Mecanismos e Dinâmica das Máquinas - Introdução ao Estudo - UCAM

UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 1 ENGENHARIAS MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO Paulo Roberto Rocha Aguiar UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 3 SISTEMAS MECÂNICOS MÁQUINAS E MECANISMOS 3 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE MECANISMOS 7 TIPOS DE MOVIMENTOS 10 JUNTAS CINEMÁTICAS 14 GRAUS DE LIBERDADE OU MOBILIDADE DE UM MECANISMO 18 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos 1ª Ed Bookman 2010 2 CLARO J C P FLORES P Cinemática de Mecanismos Edições Almedina 2007 3 MAZZO N Engrenagens Cilíndricas Da Concepção à Fabricação Editora Blucher 2013 4 FLORES J CLARO J C Pimenta Cinemática de Mecanismos Escola de Engenharia Universidade do Minho 2007 5 MABIE Hamilton H REINHOLTZ Charles F Mechanisms and Dynamics os Machinery 4th ed New York Wiley 1987 Este material é um resumo das notas de aula Portanto é fundamental a leitura do livro indicado como base para o aprofundado dos conceitos aqui abordados A leitura de qualquer outra referência indicada também auxilia na consolidação dos conhecimentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 3 MÓDULO 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO 11 INTRODUÇÃO Certamente o movimento é um dos fenômenos mais comuns que observamos todos os dias Na mecânica movimento significa a variação no tempo da posição de um determinado corpo no espaço relativamente a outros corpos O movimento fica completamente definido pelo conhecimento das suas características cinemáticas e dinâmicas a que um determinado corpo está sujeito Sua posição Sua velocidade Sua aceleração Sua força A mecânica tem por objetivo estudar os problemas relacionados com o movimento e o equilíbrio dos corpos bem como das suas interações Conforme a natureza do objeto em estudo a mecânica pode se dividir nas seguintes áreas Mecânica dos corpos rígidos Mecânica dos corpos deformáveis Mecânica dos corpos fluidos Em geral a mecânica pode dividirse em três grandes grupos Estática Cinemática Dinâmica Na estática se estudam as leis de composição das forças e das condições de equilíbrio Na cinemática se estudam as propriedades gerais do movimento dos corpos Na dinâmica se estudam as leis do movimento dos corpos materiais sujeitos a forças exteriores 12 SISTEMAS MECÂNICOS MÁQUINAS E MECANISMOS Em geral os sistemas mecânicos resultam da associação de subsistemas estruturais e mecânicos com o objetivo de transmitir esforços e movimento Pode ser definido como um conjunto de corpos rígidos eou flexíveis interligados por juntas cinemáticas e atuados por forças e momentos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 4 As forças e momentos aplicados ao sistema podem resultar da atuação de molas amortecedores atuadores ou ainda de forças externas como as forças gravitacionais e as forças de contato entre outras Os sistemas mecânicos podem incluir um conjunto de máquinas e de mecanismos mais ou menos complexos A caracterização cinemática e dinâmica no estudo dos sistemas mecânicos se baseia em leis como as leis do movimento de NewtonEuler entre outras Essas leis também designadas leis do movimento de translação e de rotação constituem a base da mecânica clássica ou newtoniana O ramo da mecânica denominado ciência de máquinas e mecanismos tem como objetivo estudar as leis que regem os movimentos Quer em termos de deslocamento velocidade aceleração e eventualmente impulso dos diversos membros que constituem os sistemas mecânicos Quer em termos dos esforços forças e momentos que esses mesmos membros transmitem Quando se projeta um sistema mecânico ou quando se analisa um sistema já existente o problema pode se dividir em duas partes distintas 1a As dimensões de cada um dos componentes e a sua ligação devem permitir que cada um tenha o seu próprio e determinado movimento 2a Cada um dos componentes deve ser capaz de resistir às solicitações que atuam sobre ele Por tudo isso a cinemática e a dinâmica desempenham um papel preponderante no estudo dos mecanismos e das máquinas A bibliografia existente no domínio da ciência de máquinas e mecanismos não é unânime com relação à classificação ou divisão da mecânica No nosso estudo vamos utilizar a classificação que está apresentada na Figura 11 