Mecanismos e Dinamica das Maquinas - Modulo 2 Descricao de Mecanismos

UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 1 ENGENHARIAS MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2 DESCRIÇÃO DE MECANISMOS Paulo Roberto Rocha Aguiar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 2 SUMÁRIO TIPOS DE TRANSFORMAÇÃO DO MOVIMENTO ENTRE OS ÓRGÃOS MOTOR E MOVIDO 3 MECANISMO DE QUATRO BARRAS OU QUADRILÁTERO ARTICULADO 4 MECANISMO BIELAMANIVELA COM CURSOR 17 MECANISMO DE SCOTCH YOKE 22 MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO 26 MECANISMOS GERADORES DE TRAJETÓRIAS RETILÍNEAS 30 MECANISMOS DE MOVIMENTO INTERMITENTE 40 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos 1ª Ed Bookman 2010 2 CLARO J C P FLORES P Cinemática de Mecanismos Edições Almedina 2007 3 MAZZO N Engrenagens Cilíndricas Da Concepção à Fabricação Editora Blucher 2013 4 FLORES J CLARO J C Pimenta Cinemática de Mecanismos Escola de Engenharia Universidade do Minho 2007 5 MABIE Hamilton H REINHOLTZ Charles F Mechanisms and Dynamics os Machinery 4th ed New York Wiley 1987 Este material é um resumo das notas de aula Portanto é fundamental a leitura do livro indicado como base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados A leitura de qualquer outra referência indicada também auxilia na consolidação dos conhecimentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 3 MÓDULO 2 DESCRIÇÃO DE MECANISMOS 2 DESCRIÇÃO DE MECANISMOS 21 TIPOS DE TRANSFORMAÇÃO DO MOVIMENTO ENTRE OS ÓRGÃOS MOTOR E MOVIDO O tipo de transformação do movimento entre os órgãos motor e movido é base de um critério de classificação dos mecanismos Os mecanismos podem transformar movimento De rotação em rotação De rotação em translação De translação em translação A Figura 21 ilustra essas transformações Figura 21 Tipos de transformação de movimento nos mecanismos Nos mecanismos as principais fontes geradoras de movimento são os UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 4 Atuadores de rotação Ex motor elétrico Atuadores de translação Ex cilindros pneumáticos 22 MECANISMO DE QUATRO BARRAS OU QUADRILÁTERO ARTICULADO 221 DESCRIÇÃO DO MECANISMO O mecanismo de quatro barras ou quadrilátero articulado é o mais simples e comum dos sistemas articulados Os demais mecanismos podem ser obtidos a partir do mecanismo de quatro barras Esta característica aliada ao fato dele apresentar diferentes relações geométricas entre as barras e concomitantemente diferentes relações entre o tipo de movimento de entrada e de saída justifica a sua popularidade O mecanismo de quatro barras encontra inúmeras aplicações na mecânica Em mecanismos de acionamento de prensas Em mecanismos de acionamento de sistemas de projeção de filmes Em mecanismos de retorno rápido A Figura 22 ilustra dois sistemas mecânicos simples de uso frequente em que está presente um mecanismo de quatro barras um alicate e um patim Observe que estão representados os esquemas cinemáticos relativos aos mecanismos de quatro barras associados a cada um dos sistemas mecânicos Figura 22 Exemplos de sistemas mecânicos em que são utilizados mecanismos de quatro barras a Alicate b Patim Do ponto de vista da análise cinemática e dinâmica de mecanismos os segmentos que unem as juntas cinemáticas são a parte essencial dos mecanismos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 5 O quadrilátero articulado é constituído por quatro corpos ou barras sendo Um fixo Um motor Um intermédio Um movido Os elementos motor e movido denominamse manivelas ou barras oscilantes e descrevem movimento de rotação contínuo ou movimento de rotação oscilante 222 REGRA DE GRASHOF Em geral no estudo cinemático de mecanismos é importante saber se o órgão motor pode girar 360º em torno do eixo de rotação Esta propriedade é importante porque os mecanismos são em geral acionados por motores elétricos de movimento contínuo Assim os mecanismos articulados em que o órgão motor apenas oscila dentro de uma determinada amplitude não são apropriados para utilizarem motores que geram movimento de rotação contínuo No caso do mecanismo de quatro barras há uma regra geral e simples de aplicar que permite verificar se o órgão motor pode girar continuamente em torno do eixo de rotação ou se apenas pode oscilar numa determinada amplitude Esta é a regra de Grashof Para mecanismos de quatro barras que descrevem movimento plano se a soma dos comprimentos das barras mais curta e mais comprida for menor ou igual à soma dos comprimentos das duas barras restantes então a barra mais curta pode girar continuamente em relação às outras barras Matematicamente o teorema de Grashof pode ser escrito da seguinte forma 𝑐 𝑙 r s 21 Onde c comprimento da barra mais curta l comprimento da barra mais longa r e s comprimentos das barras intermédias Os mecanismos de quatro barras em que se verifica a condição expressa pela equação 21 chamamse mecanismos de Grashof ou grashofianos Caso contrário os quadriláteros articulados denominamse mecanismos de nãoGrashof ou não grashofianos A Figura 23 ilustra dois mecanismos de quatro barras sendo um deles mecanismo de Grashof Figura 23a e outro mecanismo de nãoGrashof Figura 23b UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 6 Figura 23 a Mecanismo de Grashof b Mecanismo de nãoGrashof No primeiro caso a manivela 2 pode girar continuamente em torno do eixo de rotação que passa em A já no segundo exemplo as barras 2 e 4 apenas oscilam dentro da amplitude representada na figura Observação No critério de Grashof nada é especificado quanto à sequência como as barras estão ligadas entre si nem qual das barras é considerada fixa Assim nos mecanismos de Grashof em que a barra estacionária é adjacente à mais curta o mecanismo é denominado sistema de manivela e barra oscilante como se mostra nas Figuras 24a e 24c Figura 24 Mecanismos de quatro barras de Grashof e de nãoGrashof a Sistema de manivela barra oscilante b Sistema de dupla manivela c Sistema de manivela barra oscilante d Sistema duplamente oscilante ou de dupla barra oscilante UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 7 Quando a barra mais curta é a estacionária as duas barras que lhe são adjacentes podem rodar continuamente como é ilustrado na Figura 24b Este mecanismo é denominado sistema de dupla manivela sendo em geral o órgão motor a barra mais curta entre as barras adjacente e estacionária Quando num mecanismo de quatro barras se fixa a barra oposta à barra mais curta embora a barra mais curta descreva rotações de 360º nenhuma das barras adjacentes pode rodar continuamente apenas podem oscilar como ilustra a Figura 24d Este tipo de quadrilátero articulado é designado sistema de dupla barra oscilante 223 ÂNGULO DE TRANSMISSÃO E VANTAGEM MECÂNICA Como o quadrilátero articulado é um dos mais simples e versáteis mecanismos de uso corrente em mecânica vamos estudar algumas das suas características específicas com mais detalhe Considere o mecanismo de quatro barras ilustrado na Figura 25 o qual de acordo com o critério de Grashof é um mecanismo do tipo dupla barra oscilante Figura 25 Ângulo de transmissão num mecanismo de quatro barras γ Em geral neste tipo de quadrilátero articulado a barra 2 é o órgão motor e a barra 4 o órgão movido Os comprimentos das barras 1 2 3 e 4 são respectivamente r1 r2 r3 e r4 como ilustra a Figura 25 O ângulo de transmissão γ e a vantagem mecânica VM são dois parâmetros importantes no estudo de mecanismos de quatro barras O ângulo de transmissão γ é o ângulo medido entre a barra intermédia e a barra movida como ilustra a Figura 25 A expressão que relaciona o ângulo de transmissão com os comprimentos das barras e a posição angular da barra 2 pode ser obtida aplicando a lei dos cossenos aos triângulos ABD e BCD 𝐵𝐷2 r1 2 r2 2 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃 22 𝐵𝐷2 r3 2 r4 2 2𝑟3𝑟4 cos 𝛾 23 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 8 Igualando as equações 22 e 23 e resolvendo em relação à variável γ resulta que 𝛾 cos1 r3 2 r4 2 r1 2 r2 2 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃 2𝑟3𝑟4 24 Da análise da equação 24 o ângulo de transmissão