Analise de Velocidades em Mecanismos e Dinamica das Maquinas - UCAM

UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 1 ENGENHARIAS MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4 ANÁLISE DE VELOCIDADES Paulo Roberto Rocha Aguiar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 2 SUMÁRIO MOVIMENTO CURVILÍNEO 5 VELOCIDADE DE UM PONTO NUM SISTEMA MÓVEL 8 VELOCIDADE DE UM CORPO RÍGIDO 11 MÉTODOS ANALÍTICOS 12 MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO DE VELOCIDADES 16 ANÁLISE DE VELOCIDADES DE MECANISMOS ELEMENTARES 18 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos 1ª Ed Bookman 2010 2 CLARO J C P FLORES P Cinemática de Mecanismos Edições Almedina 2007 3 MAZZO N Engrenagens Cilíndricas Da Concepção à Fabricação Editora Blucher 2013 4 FLORES J CLARO J C Pimenta Cinemática de Mecanismos Escola de Engenharia Universidade do Minho 2007 5 MABIE Hamilton H REINHOLTZ Charles F Mechanisms and Dynamics os Machinery 4th ed New York Wiley 1987 Este material é um resumo das notas de aula Portanto é fundamental a leitura do livro indicado como base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados A leitura de qualquer outra referência indicada também auxilia na consolidação dos conhecimentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 3 MÓDULO 4 ANÁLISE DE VELOCIDADES 4 ANÁLISE DE VELOCIDADES Em mecânica a velocidade mede a rapidez com que um corpo muda de posição ao longo do tempo A velocidade pode ser estudada sob o ponto de vista vetorial módulo direção e sentido ou escalar A velocidade média pode se definir como sendo a razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo necessário para efetuar esse deslocamento A velocidade instantânea é definida quando o intervalo de tempo tende para zero A Figura 41 ilustra a trajetória descrita por um ponto P em que P1 e P2 representam de duas posições Figura 41 Trajetória de um ponto P Assim o deslocamento relativo entre estas duas posições pode ser expresso por 𝑹𝑷 𝑹𝑷𝟐 𝑹𝑷𝟏 41 Onde RP1 e RP2 são os vectores que definem a localização do ponto P no início e fim do intervalo de tempo considerado Assim a velocidade média do ponto P durante o intervalo de tempo t é dada por 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝑹𝑷 𝑡 42 A velocidade instantânea ou simplesmente velocidade é o limite da razão dada pela equação 42 𝑽 lim 𝑡0 𝑹𝑷 𝑡 43 Ou seja UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 4 𝑽 𝑑𝑹𝑷 𝑑𝑡 44 Ou 𝑽 𝑹𝑷 45 Devese notar que como ΔRP é um vetor então o cálculo do limite ou derivada tem duas componentes uma relacionada com o módulo e outra com a direção Se um vetor posição de um ponto for expresso em coordenadas cartesianas 𝑹𝑷 𝑟𝑥𝒊 𝑟𝑦𝒋 𝑟𝑧𝒌 46 A velocidade instantânea fica 𝑹 𝑷 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 47 Na Figura 42 está representado um corpo rígido que descreve um movimento de rotação em torno do eixo OA ou seja todos os pontos do corpo tal como o ponto P descrevem trajetórias circulares em torno de OA Figura 42 Movimento de rotação A velocidade angular do corpo é representada pelo vetor ω cuja direção é a mesma do eixo OA e o sentido é dado pela regra da mão direita Designando o deslocamento angular de qualquer linha normal ao eixo de rotação por θ e o correspondente intervalo por t então a velocidade angular pode ser escrita como 𝝎 lim 𝑡0 𝜽 𝑡 48 Ou seja 𝝎 𝑑𝜽 𝑑𝑡 49 Ou 𝝎 𝜽 410 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 5 Admitindo que o eixo de rotação é fixo então o vetor R define a posição de um ponto P solidário com o corpo Considerando o vetor que resulta do produto vetorial ωR cujo módulo é ωrsen θ em que θ representa o ângulo formado pelos vetores ω e R e cuja direção é tangente à trajetória em P Então a velocidade do ponto P pode ser calculada como 𝑽 𝝎 𝑹 411 A equação 411 representa a velocidade linear de um ponto que pertence a um corpo rígido que roda em torno de um eixo fixo 