Medidas de Posição: Média, Mediana e Moda

ESTATÍSTICA Medidas de posição média mediana e moda centrais de um rol de dados Além delas temos as medidas de posição chamadas separatrizes que são quartil decil e percentil Média A média é definida como o centro de massa ou o ponto de equilíbrio do conjunto MILONE 2006 Entre as principais médias destacamos a média aritmética A média aritmética é calculada por meio da soma dos dados quantitativos do conjunto e da divisão da soma pela quantidade de dados do conjunto x i 1 xi n n onde xi representa os dados em questão na posição 1 até nésima e n a quantidade de dados do conjunto Características da média 1 A média é afetada por todos os elementos do conjunto para o seu cálculo é preciso somar todos eles Como consequência ela se altera a cada mudança dos elementos do conjunto e ainda valores de extre mos muito altos ou muito baixos tendem a aumentála ou diminuíla respectivamente de maneira bastante significativa Sendo 30 32 44 82 e 97 dados de uma amostra qualquer sua média é obtida com x 30 32 44 82 97 5 57 Se qualquer dado for afetado por alguma mudança a média também será afetada especialmente se os extremos se alterarem 2 32 44 82 97 x 2 32 44 82 97 5 514 ou ainda 30 32 44 82 e 250 x 30 32 44 82 250 5 876 Medidas de posição média mediana e moda 2 Exemplo 2 A média apresenta propriedades algébricas de manipulação que são somandose uma constante a todos os dados da amostra a média é aumentada da mesma constante A média dos valores 41 75 e 64 é 41 75 64 3 60 Ao somarmos a constante 5 aos dados temos 46 80 69 e a média dos novos valores é 46 80 69 3 65 3 O valor da média estará sempre entre o maior e o menor valor do conjunto de dados e pode não corresponder a algum valor do próprio conjunto Como no conjunto anterior 41 75 64 a média é igual a 60 sendo assim 41 x 75 e ainda não é igual a nenhum dado do conjunto Média de dados agrupados O conceito de média e suas características mantémse para qualquer conjunto de dados Contudo o processo do cálculo pode variar dependendo de como esses dados estão apresentados O caso mais simples para encontrar o valor da média é em um rol de dados simplesmente ordenados ou não em que basta aplicarmos a equação que a define Já em dados que são apresentados em uma distribuição de frequência precisamos de uma etapa anterior para então aplicarmos a mesma fórmula Considere a tabela de distribuição de frequência no Quadro 1 relativa ao número de acidentes ocorridos com 30 motociclistas em uma empresa de entrega rápida 3 Medidas de posição média mediana e moda Número de acidentes variável Número de motociclistas frequência 1 13 2 5 3 9 4 1 5 2 Quadro 1 Número de acidentes com 10 motoristas de mototáxi As frequências dos acidentes indicam a intensidade deles facilitando a apresentação das variáveis Contudo para o cálculo da média precisamos ficar atentos a elas e não nos esquecer de que cada variável tem a sua quantidade indicada na coluna ao lado O cálculo da média de acidentes por motociclista deve ser feito da seguinte maneira x 13 1 5 2 9 3 1 4 2 5 13 5 9 1 2 2133 onde cada acidente é multiplicado pela frequência em que ocorreram e a soma deles dividida pelo total de motociclistas na empresa De maneira geral a média em uma distribuição de frequência é calculada pela lei x xi fi fi Ou seja o somatório do produto entre a variável xi e a sua frequência correspondente a fi divido pelo somatório das frequências fi Média de dados agrupados com intervalos de classe Além do formato do Quadro 1 para apresentação dos dados podemos ainda expressálos por meio de intervalos de classe que se trata do agrupamento dos valores em intervalos Essa prática é comumente utilizada em variáveis contínuas e quando cada valor tem uma baixa frequência resultando assim em uma tabela com muitas linhas que se torna inconveniente para análise O Medidas de posição média mediana e moda 4 Quadro 2 mostra um exemplo de distribuição de frequência com intervalos de classe Estatura variável Número de alunos frequência 160 165 5 165 170 20 170 175 11 175 180 1 180 185 3 Quadro 2 Estatura em