Introdução aos Sinais e Sistemas: Convolução e Transformada de Laplace

19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 127 Introdução SINAIS E SISTEMAS SINAIS E SISTEMAS CONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DE CONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DE LAPLACE LAPLACE Autora Esp Clóvis Tristão Revisor Giancarlo Michelino Gaeta Lopes Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora 19092023 2237 Ebook Prezadoa estudante 6 com entusiasmo que 0oa convido para a leitura desse material Durante nosso estudo discutiremos dentro do escopo de sinais e sistemas as ferramentas matematicas da convolugao um assunto com forte énfase em modelos matematicos e analiticos Fazse necessario um estudo introdutério que compreenda as ferramentas de modelagem e de analise dos sistemas lineares continuos e discretos passando pelos teoremas da transformada de Laplace e suas aplicagdes Os sistemas lineares também envolvem projetos e processamentos O objetivo deste estudo portanto é o de fundamentar o estudante que lidara ao longo de sua vida académica e profissional com a disciplina de Sistemas e Sinais em diversas areas do conhecimento tais como processamento de sinais robotica circuitos elétricos sistemas de comunicagao sistemas de controle etc Bons estudos a todos Iniciaremos o estudo tedrico sobre convolugao e seguiremos com os teoremas da transformada de Laplace Nos estudos sobre sinais e sistemas elencamos um conjunto de ferramentas matematicas necessarias para a resolugao da analise dos sinais capturados e processados pelos sistemas lineares Para tanto a convolugao é uma ferramenta matematica utilizada para o calculo da saida de um sistema linear e invariante no tempo SLIT A saida de um SLIT pode ser calculada através da convolugao entre a entrada e a resposta do sistema ao impulso unitario Segundo Lathi 2006 para a andlise de sinais e sistemas essas propriedades sao de extrema importancia pois representam os processos no campo fisico que podem ser modelados com SLIT Este sistema pode ser analisado de forma detalhada de forma a facilitar o entendimento pois possui diversas ferramentas matematicas que auxiliam sua analise httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 227 19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 327 Segundo Sovierzoski 2010 podemos aplicar as operações de convolução em diversas situações da matemática à engenharia dispondo de formas analíticas diversas para solucionar um problema Sinais de impulso unitário tanto de tempo discreto quanto de tempo contínuo podem ser representados por combinações lineares Juntamente com as propriedades de superposição e invariância no tempo permitem o desenvolvimento de um completo sistema de análise SLIT Essa representação chamamos de convolução que nos fornece um extenso ferramental analítico para solução de um problema Convolução nada mais é que a soma de duas funções que se transforma em uma terceira que calcula o produto dessas duas funções ao longo do tempo OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 p 47 Para esse estudo analítico lançamos mão de ferramentas de análise no campo dos sistemas lineares diferenciais para os quais a entrada de e a saída de estão relacionadas A convolução trabalha com duas funções e para a geração da saída A função é uma resposta a um impulso unitário SLIT ou seja um modelo matemático que descreve as características de um sistema Conhecendo a resposta de um SLIT para uma entrada impulso unitário é possível determinar a saída para qualquer entrada Na Figura 21 a seguir temos dois sistemas lineares que representam a ideia da convolução Vamos analisálos para entender melhor xt yt xt ht yt ht ht yt xt 19092023 2237 Ebook a b Figura 21 Sistemas de Sinais em Tempo Continuo e em Tempo Discreto Fonte Elaborada pelo autor PraCegoVer sistemas de Sinais em tempo continuo e em tempo discreto sao apresentados em duas figuras Na figura a sistema de sinais em tempo continuo e na figura b sistema de sinais em tempo discreto temos dois sistemas de sinais com entrada processamento e saida Os sistemas sao nomeados com a letra a que representa um sistema continuo ao longo do tempo t com entrada de dados na fungao xt processamento em ht e saida em yt e com a letra b em