41 MOVIMENTO CURVILÍNEO Nos mecanismos de uso corrente os pontos dos corpos estão de uma forma geral vinculados de tal forma que descrevem movimentos conhecidos tal como por exemplo o movimento de rotação e o movimento de translação retilínea Na Figura 43 os pontos do corpo 2 descrevem trajetórias circulares ao passo que os pontos de corpo 4 descrevem trajetórias retilíneas Figura 43 Mecanismo bielamanivela No entanto os pontos que pertencem ao corpo 3 descrevem um movimento curvilíneo geral movimentos de rotação e de translação Na Figura 44 representase um ponto P que descreve uma trajetória curvilínea Figura 44 Movimento curvilíneo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 6 O deslocamento descrito por este ponto ao longo da trajetória P1P é dado por S Simultaneamente o vetor posição é alterado de R para RR e descreve também um movimento de rotação cuja amplitude é igual a θ Por isso o deslocamento total efetuado pelo ponto P é igual à soma do deslocamento na direção radial com o deslocamento na direção tangencial 𝑺 𝑟𝒓 𝑟𝜃𝒕 412 Onde r módulo do vetor R rˆ e tˆ representam os vetores unitários das direções radial e tangencial O vector tˆ obtémse rodando o vector rˆ de um ângulo igual a 90º no sentido trigonométrico O vector rˆ é o vetor unitário na direção radial isto é representa a direção na qual o ponto P se deslocaria caso o vetor R variasse e θ permanecesse constante O vector tˆ é o vetor unitário na direção tangencial isto é representa a direção na qual o ponto P se deslocaria caso θ variasse e R permanecesse constante A velocidade linear do ponto P é dada pela variação instantânea da posição em relação ao tempo 𝑽 lim 𝑡0 𝑺 𝑡 lim 𝑡0 𝑟 𝑡 𝒓 𝑟𝜃 𝑡 𝒕 413 Ou seja 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝒕 414 Ou 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝑟𝜔𝒕 415 Onde 𝜔 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Usando o produto vetorial a equação 415 pode ser reescrita como 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝝎 𝑹 416 O movimento curvilíneo ainda pode ser estudado de outra forma como é apresentado em seguida A Figura 45 ilustra um ponto em trajetória curvilínea e também são representados os vetores unitários associados aos eixos coordenados X e Y bem como os vetores unitários relativos às direções radial e tangencial do movimento do ponto P UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 7 Figura 45 Movimento curvilíneo geral O vetor posição do ponto P é dado por 𝑹 𝑟𝒓 417 A velocidade do ponto P obtémse derivando a equação 417 𝑽 𝑑𝑹 𝑑𝑡 418 Ou seja 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝑟 𝑑𝒓 𝑑𝑡 419 Por outro lado da análise da Figura 45 vem que 𝒓 𝒊 cos 𝜃 𝒋 sen 𝜃 420 𝒕 𝒊 sen 𝜃 𝒋 cos 𝜃 421 Então 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒊 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝒋 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 422 Ou seja 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒊 sen 𝜃 𝒋 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 423 Ou 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒕 𝑑𝜃 𝑑𝑡 424 Substituindo a equação 424 na equação 419 resulta que 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝒕 425 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 8 Ou 𝑽 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝒓 𝑟𝜔𝒕 426 Esta equação é igual à equação 415 em que os dois termos do segundo membro representam respectivamente as componentes radial e tangencial da velocidade do ponto P como se ilustra na Figura 45 42 VELOCIDADE DE UM PONTO NUM SISTEMA MÓVEL Ao analisar os movimentos dos vários elementos que constituem os mecanismos é muitas vezes necessário e conveniente descrever o movimento de um ponto que se move relativamente a um sistema de referência móvel Na Figura 46 o movimento do ponto P em relação ao sistema de coordenadas xyz é conhecido Este sistema de coordenadas