Analise de Posicao e Deslocamento - Modulo 3 UCAM

UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 1 ENGENHARIAS MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3 ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO Paulo Roberto Rocha Aguiar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 2 SUMÁRIO DESLOCAMENTO ABSOLUTO 3 DESLOCAMENTO RELATIVO 4 MÉTODOS DE ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 7 MÉTODOS ANALÍTICOS 8 MÉTODOS GRÁFICOS 15 ANÁLISE DE POSIÇÃO DE MECANISMOS ELEMENTARES 16 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos 1ª Ed Bookman 2010 2 CLARO J C P FLORES P Cinemática de Mecanismos Edições Almedina 2007 3 MAZZO N Engrenagens Cilíndricas Da Concepção à Fabricação Editora Blucher 2013 4 FLORES J CLARO J C Pimenta Cinemática de Mecanismos Escola de Engenharia Universidade do Minho 2007 5 MABIE Hamilton H REINHOLTZ Charles F Mechanisms and Dynamics os Machinery 4th ed New York Wiley 1987 Este material é um resumo das notas de aula Portanto é fundamental a leitura do livro indicado como base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados A leitura de qualquer outra referência indicada também auxilia na consolidação dos conhecimentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 3 MÓDULO 3 ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 3 ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO Posição Referese ao local adquirido por um corpo ou um ponto material após este ter efetuado um dado deslocamento Deslocamento Diz respeito à trajetória contínua descrita por um corpo em movimento relativamente a um referencial No caso de movimentos planos a posição de um ponto de um corpo é definida pelas suas coordenadas cartesianas ao passo que o deslocamento é definido por uma expressão que é função do tempo A Figura 31 mostra a posição e o deslocamento de um ponto de um corpo em que as coordenadas xP e yP representam a posição do ponto P para o instante t1 enquanto que a função dt representa o deslocamento ou trajetória do ponto P ao longo do tempo Figura 31 Posição e deslocamento de um ponto P 31 DESLOCAMENTO ABSOLUTO O deslocamento absoluto de um ponto P pode ser definido pela variação do vetor posição RP1 para RP2 como se ilustra na Figura 32 Figura 32 Deslocamento absoluto de um ponto P UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 4 Em notação vetorial o deslocamento do ponto P pode ser expresso por 𝑅𝑃2 𝑅𝑃1 𝑅𝑃 31 Ou seja 𝑅𝑃 𝑅𝑃2 𝑅𝑃1 32 Na Figura 33 estão representadas duas posições de um corpo rígido definido pela barra que une os pontos P e Q Figura 33 Deslocamento absoluto de um corpo rígido O deslocamento entre estas duas posições pode ser considerado como a translação de cada um dos pontos P e Q ou como a translação de um dos pontos P ou Q e a rotação θ do conjunto mas nunca dos três parâmetros simultaneamente uma vez que para um corpo rígido estas variáveis são dependentes Em notação vectorial temse que 𝑅𝑃 𝑅𝑃2 𝑅𝑃1 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐥𝐚çã𝐨 33 𝑅𝑄 𝑅𝑄2 𝑅𝑄1 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐥𝐚çã𝐨 34 𝜃 𝜃2 𝜃1 𝐫𝐨𝐭𝐚çã𝐨 35 32 DESLOCAMENTO RELATIVO A Figura 34 mostra a posição relativa entre os pontos A e B Figura 34 Posição relativa entre dois pontos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 5 Essa posição relativa em termos matemáticos pode escrita como 𝑅𝐵 𝑅𝐴 𝑅𝐵𝐴 36 Ou seja 𝑅𝐵𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐴 37 Onde RBA deve ser lido como sendo a posição do ponto B em relação ao ponto A Quando dois pontos A e B que descrevem movimento de translação RA e RB respectivamente e pertencem a um corpo rígido então a variação da posição do ponto B relativamente ao ponto A é nula Esta situação se deve ao fato de que ambos os pontos pertencerem ao mesmo corpo rígido A Figura 35 ilustra o deslocamento relativo de translação entre dois pontos de um mesmo