Figura 11 Disciplinas que constituem a mecânica estática cinemática e dinâmica UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 5 Como dito anteriormente a estática é a disciplina em que se estudam as leis de composição das forças e as condições de equilíbrio dos corpos materiais submetidos à ação de forças eou momentos O conhecimento de tais condições permite estudar a estabilidade das estruturas Na prática a análise estática é também válida e aplicável quando nos mecanismos as velocidades e acelerações em jogo são baixas Para velocidades elevadas a análise dinâmica é mais apropriada uma vez que os efeitos de inércia das massas em movimento têm uma importância preponderante nos esforços globais desenvolvidos A cinemática é a área da Mecânica que se ocupa das leis do movimento dos corpos independentemente das causas que o provocam Neste tipo de análise apenas se estudam os aspectos puramente geométricos do movimento não sendo considerados os esforços envolvidos no processo Definir cinematicamente um mecanismo ou formular a lei do movimento de um corpo é definir ou determinar para cada instante a posição a velocidade e a aceleração em relação a um referencial previamente definido Por outro lado a cinemática serve de base à dinâmica uma vez que o estabelecimento das relações cinemáticas é necessário ao estudo do movimento dos corpos submetidos à ação de forças Em geral dentro da cinemática devem se distinguir A análise cinemática da síntese cinemática A análise cinemática também designada cinemática direta referese à determinação das características cinemáticas de um mecanismo A síntese cinemática ou cinemática inversa consiste em determinar a configuração que um mecanismo deve ter para produzir ou realizar um movimento cujas características são previamente especificadas A dinâmica dedicase ao estudo da relação entre o movimento dos corpos e as ações ou causas que o provocam Ao contrário da cinemática na dinâmica ao estudarse o movimento dos corpos consideramse não só os esforços que atuam sobre os corpos mas também a sua inércia A dinâmica permite prever o movimento causado por determinadas ações ou viceversa Desde a Antiguidade que o homem emprega máquinas e mecanismos para substituir o esforço humano Atualmente podemos encontrar sistemas mecânicos máquinas e mecanismos nas mais variadas atividades tais como na agricultura na indústria têxtil informática eletrônica etc O propósito básico de uma máquina simples ou complexa é o de realizar tarefas específicas de um modo mais conveniente do que aquele que pode ser feito através do uso da força muscular A alavanca é a mais simples e natural das máquinas UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 6 Todos os movimentos do corpo humano são proporcionados por um sistema de alavancas os ossos que são acionadas pelos músculos como ilustra esquematicamente a Figura 12a Outro exemplo de uma máquina simples é uma tesoura que é constituída por duas alavancas unidas por intermédio de um pino que possibilita o movimento de rotação como mostra a Figura 12b Figura 12 Máquinas simples a Corpo humano modelado como um conjunto de alavancas b Tesoura constituída por um par de alavancas ligadas por um pino Num automóvel fazem parte diversos elementos mecânicos básicos rodas eixos etc que atuam de modo independente As suspensões Os sistemas de transmissão de movimento entre outros A Figura 13 ilustra algumas das partes constituintes de um automóvel Figura 13 Esboço de um automóvel e algumas partes que o constituem Nas oficinas mecânicas também se encontram as mais variadas máquinas máquinas elétricas máquinas ferramenta etc e mecanismos Na Figura 14 está representado uma plaina bem como o respectivo mecanismo de acionamento UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 7 Figura 14 a Plaina b Mecanismo de acionamento O conceito de máquina está diretamente associado à ideia de força e movimento enquanto que mecanismo associase à ideia de transmitir transformar ou controlar um determinado movimento 13 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE MECANISMOS Nos mecanismos os componentes ou elementos suscetíveis de transmitir força e movimento são denominados ligações ou barras Para que o movimento possa ser transmitido finalidade básica de um mecanismo os elementos devem ser ligados