Analise de Aceleracoes em Mecanismos Dinamicos - Modulo 5 UCAM

UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 1 ENGENHARIAS MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5 ANÁLISE DE ACELERAÇÕES Paulo Roberto Rocha Aguiar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 2 SUMÁRIO MOVIMENTO CURVILÍNEO 4 ACELERAÇÃO DE UM PONTO NUM SISTEMA MÓVEL 7 ACELERAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO 11 MÉTODOS ANALÍTICOS 14 MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO DE ACELERAÇÕES 18 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO DE MECANISMOS ELEMENTARES 19 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos 1ª Ed Bookman 2010 2 CLARO J C P FLORES P Cinemática de Mecanismos Edições Almedina 2007 3 MAZZO N Engrenagens Cilíndricas Da Concepção à Fabricação Editora Blucher 2013 4 FLORES J CLARO J C Pimenta Cinemática de Mecanismos Escola de Engenharia Universidade do Minho 2007 5 MABIE Hamilton H REINHOLTZ Charles F Mechanisms and Dynamics os Machinery 4th ed New York Wiley 1987 Este material é um resumo das notas de aula Portanto é fundamental a leitura do livro indicado como base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados A leitura de qualquer outra referência indicada também auxilia na consolidação dos conhecimentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 3 MÓDULO 5 ANÁLISE DE ACELERAÇÕES 5 ANÁLISE DE ACELERAÇÕES A aceleração mede a rapidez com que um corpo varia a sua velocidade em relação ao tempo A aceleração é uma grandeza vetorial que tem a mesma direção do vector velocidade No caso em que o movimento é acelerado os vetores aceleração e velocidade têm o mesmo sentido No caso em que no movimento é desacelerado ou retardado os vetores aceleração e velocidade têm sentidos contrários A aceleração média pode ser definida como sendo a razão entre a diferença de velocidade e o intervalo de tempo necessário para que essa diferença de velocidade aconteça Quando este intervalo de tempo tende para zero a aceleração se denomina aceleração instantânea Na mecânica clássica ou newtoniana a aceleração está relacionada com a força e a massa pela segunda lei de Newton ou seja 𝐹 𝑚𝒂 51 Onde F força m massa a aceleração A Figura 51 ilustra a trajetória de um ponto P em que P1 e P2 representam duas posições do mesmo Figura 51 Trajetória de um ponto P A velocidade média do ponto P é dada por 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝑹𝑷 𝑡 52 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 4 A correspondente aceleração linear média pode ser escrita como 𝑨𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝑡 53 A velocidade instantânea é dada pelo limite ou derivada da seguinte razão 𝑽 lim 𝑡0 𝑹𝑷 𝑡 𝑑𝑹𝑷 𝑑𝑡 𝑹 𝑷 54 A aceleração linear instantânea ou simplesmente aceleração linear é dada por 𝑨 lim 𝑡0 𝑽 𝑡 𝑑𝑽 𝑑𝑡 𝑽 𝑹 𝑷 55 De forma análoga ao movimento linear para o movimento angular ou de rotação existe a aceleração angular α definida como 𝜶 lim 𝑡0 𝝎 𝑡 𝑑𝝎 𝑑𝑡 𝝎 𝜽 56 Onde ω velocidade angular associada ao movimento de rotação θ posição angular 52 MOVIMENTO CURVILÍNEO A Figura 52 mostra um ponto que descreve uma trajetória curvilínea Figura 52 Movimento curvilíneo Na mesma figura estão representados os vetores unitários associados aos eixos coordenados X e Y bem como os vetores unitários relativos às direções radial e tangencial da trajetória efetuada pelo ponto P O vetor associado ao deslocamento descrito pelo ponto P ao longo da trajetória P1P2 é representado por S e pode ser escrito como UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 5 𝑺 𝑟𝒓 𝑟𝜃𝒕 57 Onde r módulo de R rˆ e tˆ versores das direções radial e tangencial A velocidade do ponto P é dada pela variação instantânea da posição em relação ao tempo isto é 𝑽 𝑟𝒓 𝑟𝜔𝒕 58 Onde 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡 59 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 510 𝒓 𝒊 cos 𝜃 𝒋 sen 𝜃 511 𝒕 𝒊 sen 𝜃 𝒋 cos 𝜃 512 Por definição a aceleração do ponto P é dada pela derivada da velocidade em ordem ao tempo 𝑨 𝑽 513 Assim substituindo as equações 58512 na equação 513 após tratamento matemático resulta que 