que temos um sistema discreto que varia os valores ao longo do tempo n com entrada na fungao xn processamento em hn e saida em y Vimos que 0 sistema de convolugao de sinais bem complexo e possui algumas propriedades necesséarias para a resolugao de equacoes diferenciais e integrais e de seus sistemas lineares Na proxima secao iremos estudar o sistema de equacoes diferenciais Convolucao equacoes diferenciais e integrals Segundo Lathi 2006 na equagao de tempo continuo apresentamos a convolugao de xt e seu impulso ht em yt xt ht sendo asterisco a representagao grafica da operagao de convolugao Percebemos a sobreposicdo da fungdo de entrada xt com a fungao impulso ht Podemos reescrever a equacao da convoluao desta forma CO yt xzht dr Oo Onde yt representa a integral da convolugdo e 7 a varidvel de tempo para o calculo da convolugao A seguir apresento a Figura 22 onde temos a equacao ut x7ht 7 da convolugdo no tempo continuo Na figura podemos perceber a funcdo impulso ht atuando no httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 427 19092023 2237 Ebook intervalo 1 a 3 com a soma da entrada da funcdo xt ha um deslocamento do impulso nesse intervalo Podemos observar que abaixo da figura ha duas colunas a da esquerda representa o Pnt sendo a entrada do impulso deslocandose discretamente no eixo horizontalvertical na coluna da direita a saida do impulso em v t deslocase discretamente no tempo i pay veo 0 Oe fo Figura 22 Representacao grafica da Equacao de Convoluao Fonte Haykin e Van Veen 2001 p 103 PraCegoVer na imagem acima apresentamos graficos no plano cartesiano XY em preto e branco que descrevem exemplos de convolugées Esse conjunto de imagens possui na primeira linha um grafico no plano cartesiano XY que representa graficamente a funao impulso que no seu eixo y possui a funcdo impulso ht variando de 05 a 10 Da linha 2 a linha 5 dividimos a folha em duas colunas na coluna da direita temos representagoes graficas da funcao impulso com pontos discretos e na coluna da esquerda temos graficos com a saida desses impulsos convoluidos Na coluna 1 linhas 2 a 5 temos representagdes graficas dos impulsos discretos que sao plotados no eixo XY nos postos 0510 0 05 11 21 305 Na coluna 2 temos as saidas desses pontos na fungao impulso ht deslocandose no eixo XY no intervalo de tempo de 1 a 4 no eixo X a funao deslocase no intervalo formando uma onda senoidal Segundo Lathi 2006 o tema da convolucdo nos remete a dois momentos de captura dos sinais referentes ao dominio do tempo e Convolugao no tempo discreto Um sinal é dito discreto quando ha um conjunto de numeros reais ou complexos que sao coletados em um certo dominio do tempo Essa sequéncia de numeros por ser discreto adota a regra de z onde n 0 indice associado a cada numero que foi coletado ao longo do intervalo de tempo por exemplo x 0123 sendo 21 0221 e assim sucessivamente podendo ser aplicado a y que é a saida eou resultado de um sistema linear Podemos usar algumas fungoes para a extragao desses numeros tais como fungao impulso de Dirac fungao degrau unitario fungao trigonométrica e fungao exponencial httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 527 19092023 2237 Ebook A seguir temos um exemplo de uma convolucgao discreta no tempo onde dada a funao yn un un 3 onde 2k un e un éa fungao unitaria e hk un 3 a fungao hk é a fungao impulso CO Dada a equacao da convolugao no tempo discreto zn a2khnk analisamos a k0oo fungado yn un un 3 para oo intervalon 44ek 01 temos sen3 0 n 3yn 0 temos a representacao grafica em fundo de xk hk da convolucao discreta xk hk ottie ot ype K K 1 2 3 4 2 1 1 2 3 4 Figura 23 Convolugao discreta no tempo Fonte Haykin e Van Veen 2001 p 153 PraCegoVer a figura apresenta dois graficos sobre convolugao discreta representados por pontos no eixo y de 0 a 1 no intervalo de tempo 2 a 4 em x Convolugao no tempo continuo A convolugao continua é representada por um sistema SLIT que coleta informagoes ao longo do tempo Sao utilizadas regras tais como se o sistema possui um impulso no tempo a sua saida sera um impulso no tempo Caso o sistema receba um deslocamento no tempo a sua saida também sera o deslocamento no tempo Convolugao em sinais analdgicos e digitais Essa convolugao de sinais analdgicos exige que o sinal esteja