movese relativamente ao sistema de coordenadas fixo XYZ Figura 46 Movimento de um ponto num sistema referencial móvel A posição do ponto P em relação ao sistema de coordenadas XYZ é dado por 𝑹𝑷 𝑹𝑶 𝑹 427 Onde RO representa o vetor posição da origem do sistema de coordenadas móvel R vetor posição do ponto P em relação a este sistema de coordenadas Em coordenadas cartesianas o vetor R é escrito como 𝑹 𝑟𝑥𝒊 𝑟𝑦𝒋 𝑟𝑧𝒌 428 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 9 Onde rx ry e rz módulos das componentes do vetor R nas direções x y e z respectivamente iˆ jˆ e kˆ vetores unitários correspondentes às mesmas direções Devese referir que estes vetores variam durante o movimento associado ao sistema de referência móvel A velocidade absoluta do ponto P isto é a velocidade expressa em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ pode ser obtido derivando em relação ao tempo a equação 427 resultando em 𝑽𝑷 𝑹 𝑷 𝑹 𝑶 𝑹 429 Derivando a equação 428 em ordem ao tempo 𝑹 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 430 Onde os três primeiros termos do segundo membro representam a velocidade do ponto P em relação ao sistema de coordenadas móvel xyz a qual pode ser por conveniência escrita como 𝑽 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 431 Consideremse os três últimos termos do lado direito da equação 430 a velocidade do ponto que representa que passa por um ponto fixo e roda em torno deste ponto com uma velocidade ω é dada por 𝑽 𝝎 𝑹 432 As derivadas dos vectores unitários podem ser expressas por 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝝎 𝒊 433 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝝎 𝒋 434 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝒌 435 Onde ω velocidade angular do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ Utilizando as equações 433 434 e 435 podese escrever que 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝑟𝑥𝝎 𝒊 𝑟𝑦𝝎 𝒋 𝑟𝑧𝝎 𝒌 436 Ou seja 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑟𝑥𝒊 𝑟𝑦𝒋 𝑟𝑧𝒌 437 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 10 Usando a relação dada pela equação 428 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑹 438 Deve notarse que a equação 438 representa a velocidade linear de um ponto que roda em torno de eixo fixo Com efeito pelo que acaba de ser exposto a equação 430 pode ser reescrita da seguinte forma 𝑹 𝑽 𝝎 𝑹 439 Consequentemente a velocidade do ponto P dada pela equação 429 pode ser expressa do seguinte modo 𝑽𝑷 𝑽𝑶 𝑽 𝝎 𝑹 440 Onde 𝑽𝑶 𝑹 𝑶 441 Onde VP velocidade do ponto P expressa no sistema de coordenadas fixo XYZ VO velocidade linear da origem do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ V velocidade do ponto P em relação ao sistema de coordenadas móvel xyz ω velocidade angular do sistema móvel relativamente ao sistema fixo R distância da origem do sistema de coordenadas xyz ao ponto P Uma aplicação é o movimento do mecanismo ilustrado na Figura 47 em que a barra 2 roda com uma velocidade angular constante ω2 portanto a velocidade do ponto B é conhecida Figura 47 Aplicação do movimento de um ponto num sistema referencial móvel A questão que se coloca é a de saber qual a velocidade do ponto C O sistema de coordenadas fixo XY tem a origem em A ao passo que o sistema de coordenadas móvel xy tem origem em B UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 11 Assim a equação da velocidade do ponto C pode ser escrita como 𝑽𝑪 𝑽𝑩 𝑽 𝝎 𝑹 442 Onde VC perpendicular a CD e cujo módulo é desconhecido VB perpendicular a AB e tem módulo igual a ω2AB V vetor nulo porque o ponto C é fixo em relação ao sistema de coordenadas móvel ωR perpendicular a BC e em que ω ω3 e o módulo de R é igual a BC A direção do vetor ωR pode ser obtida pela aplicação da regra da mão direita 43 VELOCIDADE DE UM CORPO RÍGIDO A Figura 48 representa um corpo rígido animado de um movimento geral cuja componente de rotação