é apenas função da variável θ que define a posição angular da barra 2 uma vez que os comprimentos das barras r1 r2 r3 e r4 são valores conhecidos Note que para cada valor de θ a função arcocosseno tem duas soluções para γ Ao primeiro valor de γ corresponde a configuração representada na Figura 25 Ao segundo valor de γ corresponde a posição relativa entre as barras 3 e 4 ilustrada na Figura 26 Figura 26 Ângulo de transmissão num mecanismo de quatro barras γ Assim observase que para cada valor de θ o mecanismo de quatro barras pode assumir duas configurações distintas O ângulo de transmissão é mínimo quando a barra 2 está na posição AB e máximo quando a barra 2 alcança a posição AB como se mostra na Figura 27 Figura 27 Ângulo de transmissão mínimo e máximo Quando se deseja que um quadrilátero articulado transmita uma dada força ou momento essa transmissão será mais eficaz quanto mais próximo de 90º for o ângulo de transmissão durante o movimento Assim quando se projeta um mecanismo de quatro barras o ângulo de transmissão deve em geral estar compreendido entre 90º 50º isto é 40º e 140º Quando o ângulo de transmissão está fora deste intervalo o mecanismo tende a bloquear UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 9 Devido ao atrito existente nas juntas cinemáticas Porque as barras intermédia e movida tendem a ficar alinhadas uma com a outra Como o ângulo de transmissão é de fácil obtenção este parâmetro é comummente usado como medida do desempenho do mecanismo de quatro barras Num quadrilátero articulado a razão entre a força ou momento da saída e força ou momento de entrada define a vantagem mecânica do mecanismo VM 𝑉𝑀 𝑀4 𝑀2 A vantagem mecânica pode também ser definida como o a razão entre a velocidade angular de entrada e a velocidade angular de saída 𝑉𝑀 𝜔2 𝜔4 Na Figura 28 estão representados os diagramas de corpo livre de cada uma das barras que constituem o mecanismo de quatro barras Figura 28 Diagramas do corpo livre das barras do quadrilátero articulado Sendo a barra 2 o órgão motor nela atua um momento motor M2 ao passo que na barra 4 órgão movido é exercido um momento resistente M4 Admitindo que a barra movida está em equilíbrio desprezando os efeitos devido à inércia do sistema é nulo o somatório dos momentos que atuam na barra 4 em relação ao ponto D Matematicamente esta condição de equilíbrio é traduzida por 𝑀𝐷 0 𝑀4 𝐹34𝑟4 sen 𝛾 0 25 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 10 Onde F34 força que a barra 3 exerce sobre a barra 4 Resolvendo a equação 25 em função de F34 temse 𝐹34 𝑀4 𝑟4 sen 𝛾 26 Da análise da equação 26 observase que para um dado momento resistente M4 a força exercida ao longo da barra intermédia é mínima quando γ 90º e cresce à medida que o valor de γ decresce tornandose quando γ 0º Do mesmo modo podese escrever para a barra 2 𝑀𝐴 0 𝑀2 𝐹32𝑟2 sen 𝛽 0 27 Sabendo que a que a magnitude da força F32 é igual à da força F23 e a magnitude da força F34 é igual à da força F43 e que a magnitude da força F23 é igual à da força F43 então a magnitude da força F32 é igual à da força F34 a vantagem mecânica do mecanismo de quatro barras pode ser expressa por 𝑉𝑀 𝑀4 𝑀2 𝜔2 𝜔4 𝐹34𝑟4 sen 𝛾 𝐹32𝑟2 sen 𝛽 𝑟4 sen 𝛾 𝑟2 sen 𝛽 28 Onde β ângulo medido entre as barras 2 e 3 como ilustra a Figura 28 224 FASE DE PONTO MORTO E FASE PONTO DE MUDANÇA No mecanismo de quatro barras como em outros mecanismos é possível que em determinadas fases do movimento duas das suas barras fiquem alinhadas uma com a outra Quando isso acontece e se o órgão motor for uma terceira barra o mecanismo fica numa fase de instabilidade ou singularidade denominada fase de ponto morto Na Figura 29 está representado um quadrilátero articulado de dupla barra oscilante Figura 29 Fase de ponto morto num mecanismo de quatro barras UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 11 Quando a barra 2 está colinear com a barra 3 correspondendo à configuração ABCD e se na barra 4 for aplicado um momento então a barra intermédia 3 apenas induz tração ou compressão na barra 2 Sem que a barra 2 descreva qualquer movimento Nestas circunstâncias o mecanismo está numa fase de instabilidade denominada fase de ponto morto Porém ainda para a mesma configuração ABCD da Figura 29 se a barra 2 for o órgão motor não há qualquer ocorrência de fase de ponto morto Utilizando a equação 24 para a configuração ABCD podese facilmente verificar que o ângulo de transmissão é nulo quando um mecanismo se encontra numa fase de ponto morto Assim excetuando os casos em que se pretende transmitir forças extremamente elevadas como por exemplo o mecanismo denominado de alavanca articulada as fases de ponto morto devem ser evitadas de modo a minimizar os esforços a que as barras e juntas cinemáticas estão sujeitas e assegurar que o movimento seja transmitido eficazmente Observação No projeto de mecanismos em que se verifica a existência de fases de ponto morto devem ser tomadas medidas no sentido de ultrapassar estas fases de modo a evitar bloqueios durante o movimento Outro tipo de singularidade ou instabilidade que pode ocorrer nos mecanismos de quatro barras é a que se refere às fases de ponto de mudança As fases de ponto de mudança acontecem quando todas as barras do mecanismo se encontram colineares O quadrilátero articulado utilizado nas rodas das locomotivas é um exemplo bem elucidativo de um mecanismo em que ocorrem fases de ponto de mudança como se mostra na Figura 210 Figura 210 Fase de ponto de mudança num quadrilátero articulado Neste mecanismo denominado mecanismo de paralelogramo se verifica a igualdade no critério de Grashof isto é a soma dos comprimentos da barra mais curta e da barra mais comprida é igual à soma dos comprimentos das outras duas barras Quando o mecanismo se move da configuração ABCD para ABCD onde todas as barras ficam colineares o movimento é cinematicamente indeterminado Assim se por exemplo a roda dianteira se mover de tal modo que o ponto C ocupa a posição C a correspondente posição do ponto B da roda traseira pode ser a ilustrada na Figura 211a em que o mecanismo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 12 se mantém como paralelogramo ou a configuração pode ficar como a representada na Figura 211b sendo este mecanismo vulgarmente denominado de antiparalelogramo ou contraparalelogramo Figura 211 a Paralelogramo b Contraparalelogramo Um modo de eliminar esta fase de ponto de mudança é acoplando volante de inércia ou contrapesos Esta solução é apenas válida para velocidades baixas devido aos desequilíbrios dinâmicos que os volantes produzem Outra solução pode ser feita pelo acoplamento de uma segunda barra intermédia do outro lado da locomotiva e desfasada de 90º da primeira de modo que as fases de ponto de mudança não ocorram em simultâneo como se mostra na Figura 212 Figura 212 Quadrilátero articulado ou paralelogramo sem fase de ponto de mudança Observação A experiência de projetistas e engenheiros diz que quando num mecanismo de acionamento de locomotivas uma das barras intermédias parte a outra barra intermédia tem de ser desmontada antes que a locomotiva retome a marcha Caso contrário podem ocorrer fases de ponto de mudança e consequentemente a própria barra ou um dos pinos pode partir A ocorrência de fases de ponto morto não deve ser confundida com as fases de ponto de mudança embora seja possível que as duas situações ocorram em simultâneo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 13 É importante notar uma diferença fundamental entre estas duas fases de instabilidade A ocorrência de pontos mortos depende da posição da barra motora e do modo como a força motriz é aplicada Um ponto de mudança é originado pela configuração geométrica do mecanismo e é independente de qual das barras é a fixa ou motora uma vez que a cadeia cinemática é a sempre mesma isto é o movimento relativo entre as barras é o mesmo independentemente da barra fixa A Figura 213 mostra outro mecanismo de quatro barras em que também ocorrem fases de ponto de mudança durante o movimento Figura 213 Mecanismo de quatro barras de dupla manivela Este mecanismo de quatro barras é do tipo dupla