definido no mesmo instante de tempo em que é analisado exigindo o emprego de algumas fungoes para essa extracgao e analise as quais ja vimos anteriormente tais como fungao impulso de Dirac fungao degrau unitario funao trigonomeétrica e fungao exponencial Ja a convolucao de sinais digitais parte de um processo de filtragem com quantizagao e eliminagao de ruidos bem como a multiplicagao de valores da entrada pelas constantes e realizando somas e produtos até a obtencao dos resultados além do uso de técnicas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 627 19092023 2237 Ebook matematicas para a extracao dos dados como a analise de Fourier que sera apresentada nos proximos topicos Convolucao propriedades As operagoes de convolugao possuem propriedades matematicas de comutatividade distributividade e associatividade Representadas pelas equacoes Essas propriedades representam a convolucao de dois sinais continuos finitos que resultarao em um sinal convoluido Se os sinais xt e yt estiverem contidos em um determinado intervalo aplicando as operagdes de reflexao e deslocamento temse o resultado da convolugao de sinais continuos finitos dentro do mesmo intervalo é e Convolucao somatorio A convolugao para sinais de tempo discretos possuem o mesmo ferramental analitico e matematico utilizado no tempo continuo As variaveis envolvidas no tempo discreto e sua integral transformamse em um somatorio conforme a equacao citada em Lathi 2006 yn 2n hn temos CO yN 2nhn kj sendo k uma constante k00 6 e Convolugao grafica Segundo Miyazaki 2018 o entendimento grafico da convolugao auxilia a compreensdo e o entendimento sobre como uma integral de convolugao funciona Tal entendimento se mostra util na determinagao de sinais mais complexos Além disso nos permite visualizar de forma grafica o resultado da integral da convolucao Como relata Lathi 2006 varios sinais ndo possuem uma descrido matematica mas podem ser descritos graficamente se esses tipos de sinais puderem ser concluidos aplicamos a convolugao grafica A partir deste ponto fazse necessaria uma explicagao relativa a operacao de convolucao usando as fungées xt e ht temos yt que 6 a convolucao de xt e ht Segundo Lathi 2006 temos a equacgao CO yt f x7ht 7dr sendo 7 a varidvel de integragao Co A representacao grafica da definiao da convolugao é dada pela da Figura 24 a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 727 19092023 2237 Ebook xt nt 1 1 0 tT 2 0 tT a b t no LZ Z P FT ve 10 2 c Figura 24 Representacao da integral da Convolucao Fonte Lathi 2006 p170 PraCegoVer na figura ha trés graficos da esquerda para a direita na primeira linha temos o grafico a que representa a fungao xt como um grafico continuo com um degrau no ponto 11 Na primeira linha ao lado do grafico a temos o grafico b que representa a fundo impulso ht que sofre uma queda no ponto 22 em linha continua de semiparabola tendendo a zero0 no eixo x e y Na segunda linha temos a sobreposicao do grafico a e b que representa a convolugao grafica das fungdes o grafico a permanece o mesmo mas 0 grafico b sofre uma inversdo em seu eixo y e um deslocamento iniciando 0 impulso no ponto 22 com a semiparabola tendendo a zero em x e y Note que em ht é uma reversdo do grafico da Figura 24b representada no resultado da convolugdo de xt e ht representado graficamente na Figura 24c com a saida yt em cinza Como pudemos perceber precisamos determinar a area sob o produto das fungées xt e ht para todos os valores de t no intervalo a Assim podemos resumir 0 procedimento da convolugao grafica da seguinte forma 1 mantenha a funcao xt fixa 2 visualize a funcdo ht e espelhamento no eixo vertical quando t0 para termos ht 3 a area abaixo do produto de xt com ht 6 o resultado da integral da convolucao sendo a interseccao das funcoes xt e ht 4repita esse procedimento deslocando a figura conforme os valores positivos e negativos em t Esse procedimento foi apresentado na Figura 24 Enfim a resposta para sistemas lineares é dada pela operagao da convolugao na qual um valor é fixado e o outro é invertido e deslocado Onde a fungao impulso ht é revertida e a funao xt httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 827 19092023 2237 Ebook é deslocada no eixo horizontal ha uma forma de visualizar uma operagao de