é caracterizada pela velocidade angular ω e a componente de translação associada por exemplo ao ponto A é definida pela velocidade linear VA Figura 48 Corpo rígido animado de um movimento geral ou misto A posição do ponto B pertencente ao corpo é definida por 𝑹𝑩 𝑹𝑨 𝑹𝑩𝑨 443 A velocidade do mesmo ponto B é dada por 𝑽𝑩 𝑽𝑨 𝑽𝑩𝑨 444 Onde VA velocidade do ponto A que é conhecida à partida VBA velocidade de B em relação a A representa a velocidade de B num sistema de coordenadas que tem A como origem ou seja 𝑽𝑩𝑨 𝝎 𝑹𝑩𝑨 445 Substituindo a equação 445 em 444 vem que UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 12 𝑽𝑩 𝑽𝑨 𝝎 𝑹𝑩𝑨 𝑽𝑨 𝑽𝑩𝑨 446 Comparando a equação 446 com a equação 442 verificase que a primeira é um caso particular da segunda em que o ponto em estudo tem velocidade nula em relação ao sistema móvel dado que pertence ao mesmo corpo rígido Da análise da equação 446 também podese concluir que a velocidade relativa de dois pontos quaisquer que pertençam ao mesmo corpo rígido é dada pela diferença das velocidades absolutas dos mesmos ou seja 𝑽𝑩𝑨 𝑽𝑩 𝑽𝑨 447 Uma aplicação simples e concreta do que acaba de ser exposto é apresentada na Figura 49 de um mecanismo bielamanivela em que a velocidade do ponto B é conhecida à partida e se pretende calcular a velocidade do ponto C Figura 49 Mecanismo bielamanivela Como os pontos B e C pertencem ao mesmo corpo rígido portanto é possível escrever que 𝑽𝑪 𝑽𝑩 𝑽𝑪𝑩 448 44 MÉTODOS ANALÍTICOS 441 MÉTODO ALGÉBRICO Considerese o mecanismo bielamanivela representado na Figura 410 em relação ao qual se pretende deduzir uma expressão que permita calcular em cada instante a velocidade da corrediça ou seja a velocidade do ponto C Se for considerado que a manivela é o órgão motor rodando em torno de A com uma velocidade angular constante isto é θ2 ω2t UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 13 Figura 410 Representação esquemática do mecanismo bielamanivela Da análise de posição do mecanismo bielamanivela é possível obter a seguinte expressão para a posição do ponto C 𝑟1 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 449 De uma forma simplificada isto é quando r2r3 14 𝑟1 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 2𝑟3 450 As equações 449 e 450 permitem calcular a posição da corrediça em função do tempo e das características geométricas do mecanismo bielamanivela Assim por simples derivação destas equações em relação ao tempo é possível determinar uma expressão que traduz a velocidade do ponto C resultando respectivamente 𝑣1 𝑟1 𝜔2𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑟2 sen𝜔2𝑡 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 451 𝑣1 𝑟1 𝜔2𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑟2 2𝑟3 sen2𝜔2𝑡 452 Devese notar que ω2r2 representa a componente tangencial da velocidade do ponto B De um modo análogo a aceleração da corrediça isto é do ponto C poderá ser facilmente calculada por derivação das equações 451 e 452 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 14 442 MÉTODO DA NOTAÇÃO COMPLEXA A Figura 411 ilustra o mecanismo bielamanivela em que as respectivas barras foram substituídas por vetores posição equivalentes formando uma cadeia cinemática fechada Figura 411 Representação vetorial do mecanismo bielamanivela Utilizando a notação complexa a equação que traduz a cadeia cinemática constituída pelos vetores R1 R2 e R3 é dada por 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 0 453 Derivando a equação 453 em relação ao tempo obtémse a expressão da velocidade da corrediça ou seja 𝑑𝑟2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝑟2𝑖 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝑑𝑟3 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃3 𝑟3𝑖 𝑑𝜃3 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃3 𝑑𝑟1 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃1 𝑟1𝑖 𝑑𝜃1 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃1 