corpo rígido Figura 35 Deslocamento relativo de translação entre dois pontos que pertencem ao mesmo corpo rígido Pelo acima exposto observase que 𝑅𝐵 𝑅𝐴 38 Também que 𝑅𝐵1𝐴 𝑅𝐵2𝐴 39 Então 𝑅𝐵𝐴 0 310 A equação 310 diz que é nula a variação da posição do ponto B relativamente ao ponto A o que é de se esperar uma vez que ambos os pontos fazem parte do mesmo corpo rígido Devese notar que no caso mais geral é válida a seguinte relação geométrica 𝑅𝐵 𝑅𝐴 𝑅𝐵𝐴 311 Embora na situação representada na Figura 35 o termo RBA seja nulo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 6 A Figura 36 mostra o caso em que o ponto B descreve movimento de rotação em relação ao ponto A Figura 36 Deslocamento relativo de rotação entre dois pontos que pertencem ao mesmo corpo rígido À semelhança da situação anterior ambos os pontos pertencem ao mesmo corpo rígido Neste caso verificase que 𝑅𝐵1𝐴 𝑅𝐵2𝐴 312 E ainda 𝑅𝐵 𝑅𝐵2𝐴 𝑅𝐵1𝐴 𝑅𝐵𝐴 313 Nesta situação observase também que 𝑅𝐵 𝑅𝐴 𝑅𝐵𝐴 314 Em que é nulo o termo ΔRA Na Figura 37 são representadas as translações A1A2 e B1B2 seguidas de uma rotação B2B3 Figura 37 Deslocamento relativo de translação e de rotação entre dois pontos que pertencem ao mesmo corpo rígido Neste caso coexistem os movimentos de translação e de rotação verificandose que 𝑅𝐵 𝑅𝐴 𝑅𝐵𝐴 315 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 7 Onde ΔRA componente de translação ΔRBA componente de rotação 33 MÉTODOS DE ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO São três as principais metodologias que permitem analisar e estudar a posição e o deslocamento nos mecanismos Os métodos analíticos Os métodos gráficos Os métodos computacionais Os métodos analíticos baseiamse essencialmente na dedução de expressões analíticas que traduzem a posição e configuração geométrica dos mecanismos A utilização dos métodos analíticos tornase imprescindível quando a análise de um mecanismo exige o estudo de várias fases do seu movimento Estes métodos além de serem mais precisos e exatos que os métodos gráficos apresentam ainda outra vantagem que uma vez conhecidas as expressões para a posição de um determinado elemento de um mecanismo é possível estudar a influência dos vários parâmetros no movimento global produzido tais como as dimensões das barras e o tipo acionamento Os principais inconvenientes dos métodos analíticos são a difícil detecção de eventuais erros e impossibilidade de visualização dos resultados obtidos em termos do movimento global do mecanismo Os métodos gráficos baseiamse na interpretação geométrica do mecanismo em análise e na sua posterior resolução gráfica Estes métodos têm como inconveniente o fato de serem válidos apenas e exclusivamente para a posição em que são traçados certa imprecisão e demora Com o desenvolvimento de sistemas de desenho assistido por computador trouxe não só um aumento no rigor do traçado como também uma maior economia de tempo A análise cinemática de mecanismos pode ser realizada com o auxílio de programas computacionais especialmente desenvolvidos para este propósito os quais se baseiam em soluções obtidas por aproximações sucessivas Uma vez que estas soluções resultam da aplicação de métodos numéricos os resultados obtidos são sempre aproximados e cujo grau de aproximação e exatidão depende de vários fatores tais como o método de integração o intervalo de integração entre outros Intervalos de integração pequenos originam maior exatidão nos resultados no entanto prejudicam o tempo de processamento UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 8 34 MÉTODOS ANALÍTICOS 341 MÉTODO ALGÉBRICO O método algébrico consiste essencialmente na dedução de expressões analíticas que traduzem a posição de um determinado corpo ou ponto de um corpo em função da configuração geométrica do mecanismo e do tipo de acionamento Considere o mecanismo bielamanivela representado na Figura 38 em relação