de Laplace na EDO e usando as propriedades 13 e 15 obtemos Denotando LytY e usando as condições iniciais temos a equação algébrica cuja solução é dada por Usando frações parciais encontramos 17 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 1 ENSINO A DISTÂNCIA Então Aplicando a inversa da Transformada de Laplace e usando a tabela encontramos a solução do problema 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste módulo nosso objetivo principal foi apresentar uma introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordens e também algumas noções sobre a Transformada de Laplace Vimos a estreita relação deste estudo com as aplicações à Física e Engenharias O desenvolvimento das ideias seguiu uma abordagem baseada na classificação das equações diferenciais segundo a ordem e tipo sendo este dividido em dois grupos as equações lineares e as equações não lineares As equações de primeira ordem lineares apresentaram um comportamento bastante interessante e graças a isto foi possível estabelecer uma fórmula geral para sua solução Quanto às equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não lineares estudamos as chamadas equações de variáveis separáveis Ao resolvermos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem encontramos uma família de funções a um parâmetro translações por constantes chamada de solução geral Se por outro lado adicionalmente fixamos uma condição inicial então uma e somente uma função da família que representa a solução geral será a solução do problema de valor inicial formado pela equação diferencial mais a condição inicial O método para resolução das equações de segunda ordem lineares com coeficientes constantes baseouse no tipo de raízes de uma equação algébrica do segundo grau associada à equação diferencial chamada equação característica O método é bem simples e as aplicações envolvem vibrações mecânicas sistema massa mola e também o estudo de circuitos elétricos dentre outras Finalizamos o módulo com a Transformada de Laplace que permitiu transformar as equações diferencias ordinárias em equações algébricas Resolvida a equação algébrica por meio de um processo inverso da Transformada de Laplace chegamos à solução da equação diferencial Esta técnica é especialmente útil para tratar equações diferencias com a presença de forças descontínuas 1818 WWWUNINGABR U N I D A D E 02 SUMÁRIO DA UNIDADE 1 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 20 2 LIMITES E CONTINUIDADE 31 3 DERIVADAS PARCIAIS 35 4 DIFERENCIABILIDADE E A REGRA DA CADEIA 40 5 DERIVADAS DIRECIONAIS MÁXIMOS E MÍNIMOS 42 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 48 CÁLCULO DIFERENCIAL PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO II 19 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Na disciplina Cálculo Diferencial e Integral I estudamos dentre outras coisas dois conceitos centrais da matemática extremamente importantes para as aplicações chamados Derivada e Integral Vimos que estas operações são realizadas sobre funções que modelam as relações de dependência entre duas grandezas numéricas escalares o que chamamos de funções reais de uma variável real Resumindo funções reais de uma variável real são os objetos centrais do cálculo diferencial e integral I Por outro lodo é fácil ver que tais funções não são suficientes para descrever todos os fenômenos e de fato muitas grandezas escalares dependem de duas ou mais variáveis Portanto é necessário desenvolver um cálculo para estas funções e este é o objetivo principal desta disciplina Neste módulo introduzimos o conceito de função real de duas ou mais variáveis reais e estudamos limites continuidade e derivadas para estas funções Por simplicidade na apresentação quase sempre apresentamos os conceitos inicialmente para o caso de funções escalares de duas variáveis definidas numa região do plano e depois generalizamos para funções de 3 ou mais variáveis Há ainda uma generalização do Cálculo Diferencial e Integral para funções vetoriais isto é funções do tipo r tft i gt j ht k Consulte por exemplo as referências 1 2 3 4 e 5 20 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA 1 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Já observamos que as grandezas dependem umas das outras e em diversas situações encontramos que o valor de determinada grandeza depende de outras duas ou mais chamadas variáveis independentes livres Vamos inicialmente tratar das funções reais de duas variáveis reais e os outros casos quando a dependência for de três quatro ou mais variáveis a situação é bastante semelhante Por exemplo a área de um retângulo depende dos valores de seu comprimento e sua largura ou seja a área é uma função real de duas variáveis reais dada por Da mesma forma o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base é e a altura é é ou seja o volume do cilindro é função do raio e da altura Neste caso o volume é a variável dependente enquanto que o raio e a altura são variáveis independentes Formalmente temos a definição Definição Uma função real de duas variáveis reais é uma regra uma lei que para cada ponto de uma região do plano que eventualmente pode ser todo ou parte dele associa um único número real Genericamente denotamos uma função real de duas variáveis reais por ou simplesmente por para todo A região é o domínio da função denotado por e como usual quando não se faz menção sobre o domínio da função devemos considerar como domínio a maior região para o qual faz sentido a regra ou fórmula que a define O conjunto de todos os valores assumidos pela função é o conjunto O termo curva de nível é muito usado na agrimensura e indica as curvas do terreno que estão à mesma altura ao se caminhar pela curva de nível a altura não muda 21 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 1 Determine o domínio imagem curvas de níveis mapa de contorno e o gráfico da função Solução É fácil ver que existe para todo ponto isto é Também podemos ver que dado qualquer número real é possível encontrar um par tal que ou seja Agora dado um número real a curva de nível é dada pela equação Portanto as curvas de nível são retas paralelas Vejamos para alguns valores de O esboço do mapa de contorno Figura 1 Esboço do mapa de contorno para as curvas de nível e da direita para a esquerda respectivamente Fonte o autor Os traços do gráfico de isto é a interseção do gráfico de com os planos coordenados também são retas ou seja 22 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Já está fácil concluir que o gráfico de f é um plano vejamos também que z54x3y4x3yz50 é a equação de um plano Na figura fazemos o esboço do gráfico de f Figura 2 Esboço do gráfico da função f Fonte o autor Observação A função do exemplo é um caso particular de uma função afim de duas variáveis isto é uma função do tipo onde ab e c são constantes com a e b não simultaneamente nulos Neste caso o domínio será todo o plano a imagem toda a reta real as curvas de nível e os traços serão retas e o gráfico um plano Exercício 2 Descreva o campo escalar que determina a distância de cada ponto do plano a um ponto fixado Solução Inicialmente consideramos um sistema de coordenadas cartesianas para o plano de sorte que segundo este sistema o ponto fixado tenha coordenadas Então dado qualquer ponto temos que a distância de a é 23 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 3 Ilustração geométrica da distância de a Fonte o autor Então o campo escalar desejado é a função real definida em todo o plano por A imagem de é o intervalo A curva de nível 2 é o conjunto dos pontos que satisfazem à equação isto é o círculo de centro no ponto e raio igual a 2 De modo geral dado a curva de nível ou seja não existem curvas de nível negativo Agora a curva de nível zero é somente o ponto Por outro lado se a curva de nível é o círculo de centro no ponto e raio igual a isto é Quando desenhamos algumas curvas de nível temos o que chamamos de mapa de contorno 24 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 4 Ilustração do mapa de contorno para as curvas de nível Fonte o autor O gráfico da função é uma superfície no espaço neste caso o cone com vértice no ponto Para visualizar o gráfico vejamos alguns de seus traços interseções com certos planos Figura 5 Traços de f Fonte o autor 25 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA O gráfico de f Figura 6 Gráfico de Fonte o autor Em particular quando é a origem ou seja temos que a função toma a forma maios simples Exercício 3 Encontre o domínio da função Solução Desde que a expressão que define a função é uma razão não podemos ter zero no denominador Também observamos que o numerador envolve uma raiz quadrada que só existe para valores não negativos Então o domínio de deve ser a interseção dos dois conjuntos 26 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 7 Esboço do domínio de Fonte o autor Exercício 4 Estude a função Solução Claramente vemos que e Para as curvas de nível temos Figura 8 Mapa de contorno de Fonte o autor 27 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Os traços podem ser obtidos por Figura 9 Traços zx2 e zy2 Fonte o autor Finalmente o gráfico de f é o paraboloide Figura 10 Gráfico de Fonte o autor Exercício 5 Determine o domínio a imagem e esboce um mapa de contorno e o gráfico da função Solução Como os valores de são calculados por meio de uma raiz quadrada devemos ter ou seja o domínio é o disco de centro na origem e raio igual a Também vemos que Portanto para todo ou seja Os Traços do gráfico de nos dão 28 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Também vemos que que é a equação da esfera de centro na origem e raio igual a dois Como o gráfico é a parte superior da esfera hemisfério norte Figura 11 Gráfico de Fonte o autor Agora com pequenas adaptações podemos expor o que são as