𝑨 𝑽 𝑟 𝑟𝜔2𝒓 2𝑟𝜔 𝑟𝜔 𝒕 514 Em que 𝑟 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 515 𝜔 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 516 Os demais parâmetros já foram definidos anteriormente Da análise da equação 514 se observa que a aceleração de um ponto que descreve uma trajetória curvilínea é constituída por duas componentes uma de magnitude 𝑟 𝑟𝜔2 na direção rˆ e outra de magnitude 2𝑟𝜔 𝑟𝜔 na direção tˆ Utilizando produto vetorial a equação 514 pode ser reescrita como 𝑨 𝑽 𝑟𝒓 𝝎 𝝎 𝑹 2𝑟𝜔𝒕 𝜶 𝑹 517 Onde α representa a aceleração angular do ponto P Quando a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro de curvatura então os vetores 𝒓 e 𝒓 são nulos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 6 Com esta premissa a equação da velocidade do ponto P é simplificada como 𝑽 𝑟𝜔𝒕 518 Onde o módulo desta velocidade é dado por 𝑣 𝜔𝑟 519 Do mesmo modo a equação da aceleração 517 é simplificada e escrita como 𝑨 𝑽 𝝎 𝝎 𝑹 𝜶 𝑹 520 O termo ω ωR é a aceleração centrípeta e representa a componente da aceleração na direção radial ou normal e cujo sentido aponta para o centro da curvatura O termo α R é a aceleração tangencial e representa a componente da aceleração que é tangencial à trajetória no ponto P A equação 520 pode ser reescrita da seguinte forma 𝑨 𝑨𝒏 𝑨𝒕 521 Em que 𝑨𝒏 𝝎 𝝎 𝑹 522 𝑨𝒕 𝜶 𝑹 523 Os módulos das componentes normal e tangencial da aceleração são dados por 𝑎𝑛 𝜔2𝑟 𝜔𝑣 𝑣2 𝑟 524 𝑎𝑡 𝛼𝑟 525 A Figura 53 mostra as componentes instantâneas de aceleração do ponto P bem como a sua velocidade quando o centro de rotação coincide com a origem do sistema de coordenadas Figura 53 Componentes normal e tangencial da aceleração UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 7 A componente normal da aceleração An está dirigida para o centro da curvatura sendo responsável pela manutenção da trajetória A componente tangencial At é tangente à trajetória e é responsável pela variação da velocidade O vetor A representa a aceleração total do ponto P no instante considerado e é igual à soma vetorial das componentes normal e tangencial As equações 518 até 525 são particularmente úteis no cálculo das magnitudes dos vetores velocidade e aceleração de pontos que descrevam trajetórias circulares Esta situação ocorre com frequência no estudo de mecanismos em que o centro de curvatura é coincidente com a origem do sistema de coordenadas 53 ACELERAÇÃO DE UM PONTO NUM SISTEMA MÓVEL A Figura 54 ilustra o movimento de um ponto relativamente a um sistema de coordenadas móvel Figura 54 Movimento de um ponto num sistema referencial móvel O sistema de coordenadas XYZ é fixo ao passo que o sistema de coordenadas xyz é móvel Da análise da Figura 54 podese observar que a posição do ponto P em relação ao sistema de coordenadas XYZ pode ser escrito como 𝑹𝑷 𝑹𝑶 𝑹 526 Onde RO vetor posição da origem do sistema de coordenadas móvel R vetor posição do ponto P em relação a este sistema de coordenadas Em coordenadas cartesianas o vetor R é escrito como UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 8 𝑹 𝑟𝑥𝒊 𝑟𝑦𝒋 𝑟𝑧𝒌 527 Onde rx ry e rz módulos das componentes do vector R nas direções x y e z respectivamente i j e k vectores unitários correspondentes às mesmas direções Estes vetores variam durante o movimento associado ao sistema de referência móvel A velocidade absoluta do ponto P isto é a velocidade expressa em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ pode ser obtida derivando a equação 526 em relação ao tempo 𝑽𝑷 𝑹 𝑷 𝑹 𝑶 𝑹 528 Derivando a equação 527 em relação ao tempo 𝑹 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 529 Onde os três primeiros termos do segundo membro representam a velocidade do ponto P em relação ao sistema de coordenadas móvel xyz a qual por conveniência pode ser escrita como 𝑽 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 530 Considerando os três últimos termos do lado direito da equação 529 Assim a velocidade do ponto localizado na ponta de um vetor R que passa por um ponto fixo e roda em torno deste ponto com uma velocidade ω é dada por 𝑽 𝝎 𝑹 531 As derivadas dos vetores unitários podem ser expressas por 