ao qual se pretende deduzir uma equação que expresse em cada instante a posição do pistão ou cursor ou seja a posição do ponto C Figura 38 Representação esquemática do mecanismo bielamanivela O ponto C representa o centro de massa ou centro de gravidade do pistão Considere que a manivela é o órgão motor e roda em torno do ponto A com velocidade constante ou seja θ2 ω2t Os comprimentos das barras 1 2 e 3 são representados por r1 r2 e r3 respectivamente Note que r1 é variável com o tempo enquanto que r2 e r3 são constantes As posições angulares das barras 1 2 e 3 são respectivamente θ1 θ2 e θ3 em que no presente caso θ1 é nulo ao passo que θ2 e θ3 variam com o tempo Atendendo à geometria da Figura 38 é possível escrever a seguinte expressão para a posição do ponto C 𝑟1 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐶 316 Ou ainda 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 317 Uma vez que o mecanismo bielamanivela tem apenas um grau de liberdade as variáveis θ2 e θ3 não são independentes pelo que uma delas deve ser expressa em função da outra Ainda da Figura 38 observase que 𝐵𝐷 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 318 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 9 A equação 318 pode ser reescrita como sen 𝜃3 𝑟2 𝑟3 sen 𝜃2 319 Substituindo a equação 319 na lei fundamental da trigonometria vem que cos 𝜃3 1 𝑟2 2 𝑟3 2 sen2 𝜃2 320 Introduzindo a equação 320 em 317 obtémse uma expressão que traduz a posição do ponto C em função da posição angular da manivela e dos comprimentos da manivela e da biela 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟31 𝑟2 2 𝑟3 2 sen2 𝜃2 321 Porém como θ2 ω2t a equação 321 pode ser reescrita como 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐𝒕 𝒓𝟑 𝟐 𝒓𝟐 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝝎𝟐𝒕 322 A equação 322 permite calcular a cada instante a posição do pistão em função das características geométricas do mecanismo bielamanivela Deste modo as características cinemáticas da velocidade e aceleração do pistão podem facilmente ser obtidas por derivações sucessivas da equação 322 em relação ao tempo No sentido de simplificar a obtenção destas derivadas é possível efetuar uma simplificação matemática que leva a uma solução mais simples perceptível e ainda com suficiente exatidão Nos mecanismos bielamanivela usuais o comprimento da biela é em geral cerca de três a quatro vezes superior ao da manivela ou seja 𝑟2 𝑟3 1 4 323 Consequentemente 𝑟2 2 sen2 𝜔2𝑡 𝑟3 2 1 16 324 Por outro lado da análise matemática sabese que qualquer expressão do tipo 1 ɛ12 pode ser desenvolvida numa série de potências do seguinte modo 1 𝜀 1 𝜀 2 𝜀2 8 325 Porém para ɛ 116 o terceiro termo é igual a 12048 que é muito pequeno e pode ser desprezado assim como os seguintes sendo aceitável o erro associado a esta simplificação A equação 322 pode ser substituída por UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 10 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐𝒕 𝒓𝟑 𝒓𝟐 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝝎𝟐𝒕 𝟐𝒓𝟑 326 O primeiro termo do segundo membro da equação 326 é AD o segundo termo é BC e o terceiro termo é aproximadamente a diferença entre BC e DB como se pode observar na Figura 38 342 MÉTODO DA NOTAÇÃO COMPLEXA Este método consiste na substituição de cada corpo do mecanismo em análise por um vetor posição equivalente adicionandoos depois ao longo de uma cadeia cinemática fechada A equação ou equações daí resultantes são então escritas em notação complexa O estudo é portanto feito no espaço complexo Na Figura 39 o vector R representa um número complexo o qual pode ser expresso por 𝑹 𝑟𝑥 𝑖𝑟𝑦 327 Onde rx representa a parte real ry representa a parte imaginária i representa a unidade imaginária tal que i 112 Figura 39 Espaço complexo O módulo ou valor absoluto do vector R é dado por 𝑟 𝑟𝑥2 𝑟𝑦2 328 O vector R pode ser