manivela e apresenta ainda outras características específicas ou seja não tem fases de ponto morto ambas as barras 2 e 4 são rotativas e qualquer uma das barras 2 e 4 pode ser motora ou movida Este mecanismo de quatro barras verifica a igualdade no critério de Grashof Outra particularidade do mecanismo de quatro barras de dupla manivela devese ao fato de que para uma entrada órgão motor a velocidade constante não corresponder uma saída órgão movido a velocidade constante No caso particular do mecanismo da Figura 213 o comprimento das barras longas é igual a duas vezes o comprimento das barras curtas Nestas circunstâncias para cada rotação completa da barra 4 a barra 2 descreve duas rotações completas Por esta razão este mecanismo é conhecido como mecanismo duplicador de voltas UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 14 Esta particularidade pode ser facilmente demonstrável pela sequência de movimentos representados na Figura 214 Figura 214 Mecanismo de quatro barras duplicador de voltas Considerando que a posição inicial do mecanismo corresponde à configuração ABCD na qual as barras 1 e 2 e as barras 3 e 4 estão sobrepostas duas a duas quando a barra 4 roda 120º 120º 180º 60º o ponto B descreve uma semicircunferência de tal modo que a configuração do sistema é dada por ABCD Em seguida a barra 4 roda um arco de 60º e o ponto B descreve um movimento correspondente a uma semicircunferência sendo a nova posição do sistema definida por ABCD ficando as barras sobrepostas Dessa forma após meia rotação da barra 4 a barra 2 descreve uma rotação completa Assim continuando a rodar a barra 4 até esta alcançar a posição inicial facilmente se observa que a barra 2 começa a descrever uma nova rotação completa Em suma após cada rotação completa da barra 4 a barra 2 descreve duas rotações 224 APLICAÇÕES DO MECANISMO DE QUATRO BARRAS Máquina Universal de Desenhar A máquina universal de desenhar ilustrada na Figura 215 usa dois conjuntos de quatro barras quadriláteros articulados É ainda hoje utilizada no traçado de linhas retas paralelas e perpendiculares uma vez que os quadriláteros articulados são constituídos por dois pares de barras paralelas duas a duas Na Figura 215 estão representadas duas posições distintas da máquina de desenhar podendo deste modo observarse o seu funcionamento e o paralelismo entre as barras UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 15 Figura 215 Máquina de desenhar O primeiro quadrilátero ABCD está fixo à base pelas juntas de rotação situadas em A e D enquanto que o segundo quadrilátero EFGH ligado ao primeiro por uma roda auxiliar permite que a extremidade que contém as réguas de desenhar se mova horizontal eou verticalmente As réguas estão solidárias e perpendiculares entre si e podem rodar em torno de P Assim utilizando réguas graduadas é possível traçar e medir distâncias lineares e angulares Pantógrafo O pantógrafo é outro dispositivo mecânico em que utiliza um mecanismo de quatro barras São particularmente úteis quando se pretende reduzir ou ampliar desenhos cujas linhas são irregulares como acontece frequentemente em desenhos topográficos O comando de máquinasferramenta com leitura óptica como por exemplo o corte de chapa pode ser feito com o recurso a um pantógrafo sendo frequentemente usado um fator de ampliação de 101 entre o desenho e a peça executada A Figura 216 mostra uma configuração genérica de um pantógrafo em que a junta de rotação situada em P está fixa e é denominada polo O pantógrafo é constituído por um conjunto de quatro barras que formam um paralelogramo As barras estão ligadas entre si por juntas cinemáticas de rotação nos pontos P B C e D No ponto E é colocado um estilete que permite seguir o desenho a reduzir enquanto que no ponto L existe um lápis com o qual é traçado o desenho reduzido Quando se pretende fazer uma ampliação em vez de uma redução invertemse as posições do estilete e do lápis UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 16 A posição relativa entre pontos C D E e L é tal que os pontos P L e E se situam na mesma linha reta como ilustra a Figura 216 Figura 216 Representação esquemática de um pantógrafo A demonstração do funcionamento do pantógrafo pode ser feita admitindo por exemplo que o ponto E se desloca até alcançar a posição E passando o pantógrafo a ocupar a posição representada a traço interrompido Assim enquanto que o movimento do estilete descreve o segmento EE o correspondente segmento descrito pelo lápis é LL Da observação da Figura 216 é possível concluir que os triângulos PEB e PCL são semelhantes e deste modo pode escreverse que 𝑃𝐸 𝑃𝐿 𝐵𝐸 𝑃𝐶 29 Uma vez que os triângulos PBE e PCL são também semelhantes resulta que 𝑃𝐸 𝑃𝐿 𝐵𝐸 𝑃𝐶 210 Como as barras são perfeitamente rígidas e uma vez que as posições relativas das juntas não variam durante o movimento são válidas as seguintes relações 𝐵𝐸 𝐵𝐸 211 𝑃𝐶 𝑃𝐶 212 Donde 𝑃𝐸 𝑃𝐿 𝑃𝐸 𝑃𝐿 213 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 17 LL e EE são segmentos paralelos e obedecem à seguinte relação de proporcionalidade 𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑃𝐸 𝑃𝐿 𝑃𝐸 𝑃𝐿 𝐵𝐸 𝑃𝐶 214 Concluise portanto que os comprimentos traçados pelo lápis são proporcionais aos traçados pelo estilete sendo a razão de proporcionalidade isto é a escala de ampliação ou de redução a relação entre os comprimentos BE e PC Da distância entre a articulação C e o ponto P uma vez que o comprimento BE não varia Em geral a barra CD do pantógrafo do tipo representado na Figura 216 tem duas corrediças nas extremidades que permitem deslocar as posições das articulações correspondentes Normalmente as barras do pantógrafo têm uma graduação que permite marcar diretamente as escalas de redução ou de ampliação pretendida 23 MECANISMO BIELAMANIVELA COM CURSOR O mecanismo bielamanivela com cursor um caso particular do mecanismo de quatro barra em que a barra movida tem comprimento infinito Esta transformação geométrica está representada na Figura 217 Figura 217 a Quadrilátero articulado b Mecanismo bielamanivela Na prática a barra movida transformase num cursor ou num pistão restrito de forma a moverse segundo uma linha reta por meio de guias ou de um cilindro A barra 2 que descreve movimento de rotação é denominada manivela enquanto que a barra intermédia barra 3 é designada biela No mecanismo bielamanivela a manivela descreve somente movimento de rotação o cursor descreve apenas movimento de translação retilínea e a biela tem um movimento geral ou misto ie coexistem as características cinemáticas associadas aos movimentos de rotação e de translação O mecanismo bielamanivela é largamente utilizado em sistemas mecânicos para transformar movimento de rotação em movimento de translação retilínea ou viceversa Uma das suas principais aplicações é em motores de combustão interna como se ilustra em esquema na Figura 218 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 18 Figura 218 Mecanismo bielamanivela de um motor de combustão interna Nestes motores os gases exercem pressão sobre o pistão a qual é transmitida à manivela por intermédio da biela Nos motores de combustão interna as fases de ponto morto correspondentes às posições extremas do cursor são superadas pela introdução de um volante de inércia no eixo da manivela O mecanismo bielamanivela encontra ainda aplicação frequente em compressores de ar onde a manivela é o órgão motor que recebe o movimento de rotação por exemplo de um motor eléctrico sendo transformado em movimento alternativo de translação que comprime o ar Devese notar que neste tipo de aplicação não existem fases de ponto morto Contudo as fases de ponto de mudança podem existir sempre que a biela e manivela tenham o mesmo comprimento Uma vez que são quatro os corpos que compõem o mecanismo bielamanivela há quatro possíveis inversões do mecanismo como é ilustrado na Figura 219 Figura 219 Quatro possíveis inversões do mecanismo bielamanivela Na Figura 219a está representado o mecanismo bielamanivela básico que existe nos motores de combustão interna UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 19 O corpo 4 o cursor é o órgão motor