convolucao interpretando graficamente a integral de convolucao a fim de compreender visualmente e mentalmente os resultados de saida da integral Esse procedimento pode ser usado em conjunto com a propriedade comutativa apresentada na secao anterior Via de regra 0 calculo da convolugao é simplificado caso seja escolhida a reversdo da fungaéo mais simples sendo possivel fazer a resolugéo de ht xt ou xt ht note que este simbolo nao é 0 sinal da multiplicagdo e sim a representagdo da convolugao de duas fungées Prezadoa estudante podemos usar um software de computagao cientifica para a resolugao das convolugées graficas como o Wolfram Alpha que possui um conjunto de bibliotecas Para saber mais sobre o assunto acesse o ink a seguir Como podemos verificar a resolugao de um exemplo com a representagao grafica da convolugao é dada equacao x 2xcos7 esta é a primeira fungdo xt que representa uma das equacées do sistema linear xsinm e7l estaéa segunda fungao e representa a funao impulso ht e Equacées da convolugao sendo xt ht temos o resultado da convolugdo das duas fungodes 2n yr 277 y6y4 Temos 0 resultado yt Airy ery roy r4 com a seguinte representagao grafica no Tv intervalo de 12 a 12 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 927 19092023 2237 Ebook y 1000 500 10 5 10 500 1000 Figura 25 Representacao grdafica da convolucao de duas fundes Fonte Elaborada pelo autor PraCegoVer no grafico temos a representacao grafica da convolugao no intervalo 12 a 12 no eixo x variando a amplitude do impulso de 1000 a 1000 em y Segundo Zill e Cullen 2009 sabemos que a convolucdo é a relacdo de duas funcées resultando em uma terceira fungdo convolugao que atua em tempo discreto e continuo Neste video podemos entender a interpretagao grafica de uma operacgao de convolugao em um sistema linear A interpretagao dada apresenta de forma didatica a utilizagao das propriedades da convolugao e para elucidar essa questao o autor traz um exemplo bem simples e de facil entendimento No préximo tdpico iremos estudar a transformada de Laplace um ferramental analitico que vem para auxiliar a resolugao de sistemas lineares httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1027 19092023 2237 Ebook Atividade ndo pontuada Sabemos que a convolugdo pode ser representada tanto analiticamente quanto graficamente O uso de ferramental algébrico e analitico em alguns casos tornase custoso e recorrer ao método de resolucdo grafica langando mdo de recursos tais como a integral da convoludo o método analitico que se baseia na analise do comportamento da fungao que sdo projetadas no plano cartesiano pode ser aplicado para uma possivel solucdo no campo grafico LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares Porto Alegre Bookman 2006 Assinale a alternativa correta que descreve 0 que acontece quando as funcées convoluem no plano cartesiano O a Soma de fungées O b Divisdo de fungoes O c Produto de fungées O d Subtracdo de fungées O e Exponenciacdo de fungoes httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1127 19092023 2237 Ebook Segundo Oppenheim Willsky e Nawab 2010 a transformada de Laplace é uma ferramenta de analise da disciplina de Sistemas e Sinais sendo util ao estudo de problemas relacionados a sistemas lineares invariantes no tempo Isso se deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinagoes lineares de fungdes em sistemas SLIT A transformada de Laplace quando aplicada transforma a varidvel de tempo t em uma varidvel que atua no dominio da frequéncia s sendo necessaria essa conversdo para que possamos realizar os calculos e as analises De uma forma geral um grafico no dominio do tempo apresenta um sinal que varia ao longo do tempo ja um grafico no dominio da frequéncia apresenta o quanto do sinal esta na faixa de frequéncia Laplace possui uma propriedade que estuda 0 comportamento do sistema para diferentes fungdes de entrada a esse estudo temos uma funcgao associada que é a funcao de transferéncia sendo a representagao matematica da entrada e da saida de um sistema fisico A fungao de transferéncia é a representacao matematica da relagao entre a entrada e a saida de um sistema fisico Normalmente empregada na analise de circuitos analdgicos de entrada unica e saida unica A transformada inversa de Laplace