escrito em notação complexa e em coordenadas polares como 𝑹 𝑟 cos 𝜃 𝑖𝑟 sen 𝜃 329 Ou ainda 𝑹 𝒓cos 𝜃 𝑖 sen 𝜃 𝑟𝑒𝑖𝜃 330 Das séries numéricas de MacLaurin sabese que UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 11 𝑒𝑖𝜃 1 𝑖𝜃 𝜃2 2 𝑖𝜃3 3 𝜃4 4 𝑖𝜃5 5 𝜃6 6 𝑖𝜃7 7 331 cos 𝜃 1 𝜃2 2 𝜃4 4 𝜃6 6 332 𝑖 sen 𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃3 3 𝑖𝜃5 5 𝑖𝜃7 7 333 Observe que a primeira série é igual à soma das segunda e terceira séries A Figura 310 ilustra o mecanismo bielamanivela em que as respectivas barras estão representadas por vetores posição equivalentes os quais formam uma cadeia cinemática fechada Figura 310 Representação vectorial do mecanismo bielamanivela Assim somando estes vetores pode ser escrita a seguinte equação vetorial 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟏 𝟎 334 Em notação complexa a equação 334 pode ser reescrita como 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 0 335 Onde Na presente situação r2 r3 θ1 e θ2 são parâmetros conhecidos à partida Pelas séries de MacLaurin é possível escrever 𝑟2cos 𝜃2 𝑖 sen 𝜃2 𝑟3cos 𝜃3 𝑖 sen 𝜃3 𝑟1cos 𝜃1 𝑖 sen 𝜃1 0 336 Separando agora as partes real e imaginária temse respectivamente 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟1 cos 𝜃1 0 337 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟1 sen 𝜃1 0 338 Como θ1 0o então cos θ1 1 e sen θ1 0 resolvendo simultaneamente as equações 337 e 338 em função de θ3 e de r1 obtémse UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 12 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 339 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 340 Por outro lado como sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 𝑐𝑜𝑠1 1 𝑟2 2 sen 𝜃2 𝑟3 2 341 Então a equação 340 pode ser reescrita da seguinte forma 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 2 𝑟2 2 sen 𝜃2 342 A equação 342 é como era de se esperar exatamente igual à equação 321 obtida pelo método algébrico evidenciando deste modo a importância e utilidade da notação complexa 343 MÉTODO DA NOTAÇÃO MATRICIAL Neste método tal como no método da notação complexa cada um dos elementos que constitui mecanismo em análise é substituído por um vetor posição equivalente de modo a obterse uma cadeia cinemática fechada Pretendese novamente obter expressões que traduzam a posição do pistão do mecanismo bielamanivela ilustrado na figura 311 Figura 311 Representação vectorial do mecanismo bielamanivela Uma vez estabelecida a cadeia cinemática do mecanismo bielamanivela os vetores por ela formados devem ser projetados nas direções X e Y obtendose respectivamente as seguintes expressões 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟1 0 343 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 0 344 Na presente situação admitese que o órgão motor é a manivela sendo por isso conhecido o valor de θ2 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 13 Como os comprimentos das barras são também conhecidos a priori as incógnitas das equações 343 e 344 são θ3 e r1 Assim resolvendo simultaneamente as equações 343 e 344 vem que 𝜃3 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 345 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 346 Devese notar que as equações 345 e 346 são iguais às obtidas anteriormente pelos métodos algébrico e da notação complexa Neste exemplo não é possível nem necessário escrever as equações 343 e 344 na forma matricial No entanto caso tal fosse possível em termos gerais a forma matricial pode ser escrita do seguinte modo 𝐴𝑥 𝑐 347 Onde A matriz que contém os coeficientes do sistema c vetor que contém os termos independentes x vector que contém as incógnitas A equação 347 representa um sistema de equações lineares cuja solução pode ser obtida recorrendo por exemplo à regra de Cramer Assim um sistema de equações de dimensão dois pode ser escrito como 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑥1 