que é acionado pela expansão dos gases de combustão a barra 2 é o órgão movido e o estacionário é o bloco ou cilindro Tal como foi referido anteriormente invertendo os papéis entre o órgão motor e movido o mesmo mecanismo pode funcionar como compressor Na Figura 219b a manivela está fixa ao passo que a barra 1 anteriormente fixa pode rodar Este tipo de mecanismo foi muito utilizado em motores de combustão interna nos primórdios da indústria aeroespacial sendo conhecidos como motores rotativos porque os cilindros rodam em relação à manivela que está fixa Uma outra inversão do mecanismo bielamanivela é a que mostra a Figura 219c em que biela é o corpo estacionário Este tipo de inversão teve aplicação como mecanismo de tração nas locomotivas a vapor sendo o corpo 2 a roda A inversão representada na Figura 219d em que o cursor é o órgão fixo corresponde ao mecanismo das bombas manuais utilizadas para retirar água de poços No mecanismo bielamanivela é comum relacionar a posição linear do cursor com a posição angular da manivela Assim atendendo à geometria da Figura 220 podese escrever a seguinte expressão para a posição do cursor Figura 220 Representação esquemática do mecanismo bielamanivela 𝑥4 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝑟 cos 𝜃 𝑙 cos 𝜑 215 Onde r comprimento da manivela l comprimento da biela θ posição angular da manivela 𝜑 posição angular da biela Na equação 215 a posição do cursor depende de duas variáveis θ e 𝜑 uma vez que para um dado mecanismo os comprimentos das barras são conhecidos Porém como o mecanismo bielamanivela tem apenas um grau de liberdade uma das variáveis pode ser expressa como função da outra UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 20 Assim e com o propósito de eliminar a variável 𝜑 podese aplicar a lei dos senos ao triângulo ABC resultando a seguinte expressão 𝑟 sen 𝜑 𝑙 sen 𝜃 216 Resolvendo a equação 216 em função de sen 𝜑 e introduzindo o resultado na equação fundamental da trigonometria vem que cos 𝜑 1 𝑟2 𝑙2 sen2𝜃 217 Substituindo a equação 217 em 215 obtémse a expressão que traduz a posição do cursor em função da posição angular da manivela e dos comprimentos da manivela e da biela 𝑥4 𝑟 cos 𝜃 𝑙1 𝑟2 𝑙2 sen2𝜃 218 Nos mecanismos bielamanivela de uso corrente o comprimento da biela l é cerca de 3 a 4 vezes superior ao comprimento da manivela r ou seja 𝑟 𝑙 1 4 219 Então 𝑟2 𝑙2 1 16 220 Consequentemente 𝑟2 𝑙2 sen2𝜃 1 16 221 Contudo da Análise Matemática sabese que qualquer expressão do tipo 1 ε 12 pode ser desenvolvida em uma série de potências do seguinte modo 1 𝜀 1 𝜀 2 𝜀2 8 222 Porém para ε 116 o terceiro termo é igual a 12048 logo este termo e os seguintes podem ser desprezados sendo aceitável o erro associado a esta simplificação Assim a equação 218 pode ser simplificada e rescrita como 𝑥4 𝑟 cos 𝜃 𝑙 𝑟2 2𝑙 sen2𝜃 223 Onde O primeiro termo corresponde ao comprimento AD UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 21 O segundo é BC O terceiro é aproximadamente a diferença entre BC e BD O curso total do cursor isto é a distância percorrida pelo cursor durante uma rotação da manivela é igual ao dobro do comprimento da manivela ou seja 2r Uma aplicação em que o mecanismo bielamanivela intervém ativamente é no mecanismo de alavanca articulada como se ilustra na Figura 221 Figura 221 Alavanca articulada Este mecanismo é utilizado em situações em que é necessário superar uma elevada resistência à custa de uma força motriz reduzida como por exemplo em prensas mecânicas máquinas de rebitar britadeiras entre outras aplicações A alavanca articulada é usada em situações estáticas ou em situações dinâmicas O funcionamento da alavanca articulada é tal que à medida que o mecanismo bielamanivela constituído pelas barras 1 4 5 e 6 atinge a posição em que a biela e a manivela se encontram colineares verificase uma rápida subida da relação entre a força útil F e a força de acionamento P como se mostra da Figura 221 Admitindo que as barras 4 e 5 têm o mesmo comprimento da análise geométrica da Figura 221 verificase que a relação entre a força útil e força motriz é dada por 𝐹 𝑃 2 tan 𝛼 224 Sendo que enquanto as barras 4 e 5 tendem para a colinearidade o ângulo α diminui e consequentemente F tende para um valor infinito Outra variante do mecanismo bielamanivela é a que está representada na Figura 222 onde existe uma excentricidade entre o eixo de rotação da manivela e a linha de ação descrita pelo movimento do cursor Este mecanismo também é conhecido como mecanismo de manivela deslocada UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 22 Figura 222 Alavanca articulada Uma particularidade deste tipo de mecanismo é a diferença de tempo entre os movimentos de avanço e de recuo sendo por isso usado como mecanismo de recuo rápido 24 MECANISMO DE SCOTCH YOKE O mecanismo de Scotch Yoke também conhecido como mecanismo de culatra escocesa ou jugo escocês é um caso particular do mecanismo bielamanivela Nele a biela tem comprimento infinito transformandose num cursor como ilustrado na Figura 223 Figura 223 a Mecanismo de dupla corrediça b Mecanismo de Scotch Yoke O mecanismo de Scotch Yoke é constituído por quatros barras o estacionário 1 a manivela 2 e os pistões 3 e 4 Em relação ao mecanismo de quatro barras representado na Figura 223a quando a manivela roda em torno de A o cursor 3 desliza dentro da guia corpo 4 de modo que o ponto B descreve uma trajetória circular e mantém constante a distância ao ponto C que define o centro da curvatura da guia Deste modo resulta que a segmento de reta BC equivale a uma biela com o mesmo comprimento e que o cursor 4 descreve exatamente o mesmo movimento caso fosse um cursor do mecanismo bielamanivela equivalente No mecanismo de Scotch Yoke da Figura 223b o cursor 3 tem comprimento infinito sendo a guia perpendicular ao movimento efetuado pelo cursor 4 A principal aplicação do mecanismo de Scotch Yoke é em motores de bombas em que a economia de espaço é um fator importante bombas compactas UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 23 Contudo o facto de a potência ser transmitida por escorregamento entre as corrediças 3 e 4 limita de algum modo a sua aplicação a pequenos equipamentos em que as cargas em jogo são relativamente baixas Este mecanismo é também utilizado em sistemas vibratórios em máquinas laboratoriais bem como geradores das funções trigonométricas seno e cosseno Aliás uma das características mais importantes do mecanismo de Scotch Yoke é a capacidade de transformar um movimento rotativo a velocidade constante em movimento alternativo de vai e vem do tipo harmônico simples A Figura 224 mostra um esquema de um mecanismo de Scotch Yoke em que ao ponto A está associado a um sistema de eixos XY Figura 224 Mecanismo de Scotch Yoke e respectivas juntas cinemáticas Ainda na mesma figura constam as designações das juntas cinemáticas do mecanismo Assim atendendo à geometria da figura a expressão que relaciona a posição do cursor 4 com a velocidade de rotação da manivela pode ser escrita como 𝑥4 𝐴𝐵 cos 𝜃 𝑟 cos 𝜃 225 Onde r comprimento da manivela θ ângulo que a manivela faz com o eixo X Uma das inversões do mecanismo de Scotch Yoke consiste em considerar fixo o corpo 4 resultando daí um mecanismo de duplo cursor denominado de compasso elíptico como se ilustra na Figura 225 Esta designação advém do facto da trajetória descrita por um qualquer ponto situado na barra 2 ser elíptica sendo como consequência uma das principais aplicações deste mecanismo o auxílio do traçado de elipses UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 24 Figura 225 Mecanismo de duplo cursor ou compasso elíptico O funcionamento do compasso elíptico baseiase no fato de o ponto P da barra 2 se mover ao longo de uma trajetória elíptica cujos eixos são as trajetórias retilíneas dos pontos A e B sendo os semieixos maior e menor da elipse iguais a PA a e PB b respectivamente Assim a expressão matemática que traduz a elipse descrita pela trajetória do ponto P pode ser escrita como 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 226 Da análise geométrica da figura 225 observase que 𝑥 𝑎 𝑃𝑄 𝑃𝐴 