Distribuições Discretas de Probabilidade: Binomial e de Poisson

ESTATÍSTICA Juliane Silveira Freire da Silva Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson Saiba mais X 1 f1 PCK KC 2 4 X 2 f2 PKK 1 4 x 0 1 2 fx ¼ 24 ¼ Variável aleatória contínua Uma variável aleatória é dita contínua quando X puder assumir qualquer valor do intervalo do espaço amostral Diferentemente das funções discretas de probabilidade em que podemos calcular os valores no ponto em que a variável X assume nas distribuições continuas Como a função fx será contínua nesse caso calculamos a probabilidade de intervalos para a variável X pois mate maticamente quando temos uma função contínua precisamos calcular áreas abaixo da curva para chegarmos às probabilidades associadas à variável X Vamos a um exemplo de variável contínua seja X o tempo médio de vida útil de uma lâmpada O espaço amostral pode ir de um tempo 0 até um tempo que pode tender ao infinito Para calcularmos a probabilidade precisaríamos de intervalos como a duração de uma lâmpada em um tempo superior a 3000 horas Esse espaço amostral e a probabilidade seriam representados por Ω tR 0 fx 3000 PX 3000 Um exemplo de distribuição contínua de probabilidade é a distribuição normal a mais importante dentro da estatística Distribuições discretas de probabilidade Muitas vezes ficar pensando em espaço amostral e todas as possibilidades de funções pode ser complicado e desnecessário Por esse motivo algumas distribuições foram criadas por sua frequência de uso e seu uso ser útil em variáveis com comportamentos similares e predefinidos Essas distribuições têm funções matemáticas predefinidas 3 Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson Existem várias distribuições discretas de probabilidade a uniforme a geométrica a binomial a de Poisson entre outras Aqui trataremos das duas distribuições mais usuais devido à sua aplicação com dados de variáveis aleatórias discretas a distribuição binomial e a de Poisson Distribuição binomial A distribuição binomial é utilizada quando temos um número de repetições de um experimento uma probabilidade de sucesso associada ao acontecimento positivo do que estamos estudando e uma probabilidade de fracasso sobre esse mesmo evento São situações em que pode haver sucesso ou não e nenhuma outra hipótese é permitida como o número de caras em 50 lançamentos de uma moeda Então temos um experimento com espaço amostral associado além de repetições desse experimento Temos também p probabilidade de um evento desse espaço amostral ocorrer em cada uma das repetições do experimento Na distribuição binomial o evento ocorre ou não temos somente essas duas opções Então se temos uma probabilidade p desse evento ocorrer temos uma probabilidade q 1 p desse evento não ocorrer Costumase denominar como p sendo a probabilidade de sucesso e q como sendo a probabilidade de fracasso Vale ressaltar que dependendo do evento que estejamos estudando o sucesso não necessariamente seja uma afirmativa positiva Quando utilizamos o termo sucesso estamos dizendo que é a probabi lidade de sucesso de ocorrer o evento em particular que estamos investigando independentemente de ele ter um resultado considerado positivo ou não A forma da distribuição binomial é demonstrada no gráfico da Figura 1 a seguir considerando 60 repetições de um experimento e uma probabilidade de sucesso de 15 Anotamos uma distribuição binomial por Bnp no caso do gráfico B20015 Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson 4 Figura 1 Comportamento distribuição B60015 A fórmula da função matemática para cálculo de uma distribuição binomial é dada por fx PX x px qnx n x onde x é o valor do espaço amostral que se quer calcular a probabilidade n é o número de repetições p é a probabilidade de sucesso q 1 p é a probabilidade de fracasso Observe que na fórmula temos o termo n x Isso é resolvido por análise combinatória e significa n combinação x ou seja n x n x n x em que o ponto de exclamação significa fatorial Em algumas calculadoras científicas a tecla para a resolução desse termo da função é nCr 5 Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson Por exemplo atualmente sabemos que as redes sociais são utilizadas para comercialização de produtos Sabese por uma pesquisa realizada que cerca de 15 dos itens postados são efetivamente vendidos Primeiramente queremos saber a probabilidade de pelo menos 2 itens serem vendidos em um dia que 10 itens foram postados para venda Os valores que pode assumir são x 2345678910 Para não precisarmos