𝑥2 𝑐1 𝑐2 348 Cuja solução é dada por 𝑥1 𝑐1𝑎22 𝑐2𝑎12 𝐷𝐴 349 𝑥2 𝑐2𝑎11 𝑐1𝑎21 𝐷𝐴 350 Onde DA determinante da matriz A calculado como 𝐷𝐴 𝑎11𝑎22 𝑎21𝑎12 351 O método na notação matricial é particularmente útil no cálculo das velocidades e acelerações uma vez que a matriz dos coeficientes é igual para os dois cálculos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 14 344 MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO DO MOVIMENTO No espaço bidimensional um corpo pode descrever três tipos de movimento Movimento de translação Movimento de rotação Movimento geral ou misto O movimento de translação Quando todos os pontos de um corpo descrevem trajetórias paralelas de tal modo que as linhas que unem dois pontos quaisquer do corpo permanecem sempre paralelas em relação às posições iniciais A Figura 312a ilustra o movimento plano de translação curvilínea Figura 312 a Movimento de translação b Movimento de rotação O movimento de rotação em torno de eixo Quando todos os pontos descrevem trajetórias circulares em torno de uma reta designada eixo de rotação Na Figura 312b mostrase o movimento de rotação O movimento geral ou misto Quando existem em simultâneo as propriedades associadas aos movimentos de translação e de rotação O movimento plano geral de um corpo pode sempre ser considerado como a combinação de um movimento de translação com um movimento de rotação Esta decomposição do movimento geral traduz a lei de Chasles A Figura 313 ilustra um exemplo de um corpo que descreve um movimento geral o qual consiste numa barra cujos extremos se deslocam ao longo de uma guia horizontal e outra vertical UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 15 Figura 313 Exemplo do movimento plano geral ou misto Este movimento geral pode ser decomposto e substituído pela soma de uma translação na direção horizontal e de uma rotação em torno de A como ilustra a Figura 313 De forma alternativa o movimento geral pode ser substituído pela soma de uma translação na direção vertical e de uma rotação em torno do eixo que passo pelo ponto B A maior parte dos mecanismos possui mais de um elemento em movimento Quando tais elementos se encontram articulados isto é vinculados por juntas cinemáticas o estudo pode ser feito a cada corpo separadamente sem contudo esquecer que os pontos comuns a vários elementos devem ter as mesmas características cinemáticas No caso particular do mecanismo bielamanivela podem ser observados os três tipos de movimento plano anteriormente apresentados A manivela descreve um movimento de rotação O pistão efetua um movimento de translação retilínea A biela descreve movimento geral ou misto O movimento da biela pode ser facilmente estudado se for decomposto como a soma de uma translação e uma rotação O método da decomposição do movimento é particularmente útil e interessante no estudo cinemático de mecanismos planos especialmente no que diz respeito ao cálculo das velocidades e das acelerações 35 MÉTODOS GRÁFICOS Os métodos gráficos consistem na representação geométrica do mecanismo em análise na posição ou posições de maior interesse para o seu estudo cinemático A aplicação mais corrente e prática dos métodos gráficos é na determinação das velocidades e acelerações utilizando os métodos que se baseiam na construção gráfica dos polígonos de velocidades e acelerações Estes métodos têm como base a resolução gráfica de equações vectoriais Como exemplo de uma aplicação prática do cálculo gráfico é apresentada a análise da posição do mecanismo bielamanivela ilustrado na Figura 314a UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 16 Figura 314 Análise gráfica do mecanismo bielamanivela O problema relativo à análise de posição consiste na determinação dos valores de todas as variáveis que caracterizam a configuração geométrica do mecanismo sendo conhecidos os comprimentos