0 454 Atendendo a que r2 r3 e θ1 são constantes as respectivas derivadas são nulas e por outro lado como 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝜔2 455 𝑑𝜃3 𝑑𝑡 𝜔3 456 𝑑𝑟1 𝑑𝑡 𝑣1 457 A equação 454 pode ser simplificada e reescrita como 𝑖𝑟2𝜔2𝑒𝑖𝜃2 i𝑟3𝜔3𝑒𝑖𝜃3 𝑣1𝑒𝑖𝜃1 0 458 Utilizando a fórmula de Euler 𝑖𝑟2𝜔2cos 𝜃2 𝑖 sen 𝜃2 i𝑟3𝜔3cos 𝜃3 𝑖 sen 𝜃3 𝑣1cos 𝜃1 𝑖 sen 𝜃1 0 459 Analisando a equação 459 se observa que as incógnitas são ω3 e v1 Assim atendendo a que θ1 0 separando as partes real e imaginária e resolvendo o sistema daí resultante em relação às incógnitas obtémse 𝜔3 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 460 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 15 𝑣1 𝑟2𝜔2sen 𝜃2 cos 𝜃2 tan 𝜃3 461 O valor de θ3 pode ser calculado utilizando a seguinte expressão a qual se obtém da análise de posição do mesmo mecanismo 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 462 Devese salientar que este método além da expressão da velocidade da corrediça também permite obter uma expressão para a velocidade angular da biela 443 MÉTODO DA NOTAÇÃO MATRICIAL O mecanismo bielamanivela ilustrado na Figura 412 é utilizado para demonstrar a aplicação do método da notação matricial no cálculo das velocidades Figura 412 Representação vetorial do mecanismo bielamanivela Na Figura 412 as barras que constituem o mecanismo bielamanivela foram substituídas por vetores posição os quais formam uma cadeia cinemática fechada Da análise de posição do mecanismo bielamanivela verificase que projetando os vectores R1 R2 e R3 segundo as direções X e Y obtémse 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟1 0 463 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 0 464 Derivando estas duas expressões em ordem ao tempo resulta em 𝑟2𝜃2 sen 𝜃2 𝑟3𝜃3 sen 𝜃3 𝑟1 0 465 𝑟2𝜃2 cos 𝜃2 𝑟3𝜃3 cos 𝜃3 0 466 Atendendo a que 𝜃2 𝜔2 𝜃3 𝜔3 e 𝑟1 𝑣1 estas equações são reescritas como 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 sen 𝜃3 𝑣1 0 467 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3𝜔3 cos 𝜃3 0 468 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 16 Onde ω3 e v1 são as incógnitas Reescrevendo as equações 467 e 468 na forma matricial resulta em 𝑟3 sen 𝜃3 1 𝑟3 cos 𝜃3 0 𝜔3 𝑣1 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 469 A equação 469 representa um sistema de equações lineares do tipo Ax c o qual pode ser resolvido por exemplo usando a regra de Cramer Um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas pode ser escrito como 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑥1 𝑥2 c1 c2 470 Sua solução pela regra de Cramer é a seguinte 𝑥1 c1𝑎22 c2𝑎12 𝐷 471 𝑥2 c2𝑎11 c1𝑎21 𝐷 472 Onde o determinante D é calculado como 𝐷 𝑎11𝑎22 𝑎21𝑎12 473 Assim aplicando a regra de Cramer ao sistema representado pela equação 469 vem que 𝜔3 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 474 𝑣1 𝑟2𝜔2 sen𝜃2 𝜃3 cos 𝜃3 475 Onde θ3 é dado pela seguinte equação a qual pode ser obtida pela análise de posição do mecanismo biela manivela 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 476 À semelhança do método da notação complexa o método da notação matricial além da expressão da velocidade da corrediça também permite obter uma expressão para a velocidade angular da biela 45 MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO DE VELOCIDADES O método do polígono de velocidades se baseia na construção e resolução gráfica de equações vetoriais Aqui aplicaremos este método ao mecanismo bielamanivela Considere o mecanismo representado na Figura 413 em que a manivela é órgão motor que roda com uma velocidade angular constante igual a ω2 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 17 Figura 413 Mecanismo bielamanivela em que estão representadas as velocidades dos pontos B e C Ao utilizar o método do polígono de velocidades se pretende determinar a velocidade linear da corrediça isto é a velocidade do