calcular todas essas probabili dades podemos fazer uso da propriedade do complementar e tirar do espaço amostral os valores que não fazem parte dessa sentença e têm probabilidade 1 PX 2 1 PX 2 1 PX 0 PX 1 1 0150 085100 0151 085101 04557 4557 10 0 10 0 A segunda questão é a probabilidade de vender um produto Para isso calculamos apenas x 1 PX 1 0151 085101 03474 3474 10 1 Por fim calcularemos a probabilidade de que sejam vendidos menos de 3 produtos Aqui o x pode assumir os seguintes valores x 012 PX 3 0150 085100 0151 085101 0152 085102 08202 8202 10 0 10 0 10 0 PX 3 0150 085100 0151 085101 0152 085102 08202 8202 10 0 10 0 10 0 Distribuição de Poisson Assim como a distribuição binomial a de Poisson também conta sucessos Porém ao invés de eles serem observados em um número de repetições são feitos em um intervalo contínuo de tempo ou espaço O sucesso da distribui ção Poisson é observado em um intervalo contínuo e o da binomial é em um número de repetições Segundo Doane e Seward 2014 a distribuição de Poisson foi assim de nominada em homenagem ao matemático francês Simèon Denis Poisson 17811840 e descreve o número de ocorrências de um evento dentro de uma unidade de tempo por exemplo minuto ou hora escolhida aleatoriamente ou de espaço por exemplo metro quadrados ou quilômetros lineares Para se Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson 6 usar a distribuição os eventos devem ocorrer aleatória e independentemente no espaço ou em tempo contínuo Por exemplo se nossa variável X fosse número de chamadas não atendidas em uma central telefônica caso observássemos essa variável em um dia que ocorreram 300 ligações teríamos a proporção de chamadas não atendidas nossa probabilidade de sucesso em 300 repetições do experimento o que caracterizaria uma distribuição binomial Porém se observássemos a quantidade de chamadas não atendidas em um turno de 8 horas de trabalho teríamos a taxa de ocorrência por 8 horas de trabalho o que caracterizaria uma distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é representada por Pλ sendo λ a taxa de ocor rência do evento em estudo da variável x Para percebermos o comportamento da função da distribuição de Poisson observaremos o gráfico resultante de uma Poisson com λ 5 P5 na Figura 2 Figura 2 Comportamento distribuição P5 A função matemática para o cálculo dessa distribuição é dada por fx PX x eλ λx x onde x é o valor do espaço amostral em que se quer calcular a probabilidade λ é a taxa de ocorrência 7 Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson Observe que na fórmula temos o termo e que representa a constante Euler É um valor constante igual a 2718281828459045235360287 assim como o conhecido π Para calcular a expressão eλ nas calculadoras científicas utilizamos a tecla ex Relembrando o ponto de exclamação representa o fatorial Imagine essa central telefônica e que a taxa de chamadas não atendidas em um turno de 8 horas é de 10 chamadas Queremos investigar a probabilidade de não termos chamadas não atendidas em uma hora Observem que a taxa é dada por 8 horas mas queremos calcular a probabilidade por hora e então a primeira coisa a se fazer é descobrir a taxa por hora de chamadas não atendidas Isso se resolve com uma regra de três 10 chamadas 8horas λ 1 hora Então temos λ 125 Agora calcularemos a probabilidade de não termos chamada não atendida e então queremos calcular a probabilidade de x 0 f0 PX 0 02865 2865 e125 1250 0 Propriedades das distribuições binomial e de Poisson Como temos modelos conhecidos podemos verificar características de modo geral dessas variáveis Podem ser calculados o valor esperado a variância e o desviopadrão dessas variáveis Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson 8 Quando temos uma variável aleatória discreta que se aproxima de uma distribuição binomial podemos calcular o valor esperado da variável x como sendo μ EX n p A variância dessa variável aleatória discreta sendo 𝜎² VARX n p q Consequentemente o desviopadrão dessa variável aleatória discreta como sendo σ n p q O mesmo pode ser feito para uma variável aleatória discreta que siga aproximadamente uma distribuição de Poisson A média ou valor esperado da variável aleatória x é dada por μ EX λ A variância dessa variável aleatória discreta como 𝜎² VARX λ Consequentemente o desviopadrão dessa variável aleatória discreta sendo σ λ DOANE D P SEWARD L E Estatística aplicada à administração e economia 4 ed Porto Alegre Bookman 2014 Referência 9 Distribuições discretas de probabilidade binomial e de Poisson