227 𝑦 𝑏 𝑃𝑅 𝑃𝐵 228 Por outro lado da semelhança entre os triângulos PQA e PRB podese escrever a seguinte relação 𝑃𝑅 𝑃𝐵 𝑄𝐴 𝑃𝐴 229 Adicionando a ambos os membros da equação 229 o fator PQPA vem que 𝑃𝑄 𝑃𝐴 𝑃𝑅 𝑃𝐵 𝑃𝑄 𝑃𝐴 𝑄𝐴 𝑃𝐴 230 Elevando ao quadrado os dois membros da equação 230 resulta em 𝑃𝑄2 𝑃𝐴2 𝑃𝑅2 𝑃𝐵2 2 𝑃𝑄 𝑃𝐴 𝑃𝑅 𝑃𝐵 𝑃𝑄2 𝑃𝐴2 𝑄𝐴2 𝑃𝐴2 2 𝑃𝑄 𝑃𝐴 𝑄𝐴 𝑃𝐴 231 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 25 Ou seja 𝑃𝑄2 𝑃𝐴2 𝑃𝑅2 𝑃𝐵2 𝑃𝑄2 𝑄𝐴2 𝑃𝐴2 2 𝑃𝑄 𝑃𝐴 𝑄𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝑅 𝑃𝐵 232 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo PQA vem que 𝑃𝑄2 𝑄𝐴2 𝑃𝐴2 233 Donde a equação 232 pode ser simplificada e reescrita como 𝑃𝑄2 𝑃𝐴2 𝑃𝑅2 𝑃𝐵2 1 234 A equação 234 é da elipse que tem como centro a origem O dos eixos coordenados e que traduz a trajetória do ponto P Outra inversão do mecanismo de Scotch Yoke é a que consiste em considerar fixa a manivela 2 resultando no mecanismo chamado junta de Oldham como ilustrado na Figura 226 Figura 226 Junta de Oldham A principal característica deste mecanismo é a de transmitir movimento de rotação entre dois veios que são paralelos não coaxiais com uma razão unitária entre as velocidades angulares de entrada e de saída A não coaxialidade é representada por e na Figura 226 Embora pareça um mecanismo de movimento tridimensional a junta de Oldham é na verdade um mecanismo de movimento plano uma vez que todos os seus pontos se movimentam em planos paralelos entre si e perpendiculares ao eixo de rotação Neste mecanismo o corpo central 4 tem movimento de escorregamento relativamente aos corpos 1 e 3 Este sistema é do ponto de vista cinemático equivalente ao compasso elíptico sendo possível estabelecer um paralelismo funcional entre o eixo e a ranhura do corpo 3 e respectivamente o ponto A e o cursor a que este pertence O corpo 1 corresponde a ranhura cruciforme onde as corrediças se movimentam como mostra a Figura 225 Uma última inversão do mecanismo de Scotch Yoke pode ser obtida fixando o cursor 3 resultando um mecanismo semelhante ao da Figura 223a UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 26 Esta inversão não tem qualquer aplicação prática embora apresente alguns aspectos interessantes do ponto de vista teórico como por exemplo o fato de uma das juntas de rotação ser passiva podendo ser considerada como soldada tornandose num mecanismo de três barras que tende a bloquear facilmente devido ao excessivo número de vínculos 25 MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO Os mecanismos são utilizados em muitas aplicações industriais para realizarem operações repetitivas tais como movimentar peças ao longo de uma linha de montagem apertar peças etc Fresadora é um exemplo de máquinaferramenta projetadas de tal modo que a ferramenta depois ter efetuado o curso de corte retorna à posição inicial com uma velocidade superior à do avanço aumentando assim a eficiência e a capacidade produtiva da máquina É neste contexto que surgem os mecanismos de retorno rápido Estes mecanismos são muito utilizados em máquinasferramenta e outros dispositivos em que se pretende realizar um movimento de trabalho ou avanço mais lento num sentido e um movimento de retorno ao ponto de partida mais rápido utilizando motores rotativos de velocidade angular constante Os mecanismos de retorno rápido são compostos por combinações de mecanismos elementares como o quadrilátero articulado e o mecanismo bielamanivela com cursor 251 MECANISMO DE AVANÇO A Figura 227 ilustra o mecanismo de avanço bem como as posições correspondentes aos extremos das fases de avanço e recuo Figura 227 Mecanismo de avanço O mecanismo de avanço pode ser considerado como uma derivação do mecanismo de quatro barras de dupla manivela em que a barra 2 é órgão motor que roda com velocidade angular constante Dentre os mecanismos de retorno rápido o mecanismo de avanço é o único em que não existem juntas cinemáticas de translação ou deslizantes entre as barras que constituem o mecanismo base No mecanismo de avanço a velocidade de translação do cursor 6 é aproximadamente constante na maior parte da extensão do percurso de avanço daí a designação de mecanismo de avanço UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 27 Nos mecanismos de retorno rápido a principal característica é designada razão de tempo RT que traduz a relação entre o tempo de avanço e o tempo de recuo No projeto de mecanismos de retorno rápido devese ter em consideração que esta relação seja tanto quanto possível maior que a unidade Assim um mecanismo é por definição mecanismo de retorno rápido se e só se a razão de tempo for maior que a unidade Nos mecanismos de retorno rápido o sentido de rotação do órgão motor não é arbitrário Aliás quando num mecanismo de retorno rápido se inverte o sentido de rotação do motor a razão de tempo tornase menor que a unidade e logo o mecanismo deixa de ser de retorno rápido Assim considerando um acionamento a velocidade angular constante a razão de tempo pode ser expressa pelo quociente entre o valor do ângulo de avanço ou de trabalho α e o valor do ângulo de recuo ou retorno β ou seja 𝑅𝑇 𝛼 𝛽 235 Devese notar que a razão de tempo nos mecanismos de retorno rápido não depende do trabalho a realizar nem da velocidade de rotação do órgão motor A razão de tempo é uma propriedade cinemática intrínseca de um dado mecanismo sendo determinada a partir da configuração geométrica do mecanismo 252 MECANISMO DE WHITWORTH O mecanismo de Whitworth deriva da inversão do mecanismo bielamanivela quando se considera fixa a manivela como se mostra na Figura 228 Neste mecanismo tanto a barra 2 como a barra 4 descrevem movimento de rotação contínuo sendo por isso consideradas manivelas O movimento do cursor 3 é condicionado pelo movimento giratório da manivela 4 razão pela qual o mecanismo de Whitworth é também conhecido como mecanismo de cursor giratório Este mecanismo é frequentemente utilizado em máquinasferramenta e em particular em máquinas aplicadas à indústria têxtil Figura 228 Mecanismo de Whitworth UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 28 253 MECANISMO DE MANIVELA DESLOCADA Este mecanismo é igualmente baseado no mecanismo bielamanivela em que a configuração do sistema se obtém por deslocamento do eixo da manivela para fora da linha de deslizamento como se ilustra na Figura 229 Figura 229 Mecanismo de manivela deslocada Este mecanismo é também conhecido como mecanismo bielamanivela com excentricidade representada por e na figura Com este mecanismo conseguemse baixas razões de tempo 254 MECANISMO DO LIMADOR O mecanismo do limador como o ilustrado na Figura 230 não é mais do que uma variante do mecanismo de Whitworth em que o movimento de rotação da manivela 2 é convertido em translação retilínea no cursor 6 À semelhança dos demais mecanismos apresentados nesta seção no mecanismo do limador o movimento de retorno rápido é conseguido uma vez que o pino B da manivela 3 se move ao longo do arco α durante o curso de avanço ou corte ao passo que durante o recuo ou retorno o pino descreve um arco menor β A figura 231 mostra um esquema simplificado do mecanismo do limador relativo a uma posição genérica Da análise geométrica da figura 231 podese escrever tan 𝛾 𝑥 𝑎 𝑏 236 Ou ainda tan 𝛾 𝑟ℎ 𝑟𝑣 𝑏 237 Onde rh componente horizontal da dimensão r rv componente vertical da dimensão r r caracteriza o comprimento da manivela 2 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 29 Figura 230 Mecanismo do limitador Figura 231 Posição genérica do mecanismo do limador Estas duas componentes podem ser calculadas como função do ângulo de rotação da manivela θ que é o órgão motor do mecanismo isto é 𝑟ℎ 𝑟 cos 𝜃 238 𝑟𝑣 𝑟 sen 𝜃 239 Substituindo as equações 238 e 239 na equação 237 resulta tan 𝛾 𝑟 cos 𝜃 𝑟 sen 𝜃 𝑏 240 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 30 Igualando as equações 236 e 240 e resolvendo em função da variável x que representa a trajetória retilínea descrita pelo cursor obtémse 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑟 sen 𝜃 𝑏 𝑎 𝑏 241 A equação 241 traduz a posição do cursor em função da posição angular do órgão motor e das características