funções de três variáveis Um problema físico onde devemos ter uma função real de três variáveis reais é o estudo da temperatura em um ponto de uma chapa metálica retangular muito fina Podemos idealizar a chapa como um retângulo no plano e ao aplicarmos uma fonte de calor no lado este deverá viajar sobre a chapa metálica e a temperatura num ponto que varia com o tempo Logo a temperatura campo escalar em um ponto da placa é uma função real de três variáveis reais as coordenadas e do ponto na placa e o tempo Isto é Definição Uma função real de três variáveis reais é uma regra uma lei que para cada ponto de uma região do espaço que eventualmente pode ser todo ou parte dele associa um único número real Genericamente denotamos uma função real de três variáveis reais por 29 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA ou simplesmente por para todo A região é o domínio da função denotado por O conjunto de todos os valores assumidos pela função é o conjunto imagem isto é O gráfico da função é o subconjunto do espaço que não pode ser esboçado como uma figura dado por As curvas de níveis agora serão superfícies de nível dadas por Exercício 6 Determine o domínio imagem e faça um mapa de contorno com algumas superfícies de nível para a função Solução O domínio é o conjunto ou ainda os pontos do espaço que satisfazem à desigualdade portanto a bola fechada de centro na origem e raio igual a 1 a esfera unida com seu interior Figura 12 Domínio de Fonte o autor Para determinar a imagem observamos que a função sendo dada por uma raiz quadrada os valores Além disso 30 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA então a imagem é A superfície de nível para é dada pela equação ou seja esferas centradas na origem e raio Para o nível temos isto é um único ponto Não existem ou são vazias curvas de níveis ou Figura 13 Superfícies de nível k para 0k1 Fonte o autor Observação De modo similar podemos definir uma função real de variáveis reais como sendo uma regra uma lei que para cada ponto de uma região do espaço euclidiano que eventualmente pode ser todo ou parte dele associa um único número real Leitura Complementar Como leitura complementar para o estudo das funções definidas no espaço euclidiano ℝn sugerimos Análise no Espaço ℝn Elon Lages Lima Coleção Matemática Universitária Impa Rio de Janeiro 2002 31 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA 2 LIMITES E CONTINUIDADE Do ponto de vista teórico os conceitos de limite e continuidade que apresentaremos aqui não têm diferença alguma daqueles estudados no Cálculo I para as funções de uma variável No entanto surgem novidades Isto se deve pelo fato de que quando estamos em uma dimensão na reta dado um ponto só existem duas maneiras de nos aproximarmos de por valores maiores do que à direita de ou por valores menores do que à esquerda de Por outro lado em duas dimensões dado um ponto no plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos deste ponto A grosso modo o conceito de limite de uma função surge quando desejamos investigar o comportamento da função quando nos aproximamos de um determinado ponto Então dada uma função e um ponto de modo que seja possível nos aproximarmos deste ponto por pontos do domínio da função quando os valores se tornam e permanecem arbitrariamente próximos de um número à medida que se torna arbitrariamente próximo de afirmamos que é o limite da função quando tende a e escrevemos Usando as métricas euclidianas do plano e da reta ou seja usando as expressões que calculam a distância entre dois pontos podemos ser mais precisos e reescrever a definição de limite Conforme informamos anteriormente dado um ponto no plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos deste ponto e desta forma temos que se e somente se sempre que ao longo de qualquer caminho Ou seja não importa como nos aproximamos do ponto os respectivos valores se aproximam de 32 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 14 Ilustrações de algumas aproximações do ponto ab e os valores de fxy se aproximando de L respectivamente Fonte o autor O resultado exposto é conveniente para provar a não existência de certos limites Com efeito se encontrarmos dois caminhos distintos C1 e C2 de modo que e com L1L2 então não existe o limite Exercício 7 Mostre que não existem os limites Solução a Vejamos inicialmente o que ocorre quando nos aproximamos do ponto pelo eixo ou seja consideremos e façamos ao longo do caminho Denotando temos que para todo Portanto 33 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Por outro lado denotamos e façamos ao longo do caminho Observamos que para todo Portanto Logo não existe o limite b Denotando temos que de onde concluímos que não existe o limite c Seja Então podemos ver que 34 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA o que mostra que não existe o limite Exercício 8 Verifique que Solução Inicialmente vejamos que é limitada De fato e Portanto o que prova a limitação da função φ Agora notamos que logo O conceito de limite de uma função de três ou mais variáveis é uma extensão natural do que apresentamos para as funções de duas variáveis Uma função real de n variáveis reais 35 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA 3 DERIVADAS PARCIAIS Quando pensamos em generalizar a ideia de derivada de uma função de uma variável para funções de duas ou mais variáveis surge naturalmente o conceito de derivada parcial Tratase da taxa de variação de uma função em um ponto em relação a uma de suas variáveis independentes Quando estudamos a derivada de uma função de uma variável em um determinado ponto a exigimos que a função estivesse definida em uma vizinhança deste ponto a ou seja era necessário que um intervalo aberto do tipo aδaδ Df Isto em outras palavras significa afirmar que a é o ponto interior do domínio da função Agora em dimensões maiores do que um devemos agir da mesma forma e para isto introduzimos os conceitos topológicos a A distância euclidiana entre dois pontos quaisquer e do espaço dimensional é dada por b Dados um ponto e a bola aberta de centro em e raio é o conjunto c Dados um ponto e a bola fechada de centro em e raio é o conjunto d Dados um ponto e a esfera de centro em e raio é o conjunto Figura 15 Ilustrações da bola aberta bola fechada e esfera respectivamente Fonte o autor É claro que Quando a bola aberta é o intervalo aberto a bola fechada é o intervalo fechado e a esfera consiste somente por dois pontos Para a bola aberta é o disco aberto de centro em e o raio a bola fechada é o disco fechado de centro em e raio e a esfera é o círculo de centro em e raio No espaço tridimensional quando a terminologia coincide com a usual isto é é a bola aberta de centro em e raio é a bola fechada de centro em e raio e é a esfera de centro em e raio 36 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Dado um subconjunto um ponto é ponto interior do conjunto quando existe tal que Se todo ponto de um conjunto é ponto interior de então afirmamos que é um conjunto aberto Portanto se é um conjunto aberto e então existe tal que Agora estamos aptos para definir as derivadas parciais Como sempre iniciamos com as funções de duas variáveis Definição Sejam uma função definida em um conjunto aberto e i A derivada parcial de em relação a no ponto é o limite desde que exista o limite ii A derivada parcial de f em relação a y no ponto Pab é o limite Como e é um conjunto aberto existe tal que Observamos que dado a função podemos fixar uma das variável e deixar a outra variável livre Isto define duas funções a saber para e para A função é a restrição da função ao segmento de reta paralelo ao eixo passando pelo ponto enquanto que a função é a restrição da função ao segmento de reta paralelo ao eixo passando pelo ponto É fácil ver que a derivada da função de uma variável no ponto é dada por Analogamente a derivada da função de uma variável no ponto é dada por 37 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Logo diante da discussão feita vemos que na prática para calcular a derivada parcial de com relação a em um ponto derivamos a função de modo usual considerando como constante Para calcular a outra derivada parcial isto é a derivada parcial de com relação a em um ponto derivamos a função usualmente mas agora considerando como constante Observe ainda que geometricamente a derivada parcial é o coeficiente angular da reta tangente à curva no espaço obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto Analogamente a derivada parcial é o coeficiente angular da reta tangente à curva no espaço obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto Figura 16 Interpretação geométrica da derivada parcial Fonte Stewart 2013 Observação Também é comum denotarmos as derivadas parciais como Exercício 9 a Se calcule as derivadas parciais num ponto genérico b Determine e Solução Para calcular a derivada parcial com relação a devemos derivar considerando como constante Então Analogamente 38 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 10 Seja Calcule Solução Inicialmente calculamos as derivadas num ponto genérico xy Portanto Observação Para funções de três ou mais variáveis procedemos de modo semelhante para calcular as derivadas parciais isto é sempre deixamos uma das variáveis livres e fixamos todas as outras Exercício 11 Calcule as derivadas parciais da função Solução Exercício 12 Calcule as derivadas parciais da função fxyz x2 senyz Solução 39 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Podemos ainda considerar derivadas parciais de ordem superior ou seja derivadas de segunda ordem terceira ordem etc Por exemplo se zfxy uma função definida em um aberto Df ℝ2 definimos as derivadas de segunda ordem por As derivadas e são ditas derivadas mistas e quando a função é regular estas derivadas serão iguais