é a fundo que representa o oposto da funcao xt A inversa de ztz indicagado e apresentagao da transformada inversa de Laplace por exemplo a transformada de Laplace da funao Octave Os dois assuntos transformada de Laplace e convolugao sao abordados neste material pois a convolugao trata da analise das fungdes e da sobreposicao de fungdes e graficos enquanto se desloca no tempo Uma forma de analisar isso é utilizando ferramentas da transformada de Laplace que traz um sistema de equaao diferencial e integral para a resolugao em equacgdes polinomiais que em tese sao mais faceis de serem resolvidas Em termos historicos a transformada de Laplace foi pensada e elaborada por um matematico francés chamado Pierre Simon Laplace que viveu de 1749 a 1827 Ele se utilizou de um trabalho sobre a teoria das probabilidades para o desenvolvimento da transformada de Laplace cuja aplicagao era exclusivamente na area da engenharia e foi a principio usada na Segunda Guerra Mundial para calculos de guerra Entretanto mais tarde no século XX foi estendida a outras areas do conhecimento e veio substituir algumas técnicas de calculo antigas TONIDANDEL ARAUJO 2012 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1227 19092023 2237 Ebook A transformada é utilizada como um arsenal matematico para a resolucao de inumeros casos diminuindo a complexidade do problema em seu processo de andalise e resolugao do sistema resultando em um novo sistema com caracteristicas especificas criadas na utilizagao da transformada A transformada de Laplace tem diversas propriedades e um ferramental analitico Oferecendo ferramentas e conhecimentos para a analise de sinais e sistemas As transformadas podem ser utilizadas em sistemas lineares desempenhando um papel extremamente importante na analise de sistemas estaveis e instaveis levando a um conjunto de elementos matematicos que nos auxiliam na resolugao de sistemas Com isso temos que a transformada de Laplace de um sinal qualquer em xt é CO t xs ewe dt Co Neste video vocé tera uma introdugao sobre a transformada de Laplace suas definides propriedades e aplicagdes O autor apresenta de forma didatica as equacdes envolvidas na transformada alguns exemplos e a interagao da transformada de Laplace com outras ferramentas de analise matematica apresentando uma notagao tedrica e grafica com exemplos ao longo do video Para assistir ao video acesse o link a seguir Como vimos a transformada de Laplace tem uma relagao direta com outras ferramentas de analise matematica e suas descobertas trouxeram contribuigdes para o mundo das ciéncias exatas e engenharias Pode ser usada para a andlise de sistemas lineares invariantes no tempo tais como circuitos elétricos dispositivos Oticos sistemas mecanicos andalise de imagens Essas aplicagdes inclusive podem ser interpretadas do dominio do tempo para o dominio da frequéncia tendo como vantagem a resolugao de equacoées diferenciais e integrais httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1327 19092023 2237 Ebook Sabemos que o produto de duas fungodes através da transformada de Laplace nado o mesmo que o produto de duas fung6ées mas que existe uma operagao entre fungoes que sofrendo a transformada de Laplace gera uma terceira fungao de saida que chamamos de convolugao Essa fungao de convolugao um importante instrumento matematico para a resolugao de equacées diferenciais e integrais Qual a relacgao da transformada de Laplace com o sistema de convolugao como eles se completam Fonte Oppenheim Willsky e Nawab 2010 p 391 No prdéximo tdpico veremos como so as propriedades da transformada de Laplace e o uso de cada uma delas em equacoes diferenciais Agora convido vocé a realizar uma atividade para praticar seus conhecimentos Vamos 1a Teste seus Conhecimentos Atividade ndo pontuada Vimos que a transformada de Laplace consiste em ferramentas de andlise de sistemas e sinais que sao uteis para o estudo dos problemas relacionados a sistemas lineares invariantes no tempo Isso se deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinacgdes lineares de fungdes em sistemas SLIT Calcule pela definicdo de Laplace a equacao Ltes Assinale a alternativa a seguir que representa o resultado correto httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1427 