Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais Ordinárias - EDO

Questão 1 Questão 2 Usando o método do fator integrante para soluções de EDO de 1a ordem lineares a solução do problema de valor inicial é igual a a b c d e 2 y y x2 x2 y0 1 yx e x3 3 yx 1 e x3 3 yx 2 e x3 3 yx 3 e x3 3 yx 2 e x 3 Através do método do fator integrante para soluções de EDO de 1a ordem lineares é correto afirmar que a solução da equação é dada por a b c d e t x t x xt t 2et2 xt t 2 c t xt t C 3 xt t 2 xt t t 2 Remova Marca dágua Wondershare PDFelement Questão 3 Questão 4 Questão 5 A solução da equação é igual a a b c d e senx dy dx y cosx C y senx C y senx C y senx cosx C y cosx C A solução geral da EDO representa uma família de círculos concêntricos isto é A solução que passa pelo ponto é a b c d e y x y x2 y2 c2 4 3 4 x2 y2 5 x2 y2 3 x2 y2 25 x2 y2 16 x2 y2 Assinale a alternativa que corresponde a solução do problema de valor inicial a b c d e 4 13y 0 y y y0 1 0 2 y y e2x sen3x 4 3 y cos3x sen3x e2x 4 3 y cos3x sen3x e2x 4 3 y cos3x 4 sen3x 3 y cos3x e2x Remova Marca dágua Wondershare PDFelement Questão 6 Questão 7 Questão 8 Vimos que a técnica das variáveis separáveis é utilizada para resolver um tipo particular das equações diferenciais ordinárias não lineares Baseado nesta técnica assinale a alternativa correta que corresponde a solução da EDO a b c d e yxe2xC y 1 e2x y x C y C e2x y x C 1 2e2x y C 1 2e2x A solução geral da EDO é igual a a b c d e 2 5 3y 0 y y y c1e x 2 c2ex y c1e5x c2e3x y c1ex c2e3x y e x 2 ex y c1e x 2 c2e3x Dado o problema de valor inicial é correto afirmar que a solução é dada por a b c d e y 2y e4t y0 3 2 yt e4t 2 yt C e4t 2 yt 2 e4t 2 e2t yt 2 et 2 et yt 2e2t Remova Marca dágua Wondershare PDFelement Questão 9 Questão 10 A solução yx do PVI abaixo é dada por a b c d e x xlnx y y 2 y1 1 yx 2 xlnx 3 yx xlnx x 2 3 4 9 yx lnx 4 x 9 5 9 yx xlnx x 2 3 4 9 5 9 yx 2 xlnx 3 5 9 Para quais valores de s a função satisfaz a equação diferencial ordinária a b c d e y esx 4 y 0 y y s 2 12 s 3 s 4 3 s 2 3 s 4 3 Um reservatório de combustível no formato circular tem diâmetro de 10 metros A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 15 metro na extremidade sul para 25 metros na extremidade norte Encontre o volume de combustível no reservatório Questão 11 Remova Marca dágua Wondershare PDFelement Remova Marca dágua Wondershare PDFelement Usando o método do fator integrante para soluções de EDO de 1a ordem lineares a solução do problema de valor inicial y 2x2 x2 y y0 1 é igual a y 2x2 x2 y y x2 y 2x2 Px Qx Fator integrante u e x2 dx u e x33 Fórmula de Lagrange y 1u qxu dx c y e x33 2x2 e x33 dx c Por substituição u x33 du x2 dx 2du 2x2 dx y e x33 2x2 e x33 dx c y e x33 2 eu du c y e x33 2 eu c y e x33 2 e x33 c y 2 C e x33 Solução geral y0 1 1 2 C e 03 1 2 C C 1 y 2 e x33 c Através do método