entre si O conjunto das superfícies que estabelece o contato entre as diversas barras de um mecanismo designase junta cinemática ou par cinemático Os diferentes tipos de componentes e de juntas cinemáticas que constituem os mecanismos serão objeto de estudo mais detalhado nas próximas seções A Figura 15 ilustra o mecanismo bielamanivela com pistão o qual é constituído por quatro elementos O estacionário ou fixo 1 A manivela 2 A biela 3 O pistão 4 Que estão unidos por três juntas de rotação R12 R23 R34 e uma junta de translação T14 Figura 15 Mecanismo bielamanivela com pistão UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 8 Observação O estacionário que é o corpo que está rigidamente ligado à estrutura é em geral referenciado com o número 1 Uma ligação ou barra ou elo é um corpo que possui ao menos dois nós Os nós são pontos para se anexar aos outros elos ou ligação ou barra As ligações ou barras podem ser binárias ternárias quaternárias etc conforme possuam dois três ou quatro elementos de junta A Figura 16 ilustra alguns exemplos assim como a respectiva representação esquemática Figura 16 Ligação binária ternária e quaternária Num mecanismo O elemento que recebe o movimento que se pretende transmitir ou transformar designase órgão motor Ao elemento que recebe o movimento que se pretende utilizar chamase órgão movido ou seguidor As barras ou elos que rodam ou oscilam em torno de um eixo fixo denominamse manivelas As barras ou elos que fazem a ligação entre duas manivelas ou entre uma manivela e uma corrediça chamamse bielas A barra ou elo que se considera fixa isto é rigidamente ligada à estrutura denominase estacionário UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 9 A Figura 17 ilustra dois mecanismos de uso frequente em mecânica o mecanismo de quatro barras ou quadrilátero articulado e o mecanismo cameseguidor nos quais é possível observar os diferentes tipos de órgãos ou elementos Figura 17 a Mecanismo de quatro barras b Mecanismo cameseguidor Os mecanismos podem ser classificados como abertos ou fechados conforme a cadeia cinemática seja aberta ou fechada Num mecanismo fechado o movimento dos seus elementos depende diretamente do movimento de outros elementos Num mecanismo aberto o movimento dos seus elementos pode não ter como consequência o movimento dos demais elementos A Figura 17a ilustra um mecanismo fechado o mecanismo de quatro barras enquanto que a Figura 17b mostra um mecanismo do tipo aberto o mecanismo cameseguidor Quando num mecanismo se liberta a barra inicialmente fixa e por outro lado se fixa uma barra anteriormente livre dizse que o mecanismo foi invertido A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre as barras mas modifica o movimento absoluto de cada uma das barras relativamente a um referencial fixo Assim por exemplo o mecanismo de quatro barras pelo fato de ter quatro elementos significa que há três inversões possíveis correspondentes à fixação das barras 2 3 e 4 A Figura 18 mostra as inversões do mecanismo de quatro barras UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 10 Figura 18 Inversão do mecanismo de quatro barras a Sistema de manivela barra oscilante b Sistema de dupla manivela c Sistema de manivela barra oscilante d Sistema duplamente oscilante Quando os diversos componentes de um mecanismo partem de uma posição descrevem um determinado movimento e retornam à posição inicial para deste modo recomeçarem a mesma trajetória dizse que o mecanismo completou um ciclo com a duração de determinado período de tempo tendo assumido fases ou seja várias posições instantâneas relativas durante o ciclo 14 TIPOS DE MOVIMENTOS No estudo dos mecanismos é importante e necessário distinguir os diferentes tipos de movimento descritos pelos seus elementos constituintes A Figura 19 resume os movimentos que podem existir num mecanismo Figura 19 Tipos de movimento que podem existir num mecanismo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 11 No movimento plano ou bidimensional todos os pontos de um dado corpo em movimento descrevem trajetórias no mesmo plano ou em planos paralelos Todos os pontos de um corpo ou mecanismo permanecem a uma distância constante relativamente a um plano de referência A Figura 17 ilustra dois exemplos de mecanismos em que o movimento descrito pelos seus