19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1527 a b c d e Prezadoa estudante nesse tópico iremos entender as propriedades envolvidas na transformada de Laplace para a resolução de sistemas lineares Também teremos contato com uma tabela de funções que nos auxilia na resolução das equações de forma mais rápida sendo um importante recurso 1 sa2 t t e2a 2 teat 2 te at 2te x at Transformada de Laplace propriedades e tabela Segundo Oppenheim Willsky e Nawab Segundo Oppenheim Willsky e Nawab 2010 a transformada de Laplace 2010 a transformada de Laplace conta com um conta com um conjunto de conjunto de 19092023 2237 Ebook propriedades A seguir citaremos as principais propriedades e um descritivo de cada uma ao final apresentaremos uma tabela com todas as propriedades e regras de como utilizalas Homogeneidade Lkat kLaxt sendo L a transformada de Laplace Aditividade Da1t xot Lai t LX2t e Linearidade usando as propriedades de homogeneidade e aditividade temos Las t Bxat aLx1t LBX2t e Sinal transladado ou time shifting e Sinal multiplicado por exponencial et e Derivadas e Integral e Mudanga de escala do tempo e Sinal multiplicado por t e Sinal multiplicado por 1t Convolugao Para termos uma ideia de como funcionam as propriedades apresentamos a Tabela 21 a seguir com todo o ferramental matematico necessdrio que resume as propriedades da transformada de Laplace Essa tabela apresenta funcdes e suas propriedades que sao exemplificadas Através dela podemos obter algumas transformadas de Laplace de forma mais efetiva ao invés de usar a definiao diretamente usando dedugoes e suposigoes Como vimos a transformada de Laplace tem como entrada os numeros reais mas pode convergir para outros conjuntos numéricos como descrito na coluna RDC regido de convergéncia nao negativos as entradas coluna Sinal todas no dominio do tempo envolvem um pequeno atraso sendo considerado um sistema causal Sistema causal é um sistema onde a resposta a um impulso é zero no instante t0 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1627 19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1727 Sinal f t Transformada de Laplace F s Tabela 21 Propriedades da transformada de Laplace Fonte Oppenheim Willsky e Nawab 2010 p 412 PraCegoVer PraCegoVer na tabela temos linhas e colunas que representam algumas propriedades da transformada de Laplace Temos duas colunas e seis linhas e cada linha representa uma propriedade da transformada de Laplace As colunas são nomeadas como coluna 1 Sinal ft e coluna 2 Transformada de Laplace Fs Na linha 1 coluna 1 temos o número 1 que representa a primeira regra da transformada de Laplace que é a função f1 na linha 1 coluna 2 temos a transformada de Laplace de f1 que é 1 dividido por s Na linha 2 coluna 1 temos a letra t que representa a primeira regra da transformada de Laplace que é a função ft na linha 2 coluna 2 temos a transformada de Laplace de ft que é 1 dividido por s ao quadrado Na linha 3 coluna 1 temos a regra eat que é a função na linha 3 coluna 2 temos a transformada de Laplace de que é 1 dividido por s menos a Na linha 4 coluna 1 temos a regra tn que é a função na linha 4 coluna 2 temos a transformada de Laplace de que é n vezes fatorial dividido por s elevado a n mais 1 Na linha 5 coluna 1 temos a regra ta que é a função na linha 4 coluna 2 temos a transformada de Laplace de que é vezes abre parênteses a mais 1 fecha parênteses dividido por s elevado a mais um A tabela é de grande auxílio em uma consulta rápida no momento de uma resolução algébrica e de uma análise na resolução de um sistema linear Isso não exime o uso de um ferramental computacional para a resolução de sistemas lineares mais complexos O uso da tabela na resolução de uma equação torna o processo bem fácil e rápida Abaixo apresentamos um exemplo Sendo a equação qual sua Aplicando a regra da tabela temos que pode ser escrito em Laplace Fsfracnsn1 1 1 s t 1 s2 eat 1 sa tn n sn1 ta Γa1 sa1 f t ea f eat f tn f tn f ta f ta Γ ft tn Fs Tn 19092023 2237 Ebook HA Suponha que ft aplicando a regra acima temos Fs nae S Como vimos a transformada de Laplace possui um conjunto de regras e propriedades que podemos aplicar na andalise do sistema linear Na proxima secao vamos apresentar as principais aplicagdes em que usamos a transformada