do fator integrante para soluções de EDO de 1a ordem lineares é correto afirmar que a solução da equação tx x t é dada por tx x t x 1t x 1 Px Qx Fator integrante u e 1t dt u e lnt u t Fórmula de Lagrange y 1u qxu dx c y 1t 1t dt c y 1t t22 c y t2 ct b A solução da equação dydx sen x é igual a dy senx dx dy senx dx y cosx c a A solução geral da EDO y xy representa uma família de círculos concêntricos isto é x² y² c² A solução que passa pelo ponto 43 é x² y² c² 4² 3² c² 16 9 c² c² 25 x² y² 25 d Assinale a alternativa que corresponde a solução do problema de valor inicial y 4y 13y 0 y0 1 y0 2 Equação característica r² 4r 13 0 Δ 16 413 Δ 16 52 Δ 36 r 4 6i2 r₁ 2 3i r₂ 2 3i y e2x C₁ cos3x C₂ sen3x Solução geral y 2e2x C₁ cos3x C₂ sen3x e2x 3C₁ sen3x 3C₂ cos3x y0 1 y e2x C1 cos3x C2 sen3x 1 e0 C1 cos0 C2 sen0 1 C1 y0 2 y 2 e2x C1 cos3x C2 sen3x e2x 3C1 sen3x 3C2 cos3x 2 2 e0 cos0 C2 sen0 e0 3 sen0 3C2 cos0 2 2 1 3 C2 C2 43 y e2x C1 cos3x C2 sen3x y e2x cos3x 43 sen3x b Vimos que a técnica das variáveis separáveis é utilizada para resolver um tipo particular das equações diferenciais ordinárias não lineares Baseado nesta técnica assinale a alternativa correta que corresponde a solução da EDO y 1 e2x dydx 1 e2x dy 1 e2x dx dy 1 e2x dx y 1 dx e2x dx y x e2x2 c c A solução geral da EDO 2y 5y 3y 0 é igual a Equação característica 2r² 5r 3 0 Δ 25 423 Δ 25 24 Δ 49 r 5 74 r₁3 r₂12 y c₁e³ˣ c₂ex2 e Dado o problema de valor inicial y 2y e⁴ᵗ y0 32 é correto afirmar que a solução é dada por y 2y e⁴ᵗ Px Qx Fator integrante u e2dt u e²ᵗ Fórmula de Lagrange y 1uqxu dx c y e²ᵗe⁴ᵗe²ᵗ dt c y e²ᵗe²ᵗ dt c y e²ᵗe²ᵗ dt c y e²ᵗe²ᵗ2 c y e⁴ᵗ2 ce²ᵗ y0 32 32 e⁰2 ce⁰ c 2 y e⁴ᵗ2 2e²ᵗ c A solução yx do PVI abaixo xy y2 xlnx y1 1 é dada por xy y2 x lnx Fórmula de Lagrange y 12x y lnx y 1u qx u dx c Px Qx y 1x lnxx dx c u e12x dx Por Partes u lnx dv x dx du 1x dx v 23 x32 u e12 lnx u x y 1x lnxx dx c Por Partes u lnx dv x dx du 1x dx v 23 x32 y 1x 23 x32 lnx 23 x32 1x dx y x12 23 x32 lnx 23 x12 dx y 23 x lnx 23 23 x cx y 23 x lnx 49 x c xx y1 1 1 23 ln1 49 c 1 49 c c 59 y 23 x lnx 49 x 59 d Para quais valores de s a função y esx satisfaz a equação diferencial ordinária y 4y y 0 y esx y s esx y s² esx y 4y y 0 s² esx 4 s esx esx 0 esx s² 4s 1 0 s² 4s 1 0 Δ 16 4 Δ 12 s 4 12 2 s 4 23 2 s₁ 2 3 s₂ 2 3 s 2 3 d Questão 11 Um reservatório de combustível no formato circular tem diâmetro de 10 metros A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 15 metro na extremidade sul para 25 metros na extremidade norte Encontre o volume de combustível no reservatório r ax b z 5 15 5 25 5a b 15 5a b 25 2b 4 b 2 5a 2 25 a 01 r z 01x 2 x r cos θ y r sen θ 0 r 5 0 θ 2π R 01x 2 dA ₀2π ₀⁵ 01x cos θ 2 r dr dθ ₀2π ₀⁵ 01r² cos θ 2r dr dθ ₀2π 01 r³ 3 cos θ r² ₀⁵ dθ ₀2π 125 3 cos θ 25 dθ 125 3 sin θ 25 θ ₀2π 1253 senθ 25θ 02π 1253 sen2π 50π 1253 sen 0 250 50π