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝝎 𝒊 532 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝝎 𝒋 533 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝒌 534 Onde ω representa a velocidade angular do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ Utilizando as equações 532 533 e 534 pode escreverse que 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝑟𝑥𝝎 𝒊 𝑟𝑦𝝎 𝒋 𝑟𝑧𝝎 𝒌 535 Ou seja 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑟𝑥𝒊 𝑟𝑦𝒋 𝑟𝑧𝒌 536 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 9 Usando a relação dada pela equação 527 𝑟𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑹 537 Devese notar que a equação 537 representa a velocidade linear de um ponto que roda em torno de eixo fixo Pelo que acaba de ser exposto a equação 529 pode ser reescrita da seguinte forma 𝑹 𝑽 𝝎 𝑹 538 A velocidade do ponto P dada pela equação 528 é escrita como 𝑽𝑷 𝑽𝑶 𝑽 𝝎 𝑹 539 Onde 𝑽𝑶 𝑹 𝑶 540 Na equação 539 VP velocidade do ponto P expressa no sistema de coordenadas fixo XYZ VO velocidade linear da origem do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ V velocidade do ponto P em relação ao sistema de coordenadas móvel xyz ω velocidade angular do sistema móvel relativamente ao sistema fixo R distância da origem do sistema de coordenadas xyz ao ponto P A aceleração do ponto P pode ser obtida por derivação da equação 539 em relação ao tempo 𝑨𝑷 𝑽 𝑷 𝑽 𝑶 𝑽 𝝎 𝑹 𝝎 𝑹 541 O termo 𝑽 pode ser obtido por derivação da equação 530 𝑽 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 𝑟 𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟 𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟 𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 542 Onde os três primeiros termos do segundo membro representam a aceleração do ponto P em relação ao sistema de coordenadas móvel xyz a qual por conveniência pode ser escrita da seguinte forma 𝑨 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 543 Considerando os três últimos termos do lado direito da equação 542 atendendo às relações dadas pelas equações 532 até 534 podese escrever que 𝑟 𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟 𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟 𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝑟 𝑥𝝎 𝒊 𝑟 𝑦𝝎 𝒋 𝑟 𝑧𝝎 𝒌 544 Ou seja 𝑟 𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟 𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟 𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑟 𝑥𝒊 𝑟 𝑦𝒋 𝑟 𝑧𝒌 545 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 10 Ou ainda 𝑟 𝑥 𝑑𝒊 𝑑𝑡 𝑟 𝑦 𝑑𝒋 𝑑𝑡 𝑟 𝑧 𝑑𝒌 𝑑𝑡 𝝎 𝑽 546 Utilizando as equações 543 e 546 a equação 542 pode ser reescrita como 𝑽 𝑨 𝝎 𝑽 547 O último termo da equação 541 é obtido recorrendo à equação 538 𝝎 𝑹 𝝎 𝑽 𝝎 𝝎 𝑹 548 Substituindo as equações 547 e 548 na equação 541 resulta que 𝑨𝑷 𝑨𝑶 𝑨 𝟐𝝎 𝑽 𝝎 𝑹 𝝎 𝝎 𝑹 549 Onde 𝑨𝑶 𝑽 𝑶 550 O significado físico dos termos que surgem na equação 549 é o seguinte AP aceleração do ponto P em relação ao sistema de coordenadas XYZ AO aceleração da origem do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ A aceleração do ponto P relativamente ao sistema de coordenadas móvel xyz 2ωV aceleração de Coriolis que mede o efeito combinado de P em relação ao sistema de coordenadas móvel e da rotação deste mesmo sistema ω velocidade angular do sistema de coordenadas xyz em relação ao sistema de coordenadas fixo XYZ V velocidade do ponto P no sistema de coordenadas móvel xyz R vetor posição do ponto P no sistema de coordenadas móvel xyz 𝝎 R Efeito da velocidade angular devida à rotação do sistema móvel xyz ωωR efeito da aceleração angular devida à rotação do sistema de coordenadas xyz aceleração centrípeta Uma aplicação disto pode ser vista ao estudar o movimento do mecanismo ilustrado na Figura 55 em que a barra 2 roda com uma velocidade angular constante ω2 logo a velocidade do ponto B é conhecida Figura 55 Aplicação do movimento de um ponto num sistema referencial móvel UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 11 O que se deseja é saber qual a velocidade do ponto C O sistema de coordenadas fixo XY tem a origem em A ao passo