das barras e os valores das variáveis independentes as quais são escolhidas para representar os graus de liberdade do mecanismo Neste caso admitese que o pistão é o órgão motor sendo por isso conhecida inicialmente a posição do ponto C R1 A questão que se coloca é a de saber qual o valor dos ângulos θ2 e θ3 isto é quais as direções da manivela e da biela representadas pelos vectores R2 R3 R2 e R3 Assim a equação vectorial que representa este caso pode ser escrita como 𝑅1 𝑣𝑣 𝑅2 𝑣𝑜 𝑅3 𝑣𝑜 352 Esta equação vectorial tem duas soluções que estão representadas graficamente na Figura 314b e em relação às quais correspondem diferentes configurações do mecanismo isto é há duas maneiras possíveis de associar a manivela e a biela para uma mesma posição do pistão ou ponto C sendo ambas válidas 36 ANÁLISE DE POSIÇÃO DE MECANISMOS ELEMENTARES 361 MECANISMO DE QUATRO BARRAS A Figura 315 ilustra um mecanismo de quatro barras em relação ao qual se pretende efetuar a análise de posição dos seus elementos Ainda nesta figura estão representados os vetores que formam a cadeia cinemática equivalente A cadeia cinemática relativa ao mecanismo de quatro barras pode ser expressa pela seguinte equação vetorial 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝟎 353 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 17 Figura 315 Mecanismo de quatro barras Em notação complexa 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 354 Utilizando a fórmula de Euler e separando as partes real e imaginária a equação 354 pode ser reescrita da seguinte forma 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃4 0 355 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃4 0 356 Na análise de posição do mecanismo de quatro barras representado na Figura 315 os comprimentos das barras r1 r2 r3 e r4 são conhecidos consistindo o problema em determinar os valores dos ângulos θ3 e θ4 sendo dado o valor de θ2 relativo à posição angular da manivela que é considerada como sendo o elemento motor Este caso corresponde à solução de equações vetoriais em que as direções de dois vetores diferentes são desconhecidas a que correspondem duas soluções distintas e que estão ilustradas na figura 316 Figura 316 Análise gráfica do mecanismo de quatro barras UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 18 Em alternativa à resolução gráfica apresentada é possível usar as equações 355 e 356 as quais constituem um sistema de duas equações a duas incógnitas θ3 e θ4 Este sistema não possui solução analítica por isso é necessário recorrer a métodos numéricos iterativos para obter as soluções ou soluções suficientemente próximas Em seguida é apresentada uma metodologia alternativa que conduz à obtenção dos valores de θ3 e θ4 Assim considere por simplicidade e comodidade a existência de um vetor auxiliar Rd que representa a diagonal principal do mecanismo de quatro barras o qual une o ponto D ao ponto B como ilustra a Figura 315 Este vetor auxiliar pode ser expresso por 𝑹𝒅 𝑹𝟏 𝑹𝟐 357 Ou na forma polar complexa 𝑟𝑑𝑒𝑖𝜃𝑑 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 358 Ou ainda 𝑟𝑑 cos 𝜃𝑑 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟2 cos 𝜃2 359 𝑟𝑑 sen 𝜃𝑑 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟2 sen 𝜃2 360 Atendendo a que θ1 180o as equações 359 e 360 podem ser simplificadas da seguinte forma 𝑟𝑑 cos 𝜃𝑑 𝑟1 𝑟2 cos 𝜃2 361 𝑟𝑑 sen 𝜃𝑑 sen 𝜃2 362 Elevando ao quadrado ambas equações 361 e 362 e somandoas membro a membro resulta que 𝑟𝑑 2 𝑟1 2 𝑟2 2 2𝑟1𝑟2 cos 𝜃2 363 Por outro lado da equação 362 vem diretamente que 𝜃𝑑 sen1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟𝑑 364 O vector Rd pode também ser expresso como 𝑹𝒅 𝑹𝟑 𝑹𝟒 365 Ou seja 𝑟𝑑𝑒𝑖𝜃𝑑 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 366 Dividindo a equação 366 por 𝑒𝑖𝜃3 vem que 𝑟𝑑𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃3 𝑟3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4𝜃3 