cm de 50 alunos de uma classe Por característica das distribuições de frequência com dados agrupados ocultamos algumas informações anteriormente tidas nos dados brutos Perceba que a tabela nos indica que cinco estudantes apresentam estatura entre 160 cm e 165 cm porém não nos orienta para a altura exata de cada um deles Para cálculo da média de dados apresentados dessa forma precisamos assumir um único valor para esses intervalos de classe Fizemos isso por meio do cálculo da própria média das classes Para o exemplo anterior teremos o Quadro 3 Estatura variável xi média das classes Número de alunos fi xi fi 160 165 160 165 2 1625 5 8125 165 170 1675 20 3350 170 175 1725 11 18975 175 180 1775 1 1775 180 185 1825 3 5475 6785 Quadro 3 Estatura em cm de 50 alunos de uma classe inserção das colunas xi e xi fi para cálculo da média 5 Medidas de posição média mediana e moda Note que no Quadro 3 inserimos além da média das classes uma coluna com a multiplicação entre a variável e a frequência Isso pode facilitar no cálculo da média Contudo é o mesmo que aplicarmos a seguinte lei x xi fi fi x 8125 3350 18975 1775 5475 40 6785 16963 cm 40 Concluímos assim que a média das estaturas entre os 40 alunos pesqui sados é 16963 cm Mediana Outra medida de centro bastante utilizada é a mediana Seu conceito é dado por o valor que se encontra no centro de uma série ordenada de números Ou seja é o dado que divide o conjunto ordenado em dois subconjuntos de mesmo número de elementos CRESPO 2002 A posição da mediana é encontrada por n 1 2 Em um conjunto de dados não agrupados como 8 5 14 9 56 32 23 no qual temos n 7 dados a posição da mediana é dada por 8 2 4 ou seja na quarta posição Contudo antes de localizarmos o dado que se encontra na quarta posição é preciso ordenálos segundo um critério preestabelecido de ordem crescente por exemplo Sendo assim temos 5 8 9 14 23 32 56 onde constatamos que a mediana é igual a 14 Em casos em que a quantidade de dados é par teremos dois termos no centro da série Assim precisamos encontrar o ponto médio dos dois valores para determinarmos a mediana Na série 2 5 8 9 14 23 32 56 o quarto e o quinto termos são que dividem a série em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos Dessa forma a mediana dessa é dada por 9 14 2 115 Perceba que a mediana além de uma medida de tendência central também é con siderada separatriz pois divide o conjunto de dados em duas partes com iguais quantidades de elementos Medidas de posição média mediana e moda 6 As separatrizes separam o conjunto de dados em grupos com o mesmo número de valores os quartis dividem o conjunto em 4 quatro partes iguais os decis em 10 dez e os percentis em 100 cem Moda A moda é geralmente a medida de tendência central mais simples de ser informada pois exige apenas a observação dos dados existentes Definimos moda como o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados Ou seja é o valor mais comum dentre todos do conjunto No exemplo 2 5 8 9 14 23 32 56 temos um conjunto em que todos os elementos têm a mesma frequência Isso implica em um conjunto amodal ou sem moda Já a série de dados 2 5 8 8 8 9 9 14 23 32 56 tem moda igual a 8 e a série 2 5 8 8 8 9 9 14 23 32 56 56 56 tem duas modas 8 e 56 Neste último caso chamamos o conjunto de bimodal Escolha da medida de posição mais adequada A escolha entre a média a mediana e a moda depende dos fatores que elas afetam É necessário conhecer suas propriedades com a finalidade de adequar a melhor medida a cada caso em estudo Uma das características da média é sua sensibilidade a valores muito altos ou muito baixos do conjunto de dados pois é uma medida que reflete cada valor do conjunto Sendo assim uma análise possível é quando os valores extremos do conjunto de dados são consideravelmente dispersos dos de mais a média não é uma medida de posição indicada para análise pois ela não representa adequadamente a maioria dos dados do conjunto Por outro lado a mediana é de fato insensível aos valores extremos do conjunto podendo estes se alterarem e mesmo assim a mediana se manter Portanto no caso citado