que o sistema de coordenadas móvel xy tem origem em B Assim a equação da velocidade do ponto C pode ser escrita como 𝑽𝑪 𝑽𝑩 𝑽 𝝎 𝑹 551 Onde VC é perpendicular a CD e cujo módulo é desconhecido VB é perpendicular a AB e tem módulo igual a ω2AB V vetor nulo porque o ponto C é fixo em relação ao sistema de coordenadas móvel ω R é perpendicular a BC e em que ω ω3 e o módulo de R é igual a BC A direção do vector ω R pode ser obtida pela aplicação da regra da mão direita Efetuando o cálculo das acelerações 𝑨𝑪 𝑨𝑩 𝑨 𝟐𝝎 𝑽 𝝎 𝑹 𝝎 𝝎 𝑹 552 Onde A componente normal da aceleração de C 𝑨𝑪 𝒏 tem módulo igual a 𝜔4 2𝐶𝐷 sendo a sua direção a mesma que a da barra 4 e o sentido de C para D A componente tangencial da aceleração de C 𝑨𝑪 𝒕 é perpendicular à barra CD sendo desconhecido o seu módulo A aceleração do ponto B tem apenas componente normal uma vez que a manivela 2 roda com velocidade angular constante sendo o módulo igual a 𝜔2 2𝐴𝐵 a direção é a mesma que a da manivela e o sentido é o de B para A O vetor A é um vector nulo porque o ponto C é fixo no sistema de coordenadas móvel xy Pela mesma razão é nula a parcela 2ωV O vector 𝝎 𝑹 atua perpendicularmente à barra 3 sendo desconhecido o seu módulo Por seu lado o vector ω ωR tem módulo igual a 𝜔3 2𝐵𝐶 em que a direção é a mesma da barra 3 e o sentido é o de C para B Devese notar que a direção do vetor 𝝎 𝑹 pode ser determinada sabendo que a direção do vector 𝝎 é perpendicular ao plano xy Assim ao efetuar o produto vetorial de 𝝎 𝑹 resulta um vetor que pertence ao plano xy e é perpendicular ao vetor R 54 ACELERAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO A Figura 56 mostra um corpo rígido animado de um movimento geral em que a aceleração do ponto B é conhecida UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 12 Figura 56 Corpo rígido animado de um movimento geral Assim a aceleração do ponto A do mesmo corpo rígido é dada pela seguinte relação matemática 𝑨𝑨 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩 553 Onde AAB representa a aceleração do ponto A em relação ao ponto B Na Figura 57a está representado um corpo rígido em que se consideram dois dos seus pontos A e B Figura 57 Movimento relativo de dois pontos de um corpo rígido Assim quando o corpo é sujeito a um determinado movimento a distância AB mantémse constante o que faz com que o movimento do ponto A seja de rotação em torno de B independentemente do tipo de movimento do ponto B Por outro lado como a trajetória do ponto A relativamente ao ponto B é circular então o vetor aceleração AA pode ser representado pelas componentes normal e tangencial 𝑨𝑨𝑩 𝒏 e 𝑨𝑨𝑩 𝒕 as quais são perpendiculares entre si como se ilustra na Figura 57a Independentemente do movimento do ponto B o movimento angular do corpo em relação ao ponto B é o mesmo que o do corpo relativamente a um corpo fixo porque o ponto B não descreve movimento de rotação UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 13 Assim para a trajetória circular de A relativamente a B a velocidade angular associada à curvatura de raio AB é a mesma que a velocidade angular do corpo O mesmo acontece com a aceleração angular Os módulos das acelerações relativas normal e tangencial do ponto A em relação ao ponto B podem ser calculadas como 𝑎𝐴𝐵 𝑛 𝜔2𝐴𝐵 554 𝑎𝐴𝐵 𝑡 𝛼𝐴𝐵 555 A Figura 57b representa as componentes da aceleração do ponto B em relação ao ponto A em que as magnitudes e sentidos de ω e α são os mesmos da Figura 57a Ainda na Figura 57b está ilustrada a trajetória do ponto B relativamente ao ponto A Nestas circunstâncias devese notar que 𝑨𝑩𝑨 𝒏 𝑨𝑨𝑩 𝒏 556 𝑨𝑩𝑨 𝒕 𝑨𝑨𝑩 𝒕 557 Onde o sinal menos significa que os vetores têm sentidos opostos No caso em que por exemplo o ponto A tem uma dada aceleração tal como ilustrado na Figura 58 considerando o ponto A como sendo o centro da curvatura do movimento do ponto B 𝑨𝑩 𝑨𝑨 𝑨𝑩𝑨 𝑨𝑨 𝑨𝑩𝑨 𝒏 𝑨𝑩𝑨 𝒕 558 Figura 58 Polígono de acelerações de dois pontos de um mesmo corpo Pelo que acaba de ser exposto dois conceitos importantes devem estar presentes 1 Verificase que a componente normal da aceleração de um ponto relativamente a outro ponto pertencente ao mesmo corpo rígido