dimensionais do mecanismo do limador 26 MECANISMOS GERADORES DE TRAJETÓRIAS RETILÍNEAS Os mecanismos geradores de trajetórias retilíneas também conhecidos como mecanismos geradores de retas são mecanismos em que um ou mais pontos descrevem movimento alternativo ao longo de uma trajetória retilínea Esta trajetória que pode ser aproximada ou exata é obtida apenas pela combinação de barras e juntas cinemáticas de rotação excluindose portanto as juntas cinemáticas de translação Deste modo são eliminados os problemas associados ao atrito e ao desgaste inerentes ao funcionamento das juntas cinemáticas de translação do tipo guiacursor como por exemplo a que existe no mecanismo biela manivela Os mecanismos geradores de trajetórias retilíneas encontram aplicação por exemplo em máquinas a vapor máquinasferramenta suspensões de automóvel entre outras Alguns dos mecanismos que pertencem a esta classe apenas possibilitam que o movimento seja retilíneo somente em parte da trajetória limitando deste modo o curso útil Os mecanismos de Watt e de Chebyshev são dois exemplos de mecanismos em que pontos específicos descrevem trajetórias aproximadamente retilíneas Estes mecanismos são de uso mais frequente e em geral são projetados de tal forma que o ponto médio e os extremos da trajetória retilínea pretendida se situam numa linha reta e que se minimiza o desvio dos restantes pontos da trajetória relativamente à linha reta que se pretende O mecanismo de Peaucellier é um dos mais populares mecanismos geradores de trajetórias retilíneas em que o movimento descrito por um dos seus pontos é exatamente retilíneo 261 MECANISMO DE WATT O mecanismo de Watt ou contraparalelogramo articulado é provavelmente o mais conhecido dos mecanismos capazes de gerar trajetórias retilíneas Este mecanismo ilustrado na Figura 232 foi concebido por James Watt em 1784 para servir de guia do pistão da máquina a vapor cujo curso era aproximadamente 12m UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 31 Figura 232 a Mecanismo de Watt b Máquina a vapor O mecanismo de Watt é utilizado para transformar movimento retilíneo alternativo em movimento circular ou de rotação A Figura 233 ilustra uma suspensão de um automóvel em que é usado um mecanismo de Watt para guiar o eixo de rotação que está ligado por intermédio de uma mola helicoidal Figura 233 Suspensão de um automóvel guiada por um mecanismo de Watt Esta aplicação do mecanismo de Watt é caracterizada por um excelente desempenho dado que envolve um curso relativamente pequeno O mecanismo de Watt é constituído por quatro barras articuladas uma fixa duas manivelas e uma biela A Figura 234 mostra um caso particular do mecanismo de Watt em que as manivelas 2 e 4 são paralelas entre si e perpendiculares à biela 3 Tratase de um caso particular do mecanismo de Watt uma vez que no caso mais geral nada é dito quanto à posição relativa das barras No caso do mecanismo representado na Figura 234 as manivelas 2 e 4 podem oscilar livremente em torno das juntas de rotação localizadas em A e D respectivamente A biela estabelece a ligação entre as duas manivelas pelas juntas de rotação situadas em B e C UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 32 Figura 234 Mecanismo de Watt caso particular em que AB CD ABCD e ABBC O movimento do ponto P situado no centro geométrico da biela descreve uma trajetória aproximadamente retilínea quando as manivelas 2 e 4 oscilam Assim quando a manivela 2 roda no sentido direto o ponto B movese para a esquerda segundo uma trajetória circular enquanto que o ponto C da manivela 4 se desloca para a direita também segundo uma trajetória circular O movimento da biela é o que decorre pelo fato de estar constrangida pelas juntas cinemáticas de rotação B e C donde resulta que o ponto P descreve uma trajetória em forma de oito cujo trecho ss é aproximadamente retilíneo A maximização desta trajetória retilínea obtémse quando na configuração inicial representada na Figura 234 as manivelas são paralelas entre si e perpendiculares à biela não devendo a amplitude do movimento angular das manivelas exceder os 20º Indicações complementares de projeto sugerem as seguintes relações geométricas 𝐴𝐵 𝐶𝐷 3 2 𝑠 242 E que 𝐵𝐶 4 7 𝑠 243 Onde s representa a trajetória retilínea A figura geométrica descrita pelo ponto P denominase Lemniscata de Bernoulli razão pela qual o mecanismo de Watt é também conhecido como mecanismo de lemniscata Lemniscata é uma figura geométrica que é representada por uma equação polinomial de sexta ordem a qual pode ser facilmente deduzida Na Figura 235 está representada a configuração mais genérica do mecanismo de Watt em que o ponto P da biela descreve uma lemniscata hiperbólica UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 33 Figura 235 Configuração genérica do mecanismo de Watt Ainda na Figura 235 está representado um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem é coincidente com o centro geométrico da lemniscata Na presente situação admitese que as barras 2 e 4 têm o mesmo comprimento a e que o comprimento da barra 3 é b A distância entre as juntas cinemáticas de rotação A e D é igual a c Atendendo à geometria da Figura 235 as coordenadas cartesianas dos pontos B e C podem ser escritas como 𝑥𝐵 𝑥𝑃 𝑏 2 cos 𝜃 244 𝑦𝐵 𝑦𝑃 𝑏 2 sen 𝜃 245 𝑥𝐶 𝑥𝑃 𝑏 2 cos 𝜃 246 𝑦𝐶 𝑦𝑃 𝑏 2 sen 𝜃 247 Pela aplicação do teorema de Pitágoras podese escrever 𝑥𝐵 𝑐 2 2 𝑦𝐵 2 𝑎2 248 𝑥𝐶 𝑐 2 2 𝑦𝐶 2 𝑎2 249 Substituindo as equações 244 a 247 em 248 e 249 vem que UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 34 𝑥𝑃 𝑏 2 cos 𝜃 𝑐 2 2 𝑦𝑃 𝑏 2 sen 𝜃 2 𝑎2 250 𝑥𝑃 𝑏 2 cos 𝜃 𝑐 2 2 𝑦𝑃 𝑏 2 sen 𝜃 2 𝑎2 251 As equações 250 e 251 podem ser reescritas como 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏𝑥𝑃 cos 𝜃 𝑏𝑦𝑃 sen 𝜃 𝑏𝑐 2 cos 𝜃 𝑐𝑥𝑃 0 252 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏𝑥𝑃 cos 𝜃 𝑏𝑦𝑃 sen 𝜃 𝑏𝑐 2 cos 𝜃 𝑐𝑥𝑃 0 253 Ou ainda 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏𝑐 2 cos 𝜃 254 𝑏𝑥𝑃 cos 𝜃 𝑏𝑦𝑃 sen 𝜃 𝑐𝑥𝑃 255 Da equação 254 pode escreverse que cos 𝜃 2 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏𝑐 256 Substituindo a equação 256 em 255 e resolvendo em ordem ao sen θ vem que sen 𝜃 𝑐2𝑥𝑃 2𝑥𝑃 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏𝑐𝑦𝑃 257 Aplicando a lei fundamental da trigonometria às equações 256 e 257 e após tratamento matemático resulta na seguinte expressão que traduz a equação de uma lemniscata de Bernoulli simétrica 4𝑦𝑃 2 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 2 𝑥𝑃 2 𝑐2 2 𝑥𝑃 2 𝑦𝑃 2 𝑏2 4 𝑐2 4 𝑎2 𝑏2𝑐2𝑦𝑃 2 258 262 MECANISMO DE SCOTT RUSSEL O mecanismo de Scott Russel1 está ilustrado na Figura 236 em que o órgão motor é a manivela 2 que oscila um ângulo 2θ em torno do eixo que passa em A solidário com o estacionário A manivela está ligada ao ponto de traçagem P pelo ponto médio da biela por intermédio de uma junta de rotação Neste mecanismo os comprimentos AB BC e BP são iguais UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 35 Figura 236 Mecanismo de Scott Russel Admitindo que o ponto C se move ao longo do eixo X então o ponto P deslocase segundo o eixo Y isto é perpendicular à trajetória do ponto C Assim com o mecanismo de Scott Russel conseguese transformar um movimento retilíneo em um outro movimento retilíneo na direção perpendicular à direção do primeiro Na verdade a trajetória do ponto P é aproximadamente retilínea uma vez que o ponto C oscila em torno de D O movimento do ponto P é tanto mais retilíneo quanto maior for o comprimento da barra 4 e menor for o ângulo θ descrito pela manivela 2 No mecanismo de Scott Russel verificase a seguinte relação geométrica 𝐴𝐵2 𝐵𝐶 𝐵𝑃 259 Variantes deste mecanismo são aqueles em que BP é maior que AB e aqueles em que 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝑃 Deste modo conseguese uma boa aproximação à retilinearidade O mecanismo de Scott Russel foi usado por Oliver Evans na máquina a vapor que inventou razão pela qual este mecanismo é também conhecido como mecanismo de Evans William Hedley utilizou o mecanismo de Scott Russel como sistema de acionamento das rodas de locomotivas em que a sua disposição em funcionamento se assemelhava