ponto C Por definição de velocidade relativa entre dois pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido sabese que para os pontos B e C é válida a seguinte relação 𝑉𝐶 𝑽𝑩 𝑽𝑪𝑩 477 Nesta equação 477 se conhece o módulo e a direção do vetor VB ou seja o módulo é igual a ω2AB e a direção é perpendicular ao segmento AB como se ilustra na Figura 413 Sabese ainda que a direção do vetor VCB é perpendicular ao segmento BC Deste modo é possível traçar a uma escala adequada o polígono de velocidades dado pela equação 477 Assim tomando uma escala adequada e a partir da escolha de um ponto OV como sendo a origem das velocidades representase o vetor VB cuja direção é como se sabe perpendicular ao segmento AB e o sentido é o correspondente ao sentido de rotação da manivela Respeitando na sua colocação em relação a VB as regras da adição e subtração de vetores e seguindo a equação 477 é possível completar graficamente o polígono de velocidades A Figura 414 apresenta o resultado final da construção gráfica do polígono de velocidades onde além da velocidade da corrediça VC é também possível calcular o valor da velocidade relativa VCB medindo diretamente sobre o desenho Figura 414 Construção gráfica do polígono de velocidades UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 18 46 ANÁLISE DE VELOCIDADES DE MECANISMOS ELEMENTARES 461 MECANISMO DE QUATRO BARRAS Na Figura 415 está representado um mecanismo de quatro barras em relação ao qual se pretende efetuar a análise de velocidades de alguns dos seus elementos Figura 415 Mecanismo de quatro barras Na figura estão representados os vetores posição que formam a cadeia cinemática fechada equivalente Neste exemplo considerase que a manivela é o órgão motor logo é conhecido o valor de sua velocidade angular ω2 Utilizando a notação complexa a equação que representa a cadeia cinemática formada pelos vetores R1 R2 R3 e R4 é dada por R1 R2 R3 R4 0 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 478 Como r1 r2 r3 r4 e θ1 não variam com o tempo derivando a equação 478 em relação ao tempo temse que 𝑟2𝑖 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑖 𝑑𝜃3 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑖 𝑑𝜃4 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃4 0 479 Sabese que 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝜔2 480 𝑑𝜃3 𝑑𝑡 𝜔3 481 𝑑𝜃4 𝑑𝑡 𝜔4 482 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 19 Utilizando as equações 480 a 482 conjuntamente com a fórmula de Euler a equação 479 pode ser reescrita como 𝑖𝑟2𝜔2cos 𝜃2 𝑖 sen 𝜃2 i𝑟3𝜔3cos 𝜃3 𝑖 sen 𝜃3 i𝑟4𝜔4cos 𝜃4 𝑖 sen 𝜃4 0 483 Separando as partes real e imaginária 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 sen 𝜃3 𝑟4𝜔4 sen 𝜃4 0 484 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3𝜔3 cos 𝜃3 𝑟4𝜔4 cos 𝜃4 0 485 As equações 484 e 485 formam um sistema de duas equações e duas incógnitas ω3 e ω4 do qual resulta que 𝜔3 𝑟2𝜔2 sen𝜃2 𝜃4 𝑟3 sen𝜃4 𝜃3 486 𝜔4 𝑟2𝜔2 sen𝜃2 𝜃3 𝑟4 sen𝜃4 𝜃3 487 Os valores dos ângulos θ3 e θ4 podem ser obtidos da análise de posição do mecanismo de quatro barras donde resulta que 𝜃3 𝜃𝑑 cos1 𝑟𝑑 2 𝑟3 2 𝑟4 2 2𝑟𝑑𝑟3 488 𝜃4 𝜃𝑑 cos1 𝑟𝑑 2 𝑟4 2 𝑟3 2 2𝑟𝑑𝑟4 489 Onde θd e rd são dados por 𝜃𝑑 𝑠𝑒𝑛1 𝑟2 𝑟𝑑 sen 𝜃2 490 𝑟𝑑 2 𝑟1 2 𝑟2 2 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃2 491 462 MECANISMO DE CORREDIÇA A Figura 416 ilustra o mecanismo de corrediça e os respectivos vetores posição equivalentes Sabendo que a barra 2 é o órgão motor ou seja o valor da velocidade angular ω2 é conhecido Pretendese determinar utilizando o método da notação complexa as componentes de translação e de rotação da velocidade da corrediça UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 20 Figura 416 a Mecanismo de corrediça b Representação vetorial equivalente Com base na notação complexa a cadeia cinemática fechada constituída pelos vectores R1 R2 e R4 pode ser escrita como R1 R2 R4 