é função da velocidade angular do corpo e da distância entre os dois pontos considerados UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 14 sendo a direção a da linha de união dos dois pontos e o sentido apontando para o ponto de referência 2 Observase que a componente tangencial da aceleração de um ponto em relação a outro ponto pertencente ao mesmo corpo rígido é função da aceleração angular do corpo e da distância entre os dois pontos tendo direção perpendicular à linha de união dos pontos e o mesmo sentido da aceleração angular 55 MÉTODOS ANALÍTICOS 551 MÉTODO ALGÉBRICO A Figura 59 mostra o mecanismo bielamanivela em relação ao qual se pretende deduzir uma equação matemática que permita calcular em cada instante a aceleração da corrediça isto é a aceleração do ponto C Figura 59 Representação esquemática do mecanismo bielamanivela Na presente situação considerase que o mecanismo é acionado pela manivela a qual roda com uma velocidade angular constante igual a ω2 Admitese ainda que os comprimentos da manivela e da biela são conhecidos à partida sendo representados por r2 e r3 respectivamente Assim da análise de posição do mecanismo bielamanivela da Figura 59 sabese a expressão que traduz a cada instante a posição da corrediça 𝑟1 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 559 De forma simplificada isto é quando r2r3 14 𝑟1 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 2𝑟3 560 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 15 Analisando as equações 559 e 560 observase que a posição da corrediça depende diretamente da variável tempo bem como das propriedades geométricas do mecanismo Por isso derivando uma e outra vez em relação ao tempo estas duas equações obtêmse as expressões que permitem calcular a aceleração da corrediça 𝑎1 𝜔2 2𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝜔2 2𝑟2 2cos2𝜔2𝑡 sen2𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 𝜔2 2𝑟2 4sen2𝜔2𝑡cos2𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 2sen2𝜔2𝑡 3 2 561 𝑎1 𝜔2 2𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟2 𝑟3 cos2𝜔2𝑡 562 A título de curiosidade devese afirmar que o termo 𝜔2 2𝑟2 representa a aceleração centrípeta 552 MÉTODO DA NOTAÇÃO COMPLEXA Na Figura 510 está representado esquematicamente o mecanismo bielamanivela em que as barras foram substituídas por vetores posição equivalentes Estes vetores constituem uma cadeia cinemática fechada Figura 510 Representação vetorial do mecanismo bielamanivela Assim utilizando a notação complexa em coordenadas polares a equação que traduz a cadeia cinemática constituída pelos vetores R1 R2 e R3 pode ser escrita como 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 0 563 Tal como anteriormente neste mecanismo o órgão motor é a manivela que roda com velocidade angular constante ou seja θ2 ω2t Pretendese também calcular a aceleração da corrediça logo a equação 563 deve ser derivada duas vezes Atendendo a que r2 r3 e θ1 são constantes as respectivas derivadas são nulas pelo que derivando a equação 563 em relação ao tempo resulta que 𝑖𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑖𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑣1𝑒𝑖𝜃1 0 564 Derivando a equação 564 𝑖𝑟2 𝑑𝜔2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝜔2𝑖 𝑑𝜃2 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃2 𝑖𝑟3 𝑑𝜔3 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃3 𝜔3𝑖 𝑑𝜃3 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃3 𝑑𝑣1 𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜃1 0 565 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 16 Onde 𝑑𝜔2 𝑑𝑡 0 566 𝑑𝜔3 𝑑𝑡 𝛼3 567 𝑑𝑣1 𝑑𝑡 𝑎1 568 A equação 565 pode ser simplificada e reescrita como 𝑖2𝑟2𝜔2 2𝑒𝑖𝜃2 𝑖𝑟3𝛼3𝑒𝑖𝜃3 𝑖2𝑟3𝜔3 2𝑒𝑖𝜃3 𝑎1𝑒𝑖𝜃1 0 569 As incógnitas de equação 569 são α3 e a1 pelo que utilizando a fórmula de Euler separando as partes real e imaginária e resolvendo o sistema daí resultante vem que 𝛼3 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 sen 𝜃3 𝑟3 cos 𝜃3 570 𝑎1 𝑟2𝜔2 2cos 𝜃2 sen 𝜃2 tan 𝜃3 𝑟3𝜔3 2cos 𝜃3 sen 𝜃3 tan 𝜃3 571 Onde α3 aceleração angular da biela a1 aceleração linear da corrediça Os valores