Precisamente considerando as derivadas e são contínuas então Outra interpretação geométrica para as derivadas parciais de primeira ordem é a definição de plano tangente ao gráfico de uma função Considere uma superfície gráfico de uma função e um ponto Uma reta é tangente à no ponto se ela é tangente a alguma curva sobre a superfície passando pelo ponto O plano tangente à superfície no ponto é o plano que contém todas as retas tangentes à no ponto Figura 17 Ilustração geométrica do plano tangente Fonte Google Images 2018 Sem muita dificuldade podemos demonstrar que se é uma função definida em um domínio aberto e tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de um ponto então a equação do plano tangente ao gráfico de superfície no ponto onde é dada por Exercício 13 Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto 217 Solução Observamos que o ponto 217 está no gráfico da função pois Além disso calculando as derivadas obtemos e as quais são funções contínuas Portanto vemos que e e consequentemente a equação do plano tangente é 40 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA 4 DIFERENCIABILIDADE E A REGRA DA CADEIA As derivadas parciais são taxas de variação nas direções dos eixos coordenados e não garantem regularidade da função pois pode ter derivadas parciais em um ponto e ser descontínua neste ponto Para asseguramos a regularidade de uma função precisamos que ela seja derivável ou diferenciável Assim definimos Definição Uma função zfxy definida em um domínio aberto D f ℝ2 é diferenciável ou derivável em um ponto PabDf se as duas condições são satisfeitas i Existem as derivadas parciais fx P e fy P A derivada da função no ponto é a aplicação linear definida por O vetor é chamado gradiente da função no ponto Portanto a derivada de uma função diferenciável em um ponto é o vetor gradiente neste ponto isto é Provar a diferenciabilidade de uma função em um ponto não é uma tarefa simples pois não é trivial verificar a condição Entretanto existem resultados mais palatáveis suficientes para que tenhamos a diferenciabilidade por exemplo Se definida em um domínio aberto possui as derivadas parciais em uma vizinhança de um e estas são contínuas no ponto então é diferenciável no ponto Logo uma função que possui derivadas parciais contínuas sempre é diferenciável O conceito de diferenciabilidade para funções três ou mais variáveis é facilmente obtido trocandose o por ou Como sabemos desde o estudo do cálculo diferencial para funções de uma variável a regra da cadeia expressa gera a derivada da composta de duas funções Em toda discussão que segue nesta seção vamos admitir funções suaves ou seja funções que possuem derivadas de primeira ordem funções diferenciáveis e indicar como calculamos derivadas da composta 41 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA De modo geral temos a regra da cadeia Exercício 14 Sejam Considere a função composta e usando a regra da cadeia calcule as derivadas e Solução Pela regra da cadeia temos Então calculamos cada uma das derivadas Substituindo os valores encontrados temos 42 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 15 Se determine Solução Aplicando a regra da cadeia temos 5 DERIVADAS DIRECIONAIS MÁXIMOS E MÍNIMOS Sejam uma função definida e diferenciável em um domínio aberto e um vetor unitário Então a reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor é parametrizada por A restrição da função f sobre a reta é dada pela composta fα e usando a regra da cadeia sua derivada no ponto t 0 é dada por Logo a expressão acima dá o valor da taxa de variação da função f na direção do vetor unitário u no ponto P chamada derivada direcional de f na direção u no ponto P Denotamos a derivada direcional por O raciocínio acima se aplica em qualquer espaço ndimensional isto é dada uma função diferenciável e um vetor unitário a derivada 43 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 16 Dados e calcule a derivada direcional na direção do vetor Solução Inicialmente vejamos que ou seja o vetor não é unitário Logo devemos tomar o vetor vetor unitário na mesma direção de Para isto basta considerar Agora calculamos o gradiente de f Exercício 17 Calcule a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor 3412 Solução Se então Portanto tomamos Sabemos que a derivada direcional é a taxa de variação da função no ponto considerado na direção de um dado vetor Usando que o produto escalar de dois vetores pode ser calculado como produto das normas pelo cosseno do ângulo entre os vetores obtemos 44 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA que tem seu valor máximo igual a quando o que significa Concluímos assim que dentre todas as possíveis direções a direção do vetor gradiente é a que dá o maior valor da derivada direcional Ou ainda a direção em que tem a máxima taxa de variação é a do vetor gradiente Exercício 18 Seja qual a direção em que cresce mais rapidamente no ponto e encontra a derivada direcional de nesta direção Solução Pela discussão acima sabemos que a direção de maior crescimento da função é a direção do vetor gradiente e o respectivo valor da derivada direcional é o módulo do vetor gradiente Logo Portanto a direção em que f cresce mais rapidamente é a direção do vetor unitário e Finalizamos esta seção com um estudo sobre máximos e mínimos locais para funções reais de duas variáveis reais Lembramos que por denotamos a bola aberta de centro em e raio que no caso bidimensional é o disco aberto de centro em e raio Seja uma função definida em um domínio aberto um ponto é um ponto de máximo local da função se existe tal que para todo Analogamente um ponto é um ponto de mínimo local da função se existe tal que para todo Os pontos de máximos e mínimos locais de uma função são chamados pontos de extremos relativos Por outro lado afirmamos que é um ponto de máximo global ou absoluto da função se para todo Também afirmamos que é um ponto de mínimo global ou absoluto da função se para todo Como no caso unidimensional os candidatos no ponto máximo ou mínimo local de uma função diferenciável são os chamados pontos críticos que por definição são os pontos onde as derivadas parciais se anulam Assim de modo análogo ao teste da derivada segunda para máximos e mínimos locais de função de uma variável temos o seguinte resultado 45 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Teorema Seja uma função definida em um domínio aberto de modo que suas derivadas parciais de segunda ordem sejam contínuas em uma vizinhança de um ponto crítico Seja o número real dado por Exercício 19 Estude os extremos relativos da função Solução Inicialmente encontramos os pontos críticos ou seja os pontos onde as derivadas parciais se anulam Calculando as derivadas parciais temos Assim devemos resolver o sistema Da primeira equação encontramos que Pela segunda equação temos que Portanto as soluções do sistema são os pontos e Agora devemos testar cada um dos pontos críticos Calculamos as derivadas de segunda ordem Logo o ponto é o ponto de mínimo local e o respectivo valor mínimo local é 46 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA b Para o ponto crítico Logo o ponto não é ponto de máxima local nem de ponto de mínimo local Em muitas situações aplicadas a problemas práticos desejamos estudar os extremos de uma função quando suas variáveis independentes estão sujeitas a uma restrição Por exemplo dentre todos os retângulos que tem perímetro constante igual a quais as dimensões do que tem maior área Neste caso se denotarmos por e as medidas do comprimento e da largura do retângulo o problema consiste em maximizar a função área do retângulo quando e satisfaz a equação Para as funções de duas variáveis matematicamente o problema se apresenta da seguinte forma dada uma função determine seus valores máximo e mínimo quando as variáveis e satisfazem a uma restrição descrita por uma equação Isto é Problemas deste tipo podem ser resolvidos de diferentes maneiras Em particular existe método bastante interessantes que decorrem de um clássico teorema chamado teorema dos multiplicadores de Lagrange por isto denominado método dos multiplicadores de Lagrange Supondo que as funções e sejam regulares continuamente diferenciáveis que os valores extremos existam e que sobre a curva então os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição podem ser determinados pelos seguintes passos 1o Passo Determine todos os valores e solução do sistema 2o Passo Calcule em todos os pontos obtidos no passo anterior O maior desses valores é o valor máximo de sujeito à restrição enquanto que o menor dos valores é o valor mínimo de sujeito à restrição 47 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 20 Dentre todos os retângulos que tem perímetro constante igual a quais as dimensões do que tem maior área Solução A função é e a restrição é Podemos observar que sujeito à restrição não existe valor mínimo de mas existe um valor máximo Calculando as derivadas obtemos Logo pelo método dos multiplicadores o ponto de máximo que sabemos que existe é obtido e resolvendo o sistema Das duas primeiras equações concluímos que Substituindo isto na terceira equação temos que Portanto e concluímos que o retângulo de maior área tem perímetro constante igual a é o quadrado de lado Multiplicadores de Lagrange httptvculturacombrvideos33565calculoiiaula11multiplicadoresde lagrangehtml 48 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 2 ENSINO A DISTÂNCIA 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste módulo vimos que o cálculo diferencial para as funções reais de uma variável se estende de modo natural para as funções de duas ou mais variáveis A novidade essencial que surge nesta extensão é devido ao aumento da dimensão nos domínios das funções Este aumento da dimensão proporciona uma