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 492 Como r1 r2 e θ1 não variam com o tempo da derivação da equação 492 em relação ao tempo resulta que 𝑟2𝑖 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝑑𝑟4 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖 𝑑𝜃4 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃4 0 493 Sabendo que 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝜔2 494 𝑑𝑟4 𝑑𝑡 𝑟4 495 𝑑𝜃4 𝑑𝑡 𝜔4 496 A equação 493 pode ser reescrita como 𝑖𝑟2𝜔2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 i𝑟4𝜔4𝑒𝑖𝜃4 0 497 Aplicando a fórmula de Euler à equação 497 e separando as partes real e imaginária 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟4 cos 𝜃4 𝑟4𝜔4 sen 𝜃4 0 498 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟4 sen 𝜃4 𝑟4𝜔4 cos 𝜃4 0 499 As equações 498 e 499 formam um sistema de duas equações e duas incógnitas 𝑟4 e ω4 cujas soluções são dadas por UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 21 𝑟4 𝑟2𝜔2 sen𝜃4 𝜃2 4100 𝜔4 𝑟2𝜔2 𝑟4 cos𝜃4 𝜃2 4101 Onde θ2 é conhecido à partida uma vez que a barra 2 é o órgão motor e θ4 é dado pela seguinte equação obtida na análise de posição 𝜃4 𝑡𝑎𝑛1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 4102 463 MECANISMO BIELAMANIVELA COM EXCENTRICIDADE Na Figura 417 está representado o mecanismo bielamanivela com excentricidade entre o eixo de rotação da manivela e o eixo que define a direção de translação da corrediça Figura 417 Mecanismo bielamanivela com excentricidade A manivela é o órgão motor que gira com velocidade angular constante igual a ω2 e pretendese conhecer o valor da velocidade linear da corrediça Aplicando o método algébrico ao mecanismo ilustrado na Figura 417 obtémse a seguinte expressão para a posição da corrediça 𝑥4 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑒2 4103 Onde r2 r3 e e são características geométricas do mecanismo ω2 é a velocidade angular da manivela e t é a variável do tempo Derivando a equação 4103 em relação ao tempo e após tratamento matemático obtémse uma expressão que permite calcular a velocidade linear da corrediça a cada instante 𝑣4 𝜔2𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝜔2r2 2 sen𝜔2𝑡 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑒2 4103 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 22 464 MECANISMO BIELAMANIVELA INVERTIDO A Figura 418 ilustra um mecanismo bielamanivela invertido em que as barras foram substituídas por vetores posição equivalentes os quais constituem uma cadeia cinemática fechada Figura 418 Mecanismo bielamanivela invertido Considere que a manivela é o órgão motor e gira com uma velocidade angular constante igual a ω2 Da análise geométrica do mecanismo ilustrado na Figura 418 e utilizando a notação complexa podese escrever R1 R3 R4 R2 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 4104 Da análise de posição são válidas as seguintes relações 𝑟3 r1 2 r2 2 r4 2 2𝑟1𝑟2cos 𝜃1 cos 𝜃2 sen 𝜃1 sen 𝜃2 4105 𝑎 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 4106 𝜃4 𝜃3 90𝑜 4107 𝜃3 tan1 𝑟4 𝛽r4 2 𝑎2 r3 2 𝑎 𝑟3 4108 Onde β 1 Como r1 r4 e θ1 não variam com o tempo derivando em relação ao tempo a equação 4104 vem que 𝑟2𝑖𝜔2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟3𝑖𝜔3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 0 4109 Aplicando a fórmula de Euler separando as partes real e imaginária e resolvendo as equações resultantes obtémse o seguinte sistema de equações UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 4Análise de Velocidades 23 cos 𝜃3 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃4 sen 𝜃3 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃4 𝑟3 𝜔3 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 4110 Este sistema pode ser resolvido utilizando por exemplo a regra de Cramer obtendo as velocidades 𝑟 3 e ω3 Os parâmetros restantes da equação 4110 são previamente conhecidos ou calculados usando as equações 4105 até 4108