Atividade Analise a Tabela 21 e veja a propriedade da linearidade Ela representa a jungao da aditividade e da homogeneidade Um sistema linear é dito linear quando obedece a essa regra Teriamos alguma explicacdo plausivel para ele ter que respeitar essa regra Qual a sua explicacdo sobre essa afirmativa httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1827 19092023 2237 Ebook As equacoes diferenciais sao fungdes que se utilizam da derivada e integral Temos uma gama de problemas em que as equacoes diferenciais estado presentes tais como a movimentacao dos fluidos na engenharia mec4anica na quimica e suas reacoées na area de circuitos elétricos na propagacao de onda nos abalos sismicos na bolsa de valores na computagao enfim em diversos nichos de conhecimento encontramos aplicagdes para os modelos matematicos que envolvem equacdes diferenciais e suas ferramentas de apoio a solucdes como as transformadas de Laplace Fourier e transformada Z No século XVIII no auge do desenvolvimento da ciéncia surgiram as equagoes juntamente com o desenvolvimento da fisica e da matematica Naquela época buscar ferramentas para a solugao de equacoes diferenciais foi um desafio para matematicos e cientistas e Laplace foi um matematico precursor nesse caminho Segundo Miyazaki 2018 métodos de resolugao podem ser analiticos computacionais ou numéricos A transformada de Laplace um método analitico que se tornou uma importante ferramenta na soluao de equacoes diferenciais e lineares httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 1927 19092023 2237 Ebook or Transformada de Laplace transforma equacées diferenciais em modelos possiveis de serem calculados a fim de encontrar uma solucdo por meio de integrais e derivadas oz Aplicagées a transformada de Laplace esta presente em diversas areas do conhecimento O seu ferramental analitico esta embutido em diversas aplicagées tanto em andlises analiticas quanto em software computacionais por exemplo sensoriamento remoto sistemas de controle etc A teoria de Laplace esta embutida na maioria das andlises de sinais dos sistemas apresentados na imagem os Computagao cientifica software utilizados para a resolucao e a analise de sistemas por meio de ferramentas matematicas O seu uso se da em diversas areas da industria da engenharia da computacao do processamento de imagens e da medicina PraCegoVer o infografico apresenta trés quadrados interligados por uma corda O primeiro quadrado apresenta a numeracao 1 e em seguida esta escrito Transformada de Laplace transforma equacoes diferenciais em modelos possiveis de serem calculados a fim de encontrar uma solugao por meio de integrais e derivadas O segundo quadrado apresenta a numeracao 2 e em seguida esta escrito Aplicag6es a transformada de Laplace esta presente em diversas areas do conhecimento O seu ferramental analitico esta embutido em diversas aplicagdes tanto em analises analiticas quanto em software computacionais por exemplo sensoriamento remoto sistemas de controle etc A teoria de Laplace esta embutida na maioria das andlises de sinais dos sistemas apresentados na imagem O terceiro quadrado apresenta a numeragao 3 e em seguida esta escrito Computagao cientifica software utilizados para a resolucao e a analise de sistemas por meio de ferramentas matematicas O seu uso se da em diversas areas da industria da engenharia da computacao do processamento de imagens e da medicina Vimos nesta secao as aplicagdes que envolvem a transformada de Laplace e seu uso no dia a dia para a resolugao dos sistemas em diversas areas da engenharia Atividade Existem ferramentas computacionais que trabalham na resolucdo de equacgodes diferenciais e sistemas lineares como as séries de Fourier transformada de Laplace convolugdo Faga a instalagdo e a configuracdo do software Octave usado na computaao cientifica com o Tutorial sobre o Octave que tem ampla documentacdo na internet dessa forma vocé podera realizar httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2027 19092023 2237 Ebook testes com os comandos do software cientifico Utilizando a plataforma online Wolfram Alpha por sinal bem completa e didatica que traz além da resolugdo como Seria a representacao grafica da equagdo convidoo estudante a praticar alguns exemplos relacionados a transformada