componentes é plano No movimento plano podem distinguirse três tipos de movimento O movimento de rotação O movimento de translação O movimento geral ou misto O movimento de translação pode ainda ser Retilíneo ou Curvilíneo O movimento é de rotação quando todos os pontos descrevem trajetórias circulares em torno de uma reta perpendicular ao plano de rotação designada por eixo de rotação No movimento de rotação todos os pontos de um corpo permanecem a uma distância constante em relação ao eixo de rotação Quando a rotação é alternada dentro de uma certa amplitude limite o movimento de rotação é denominado oscilante A Figura 110 mostra o mecanismo de quatro barras em que a barra 2 descreve movimento de rotação em torno de um eixo imaginário que passa pelo ponto A enquanto que a barra 4 oscila em torno de D entre as posições limite C e C Este mecanismo é por isso chamado mecanismo de manivela e barra oscilante Figura 110 Quadrilátero articulado movimento plano de rotação e oscilante O movimento é de translação quando todos os pontos descrevem trajetórias paralelas de tal modo que as linhas que unem dois pontos quaisquer de um corpo permanecem sempre paralelas relativamente à posição inicial Quando os pontos de uma barra descrevem trajetórias retas e paralelas entre si dizse que o movimento é de translação retilíneo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 12 O movimento de vai e vem do pistão do mecanismo bielamanivela da Figura 111 é um exemplo do movimento de translação retilíneo Figura 111 Mecanismo bielamanivela movimento de translação retilíneo No movimento de translação quando os pontos de uma barra descrevem trajetórias curvas e paralelas entre si dizse que o movimento realizado é de translação curvilíneo O movimento de barra 4 do quadrilátero articulado de Figura 112 exemplifica este tipo de movimento cujo raio de curvatura é R Figura 112 Quadrilátero articulado movimento de translação curvilíneo O movimento plano é designado geral ou misto quando nele coexistem as propriedades dos movimentos de rotação e de translação Nestes casos o movimento pode ser decomposto como a soma de uma rotação e uma translação O movimento da biela barra 3 do mecanismo bielamanivela da Figura 111 é um exemplo do movimento geral ou misto Outro exemplo de movimento plano misto é o que se representa na Figura 113 que consiste numa barra cujas extremidades A e B se deslocam respectivamente ao longo de uma guia horizontal e vertical Figura 113 Movimento plano geral ou misto UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 13 O movimento da barra é equivalente à soma de uma translação com o ponto A na direção horizontal e de uma rotação em torno de A ou ainda equivalente à soma de uma translação com o ponto B na direção vertical e de uma rotação em torno de B A primeira situação está representada na Figura 113 Quanto ao movimento espacial ou tridimensional há dois tipos básicos de movimento a considerar O movimento esférico O movimento helicoidal No movimento esférico cada ponto de uma barra que descreve movimento esférico mantémse a uma distância constante de um ponto fixo como é o caso do movimento descrito pela barra 3 do mecanismo representado na Figura 114a No movimento helicoidal os pontos de uma barra movemse com rotação em torno de um eixo fixo e com translação na direção desse mesmo eixo como se ilustra na Figura 114b Figura 114 Movimento espacial ou tridimensional a Movimento esférico b Movimento helicoidal O movimento descrito por um ponto que pertence a uma porca enquanto aparafusada num parafuso é um exemplo de movimento helicoidal O movimento quer seja plano quer seja espacial pode ser contínuo intermitente ou alternativo de vai e vem O movimento é contínuo quando um ponto ou um corpo se desloca indefinidamente no mesmo sentido Um exemplo deste tipo de movimento é o descrito pela manivela do mecanismo de quatro barras ilustrado na Figura 112 O movimento é intermitente quando é interrompido e apresenta períodos de repouso No movimento de vai e vem os corpos descrevem movimento num sentido e em seguida em sentido contrário O movimento do pistão do mecanismo bielamanivela ilustrado na Figura 111 é um exemplo claro de movimento de vai e vem Quando o movimento de vai e vem é circular designase movimento oscilante como é exemplo o movimento