de θ3 e de ω3 necessários para o cálculo destas acelerações são obtidos da análise de posição e velocidade respectivamente 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 572 𝜔3 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 573 553 MÉTODO DA NOTAÇÃO MATRICIAL O mecanismo bielamanivela representado na Figura 511 é utilizado para demonstrar a aplicação do método da notação matricial no cálculo da aceleração Figura 511 Representação vetorial do mecanismo bielamanivela UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 17 Na Figura 511 tal como anteriormente as barras que constituem o mecanismo foram substituídas por vetores posição os quais formam uma cadeia cinemática fechada Da análise da configuração geométrica da Figura 511 projetando os vectores R1 R2 e R3 nas direções X e Y vem respectivamente 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟1 0 574 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 0 575 Derivando estas duas expressões em relação ao tempo 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 sen 𝜃3 𝑣1 0 576 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3𝜔3 cos 𝜃3 0 577 As equações 576 e 577 podem ser reescritas na forma matricial como 𝑟3 sen 𝜃3 1 𝑟3 cos 𝜃3 0 𝜔3 𝑣1 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 578 Derivando as equações 576 e 577 𝑟2𝜔2 2 cos 𝜃2 𝑟3𝛼3 sen 𝜃3 𝑟3𝜔3 2 cos 𝜃3 𝑣1 0 579 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟3𝛼3 cos 𝜃3 𝑟3𝜔3 2 sen 𝜃3 0 580 Estas duas equações formam um sistema de duas equações a duas incógnitas α3 e a1 o qual em notação matricial pode ser escrita como 𝑟3 sen 𝜃3 1 𝑟3 cos 𝜃3 0 𝛼3 𝑎1 𝑟2𝜔2 2 cos 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 cos 𝜃3 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 sen 𝜃3 581 Aplicando a regra de Cramer a este sistema 𝛼3 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 sen 𝜃3 𝑟3 cos 𝜃3 582 𝑎1 𝑟2𝜔2 2cos 𝜃2 sen 𝜃2 tan 𝜃3 𝑟3𝜔3 2cos 𝜃3 sen 𝜃3 tan 𝜃3 583 Onde α3 aceleração angular da biela a1 aceleração linear da corrediça Os valores de θ3 e de ω3 necessários para o cálculo destas acelerações são obtidos da análise de posição e velocidade respectivamente 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 584 𝜔3 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 585 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 18 Devese notar que quando se utiliza o método da notação matricial no cálculo das velocidades e das acelerações a matriz dos coeficientes é igual em ambos os casos Esta particularidade é bastante útil e interessante quando se pretende escrever um programa computacional para o efeito uma vez que se pode aumentar a eficiência computacional na medida em que para cada instante é necessário apenas calcular uma única vez a matriz dos coeficientes 56 MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO DE ACELERAÇÕES O método do polígono de acelerações tal como o método do polígono de velocidades baseiase na construção e resolução gráfica de equações vectoriais Vamos aplicar este método ao mecanismo bielamanivela Considere o mecanismo bielamanivela ilustrado na Figura 512 em que o órgão motor é a manivela que gira com velocidade angular constante ω2 Figura 512 Mecanismo bielamanivela em que estão representadas as acelerações dos pontos B e C À semelhança dos casos anteriores pretendese determinar a aceleração linear da corrediça ou seja a aceleração linear do ponto C Por definição de aceleração relativa entre dois pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido sabese que para os pontos B e C é válida a seguinte relação 𝑨𝑪 𝑨𝑩 𝑨𝑪𝑩 586 Substituindo nesta equação as componentes normais e tangenciais 𝑨𝑪 𝒏 𝑨𝑪 𝒕 𝑨𝑩 𝒏 𝑨𝑩 𝒕 𝑨𝑪𝑩 𝒏 𝑨𝑪𝑩 𝒕 587 Onde 𝑎𝐶 𝑛 0 porque a trajetória da corrediça é de translação retilínea 𝑎𝐵 𝑡 0 uma vez que a manivela roda com velocidade angular constante Sabese ainda que 𝑎𝐵 𝑛 𝜔2 2𝑟2 588 𝑎𝐶𝐵 𝑛 𝜔3 2𝑟3 589 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 19 𝑎𝐶𝐵 𝑡 𝛼3𝑟3 590 Assim é possível traçar a uma escala conveniente o polígono de acelerações dado pela equação 587 Tomando uma escala adequada e a partir da definição do ponto OA como sendo a origem