367 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 19 Separando as partes real e imaginária e rearranjando os termos resulta em 𝑟4 cos𝜃4 𝜃3 𝑟𝑑 cos𝜃𝑑 𝜃3 𝑟3 368 𝑟4 sen𝜃4 𝜃3 𝑟𝑑 sen𝜃𝑑 𝜃3 369 Elevando ao quadrado ambas a equações e adicionando o resultado vem que 𝑟4 2 𝑟3 2 𝑟𝑑 2 2𝑟3𝑟𝑑 cos𝜃𝑑 𝜃3 370 Resolvendo a equação 370 em função de θ3 resulta 𝜃3 𝜃𝑑 𝑐𝑜𝑠1 𝑟𝑑 2 𝑟3 2 𝑟4 2 2𝑟3𝑟𝑑 371 Procedendo de modo análogo o valor do ângulo θ4 é dado por 𝜃4 𝜃𝑑 𝑐𝑜𝑠1 𝑟𝑑 2 𝑟4 2 𝑟3 2 2𝑟4𝑟𝑑 372 Com efeito as equações 371 e 372 permitem calcular as posições angulares das barras 3 e 4 do mecanismo de quatro barras 362 MECANISMO DE CORREDIÇA Na figura 317a está representado um mecanismo de quatro barras em que existe uma corrediça entre as barras 3 e 4 Este mecanismo é chamado mecanismo de corrediça Figura 317 a Mecanismo de corrediça b Representação vetorial equivalente Na verdade tratase de um mecanismo do tipo bielamanivela em que manivela está fixa ao passo que a barra anteriormente fixa pode rodar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 20 Este tipo de mecanismo foi muito utilizado em motores de combustão interna nos primórdios da indústria aeroespacial sendo conhecidos como motores rotativos porque os cilindros rodam em relação à manivela que está fixa Este mecanismo é também um mecanismo de retorno rápido A Figura 317b ilustra o sistema equivalente ao mecanismo de corrediça em que cada barra foi substituída pelo respectivo vetor posição Da análise geométrica da Figura 317b é possível escrever a seguinte equação vetorial 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟒 𝟎 373 Ou ainda 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 374 Utilizando a fórmula de Euler e separando as partes real e imaginária vem que 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟4 cos 𝜃4 0 375 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟4 sen 𝜃4 0 376 Admitindo que a barra 2 é o órgão motor o valor de θ2 é por isso conhecido à partida Uma vez que os comprimentos das barras 1 e 2 são também conhecidos as incógnitas das equações 375 e 376 são r4 e θ4 Assim o valor de θ4 pode facilmente ser obtido dividindo a equação 376 pela equação 375 resultando em 𝜃4 𝑡𝑎𝑛1 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟2 cos 𝜃2 377 Como na presente situação o valor de θ1 é igual a 180º a equação 377 pode ser simplificada do seguinte modo 𝜃4 𝑡𝑎𝑛1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 378 Substituindo agora o valor de θ4 dado pela equação 378 na equação 375 e resolvendo em função a r4 vem que 𝑟4 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟1 cos 𝑡𝑎𝑛1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 379 363 MECANISMO BIELAMANIVELA COM EXCENTRICIDADE A Figura 318 ilustra um mecanismo do tipo bielamanivela no qual existe uma excentricidade entre o eixo de rotação da manivela e o eixo que define a direção de translação da corrediça UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 21 Figura 318 Mecanismo bielamanivela com excentricidade As barras estão substituídas pelos respectivos vectores posição equivalentes formando uma cadeia cinemática fechada Uma particularidade deste mecanismo é a diferença de tempo entre os movimentos de avanço e de recuo sendo por isso usado como mecanismo de retorno rápido Analisando a geometria da Figura 318 é válida a seguinte equação vectorial 𝑹𝟏 𝑹𝟒 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝟎 380 Na forma polar complexa 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 0 381 Utilizando a equação de Euler e separando as partes real e imaginária a equação 381 resulta em 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟4 cos 𝜃4 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 0 382 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟4 sen 𝜃4 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 0 383 