oscilatório de um pêndulo UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 14 Nos mecanismos a transmissão de movimento pode ser realizada de duas formas distintas Por contato direto Por ligação intermédia Nas transmissões por contacto direto o movimento é transmitido através do contato entre as superfícies dos órgãos motor e movido Exemplos os sistemas de transmissão por engrenagens e os mecanismos do tipo cameseguidor como se mostra na Figura 115 Figura 115 Transmissão de movimento por contato direto a Sistema de engrenagens b Mecanismo cameseguidor Nas transmissões por ligação intermédia estão os sistemas em que a transmissão do movimento é efetuada através de um corpo intermédio que liga o órgão motor ao órgão movido como se ilustra na Figura 116 Figura 116 Transmissão de movimento por ligação intermédia a Ligação rígida b Ligação flexível por correia c Ligação flexível por corrente 15 JUNTAS CINEMÁTICAS Num mecanismo para que o movimento seja transmitido as barras devem estar ligadas entre si por juntas ou pares cinemáticos As juntas impõem restrições nos movimentos dos corpos Cada tipo de junta tem as suas próprias características geométricas as quais determinam o tipo de movimento existente entre os corpos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 15 Assim no caso de duas barras unidas por uma junta de rotação apenas é possível que uma rode em relação à outra em torno de um eixo que passa pelo centro da junta A distinção entre as várias juntas cinemáticas está associada principalmente ao movimento relativo permitido e não somente ao tipo de superfícies envolvidas As juntas cinemáticas descritas ao longo deste estudo são representadas por abstrações matemáticas cuja geometria é ideal ou perfeita isto é as dimensões a folga a lubrificação entre outros fenômenos não são considerados na análise dos mecanismos As juntas cinemáticas podem ser classificadas segundo vários critérios As juntas podem agruparse em duas grandes classes As juntas superiores As juntas inferiores Nas juntas superiores o contacto é pontual ou linear como ilustra na Figura 117a Nas juntas inferiores o contacto entre os elementos é uma superfície como mostra a Figura 117b Figura 117 a Junta cinemática superior b Junta cinemática inferior A Figura 115 mostra dois mecanismos em que é bem evidente a existência de juntas cinemáticas superiores As juntas cinemáticas superiores são em geral mais difíceis de obter mas são utilizadas sobretudo por serem o meio mais simples de se obterem deslocamentos de natureza complexa As juntas cinemáticas inferiores têm como principais características a elevada capacidade de carga e a facilidade de produção É possível distinguir seis juntas cinemáticas inferiores Junta de rotação R permite apenas o movimento relativo de rotação Só existe um grau de liberdade Junta de translação T ou prismática permite apenas o movimento relativo de translação Só existe um grau de liberdade Junta esférica E ou globular possibilita a rotação em torno dos três eixos coordenados Há três graus de liberdade UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 16 Junta cilíndrica C permite dois movimentos independentes isto é rotação e translação Há dois graus de liberdade Junta plana P permite três movimentos independentes duas translações e uma rotação Há três graus de liberdade Junta helicoidal H ou de parafuso possibilita dois movimentos uma translação e uma rotação Há apenas um grau de liberdade devido ao escorregamento relativo entre as superfícies em contacto A Figura 118 ilustra e resume as diferentes juntas cinemáticas inferiores bem como as suas principais características Figura 118 Juntas cinemáticas inferiores As juntas cinemáticas de rotação e de translação são as mais utilizadas para ligar as barras dos mecanismos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 17 Um segundo critério de classificação das juntas cinemáticas é o que tem por base a sua forma Assim se a forma dos elementos de uma junta é tal que supondo um deles fixo as trajetórias de todos os pontos do componente a que o outro elemento pertence são completamente determinadas a junta dizse fechada Exemplo qualquer junta de rotação do mecanismo de quatro barras Se assim não for a junta se diz aberta como no caso de uma came e um seguidor Neste caso fazse