das acelerações representase o vetor 𝑨𝑩 𝒏 cuja direção é a mesma da manivela e o sentido de B para A Com a posição de 𝑨𝑩 𝒏 com as regras da adição e subtração de vetores e seguindo a equação 587 é possível construir o polígono de acelerações ilustrado na Figura 513 Figura 513 Construção gráfica do polígono de acelerações Medindo diretamente sobre o polígono de acelerações é possível determinar a aceleração linear da corrediça bem como as componentes da aceleração do ponto C em relação a B 57 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO DE MECANISMOS ELEMENTARES 571 MECANISMO DE QUATRO BARRAS A Figura 514 mostra o mecanismo de quatro barras em que o órgão motor é a manivela que gira com velocidade angular constante igual a ω2 Figura 514 Mecanismo de quatro barras UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 20 Ainda na Figura 514 estão ilustrados os vetores posição correspondentes a cada uma das barras que constituem o mecanismo Com base na notação complexa polar a equação que traduz a cadeia cinemática formada pelos vectores R1 R2 R3 e R4 é escrita como 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 591 Derivando duas vezes esta equação em relação ao tempo obtêmse as expressões que permitem calcular as acelerações das barras deste quadrilátero articulado Assim da primeira derivada da equação 591 temse 𝑟2𝑖𝜔2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑖𝜔3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 0 592 Sabendose que r1 r2 r3 r4 e θ1 são parâmetros que não variam com o tempo Utilizando a fórmula de Euler na equação 592 separando as partes real e imaginária e resolvendo o sistema resultante em relação a ω3 e ω4 obtémse 𝜔3 𝑟2𝜔2 sen𝜃2 𝜃4 𝑟3 sen𝜃4 𝜃3 593 𝜔4 𝑟2𝜔2 sen𝜃2 𝜃3 𝑟4 sen𝜃4 𝜃3 594 Derivando a equação 592 em relação ao tempo 𝑟2𝑖2𝜔2 2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑖𝛼3𝑒𝑖𝜃3 𝑟3𝑖2𝜔3 2𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑖𝛼4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖2𝜔4 2𝑒𝑖𝜃4 0 595 As incógnitas desta equação são α3 e α4 aplicando a fórmula de Euler separando as partes real e imaginária e resolvendo o sistema daí resultante resulta 𝛼3 𝑟2𝜔2 2 cos𝜃2 𝜃4 𝑟3𝜔3 2 cos𝜃3 𝜃4 𝑟4𝜔4 2 𝑟3 sen𝜃4 𝜃3 596 𝛼4 𝑟2𝜔2 2 cos𝜃2 𝜃3 𝑟4𝜔4 2 cos𝜃3 𝜃4 𝑟3𝜔3 2 𝑟4 sen𝜃4 𝜃3 597 Sabendo que a manivela 2 roda com velocidade angular constante então o valor do ângulo θ2 é dado por 𝜃2 𝜔2𝑡 598 Por seu lado os valores dos ângulos θ3 e θ4 podem ser obtidos da análise de posição do mecanismo de quatro barras donde resulta que 𝜃3 𝜃𝑑 cos1 𝑟𝑑 2 𝑟3 2 𝑟4 2 2𝑟𝑑𝑟3 599 𝜃4 𝜃𝑑 cos1 𝑟𝑑 2 𝑟4 2 𝑟3 2 2𝑟𝑑𝑟4 5100 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 21 Onde θd e rd são dados por 𝜃𝑑 𝑠𝑒𝑛1 𝑟2 𝑟𝑑 sen 𝜃2 5101 𝑟𝑑 2 𝑟1 2 𝑟2 2 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃2 5102 572 MECANISMO DE CORREDIÇA Na Figura 515a está representado pelas suas barras o mecanismo de corrediça enquanto na Figura 515b estão apresentados os correspondentes vetores posição os quais constituem uma cadeia cinemática fechada Figura 515 a Mecanismo de corrediça b Representação vectorial equivalente Neste mecanismo considerase que o órgão motor é a manivela 2 que gira com velocidade angular constante ω2 Aqui usando o método da notação complexa é apresentada a análise de acelerações linear e angular da manivela 4 Com base na notação complexa a cadeia cinemática fechada formada pelos vetores R1 R2 e R4 pode ser escrita como 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 5103 Derivando em relação ao tempo 𝑟2𝑖𝜔2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 0 5104 Aplicando a fórmula de Euler à equação 5104 separando as partes real e imaginária e resolvendo em relação a 𝑟4 e ω4 temse 𝑟4 𝑟2𝜔2 sen𝜃4 𝜃2 5105 𝜔4 𝑟2𝜔2 𝑟4 cos𝜃4 𝜃2 5106 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 22 Derivando a equação 5104 em ordem ao tempo 𝑟2𝑖2𝜔2 2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖𝛼4𝑒𝑖𝜃4 𝑟4𝑖2𝜔4 2𝑒𝑖𝜃4 0 5107 As incógnitas desta equação são 𝑟4 e 𝛼4 aplicando a fórmula de Euler separando as partes real e imaginária 𝑟2𝜔2 2 cos 𝜃2 𝑟4 cos 𝜃4 2𝑟4𝜔4 sen 𝜃4 𝑟4𝛼4 sen 𝜃4 𝑟4𝜔4 2 cos 𝜃4 0 5108 