infinidade de maneiras caminhos distintas para se aproximar de um ponto dado enquanto que no caso unidimensional na reta real só tínhamos as aproximações laterais pela esquerda e pela direita do ponto A noção de taxa de variação implicou nos conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais extremamente úteis para o estudo do comportamento da função nas vizinhanças de um ponto dado no seu domínio Neste contexto um resultado crucial foi observar que o vetor gradiente da função indica a direção de crescimento máximo e o módulo deste vetor é o valor da taxa máxima de variação Por meio do conceito de diferenciabilidade foi possível aproximar uma função dada nas vizinhanças de um ponto dado no domínio pelo plano tangente e com isto obter uma teoria de linearização Fechamos o estudo com resultados sobre otimização e o método dos multiplicadores de Lagrange 49 49 WWWUNINGABR U N I D A D E 03 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 50 1 A INTEGRAL DUPLA 51 2 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES MUDANÇA DE VARIÁVEL 60 3 A INTEGRAL TRIPLA 63 4 A INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 67 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 72 INTEGRAIS MÚLTIPLAS PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO II 50 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Como sabemos o cálculo integral para funções de uma variável teve sua origem com o problema de se calcular áreas de regiões planas não regulares Indo mais além descobrimos sua utilidade em diversos outros problemas como por exemplo no cálculo de volumes de sólidos de revolução comprimento de arcos atração gravitacional distância percorrida por um móvel a partir de sua velocidade cálculo da média de uma distribuição contínua de dados etc Neste módulo faremos o estudo da integral definida para funções de duas ou mais variáveis Inicialmente como já fizemos no módulo II introduzimos o conceito para funções de duas variáveis dando origem à integral dupla Depois em três variáveis independentes teremos a integral tripla Também veremos importantes mudanças de coordenadas 51 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA 1 A INTEGRAL DUPLA A título de motivação consideremos uma função não negativa definida em um domínio limitado Então temos que para todo e está contido num retângulo O gráfico da função é uma superfície em e o problema que se apresenta é como definir ou calcular o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície gráfico de e acima do domínio Figura 1 Volume do sólido formado pela região abaixo da superfície gráfico de e acima do domínio Fonte Google Images 2018 A solução do problema proposto é obtida da seguinte forma note que então dividimos o retângulo que contém o domínio em subretângulos obtidos pelo produto cartesiano de uma partição do intervalo com uma partição do intervalo Nestes termos afirmamos que é uma partição do retângulo e a norma desta partição é o número positivo onde é a medida da diagonal do subretângulos 52 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 2 Partição do retângulo Fonte Google Images 2018 Em cada um dos subretângulos escolhemos aleatoriamente um ponto e representamos por a área do retângulo Estendemos a função a todo retângulo pondo para todos os pontos de então sempre que Assim é o volume do paralelepípedo de base e altura que se anula quando o ponto Portanto uma aproximação para o volume do sólido é a soma e esta aproximação tornase cada vez melhor à medida em que o número de sub retângulos aumenta equivalentemente Logo é razoável definirmos o volume do sólido como sendo o limite das somas quando ou seja A solução do problema motiva a definição Definição Dada uma função definida em um domínio limitado se as somas ficam arbitrariamente próximas de um número real L à medida em que independentemente da escolhas dos pontos afirmamos que é integrável sobre e sua integral dupla sobre é o número Escrevemos 53 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Observação 1 As somas são chamadas somas de Riemann da função associadas à partição Observação 2 Em particular quando a função constante é igual a um no domínio limitado isto é para todo é integrável sobre afirmamos que é mensurável ou tem área e o valor da sua área é a integral dupla A seguir enumeramos uma série de propriedades da integral dupla as quais podem ser demonstradas a partir da definição supracitada No que segue sempre estamos considerando como uma função definida em um domínio mensurável 1 Se é integrável em então é limitada em 2 Se e são funções integráveis em e é uma constante então e são funções integráveis em e vale as igualdades 3 Se e são funções integráveis em e então 4 Se é contínua em um retângulo então é integrável sobre qualquer subconjunto mensurável 54 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA 5 Sejam e subconjuntos limitados e mensuráveis tais que e a área Se é integrável em então é integrável em e também em e a seguinte igualdade é satisfeita O cálculo da integral dupla via limite das somas de Riemann é uma tarefa bastante complicada e tecnicamente inviável Durante muito tempo esta foi a única alternativa quando se desejava calcular uma integral dupla até que em 1907 um resultado devido ao matemático italiano Guido Fubini facilitou este cálculo encontrando assim um caminho alternativo por meio de integrais iteradas Teorema de Fubini Seja uma função integrável em um retângulo Se para cada existe a integral então existe também a integral e vale a igualdade Analogamente se para cada existe a integral então existe também a integral e vale a igualdade Exercício 1 Calcule a integral dupla da função no retângulo Solução Usando o teorema de Fubini temos 55 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Se no cálculo acima fizermos primeiro a integral em relação a y e depois à integral em relação a x encontramos o mesmo resultado para a integral dupla faça os cálculos Exercício 2 Determine o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide abaixo pelo plano coordenado e nas laterais pelos planos e os planos coordenados e Solução Considere o retângulo Então o volume do sólido descrito é dado pela integral dupla O Teorema de Fubini pode ser estendido para se calcular a integral dupla de uma função sobre regiões mais gerais do que retângulos especificamente regiões compreendidas entre gráficos de funções contínuas Precisamente sejam duas funções contínuas com para todo e considere Figura 3 Região compreendida entre gráficos de funções contínuas Fonte o autor 56 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Se uma função integrável em e para todo existe a integral então existe a integral e vale a igualdade Exercício 3 Calcule a integral dupla da função sobre a região limitada pela parábola e a reta Solução Vejamos inicialmente as interseções da reta com a parábola Para isto resolvemos a equação Na figura fazemos um esboço da região Figura 4 Esboço da região D Fonte o autor Portanto a integral é calculada como segue 57 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 4 Usando a integral dupla encontre a área da região plana limitada pelas parábolas e Solução Vejamos as interseções das duas parábolas Para isto resolvemos a equação Portanto os pontos de interseção são 00 e 24 A seguir apresentamos um esboço da região Figura 5 Esboço da região Ω Fonte o autor Então a área de Ω via integral dupla é 58 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA De modo análogo podemos tratar a integral dupla sobre regiões do tipoD em que são duas funções contínuas com Figura 6 Região compreendida entre gráficos de funções contínuas Fonte o autor Neste caso a integral dupla sobre a região D é dada por Exercício 5 Calcule o volume do sólido abaixo do plano e acima do círculo no plano Solução Se é o volume do sólido indicado temos Exercício 6 Considere a integral dupla onde é a região plana limitada pela reta e a parábola Indique as integrais iteradas para as duas ordens de integração e calcule o valor da integral dupla usando a ordem de integração mais fácil 59 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Solução Para que tenhamos um esboço da região vamos determinar os pontos de interseção da reta com a parábola Assim resolvemos a equação e os pontos de interseção são 11 e 42 Na figura temos um esboço da região D Figura 7 Esboço da região D Fonte o autor As integrais iteradas são dadas por ou É claro que a segunda opção é mais fácil de ser resolvida Então 60 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA 2 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES MUDANÇA DE VARIÁVEL No cálculo I umas das principais técnicas de integração para o cálculo de integrais de funções de uma variável é a integração por substituição que nada mais é do que uma fórmula de mudança de variável isto é onde é uma mudança de variável que transforma o intervalo no intervalo Para integrais duplas integrais de funções de duas variáveis existe uma fórmula análoga dada por onde é uma mudança de variável que transforma a região na região isto é e é o jacobiano de no ponto definido por Uma mudança de variável muito útil é a mudança para coordenadas polares definida por Cujo jacobiano é Então aplicando a fórmula acima temos 61 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 7 Calcule a integral dupla onde é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo Solução Consideramos a mudança de coordenadas que transforma o retângulo polar no quarto do disco situado no primeiro quadrante isto é Então fazendo a mudança na integral temos Exercício 8 Calcule o volume do sólido compreendido entre os dois cilindros centrados na origem de raios iguais a 1 e 2 respectivamente no primeiro octante limitado acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano Solução O volume do sólido descrito no exercício é dado pela integral da função sobre a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos e os eixos coordenados Para maiores informações sobre coordenadas polares consulte STEWART J Cálculo Vol 2 7a Ed São Paulo Editora Cengage Learning 2013 62 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 8 Esboço da região D Fonte o autor Exercício 9 Seja a metade do círculo de centro no ponto raio igual a 1 situada no primeiro quadrante isto é Calcule a integral dupla Solução Usando coordenadas polares podemos descrever a região como segue A equação do círculo em coordenadas polares é em que para encontramos Logo a integral fica 63 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA 3 A INTEGRAL TRIPLA De modo análogo ao estudo da integral dupla quando queremos definir a integral de uma função de três variáveis sobre uma região do espaço euclidiano chegamos ao conceito de integral tripla Suponhamos que é uma função definida em um domínio limitado contido em um paralelepípedo Então dividimos o paralelepípedo que contém o domínio em subparalelepípedos obtidos pelo produto cartesiano de uma partição do intervalo com uma partição do intervalo e uma partição do intervalo Nestes termos afirmamos que é uma partição do paralelepípedo e a norma desta partição é o número positivo em que é a medida da diagonal do paralelepípedo Em cada um dos subparalelepípedos escolhemos aleatoriamente um ponto e representamos por o volume do paralelepípedo Estendemos a função a todo paralelepípedo pondo para todos os pontos de então sempre que Desta forma definimos a soma de Riemann da função associada à partição por Definição Dada uma função definida em um domínio limitado se as somas de Riemann ficam arbitrariamente próximas de um número real L à medida em que independentemente da escolhas dos pontos dizemos que é integrável sobre e sua integral tripla sobre é o número Escrevemos 64 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Observação Em particular quando a função constante é igual a um no domínio limitado isto é para todo é integrável sobre afirmamos que é mensurável ou tem volume e o valor do seu volume é a integral tripla Merece destaque o teorema de Fubini que na versão tridimensional indica que o cálculo de uma integral tripla pode ser feito por meio de integrais iteradas neste caso três integrais simples No caso do domínio da função ser um paralelepípedo Dabcduv então Na expressão acima integramos primeiro em relação a x depois em relação a y e em relação a z Existem ainda outras cinco possíveis ordens de integração todas dando o mesmo resultado Exercício 10 Calcule a integral tripla onde é o paralelepípedo dado por Solução Observando as adaptações naturais devido à passagem de duas dimensões para três dimensões todas as propriedades válidas para a integral dupla continuam válidas para a integral tripla Isto é cada uma das propriedades para a integral dupla tem sua versão correspondente análoga para a integral tripla 65 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Podemos considerar regiões mais gerais do que paralepípedos Suponha que a região de integração seja limitada pelo gráfico de duas funções contínuas e definidas em um domínio limitado isto é Então a integral tripla sobre é dada por Exercício 11 Faça um esboço do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano e calcule a integral tripla Solução Os traços do plano são dados por a z0xy1 uma reta no plano xy b x0yz1 uma reta no plano yz c y0xz1 uma reta no plano xz Traçando as retas obtemos o esboço do sólido D Figura 9 Esboço do sólido D Fonte o autor 66 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Podemos ver que o sólido é a região limitada pelos gráficos das funções e definidas no triângulo limitado pelos eixos coordenados e e a reta Portanto a integral tripla fica Exercício 12 Usando a integral tripla determine o volume do sólido limitado pela superfície yx2 e os planos yz4 e z0 Solução O volume do sólido é dado pela integral tripla De modo análogo podemos considerar que a região de integração seja limitada pelo gráfico de duas funções contínuas e definidas em um domínio limitado isto é então a integral tripla sobre é dada por 67 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Também há o caso em que a região de integração é limitada pelo gráfico de duas funções contínuas e definidas em um domínio limitado isto é e nesse caso a integral tripla sobre é dada por 4 A INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS A mudança de variável na integral tripla analogamente ao caso tratado na integral dupla está estabelecida pela fórmula onde é uma mudança de variável que transforma a região na região isto é e é o jacobiano de no ponto definido por A mudança de variável para coordenadas cilíndricas é a transformação cujo jacobiano é 68 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Portanto a fórmula de mudança de variável da integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por Exercício 13 Aplique a fórmula de mudança de variáveis em coordenadas cilíndricas e calcule a integral Solução Analisando os limites de integração vemos que a região de integração é o sólido limitado pelo paraboloide acima do plano Note que a projeção desse paraboloide sobre o plano é o disco Fazendo a mudança de coordenadas para coordenadas cilíndricas temos que a equação do paraboloide fica enquanto que o disco sobre o plano fica e Logo efetuando a mudança temos 69 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 14 Seja o sólido limitado lateralmente pelo cilindro acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano Suponha que a densidade de massa em qualquer ponto de seja proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro Calcule a massa do sólido Solução Sabemos que a massa é a integral da função densidade de massa sobre o domínio solido Se é a função densidade de massa desde que seu valor em qualquer ponto de é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro devemos ter que em que é uma constante de proporcionalidade Portanto a massa do sólido é Fazendo a mudança de coordenadas de retangulares para cilíndricas a equação do paraboloide fica a equação do cilindro fica e o sólido em coordenadas cilíndricas é descrito por Então Para determinadas regiões os cálculos ficam mais fáceis quando usamos coordenadas esféricas especialmente as regiões ditas típicas esféricas partes de uma esfera cujas equações se tornam extremamente simples quando descritas nestas coordenadas Nestes casos é conveniente mudarmos de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas A transformação é definida por 70 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 11 Coordenadas Esféricas Fonte o autor cujo jacobiano é Portanto a fórmula de mudança de variável da integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por Exercício 15 Calcule o volume de uma esfera de raio Solução Sem perda de generalidade consideramos a esfera de centro na origem cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por Usando ainda a simetria da região podemos calcular o volume da esfera no primeiro octante e multiplicar o resultado por oito Portanto em coordenadas cartesianas temos que 71 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA Para o cálculo da integral acima fazemos a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas Exercício 16 Calcule a integral tripla onde é o sólido compreendido entre as esferas e Solução O sólido descrito em coordenadas esféricas fica Então 72 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 3 ENSINO A DISTÂNCIA 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS A motivação central para o conceito da integral dupla foi o cálculo do volume de sólidos irregulares situação análoga ao caso unidimensional em que a motivação para a integral simples foi o cálculo da área de regiões planas irregulares Neste contexto a integral dupla se apresenta como limite das somas de Riemann quando a norma da partição tende a zero O cálculo da integral dupla por meio do limite das somas de Riemann tecnicamente apresenta sérias dificuldades e o Teorema de Fubinni sobre integrais iteradas juntamente com o Teorema Fundamental do Cálculo facilitam este cálculo A teoria de integração dupla se amplia muito naturalmente para as funções de três variáveis definidas em regiões do espaço tridimensional dando origem ao conceito da integral tripla Quando consideramos regiões planas circulares como círculos setores circulares arruelas ou partes de arruelas é extremamente conveniente considerar as coordenadas polares Por isso obtivemos um resultado sobre mudança de variável na integral e descrevemos a fórmula da integral dupla em coordenadas polares No caso da integral tripla quando integramos sobre regiões limitadas por cilindros ou partes de cilindros e esferas as coordenadas convenientes são as coordenadas cilíndricas ou as coordenadas esféricas O resultado principal nesta direção são as fórmulas da integral tripla em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas Ao final deste módulo o vídeo apresentado no link httptvculturacombr videos33445calculoiiaula19mudancadevariaveisemintegraismultiplas html complementa os conteúdos abordados 73 73 WWWUNINGABR U N I D A D E 04 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 74 1 CURVAS 75 2 A INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL 81 3 TEOREMA DE GREEN 88 4 SUPERFÍCIES 91 5 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 96 6 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E TEOREMA DE STOKES 100 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS 105 CÁCULO VETORIAL E OS TEOREMAS DE DIVERGÊNCIA PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO II 74 