necessário uma força exterior para manter o contacto permanente entre os dois elementos A força exterior pode ser a ação da gravidade ou produzida por uma mola ou atuador Um terceiro critério de classificação das juntas cinemáticas é o que diz respeito ao tipo de movimento permitido Podem ser rotoides esféricas deslizantes etc Uma junta é rotoide quando o movimento permitido é de rotação ou oscilação num só plano sendo habitualmente designadas articulações Uma junta é esférica vulgo rótula quando a rotação ou oscilação acontece em qualquer plano Uma junta é deslizante ou translacional quando o movimento permitido é de translação e em que o elemento fixo se designa guia e o móvel se designa corrediça ou cursor Os três critérios de classificação e caracterização das juntas cinemáticas anteriormente descritos e resumidos na Figura 119 são critérios complementares no que diz respeito a caracterização das juntas Figura 119 Critérios de classificação das juntas cinemáticas Normalmente as juntas cinemáticas são representadas por uma letra maiúscula que simboliza o tipo de movimento permitido seguida pelos números das barras que são unidas por elas UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 18 No mecanismo bielamanivela da Figura 120 R12 representa uma junta cinemática de rotação ou rotoide que une as barras 1 e 2 e T41 simboliza uma junta cinemática de translação ou deslizante que liga os corpos 4 e 1 o pistão e o estacionário Este mecanismo pode portanto ser caracterizado como mecanismo do tipo RRRT Figura 120 Caracterização das juntas cinemáticas do mecanismo bielamanivela Na Figura 121 estão representadas e caracterizadas algumas das juntas cinemáticas mais frequentemente utilizadas em construção mecânica Figura 121 a Mancal radial de deslizamento de 360º junta rotoide inferior fechada b Mancal radial de deslizamento 180º junta rotoide inferior aberta c Mancal de rolamentos de esferas junta rotoide inferior fechada d Came radial e seguidor oscilante de prato junta translacional superior aberta e Parafuso de transmissão de movimento junta helicoidal inferior fechada f Transmissão de movimento por cilindro com êmbolo junta translacional inferior fechada 16 GRAUS DE LIBERDADE OU MOBILIDADE DE UM MECANISMO O conhecimento do número de graus de liberdade ou mobilidade de um mecanismo é uma propriedade importante na análise e síntese cinemática do sistema UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 19 O número de graus de liberdade pode se definir como sendo o número de movimentos de acionamento que um determinado mecanismo necessita para que a localização dos seus corpos seja completamente conhecida em relação a um referencial predefinido É o número de acionadores como por exemplo motores necessário para produzir movimento num mecanismo Em outras palavras o número de graus de liberdade ou mobilidade de um mecanismo é o número mínimo de coordenadas parâmetros ou variáveis de entrada e independentes que descrevem e definem a configuração e o movimento de um mecanismo A maioria dos mecanismos mais usuais tem apenas um grau de liberdade Exemplos mecanismo de quatro barras e bielamanivela Os mecanismos do tipo cameseguidor e os robôs são sistemas mecânicos que se caracterizam por terem dois ou mais grau de liberdade Um corpo considerado livre no espaço tridimensional pode descrever seis movimentos diferentes isto é movimento de translação e de rotação em relação a cada um dos eixos coordenados como ilustra a Figura 122a Figura 122 a Graus de liberdade de um corpo livre no espaço tridimensional b Graus de liberdade de um corpo livre no espaço bidimensional Cada uma destas possibilidades denominase de grau de liberdade Um corpo no espaço tridimensional tem portanto seis graus de liberdade ou seja tem seis movimentos independentes Assim dois corpos livres no espaço tridimensional têm doze graus de liberdade Um corpo que se desloque livremente no espaço bidimensional possui apenas três possibilidades de movimento translação segundo os dois eixos coordenados pertencentes ao plano e rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano do movimento como mostra a Figura 122b Um sistema no plano formado por dois corpos não ligados possui seis graus de liberdade No nosso estudo trataremos apenas dos mecanismos de movimento plano uma vez que