à locomoção dos gafanhotos por isso o mecanismo de Scott Russel é também designado mecanismo de gafanhoto UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 36 263 MECANISMO DE ROBERTS O mecanismo de Roberts ilustrado na Figura 237 consiste num quadrilátero articulado duplamente oscilante em que as manivelas AB e CD têm o mesmo comprimento e a barra BC mede metade da dimensão AD Figura 237 Mecanismo de Roberts Este mecanismo fica completo com uma extensão da barra 3 na sua perpendicular e com um comprimento tal que o ponto P fique sobre o ponto médio de AD quando BC se encontrar paralela a AD O movimento de rotação das manivelas 2 e 4 é limitado para um e outro lado à colinearidade entre BC e AD O ponto P passa pelo ponto médio de AD posição representada na Figura 237 e próximo dos extremos do percurso passa por A e D segundo uma trajetória aproximadamente retilínea No mecanismo de Roberts verificamse as seguintes relações geométricas 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝑃 𝐶𝑃 260 Deste modo o triângulo BCP é isósceles Do ponto de visto do projeto os comprimentos de AB e de CD devem ser pelo menos iguais a 60 de AD e quanto maior for esta relação mais retilínea e próxima de AD é a trajetória do descrita pelo ponto P 264 MECANISMO DE CHEBYSHEV O mecanismo de Chebyshev ilustrado na Figura 238 é também um quadrilátero articulado duplamente oscilante em que o ponto médio P da barra 3 descreve uma trajetória aproximadamente retilínea num percurso relativamente longo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 37 Figura 238 Mecanismo de Chebyshev Este mecanismo é frequentemente usado como guia linear No mecanismo de Chebyshev observamse as seguintes relações geométricas 𝐴𝐷 4 261 𝐵𝐶 2 262 𝐴𝐵 5 263 𝐶𝐷 5 264 Do funcionamento do mecanismo de Chebyshev temse que por um lado na posição em que B está em B na perpendicular a AD que passa por D os pontos C e P estarão em C e P respectivamente e sobre a mesma linha Por outro quando na posição em que B está em B similarmente os pontos C e P estão em C e P sobre a linha perpendicular a AD que passa por A Assim o ponto P encontrase em três posições distintas sobre o segmento de reta PP paralelo a AD seguindo uma trajetória aproximadamente retilínea 265 MECANISMO DE PEAUCELLIER O mecanismo de Peaucellier1 foi inventado em 1864 e consiste em oito barras e seis juntas cinemáticas de rotação quatro das quais são ligações ternárias como ilustra a Figura 239 Este mecanismo funciona como um inversor isto é transforma um movimento de rotação em um movimento de translação retilínea Peaucellier chamou a este mecanismo compasso composto UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 38 Figura 239 Mecanismo de Peaucellier O mecanismo de Peaucellier é de entre os mecanismos geradores de trajetórias retilíneas apresentadas neste trabalho o único em que o ponto de traçagem descreve uma trajetória exatamente retilínea No mecanismo de Peaucellier verificamse as seguintes relações geométricas 𝐴𝐵 𝐵𝐷 265 𝐴𝐶 𝐴𝐸 266 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐶𝑃 𝐸𝑃 267 O mecanismo de Peaucellier é obtido acoplandose dois romboides semelhantes Considerando a circunferência de centro em B e raio AB BD a potência de A relativamente a essa circunferência é expressa por 𝐴𝐷 𝐴𝑃 𝐴𝐶2 𝐶𝑃2 268 Assim quando D descreve uma circunferência que passa por A P descreve uma reta inversa dessa circunferência no inversor de polo A e potência AC2 CP2 Esta reta é perpendicular à reta que passa por A e B A Figura 240 ilustra outra configuração do mecanismo de Peaucellier em que o ponto D descreve uma circunferência Note ainda que as linhas PM e PM são perpendiculares a MM O ângulo ADR sendo o ângulo numa semicircunferência é um ângulo reto como os triângulos ADR e AMP são semelhantes se deduz que 𝐴𝐷𝐴𝑅 𝐴𝑀𝐴𝑃 269 Ou ainda 𝐴𝐷 𝐴𝑃 𝐴𝑀 𝐴𝑅 270 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 39 Qualquer que seja a posição de D sobre a circunferência Figura 240 Configuração genérica do mecanismo de Peaucellier Como as dimensões AM e AR são constantes quando D se move na circunferência P se desloca de tal forma que A D e P estão sempre alinhados e ADAP é sempre constante portanto o ponto P descreve a linha reta PM perpendicular à linha reta AB Do mesmo modo se se considerar o ponto P do lado oposto como ADAP é constante P descreve uma trajetória retilínea PM Na Figura 241 está representada uma configuração particular do mecanismo de Peaucellier em que se evidencia a simetria do mecanismo sendo os pontos A D e P colineares Figura 241 Configuração particular do mecanismo de Peaucellier Considere o segmento imaginário CN perpendicular a DP Pela aplicação do teorema de Pitágoras vem que 𝐴𝐶2 𝐴𝑁2 𝐶𝑁2 271 𝐶𝑃2 𝐶𝑁2 𝑁𝑃2 272 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 40 Rearranjando as equações 271 e 272 podese escrever que 𝐴𝐶2 𝐶𝑃2 𝐴𝑁2 𝑁𝑃2 273 Como AN2 NP2 é igual a NA NPNA NP a equação 273 pode ser reescrita como 𝐴𝐶2 𝐶𝑃2 𝐴𝐷 𝐴𝑃 274 A equação 274 é exatamente igual à equação 268 Assim como AC e CD são constantes ADAP é sempre constante quer D e P estejam perto ou longe de A Como o ponto A é solidário com o estacionário e o ponto D é desenhado de modo a descrever uma circunferência de centro em B assim o ponto P reúne as condições geométricas necessárias para se deslocar segundo uma trajetória retilínea A distância da trajetória retilínea aos pontos A e B depende de AC2 CP2 que pode ser fixada de forma arbitrária 27 MECANISMOS DE MOVIMENTO INTERMITENTE Os mecanismos de movimento intermitente são mecanismos que proporcionam um movimento unidireccional e alternado com o tempo ao órgão movido devido a um movimento contínuo de rotação do órgão motor Um movimento intermitente é caracterizado por uma sucessão de períodos de avanço e de repouso ou estacionamento do órgão movido Nos mecanismos de movimento intermitente o órgão movido deslocase sempre no mesmo sentido Estes mecanismos diferem dos do tipo cameseguidor na medida em que nestes últimos o seguidor descreve movimento alternado num e noutro sentido Os mecanismos de movimento intermitente são de primordial importância em mecânica quando se pretende converter um movimento contínuo em geral de rotação num movimento intermitente Exemplos típicos são os mecanismos de comando de operações e de alimentação de peças em máquinas ferramenta e em relojoaria entre outros 271 MECANISMO DE GENEBRA OU CRUZ DE MALTA O mecanismo de Genebra roda de Genebra ou cruz de Malta é o mais popular dos mecanismos de movimento intermitente Este mecanismo se assemelha a um sistema do tipo cameseguidor no qual o movimento contínuo de rotação da manivela proporciona um movimento intermitente da roda sendo usado em sistemas de baixa e alta velocidade O mecanismo de Genebra foi originalmente empregado em relógios para evitar que fosse dada corda em excesso UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 41 Atualmente é usado em sistemas mecânicos automáticos tais como em mecanismos de projeção para possibilitar o movimento intermitente ao avanço das películas dos filmes A Figura 242 representa um mecanismo de Genebra de seis ranhuras o qual é constituído por quatro corpos a saber o estacionário 1 a manivela 2 o pino 3 e a roda 4 Figura 242 Mecanismo de Genebra ou cruz de Malta A manivela que é o órgão motor e roda em geral com velocidade angular constante dispõe de um pino que engrena nas ranhuras de roda Durante uma rotação completa da manivela a roda descreve um movimento circular equivalente a uma fracção de uma rotação cuja amplitude depende do número de ranhuras O ângulo β representa metade do ângulo descrito pela roda durante o período de atuação do pino Devese notar que as linhas de centros das ranhuras e da manivela são perpendiculares nos instantes de engrenamento e desengrenamento deste modo minimizamse os choques A manivela dispõe ainda de um ressalto ou chapa travadora destinado a reter a roda quando esta não se encontra atuada pelo pino A parte convexa do ressalto ajustase à parte côncava da roda enquanto que a interrupção do ressalto permite a passagem correta da ranhura durante o percurso comandado