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Nos dois módulos anteriores nosso tema de estudo foi o cálculo diferencial e integral para funções reais de duas ou mais variáveis chamadas de campos escalares Neste módulo estudamos o cálculo para campos vetoriais que são funções vetoriais que a cada ponto do plano ou do espaço associam um vetor Devemos definir as integrais de linha e as integrais de superfície e apresentar os clássicos teoremas de divergência conhecidos na literatura como Teorema de Green Teorema de Gauss e Teorema de Stokes 75 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA 1 CURVAS Um caminho no plano ou uma curva plana é uma função vetorial de uma variável real definida em um intervalo isto é uma função do tipo Afirmamos que a curva é lisa quando a função é continuamente diferenciável é derivável com a derivada contínua e O conjunto imagem é chamado o traço da curva e este de modo natural possui um sentido uma orientação que é aquele quando este conjunto é percorrido no sentido crescente dos valores de O ponto é dito o ponto inicial da curva e o ponto é chamado ponto final da curva Quando os pontos inicial e final coincidem isto é quando afirmamos que a curva é fechada Um ponto no traço de uma curva é dito um ponto múltiplo de quanto existem com e tais que e a curva é denominada curva simples quando seu traço não possui ponto múltiplo O comprimento da curva é o número real Figura 1 Curvas Fonte o autor 76 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Um resultado muito interessante conhecido da literatura como Teorema de Jordan garante que toda curva contínua fechada e simples divide o plano em duas regiões abertas e disjuntas sendo uma limitada e outra nãolimitada Enfatizamos que por definição uma curva é uma função e seu traço é um subconjunto do plano portanto objetos de naturezas diferentes entretanto quando não há possibilidade de confusão Por um abuso de linguagem é comum não fazer distinção entre a curva e o seu traço mencionando o traço como sendo uma curva e afirmar que é uma parametrização de Observação De modo análogo um caminho no espaço ou uma curva no espaço euclidiano é uma função vetorial No mais tudo que foi dito para uma curva plana estendese de forma análoga para as curvas no espaço ou até mesmo em qualquer espaço euclidiano Exemplo 1 A curva plana é uma curva plana lisa pois O traço de é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto é uma curva lisa não fechada e simples Figura 2 Traço de Fonte o autor 77 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exemplo 2 A curva definida por com que é uma curva lisa no espaço e seu traço é a reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor Exemplo 3 A curva é uma curva plana lisa nãofechada e simples Seu traço é o arco de parábola com Figura 3 Traço de Fonte o autor Exemplo 4 O gráfico de uma função continuamente diferenciável em um intervalo é uma curva lisa em que pode ser naturalmente parametrizada pela aplicação dada por Neste caso temos que e o comprimento de fica Exemplo 5 A curva é uma curva plana lisa fechada e simples O traço de é o círculo de centro na origem e raio igual a 1 orientado no sentido antihorário 78 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 4 Traço de γ Fonte o autor Observação As curvas e tem o mesmo traço que a curva do exemplo 4 Com isto chamamos a atenção para o fato de que curvas diferentes podem ter o mesmo traço Observe ainda que as curvas e tem comprimento enquanto que a curva tem comprimento Também notamos que as curvas e tem o mesmo ponto inicial e a curva tem o ponto inicial As curvas e são percorridas no sentido antihorário enquanto que a curva é percorrida no sentido horário As curvas e são simples e a curva não é simples Um fato interessante é que dada qualquer curva lisa é sempre possível encontrar uma outra curva lisa que possui o mesmo traço e mesma orientação que a curva e satisfaz Afirmamos que é a parametrização pelo comprimento de arco É possível ver que onde é a função comprimento de arco 79 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 5 Ilustração da parametrização pelo comprimento de arco Fonte o autor Uma vez dado um traço de uma curva lisa podemos obter diferentes parametrizações funções continuamente diferenciáveis cujo traço é No conjunto de todas as possíveis parametrizações de afirmamos que duas parametrizações e são equivalentes e escrevemos quando existe uma função continuamente diferenciável tal que 80 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 6 Parametrizações equivalentes Fonte o autor É possível mostrar que parametrizações equivalentes de determinam o mesmo comprimento ou seja se Por exemplo são parametrizações equivalentes do quarto de círculo de centro na origem e raio igual a 1 no primeiro quadrante Por outro lado conforme comentamos no exemplo 5 e a observação logo após podemos concluir que são parametrizações não equivalentes do círculo unitário de centro na origem Um estudo completo e clássico sobre curvas pode ser encontrado no capítulo 1 Fonte CARMO M P Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies Sociedade Brasileira de Matemática Rio de Janeiro 2008 81 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA 2 A INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL Agora podemos definir a integral de um campo vetorial sobre uma curva Definição Sejam com um campo vetorial contínuo definido em uma região de e uma curva lisa em parametrizada por uma função continuamente diferenciável definida por Assim o produto escalar uma função real contínua definida para todo e portanto integrável Por definição a integral é denominada a integral de linha do campo ao longo da curva usualmente denotada por É claro que esta definição pode ser facilmente generalizada para qualquer dimensão Se é um campo contínuo em uma região e é uma curva suave em parametrizada por uma função continuamente diferenciável definida por então a integral de linha do campo ao longo da curva é Em particular se com e uma curva lisa em parametrizada por definida por então 82 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Existe uma importante interpretação física para a integral de linha Se o campo vetorial representa um campo de força na região então o trabalho realizado devido à ação deste campo para deslocar uma partícula ao longo de uma curva suave em é a integral de linha do campo sobre a curva ou seja onde é uma parametrização continuamente diferenciável da curva Exercício 1 Seja um campo de vetores em todo e o quarto do círculo situado no primeiro quadrante orientado no sentido antihorário Calcule a integral de linha Solução Uma parametrização para o quarto do círculo no primeiro quadrante é Então Portanto É claro que a integral de linha de um campo F ao longo de uma curva C depende da parametrização γ escolhida entretanto seu valor não se altera quando consideramos parametrizações equivalentes 83 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 2 Dado o campo vetorial e a curva para calcule a integral de linha do campo ao longo da curva Solução Exercício 3 Calcule onde é a curva parametrizada por para Solução Exercício 4 Considere o campo vetorial no plano dado por Calcule a integral do campo ao longo da reta a partir da origem para o ponto Solução Uma parametrização para a reta é para Além disso Portanto 84 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA É claro que nosso estudo pode ser facilmente estendido para curvas lisas por partes ou seja curvas que são a união de um número finito de curvas lisas Se onde cada um dos é uma curva lisa de modo que o ponto final de é o ponto inicial de então Exercício 5 Calcule a integral de linha onde é a curva lisa por partes formada pela parábola entre os pontos e e o segmento de reta de para conforme a figura Figura 7 Ilustração da curva Fonte o autor Solução A curva é a reunião das duas curvas e cujas parametrizações são dadas por Assim temos 85 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA A integral de linha de um campo vetorial é a generalização do conceito de integral para funções vetoriais então é razoável imaginar que haja algum resultado análogo ao teorema fundamental do cálculo De fato existe um resultado nesta direção que afirma que se um campo contínuo admite uma função potencial então a integral de linha do campo ao longo de uma curva tem uma expressão bem simples em termos da função potencial Em termos precisos afirmamos que uma função escalar diferenciável é um potencial de campo vetorial quando satisfaz em É claro que se é um potencial de então para toda constante também é um potencial de Quando é um campo vetorial contínuo em um domínio que possui uma função potencial afirmamos que é um campo gradiente em É possível provar que se é um domínio aberto e conexo é um campo gradiente e são dois pontos em e uma curva lisa por partes ligando o ponto ao ponto então onde é um potencial de Observamos que nas condições acima a integral de linha do campo ao longo da curva é independente do caminho que liga o ponto ao ponto O valor da integral depende somente dos pontos final e inicial Reciprocamente também é possível mostrar que se é um campo contínuo em um domínio aberto e conexo tal que a integral de linha é independente do caminho então existe um potencial de em ou seja é um campo gradiente em Resumindo a integral de linha é independente do caminho em se e somente se é um campo gradiente Observação Em Física quando a integral de linha um campo vetorial é independente do caminho em se diz que o campo é conservativo Logo um campo contínuo é conservativo se e somente se é um campo gradiente Como já foi exposto anteriormente tudo que estabelecemos para campos vetoriais em duas dimensões FDℝ2ℝ2 continuas é válido para campos vetoriais em ℝ3 e até mesmo em ℝn para todo nℕ 86 