constituem a maioria dos casos típicos utilizados em sistemas mecânicos UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 20 O número de graus de liberdade de um sistema pode ser reduzido pela introdução de restrições ou vínculos cinemáticas A Figura 123 ilustra dois corpos rígidos unidos por uma junta cinemática de rotação centrada em B Figura 123 Junta cinemática de rotação ou rotoide retira dois graus de liberdade Dado que o ponto B pertence simultaneamente aos dois corpos o deslocamento absoluto de B quando considerado no corpo 1 é o mesmo que quando este mesmo ponto está associado ao corpo 2 O posicionamento do ponto A situado no corpo 1 pode ser expresso em função das coordenadas cartesianas xAyA O posicionamento do ponto B relativamente a A é função da posição angular do corpo 1 θ1 isto é a posição angular do segmento de reta AB cujo comprimento é l1 Por seu lado a posição do ponto C do corpo 2 pode ser expressa em função da posição angular do corpo 2 θ2 ângulo que define a orientação do segmento de reta BC que mede l2 Para caracterizar a posição do ponto C são necessárias quatro variáveis independentes e que são xA yA θ1 e θ2 Assim um sistema formado por dois corpos ligados por uma junta de rotação tem portanto quatro graus de liberdade Em outras palavras uma junta de rotação que une dois corpos rígidos no plano retira do sistema dois dos seus seis graus de liberdade As juntas cinemáticas que removem dois graus de liberdade denominamse juntas primárias e são exemplo as juntas de rotação e de translação Se se considerar agora n corpos ligados entre si por j1 juntas de rotação o sistema daí resultante tem três graus de liberdade associados a cada um dos corpos aos quais são subtraídos dois graus de liberdade por cada junta de translação ou de rotação existente Cada corpo possui três graus de liberdade e cada junta de translação ou de rotação remove dois desses graus de liberdade cada A condição matemática que traduz o número total de graus de liberdade GDL do sistema pode ser expressa por UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 21 𝐺𝐷𝐿 3𝑛 2𝑗1 11 Onde n número de corpos j1 número de juntas primárias juntas que retiram dois graus de liberdade do sistema Os mecanismos são raramente utilizados sem que lhes seja adicionado outro tipo de restrição sendo em geral um dos corpos fixo como se mostra na Figura 124 Figura 124 Dois corpos unidos por uma junta de rotação em que um dos corpos é fixo Um corpo fixo tem por definição mobilidade nula Deste modo observase que num sistema formado por n corpos sendo um deles fixo e unidos por j1 juntas primárias o número de graus de liberdade é dado por 𝐺𝐷𝐿 3𝑛 1 2𝑗1 12 Onde n número de corpos sendo um estacionário j1 número de juntas primárias juntas que retiram dois graus de liberdade ao sistema Dois corpos podem ainda ser restringidos por juntas cinemáticas secundárias as quais restringem apenas um dos movimentos relativos Os corpos 1 e 2 representados na Figura 125 ilustram este tipo de junta cinemática ranhura Figura 125 Dois corpos constrangidos por uma junta cinemática secundária O pino C do corpo 2 pode se mover ao longo da ranhura do corpo 1 UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 22 É possível observar que o único movimento restringido ao ponto C é o movimento na direção perpendicular à ranhura do corpo 1 O número de graus de liberdade de um sistema formado por n corpos sendo um deles fixo e unidos por juntas cinemáticas pode ser calculado como 𝐺𝐷𝐿 3𝑛 1 2𝑗1 𝑗2 13 Onde n número de corpos sendo um estacionário j1 número de juntas primárias juntas que retiram dois graus de liberdade ao sistema j2 número de juntas secundárias juntas que retiram um grau de liberdade ao sistema Pela análise da equação 13 é possível concluir que o número de graus de liberdade depende do número de corpos ou barras e do tipo e do número de juntas cinemáticas A equação 13 é apenas válida para sistemas planos Ao aplicar o mesmo raciocínio para sistemas tridimensionais o critério de Grübler é dado por 𝐺𝐷𝐿 6𝑛 1 5𝑗1 4𝑗2 3𝑗3 2𝑗4 𝑗5 14 Onde n número de corpos sendo um estacionário jk número de juntas que retiram k graus de liberdade k 1 2 5 Note que um corpo no espaço tridimensional tem seis graus de liberdade e que uma junta rotação junta do tipo j1 retira cinco graus de liberdade Ao aplicarse