pela atuação do pino O mecanismo de Genebra é caracterizado pelo raio da manivela r2 o raio da roda r4 e o número de ranhuras O número mínimo de ranhuras é de três sendo que a maior parte dos mecanismos de Genebra usa entre quatro e doze ranhuras O ângulo β que é metade do ângulo medido entre duas ranhuras adjacentes pode ser expresso por 𝛽 360 2𝑛 275 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 42 Onde n número de ranhuras A distância entre eixos pode ser calculada como 𝑐 𝑟2 sen 𝛽 276 Depois do pino entrar na ranhura e conduzir a roda a análise do mecanismo de Genebra é equivalente à análise do mecanismo bielamanivela como se ilustra na Figura 443 Figura 243 Fase de engrenamento no mecanismo de Genebra A relação entre os ângulos θ2 e θ4 que representam os ângulos de rotação da manivela e da roda respectivamente pode ser escrita como tan 𝜃4 sen 𝜃2 𝑐 𝑟2 cos 𝜃2 277 Derivando a equação 277 obtémse a velocidade angular da roda 𝜔4 𝜔2 𝑐 𝑟2 cos 𝜃2 1 1 𝑐 𝑟2 2 2 𝑐 𝑟2 cos 𝜃2 278 O valor máximo da velocidade angular da roda verificase quando o ângulo da manivela é nulo Assim substituindo θ2 0 na equação 278 vem que 𝜔4 𝜔2 𝑟2 𝑐 𝑟2 279 A aceleração angular da roda obtémse derivando a equação 278 em relação ao tempo resultando 𝛼4 𝜔2 2 𝑐 𝑟2 sen 𝜃2 1 𝑐 𝑟2 2 1 𝑐 𝑟2 2 2 𝑐 𝑟2 cos 𝜃2 2 280 A aceleração atinge o valor máximo quando UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 43 𝜃4 cos1 1 𝑐 𝑟2 2 4 𝑐 𝑟2 2 1 𝑐 𝑟2 2 4 𝑐 𝑟2 281 Que ocorre quando o pino avança cerca de 30 para dentro da ranhura Diversos são os métodos utilizados para reduzir a aceleração da roda com o intuito de minimizar as forças inerciais e consequentemente reduzir o desgaste nas ranhuras Um dos métodos é baseado na utilização de ranhuras em forma de curva reduzindo assim a aceleração porém aumenta a desaceleração e por conseguinte o desgaste no outro lado da ranhura A Figura 244 mostra o mecanismo de Genebra inverso o qual é caracterizado pelo fato de a manivela e a roda descrever um movimento de rotação no mesmo sentido Figura 244 Mecanismo de Genebra inverso Existe outra variante do mecanismo de Genebra que tem como saída um movimento de translação linear ilustrado na Figura 245 Figura 245 Mecanismo de Genebra linear Este mecanismo é semelhante ao mecanismo de Scotch Yoke a diferença reside no fato de o mecanismo de Genebra ser um mecanismo aberto UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 44 Esta variante é usada no acionamento de correias transportadoras intermitentes em que as ranhuras fazem parte das próprias correias e o acionamento é feito por um motor de rotação 272 MECANISMO DE CATRACA O mecanismo de catraca pertence à classe de mecanismos que possibilitam que o órgão movido se movimente num sentido e bloqueie no outro A Figura 246 ilustra um exemplo simples deste tipo de mecanismo Figura 246 Mecanismo de catraca Neste mecanismo a alavanca 2 é o órgão motor que está dotado de um movimento oscilatório o qual é transmitido à roda dentada 4 através da catraca 3 Esta transmissão acontece apenas num dos sentidos da oscilação O retorno da roda 4 é evitado pela segunda catraca 5 Em funcionamento a linha de ação da catraca motor 3 sobre o dente atuado referenciada por PN deverá passar entre os centros A e B de forma a manter as superfícies em contacto Por sua vez a linha de ação da catraca 5 sobre o respectivo dente deverá passar entre os centros A e C Este mecanismo encontra aplicação em sistemas de corda de relógios em freios manuais em dispositivos mecânicos de contagem entre outros UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 45 273 MECANISMO DE ENGRENAMENTO INTERMITENTE O mecanismo de engrenamento intermitente é constituído por um par de rodas dentadas desenhadas de tal modo que o movimento de rotação contínuo da roda motora induz um movimento de rotação intermitente na roda movida Este tipo de mecanismo é utilizado em situações em que as cargas envolvidas são baixas ou moderadas tais como em dispositivos mecânicos de contagem em sistemas de projeção de películas de filmes alimentadores mecânicos entre outras aplicações A Figura 247 mostra uma das configurações mais simples do mecanismo de engrenamento intermitente em que o órgão movido 3 tem o mesmo tipo de dente que se encontra nas rodas dentadas usadas para movimento contínuo Figura 247 Mecanismo de engrenamento intermitente A roda motora 2 tem apenas um dente que engrena na roda movida provocando nesta um movimento de rotação intermitente A travagem ou bloqueio da roda 3 durante o período de não atuação do dente da roda motora é conseguido pelo desenho de um traçado côncavo na crista dos seus dentes adaptandose à superfície lateral da roda motora Os dentes das rodas podem ser de tal modo desenhados que proporcionem deferentes relações entre os movimentos de entrada e de saída Assim por exemplo a roda motora pode ter um ou mais dentes e os períodos estacionários da roda movida podem ser uniformes ou variar consideravelmente 274 MECANISMO DE ESCAPE Um mecanismo de escape é um sistema no qual uma roda move barras distintas denominadas linguetas unidas a uma armação que tem um movimento alternativo de rotação ou de translação A disposição das linguetas é tal que quando um dente da roda escapa de uma das linguetas um outro dente contacta a lingueta Um dos mais simples mecanismos de escape é o que está representado na Figura 248 em que a roda motora 2 é dotada de três dentes e a armação 3 que tem duas linguetas desliza sobre uma guia linear de translação UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 46 Figura 248 Mecanismo de escape linear No instante representado na Figura 248 e para o sentido de rotação indicado o dente A termina o contacto com a superfície esquerda da lingueta superior enquanto que o dente B inicia o contacto com a superfície direita da lingueta inferior Como consequência a armação termina a sua translação para a esquerda iniciando assim o movimento inverso Devese referir que o mecanismo de escape linear é reversível isto é a armação pode ser o órgão motor e a roda o órgão movido Outro mecanismo de escape é a roda de balanço que se encontra representada na Figura 249 Este mecanismo encontra aplicação em relojoaria Figura 249 Roda de balanço UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 2Descrição de Mecanismos 47 A roda de balanço está ligada a um pêndulo de período fixo não ilustrado na figura Este é denominado cabelo nos sistemas mecânicos de menor dimensão A roda de escape é em geral movida por uma mola de torção e possui um movimento intermitente comandado pela alavanca ou âncora Para cada oscilação completa da roda de balanço a âncora permite o avanço de um dente da roda de escape Simultaneamente o movimento da roda de escape promove o retorno da âncora à sua posição anterior transmitindo energia à roda de balanço para iniciar um novo ciclo Numa análise mais detalhada do funcionamento deste mecanismo é possível considerar como ponto de partida a posição em que a âncora se encontra encostada ao pinobatente localizado no lado esquerdo Nesta posição o dente A da roda de escape atua contra a lingueta da esquerda enquanto que a roda de balanço rodando no sentido antihorário por ação da energia acumulada no pêndulo leva a que o rubi mova a âncora no sentido horário O movimento da âncora levará a lingueta a soltar o dente A empurrando a lingueta para cima e a partir deste instante a âncora fará movimentar o rubi transmitindo energia ao pêndulo ligado à roda de balanço Após certo ângulo de rotação da roda de escape o dente B será bloqueado pela lingueta direita que entretanto baixou devido à rotação da âncora O movimento desta é restringido pelo pinobatente da direita enquanto que a roda de balanço inverte o sentido de rotação por ação do pêndulo que havia acumulado energia suficiente para o efeito Uma vez que o rubi contacta com a superfície esquerda do garfo no topo da âncora esta inicia o movimento de rotação no sentido antihorário destravando o dente B da roda de escape Após certo ângulo de rotação da roda de escape a lingueta esquerda da âncora bloqueia um novo dente reiniciandose o processo