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 6 Um campo de força muito frequente em Física é o campo gravitacional que determina a ação força gravitacional do planeta Terra sobre um corpo de massa dado por definido por para todo onde é uma constante positiva é a massa do corpo é a massa da Terra e é a aceleração da gravidade Em termos das funções componentes a Verifique para é um potencial de b Calcule o trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover um objeto de massa do ponto para o ponto Solução a A função está definida por Calculando a derivada parcial em relação a x temos De modo análogo obtemos as derivadas parciais com relação a y e a z Assim b O trabalho realizado pelo campo gravitacional para mover um objeto de massa do ponto para o ponto é dado pela integral de linha onde é uma curva lisa por partes de para Desde que é um campo gradiente a integral de linha é independente do caminho Logo É fácil ver que se é um campo gradiente em um domínio e em que é uma curva lisa por partes e fechada em então a integral de linha Reciprocamente pode se provar que se a integral de linha de um campo contínuo em um domínio ao longo de qualquer curva lisa por partes e fechada em é igual a zero então a integral é independente do caminho Resumimos os resultados no teorema que veremos a seguir 87 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Teorema Sejam um subconjunto aberto e conexo e um campo vetorial contínuo em Então as seguintes afirmações são equivalentes i é um campo gradiente ii A integral de linha do campo ao longo de qualquer curva lisa por partes e fechada em é igual a zero iii Sempre que e são dois pontos em a integral de linha do campo de para é independente do caminho é um campo conservativo Observação No caso bidimensional isto é para campos de vetores no plano há ainda uma equivalência adicional para campos conservativos Ou seja Teorema Seja um conjunto aberto limitado e simplesmente conexo sem buracos e definido por um campo continuamente diferenciável de classe em Assim é um campo conservativo se e somente se Exercício 7 a Verifique se o campo é um campo conservativo e em caso afirmativo encontre um potencial de b Calcule a integral de linha onde é uma curva lisa por partes saindo do ponto até o ponto Solução a Denotamos as funções coordenadas do campo por Calculando as derivadas temos Então desde que resulte que o campo é conservativo em todo o plano Para encontrar uma função potencial devemos ter 88 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Integrando a primeira equação em relação à temos onde é uma função arbitrária Derivando com relação a e usando a segunda equação do sistema acima encontramos Logo é um potencial do campo b No item anterior vimos que é um campo conservativo então a integral de linha do campo é independente do caminho ou seja só depende dos valores do potencial nos pontos inicial e final da curva Portanto 3 TEOREMA DE GREEN O Teorema de Green é o resultado correspondente ao teorema fundamental do cálculo para integrais duplas A grosso modo ele relaciona o cálculo da integral de linha de um campo bidimensional ao longo de uma curva fechada simples com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva Seja um domínio cuja fronteira é um número finito de curva lisa por partes fechadas e simples orientadas no sentido positivo que deixa a região sempre à esquerda Se é um campo de classe em então A primeira utilidade do teorema de Green é simplificar o cálculo de determinadas integrais de linha cujo valor pode ser obtido mais facilmente pelo cálculo da integral dupla Por outro lado às vezes o melhor é o contrário ou seja em determinadas situações temos que o cálculo da integral dupla é mais complicado do que o cálculo da integral de linha 89 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 8 Calcule a integral de linha onde é o campo vetorial dado por e é o triângulo de vértices e Solução Observamos que ou seja e Aplicando o teorema de Green temos que Claro que poderíamos ter calculado a integral de linha diretamente sem usar o teorema de Green Entretanto o cálculo seria mais longo Como a curva é um triângulo deveríamos parametrizar cada um dos lados e fazer as três integrais e depois somalas Faça os cálculos e comprove o mesmo resultado Exercício 9 Se e é o disco de centro na origem 00 e raio igual a 1 orientado no sentido antihorário calcule a integral de linha Solução Aplicando o teorema de Green e depois fazendo a mudança para coordenadas polares temos Outra interessante aplicação do teorema de Green é o cálculo de áreas de regiões planas Sabemos que se é uma região limitada então a área de é dada por 90 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Logo podemos escolher as coordenadas e de um campo vetorial tal que Por exemplo tomando ou ainda Logo aplicando o teorema de Green resultase que Exercício 10 Usando o teorema de Green encontre a área da região plana delimitada pela elipse Solução Pelo teorema de Green temos que Então consideremos que o campo e uma parametrização para a elipse é Assim de onde resulta que 91 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA 4 SUPERFÍCIES Nas seções anteriores o conceito de curva lisa foi essencial para a definição da integral de linha e a formulação do Teorema de Green Agora para apresentação dos Teoremas de Gauss e Stokes é necessário introduzir o conceito de superfície parametrizada Uma superfície parametrizada é uma função definida e continuamente diferenciável em um domínio de Observe que as funções e são funções reais continuamente diferenciáveis em denominadas as funções coordenadas O conjunto imagem da superfície parametrizada que aqui denotamos por é um subconjunto do espaço chamado o traço da superfície parametrizada É comum afirmar que o conjunto está parametrizado por e denotar a superfície por Exercício 11 Descreva uma parametrização para a superfície esférica de raio Solução Usando coordenadas esféricas temos que a função definida por é uma superfície parametrizada cujo traço é a esfera de centro na origem e raio pois Note que fixado um valor as curvas descrevem os paralelos enquanto que fixado um valor as curvas descrevem os semimeridianos 92 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Figura 8 Ilustração da parametrização da esfera Fonte o autor Exercício 12 Estabeleça uma parametrização para o Toro superfície obtido pela rotação entorno do eixo da circunferência de raio centrada no ponto com Solução Nas figuras esboçamos geometricamente a construção do Toro Figura 9 Ilustração da parametrização do Toro Fonte o autor Seja um ponto genérico sobre o Toro Conforme descrito na figura o número é o raio da seção transversal e o ângulo determina a rotação de nesta seção Portanto vemos que Projetando este ponto sobre o plano vemos que a distância desta projeção até a origem é Para encontrarmos a coordenadas e desta projeção devemos multiplicar a projeção respectivamente por e onde Logo a função definida por 93 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA é uma superfície parametrizada cujo traço é o Toro Considere uma superfície parametrizada cujo traço denotamos por e sejam e tais que As retas no plano paralelas aos eixos coordenados passando pelo ponto são parametrizadas por e A restrição de sobre cada uma dessas retas determina duas curvas sobre parametrizadas por e cujos vetores tangentes em são dados pelas derivadas Figura 10 Vetores tangentes Fonte Google Images 2018 Observamos que se os vetores e são linearmente independentes LI então eles determinam um plano A translação deste plano para o ponto é denominado plano tangente à superfície parametrizada no ponto ou às vezes por abuso de linguagem dizemos plano tangente à no ponto Da geometria analítica sabemos que dois vetores e são linearmente independentes LI se e somente se o produto vetorial destes vetores é nãonulo Concluímos assim que uma condição necessária e suficiente para que a superfície parametrizada possua plano tangente no ponto é que Todo ponto nas condições descritas anteriormente é dito um ponto regular de Nas seções anteriores quando tratamos sobre curvas definimos curvas lisas como sendo aquelas curvas que admitem vetor tangente reta tangente em todo ponto estas são diferentes das extremidades 94 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Agora por analogia afirmamos que uma superfície parametrizada é uma superfície lisa ou regular se em todo ponto está definido o plano o tangente ou seja todo ponto é ponto regular de Equivalentemente uma superfície parametrizada é uma superfície lisa ou regular se em todo ponto temse que Dados uma superfície lisa e um ponto o vetor normal unitário à apontando para o exterior no ponto é o vetor Figura 11 Ilustração de uma superfície lisa Fonte Google Images 2018 Exercício 13 Encontre o vetor normal unitário à esfera apontando para o exterior num ponto genérico Solução Denotando genericamente temos 95 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Portanto computando o produto vetorial dos vetores acima encontramos desde que note que o vetor que é um múltiplo do vetor posição tem o mesmo sentido deste Ou seja aponta para o exterior da esfera Também temos que Logo o vetor normal unitário apontando para o exterior é dado por uma superfície lisa cujo traço denotamos por Adicionalmente suponha que é injetiva exceto possivelmente em um número finito de curvas suaves em Então a área da superfície é número real obtido pela integral dupla Exercício 14 Calcule a área da esfera Solução No exercício anterior vimos que Então 96 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 15 Calcule a área da superfície dada pelo gráfico de uma função definida sobre uma região do plano Solução Neste caso a parametrização usual é a parametrização pelo gráfico