Atendendo a que θ1 270º e θ4 0º das equações 382 e 383 vem que 𝑟4 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 0 384 𝑟1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 sen 𝜃3 0 385 Por outro lado como a manivela é o elemento motor o valor de θ2 é conhecido a priori As equações 384 e 385 devem ser resolvidas em função das incógnitas θ3 e r4 ou seja 𝜃3 𝑠𝑒𝑛1 𝑟1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 386 𝑟4 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟3 cos 𝜃3 𝑠𝑒𝑛1 𝑟1 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟3 387 364 MECANISMO BIELAMANIVELA INVERTIDO A Figura 319 mostra um mecanismo do tipo bielamanivela invertido UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 22 Figura 319 Mecanismo bielamanivela invertido Este tipo de inversão do mecanismo bielamanivela é utilizado em bombas manuais usadas para retirar água de poços Para definir uma cadeia cinemática fechada foram considerados os vectores R1 R2 R3 e R4 tal como se ilustra na Figura 319 em que R3 tem a mesma direção da velocidade da corrediça e R4 é perpendicular a esta direção Assim podese escrever que 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝟎 388 Na forma polar complexa 𝑟2𝑒𝑖𝜃2 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 𝑟3𝑒𝑖𝜃3 𝑟4𝑒𝑖𝜃4 0 389 Em que 𝜃4 𝜃3 90 390 Utilizando a equação de Euler separando as partes real e imaginária da equação 389 resulta que 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃4 0 391 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃4 0 392 Na análise de posição deste mecanismo as equações 390 até 392 devem ser verificadas em cada instante Neste caso o vetor R1 permanece constante quer em módulo quer em direção os vetores R2 e R4 são constantes em módulo e o vetor R3 varia tanto em módulo como em direção É possível observar que os valores de r1 r2 r4 θ1 e θ4 são conhecidos à partida Se o mecanismo for acionado pela manivela isto é θ2 é dado então as equações 390 até 392 devem ser resolvidas para θ3 e r3 Por outro lado quando θ3 for conhecido então as equações referidas devem ser resolvidas para θ2 e r3 em função de θ3 Finalmente se r3 for dado as equações 390 até 392 têm de ser resolvidas com o intuito de calcular θ2 e θ3 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 23 Na Figura 320 estão representadas as possíveis soluções quando θ3 e r3 são dados Figura 320 a Duas possíveis soluções para a associação das barras sendo conhecido o valor de θ3 b Duas possíveis soluções para a associação das barras sendo dado r3 Admitindo que a manivela é o órgão motor ou seja θ2 é dado então substituindo a equação 390 nas equações 391 e 392 e isolando os termos que contêm θ3 no segundo membro vem que 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 𝑟3 cos 𝜃3 𝑟4 sen 𝜃3 393 𝑟2 sen 𝜃2 𝑟1 sen 𝜃1 𝑟3 sen 𝜃3 𝑟4 cos 𝜃3 394 Elevando ambas as equações ao quadrado somandoas e resolvendo em relação a r3 resulta que 𝑟3 𝑟1 2 𝑟2 2 𝑟4 2 2𝑟1𝑟2cos 𝜃1 cos 𝜃2 sen 𝜃1 sen 𝜃2 395 Devese notar que caso o argumento da raiz quadrada seja negativo r3 tem solução complexa o que significa que para o valor de θ2 especificado não é possível associar as barras com os comprimentos dados Substituindo agora os valores de cos θ3 e sen θ3 na equação 393 pelas relações trigonométricas de semiângulos vem que 𝑎1 𝑡2 𝑟31 𝑡2 𝑟42𝑡 0 396 Em que 𝑎 𝑟2 cos 𝜃2 𝑟1 cos 𝜃1 397 E 𝑡 tan 𝜃3 2 398 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 3Análise de Posição e Deslocamento 24 Rearranjando a equação 396 obtémse 𝑎 𝑟3𝑡2 2𝑟4𝑡 𝑎 𝑟3 0 399 Resolvendo esta equação em relação a t vem que 𝑡 𝑟4 𝛽𝑟4 2 𝑎2 𝑟3 2 𝑎 𝑟3 3100 Onde β 1 Para determinar o valor correto do parâmetro β deve a cada instante ser calculado θ3 usando a seguinte expressão 𝜃3 2 tan1𝑡 3101 Em seguida devese substituir o valor de θ3 na equação 394 em que o valor correto de θ3 corresponde ao valor que verifica a igualdade de equação 394