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟4 sen 𝜃4 2𝑟4𝜔4 cos 𝜃4 𝑟4𝛼4 cos 𝜃4 𝑟4𝜔4 2 sen 𝜃4 0 5109 As equações 5108 e 5109 constituem um sistema de duas equações a duas incógnitas cujas soluções são 𝑟4 𝑟4𝜔4 2 𝑟2𝜔2 2 cos𝜃2 𝜃4 5110 𝛼4 𝑟2𝜔2 2 sen𝜃4 𝜃2 2𝑟4𝜔4 𝑟4 5111 Onde θ2 é conhecido à partida uma vez que a barra 2 é o órgão motor sendo θ4 dado pela seguinte equação obtida da análise de posição 𝜃4 tan1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 5112 Por outro lado os valores relativos às velocidades 𝑟4 e ω4 podem ser calculados utilizando as equações 5105 e 5106 respectivamente 573 MECANISMO BIELAMANIVELA COM EXCENTRICIDADE A Figura 516 mostra o mecanismo bielamanivela com excentricidade entre o eixo de rotação da manivela e a linha reta que define a direção de translação da corrediça Figura 516 Mecanismo bielamanivela com excentricidade A manivela é o órgão motor que gira com velocidade angular constante igual a ω2 Aplicando o método algébrico ao mecanismo ilustrado na Figura 516 obtémse a seguinte expressão para a posição da corrediça UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 23 𝑥4 𝑟2 cos𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑒2 5113 Onde r2 r e e são características geométricas do mecanismo ω2 é a velocidade angular da manivela e t é a variável tempo Derivando duas vezes a equação 5113 em relação ao tempo e após tratamento matemático obtémse uma expressão que permite calcular a aceleração linear da corrediça a cada instante 𝑎4 𝜔2 2𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝜔2 2𝑟2 2cos2𝜔2𝑡 sen2𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑒2 𝜔2 2𝑟2 4sen2𝜔2𝑡cos2𝜔2𝑡 𝑟3 2 𝑟2 sen𝜔2𝑡 𝑒2 3 2 5114 573 MECANISMO BIELAMANIVELA INVERTIDO A Figura 517 ilustra um mecanismo bielamanivela invertido em que as barras foram substituídas por vetores posição equivalentes os quais constituem uma cadeia cinemática fechada Figura 517 Mecanismo bielamanivela invertido Admitese que na presente situação a manivela é o órgão motor e gira com uma velocidade angular constante igual a ω2 Da análise geométrica do mecanismo ilustrado na Figura 517 e utilizando a notação complexa polar é possível escrever que 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 5115 Da análise de posição são válidas as seguintes relações 𝑟3 𝑟1 2 𝑟2 2 𝑟4 2 2𝑟1𝑟2cos 𝜃1 cos 𝜃2 sen 𝜃1 sen 𝜃2 5116 𝑎 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 5117 𝜃4 𝜃3 90𝑜 5118 𝜃3 tan1 𝑟4 𝛽𝑟4 2 𝑎2 𝑟3 2 𝑎 𝑟3 5119 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 5Análise de Acelerações 24 Onde β 1 Sabendo que r1 r4 e θ1 são constantes derivando em relação ao tempo a equação 5115 vem que 𝑟2𝑖𝜔2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃4 𝑟3𝑖𝜔3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑖𝜔4𝑒𝑖𝜃4 0 5120 Aplicando a fórmula de Euler na equação 5120 separando as partes real e imaginária e rearranjando as equações daí resultantes obtémse o seguinte sistema de equações cos 𝜃3 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃4 sen 𝜃3 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃4 𝑟3 𝜔3 𝑟2𝜔2 sen 𝜃2 𝑟2𝜔2 cos 𝜃2 5121 Este sistema pode ser resolvido utilizando por exemplo a regra de Cramer em relação às velocidades 𝑟3 e ω3 Os parâmetros restantes da equação 5121 são previamente conhecidos ou calculados usando as equações 5116 até 5119 Procedendo de módulo análogo para o cálculo das acelerações isto é derivando em relação ao tempo a equação 5120 e após tratamento matemático obtémse cos 𝜃3 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃4 sen 𝜃3 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃4 𝑟3 𝛼3 𝑟2𝜔2 2 cos 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 cos 𝜃3 2𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4𝜔4 2 cos 𝜃4 𝑟2𝜔2 2 sen 𝜃2 𝑟3𝜔3 2 sen 𝜃3 2𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4𝜔4 2 sen 𝜃4 5122 O sistema dado pela equação 5122 deve ser resolvido em relação às incógnitas 𝑟3 e α3 em que os parâmetros restantes envolvidos são conhecidos pela análise de posição e velocidade anteriormente apresentada Devese salientar que as matrizes dos coeficientes das equações 5121 e 5122 são iguais