de Laplace e a equacées tais como Y x Ye seny httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2127 19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2227 Material Complementar LIVRO Sinais e Sistemas Editora Pearson Prentice Hall Autores Alan V Oppenheim Alan S Willsky e S Hamid Nawab ISBN 9788543013800 Comentário Este livro traz para os estudantes de engenharia e amantes do tema um conjunto rico de informações sobre a disciplina de Sinais e Sistemas tendo em mente que o compêndio foi estruturado para desenvolver em paralelo os métodos de análise para sinais e sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto Sendo uma obra estruturada de forma pedagógica com o intuito de aguçar o estudante a explorar o assunto com profundidade 19092023 2237 Ebook WEB rf Chaos a Cy nttp Ano 2018 zie sos nN a Comentario Como disse Laplace seria necessaria uma inteligéncia e ss infinita e o determinismo cientifico ja parece mostrar seus limites Py quando se coloca a questao da estabilidade do movimento dos planetas Se a questao é saber onde a Terra estara precisamente em um bilhao de anos parece realmente inacessivel e pode nao ser tao interessante assim Ela corre o risco de um dia ser ejetada do Sistema Solar O proposito do filme é dar uma visao da teoria de Laplace expressa pela teoria do Chaos Ele foi totalmente baseado na teoria de Laplace e em outros matematicos e fisicos renomados ACESSAR httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2327 19092023 2237 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2427 19092023 2237 Ebook Conclusao Prezadoa estudante chegamos ao fim do nosso estudo Durante nossa leitura pudemos entender como funcionam os sistemas lineares usando a convolugao para a analise de sinais no tempo continuo e discreto Estudamos algumas ferramentas necessarias para tal analise e quais os sistemas indicados bem como suas propriedades para cada caso Além da convolucao langamos mao de outra ferramenta de analise de sinais as transformadas de Laplace Vimos que elas resolvem problemas que variam conforme o tempo e que possuem tabelas com regras e propriedades de uso em diversas aplicagées principalmente na engenharia Referéncias Sue 4 j CHAOS1 Panta Rhei S s n 2013 1 video 13m20s Publicado pelo canal Jos Ley Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch vq8yTCLoi6HUlistPLw2BeOjATqruiCZzsvFOTTZN7oH6fqsditS Acesso em 27 maio 2021 CONVOLUGAO Interpretacdo Grafica ELT007 ELT060 ELT088 S s n 2017 1 video 16m15s Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch vNuUOXiaNxs Acesso em 27 maio 2021 CONVOLUTION of two functions Wolfram Alpha c2021 Disponivel em httpswwwwolframalphacominputiconvolutionoftwotfunctions Acesso em 27 maio 2021 GRINGS Transformada de Laplace Aula 1 S s n 2013 1 video 33m09s Publicado pelo canal omatematicocom Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchviCcYh7U5jvs Acesso em 27 maio 2021 HAYKIN S S VAN VEEN B Sinais e Sistemas Porto Alegre Bookman 2001 Biblioteca HAYKIN S S VAN VEEN B Sinais e Sistemas Porto Alegre Bookman 2001 Biblioteca httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2527 19092023 2237 Ebook MIYAZAKI C K Redes neurais convolucionais para aprendizagem e reconhecimento de objetos 3D 2018 Monografia Curso de Engenharia Elétrica com énfase em Sistemas de Energia e Automagao Escola de Engenharia Universidade de Sao Paulo Sao Carlos 2018 Disponivel em httpwwwtccscuspbrtcedisponiveis18180500tce22022018121624langb Acesso em 9 abr 2021 OPPENHEIM A V WILLSKY A S NAWAB S H Sinais e sistemas 2 ed Sao Paulo Pearson Prentice Hall 2010 SOVIERZOSKI M A Convolugao de Sinais Definigao Propriedades e Ferramentas Revista Ilha Digital Florianopolis v 2 p 8195 2010 Disponivel em httpilhadigitalflorianopolisifscedubrindexphpilhadigitalarticledownload2424 Acesso em 23 abr 2021 TONIDANDEL D A V ARAUJO A E A Transformada de Laplace uma obra de engenharia Rev Bras Ensino Fis Sao Paulo v 34 n 2 p 16 jun 2012 Disponivel em httpsdoiorg101590S1806 11172012000200016 Acesso em 21 maio 2021 ZILL D G CULLEN M R Matematica avangada para engenharia 3 ed Porto Alegre Bookman 2009 v 1 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade2ebookindexhtml 2627 19092023 2237 Ebook 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