o critério de Grübler dado pela equação 13 se o número de graus de liberdade for nulo ou negativo significa que não se trata de um mecanismo pois este terá sempre pelo menos um grau de liberdade mas sim de uma estrutura respectivamente isostática ou hiperestática ou redundante Neste último caso o número de graus de liberdade representa o grau de hiperestaticidade ou redundância da estrutura Assim podem resumir as seguintes situações resultantes da aplicação do critério de Grübler aos sistemas mecânicos Se GDL 0 o sistema é um mecanismo com GDL graus de liberdade Se GDL 0 o sistema é uma estrutura estaticamente determinada Se GDL 0 o sistema é uma estrutura estaticamente indeterminada A Figura 126 mostra alguns exemplos de aplicação do critério da mobilidade de Grübler aos sistemas mecânicos Especial atenção deve ser dada à junta cinemática que liga o came e o seguidor no mecanismo ilustrado na Figura 126f UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 23 Aqui considerase que existe escorregamento e rolamento entre os componentes sendo por isso a junta cinemática considerada como uma junta secundária Figura 126 Aplicações do critério da mobilidade de Grübler a Mecanismo de quatro barras b Mecanismo bielamanivela c Estrutura isostática d Mecanismo de quatro barras com roda e Estrutura hiperestática f Mecanismo cameseguidor Mecanismos do tipo cameseguidor e de rodas dentadas são exemplos onde há rolamento e escorregamento entre os corpos Nas rodas de atrito existe em geral rolamento sem escorregamento Para mecanismos cuja cadeia cinemática é fechada o número de graus de liberdade correspondente é igual número de geradores de movimento Em sistemas abertos a aplicação do critério de Grübler resulta por vezes em graus de liberdade passivos ou redundantes sendo necessário neste caso uma atuação exterior por exemplo a força da gravidade ou a força de uma mola para evitar a separação dos elementos do mecanismo como o caso dos mecanismos do tipo cameseguidor O critério de Grübler salvo algumas excepções pode ser utilizado para determinar o número de graus de liberdade dos mecanismos mais usuais Contudo há restrições na sua aplicação por exemplo a existência de barras paralelas barras de igual comprimento ou outras configurações geométricas particulares Quando n barras estão ligadas entre si por uma mesma junta cinemática esta deve para efeito do cálculo do número de graus de liberdade ser apenas considerada n1 vezes UCAM MECANISMOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS MÓDULO 1Introdução ao Estudo 24 Assim uma junta de rotação que une três barras no mesmo lugar geométrico é contabilizada apenas duas vezes como junta primária como é exemplo a junta que une as barras 2 3 e 5 no sistema representado na Figura 126e No caso de um determinado sistema apresentar barras paralelas o critério de Grübler falha devido à existência de restrições vínculos redundantes Assim para o mecanismo de dupla manivela ilustrado na Figura 127a a aplicação direta do critério resulta num sistema cuja mobilidade é nula mas apesar disso existe movimento relativo entre as barras pois trata se na verdade de um mecanismo com um grau de liberdade Figura 127 a Sistema de dupla manivela b Mecanismo cinematicamente equivalente Na Figura 127b está representado o mecanismo cinematicamente equivalente o qual pela aplicação da equação 13 resulta em um grau de liberdade O critério de Grübler não é aplicável quando uma das barras tem unicamente duas juntas cinemáticas deslizantes paralelas pois não é possível impedila de se mover independentemente do resto do mecanismo como se ilustra na Figura 128a Figura 128 Exemplos em que não é aplicável o critério de Grübler A aplicação do critério da mobilidade também não é válida para sistemas que têm somente uma junta rotoide e as restantes juntas são deslizantes como é exemplificado na Figura 128b Apesar das restrições na aplicação do critério da mobilidade ele ainda é muito útil e fácil de usar na determinação dos graus de liberdade dos sistemas mecânicos Para evitar as limitações anteriormente referidas seria necessário incluir na equação 13 outras variáveis que contemplassem outras condições geométricas dos mecanismos resultando numa expressão de natureza substancialmente mais complexa e por conseguinte menos interessante