dada por Assim denotando um ponto genérico temos 5 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Iniciamos considerando a integral de superfície de um campo escalar definido sobre o traço de uma superfície lisa Mais precisamente sejam uma região limitada com área e uma superfície lisa cujo traço denotamos por Dada uma função suficientemente regular definimos a integral de superfície da função sobre a superfície denotada por pela fórmula Observe que o caso particular em que é a função constante igual a 1 a expressão acima é a área da superfície Além disso se representa a densidade superficial de massa então a integral é a massa da superfície 97 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 16 Calcule a integral onde é a superfície parametrizada por cujo traço é o cilindro circular reto de raio e altura 1 excluindo a tampa e a base Solução Fazemos e Um simples cálculo nos dá que Portanto Assim Agora consideraremos a integral de superfície de um campo vetorial definido sobre o traço de uma superfície lisa Mais precisamente sejam uma região limitada com área e uma superfície lisa cujo traço denotamos por Suponhamos ainda que esteja contido em uma região aberta de onde está definido um campo de vetores suficientemente regular Desta forma a projeção do campo vetorial na direção normal normal exterior da superfície é o campo escalar 98 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA onde o ponto indica o produto escalar dos vetores e A integral de superfície do campo escalar sobre a superfície dada por que é comumente chamado de fluxo de através de ou ainda a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície Exercício 17 Calcule a integral do campo de vetores sobre a parte do paraboloide compreendida entre os planos e Solução Uma parametrização natural é a parametrização dada pelo gráfico Seja o disco de centro na origem e raio 1 isto é e consideremos dada por Então é uma superfície lisa cujo traço é o paraboloide entre os planos e Para encontrarmos o campo de vetores normais em calculamos Concluímos que para esta parametrização o vetor normal aponta para o interior do paraboloide Então para que tenhamos o campo de vetores normais unitários exteriores apontando para o exterior do paraboloide devemos multiplicar o vetor encontrado por 1 Portanto Assim a integral desejada é calculada por 99 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Para calcular esta última integral fazemos a mudança para coordenadas polares e obtemos Exercício 18 Encontre o fluxo do campo vetorial através da esfera Solução Conforme cálculos realizados na resolução do exercício 13 temos que a parametrização orientada com vetor normal exterior da esfera é dada por de onde Vejamos também que e portanto Então o fluxo de F através da esfera é 100 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA 6 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E TEOREMA DE STOKES Sejam um subconjunto aberto e uma função vetorial campo de vetores suficientemente regular Definimos i a divergência do campo F como sendo a função escalar ii o rotacional do campo F como sendo a função vetorial Acima tanto o quanto as derivadas parciais são calculadas em um ponto genérico Omitimos este ponto na fórmula acima para simplificar a escrita TEOREMA da Divergência Seja a região interior de uma superfície fechada lisa por partes suave exceto possivelmente por um número finito de curvas suaves para qual podemos associar um campo de vetores normais unitários exteriores apontando para fora da superfície saindo de Suponha que seja um campo de vetores de classe em um conjunto aberto contendo e Então isto é o fluxo do campo através da superfície é a integral tripla da divergência de sobre o sólido 101 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Observação É comum denominar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com orientação para fora por fluxo de saída Portanto em palavras o Teorema da Divergência afirma que O fluxo de saída de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual a integral tripla da divergência na região envolvida pela superfície Exercício 19 Calcule o fluxo do campo vetorial através do cubo unitário Solução Se não usarmos o Teorema da Divergência o fluxo desejado é obtido por onde devem ser a parametrização para cada uma das seis arestas do cubo Por outro lado usando o Teorema da Divergência o cálculo fica bem mais simples ou seja Exercício 20 Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de saída do campo vetorial através da esfera de centro na origem e raio Solução No exercício 18 calculamos o fluxo desejado efetuando diretamente a integral de superfície Agora aplicando o Teorema da Divergência temos onde na última igualdade usamos o valor do volume da bola de raio Para finalizar nosso estudo apresentamos uma generalização do Teorema de Green estudado na seção 4 para o caso de superfícies em ambiente tridimensional Está generalização recebe o nome de Teorema de Stokes Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss httpswwwyoutubecomwatchvSK9EWk9IxIw 102 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Lembramos que o Teorema de Green relaciona o cálculo da integral de linha de um campo vetorial bidimensional ao longo de uma curva fechada simples com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva O Teorema de Stokes relaciona o cálculo da integral de linha de um campo vetorial tridimensional ao longo de uma curva fechada simples bordo de uma superfície com uma integral de superfície sobre Teorema de Stokes Seja uma superfície suave em limitada por uma curva fechada Assuma que a superfície está orientada pela normal exterior e a curva o bordo de então está orientada de modo que a superfície permaneça à esquerda da curva Suponha que é um campo de vetores de classe em um conjunto aberto contendo a superfície e seu bordo Então Figura 12 Ilustração da superfície Fonte Google Images 2018 Observação Quando a superfície é constituída por um número finito de partes suaves e o bordo também é formado por um número finito de curvas suaves então vale um enunciado análogo onde é considerada a soma sobre cada uma dessas partes isto é Observação O Teorema de Stokes fornece uma interpretação física para o rotacional de um campo vetorial Sabemos que a integral de linha que aparece no primeiro membro da fórmula acima estabelecida no Teorema de Stokes é o trabalho realizado pelo campo vetorial em uma partícula que percorre a curva Portanto o Teorema de Stokes afirma que o trabalho realizado por um campo de forças que percorre no sentido positivo uma curva lisa por partes fechada e simples pode ser obtido integrando a componente normal do rotacional em uma superfície orientada delimitada por 103 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA Exercício 21 Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial e a superfície a porção do paraboloide com como na figura Figura 13 Paraboloide com Fonte Google Images 2018 Solução O bordo de é o circulo no plano de centro na origem e raio 2 que pode ser parametrizado por Então Assim Por outro lado vejamos o cálculo da integral de superfície A superfície é o gráfico da função Então conforme fizemos na resolução do exercício 15 uma parametrização natural para é 104 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA O rotacional do campo é dado por Entao Desta forma Que mostra a igualdade 105 WWWUNINGABR CÁLCULO II UNIDADE 4 ENSINO A DISTÂNCIA 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Vimos que o cálculo vetorial estende o cálculo usual em espaços euclidianos para funções definidas sobre curvas e superfícies As integrais de linha e de superfície são as generalizações essenciais Para curvas lisas suaves surgem o conceito da integral de linha de um campo vetorial sobre a curva e um resultado que estende o Teorema Fundamental do Cálculo conhecido na literatura como Teorema de Green Este importante teorema relaciona uma integral de linha sobre uma curva lisa por partes fechada e simples com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva Em algumas situações a aplicação do Teorema de Green simplifica o cálculo de algumas integrais de linha Também aparecem aplicações envolvendo o conceito de trabalho realizado por uma força Por outro lado para superfícies o interesse é o conceito de fluxo e os resultados principais são os Teoremas da Divergência Gauss e o Teorema de Stokes que afirmam respectivamente i O fluxo de saída de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual a integral tripla da divergência na região envolvida pela superfície ii O trabalho realizado por um campo de forças que percorre no sentido positivo uma curva lisa por partes fechada e simples pode ser obtido integrando a componente normal do rotacional em uma superfície orientada delimitada por 106 WWWUNINGABR ENSINO A DISTÂNCIA REFERÊNCIAS ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Vol 2 10ª ed Porto Alegre Bookman 2014 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica Vol 2 São Paulo Harbra 1977 STEWART J Cálculo Vol 2 7a Ed São Paulo Editora Cengage Learning 2013 THOMAS G B ROSS L F MAURICE D W FRANK R G Cálculo Vol 2 10a ed São Paulo Editora Pearson 2003 WILIAMSON R E CROWELL R H TROTTER H F Cálculo de funções vetoriais Vol 2 Livros Técnicos e Científicos Rio de Janeiro S A 1975 ZILL D G Equações diferenciais com aplicações em Modelagem 3a Ed São Paulo Cengage Learning 2016 ZILL D G CULLEN M R Equações diferenciais Vol 1 3a Ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 Seu Futuro é aqui PÓS GRADUAÇÃO MODALIDADE A DISTÂNCIA MATRICULESE AGORA EADUNINGAEDUBRPOSTGRADUACAOEAD IGC 4 O MELHOR CENTRO UNIVERSITÁRIO DO PARANÁ 4º DO PAÍS MÉTODO DE ENSINO DINÂMICO DIPLOMA IGUAL AO DO PRESENCIAL 100 PROFESSORES MESTRES E DOUTORES EAD UNINGA