a indicação é a utilização da mediana como medida de posição mais adequada Em contrapartida a média é mais prática de ser calculada visto que para encontrar a mediana é imprescindível a ordenação dos dados o que acarreta 7 Medidas de posição média mediana e moda em grande dificuldade quando o conjunto apresenta grande quantidade de dados sobretudo quando não se utiliza de recursos tecnológicos para tal A moda é geralmente um ponto isolado mas de maior peso no conjunto de elementos Sua característica é vantajosa sobre as demais pois é sempre um valor típico o qual tem maior quantidade de valores concentrados no mesmo ponto Quando temos dados qualitativos não podemos aplicar as medidas de posição média e mediana por motivos óbvios Em contrapartida a moda é uma medida de posição que pode ser obtida mesmo em conjuntos de dados qualitativos Aplicação a partir das definições Nesta etapa de estudo aplicaremos os conceitos estudados anteriormente em alguns exemplos de atividades a fim de utilizar as ferramentas estatísticas para o desenvolvimento do raciocínio lógico enquanto descobrimos a melhor maneira para encontrar as soluções Em um conjunto com 15 dados a média aritmética é igual a 9 Depois de uma vistoria detalhada nos dados descobriuse que alguns eram inconsistentes e precisavam ser desconsiderados Assim os números 34 27 14 foram retirados Qual será a nova média do conjunto Solução Temos que o primeiro conjunto tinha média igual a x x1 x15 15 9 Assim a soma de todos os 15 elementos do conjunto de dados é dada por x1 x15 9 15 135 Medidas de posição média mediana e moda 8 Com a retirada de três elementos passamos a ter 12 dados e sua soma representada por x1 x12 135 34 27 14 60 Aplicando a definição de média temos x x1 x12 12 60 5 12 Aplicouse uma prova para 80 alunos da turma da disciplina de Estatística Porém como o espaço físico era pequeno dividiuse a turma em duas partes que realizaram a prova em dias diferentes No primeiro dia 35 alunos realizaram a avaliação e a média desse grupo foi 90 No segundo dia aplicouse a prova para os demais que obtiveram média igual a 70 Qual foi a média da turma toda Solução Podemos representar a média da turma do primeiro dia como x x1 x35 35 9 1 bem como a média da segunda turma é x x1 x45 45 7 2 x1 x35 9 35 315 x1 x45 7 45 315 x1 x80 315 315 630 Portanto a média final é igual a x x1 x80 80 787 f 630 80 9 Medidas de posição média mediana e moda Portanto a soma de todos os 5 elementos do conjunto de dados é dada por x1 x5 16 5 80 Então para descobrirmos o maior valor possível entre os 5 dados assumiremos os 4 outros valores como os menores possíveis ou seja 1 2 3 4 x 80 Sendo assim o maior valor possível do conjunto de dados é x 80 1 2 3 4 x 70 Resposta letra D FUVEST Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70 Realizado o exame verificouse que 8 alunos foram reprovados A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65 enquanto que a média dos aprovados foi 77 Após a divulgação dos resultados o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos Com essa decisão a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 688 a Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras b Com a atribuição dos cinco pontos extras quantos alunos inicialmente reprovados atingiram nota para a aprovação Solução a Com os dados informados no problema temos x reprovados x1 x8 8 65 x aprovados x1 x12 12 77 x total x1 x8 x1 x12 20 520 924 20 722 A média das notas da classe antes da atribuição dos cinco pontos extras era de 722 11 Medidas de posição média mediana e moda b A nova média de toda a turma após a atribuição dos cinco pontos por aluno é x 520 924 5 20 20 1544 20 772 Com a atribuição dos cinco pontos é possível que alguma quantidade de alunos tenha sido aprovada chamemos essa quantidade de A Sendo assim a nova quantidade de alunos aprovados é 12 A e de alunos reprovados 8 A Temos do enunciado que a nova média dos aprovados é 80 e dos reprovados 688 Então 772 12 A 80 8 A 688 20 Resolvendo a equação temos que A 3 Assim 3 alunos foram aprovados após a atribuição dos 5 pontos BARBETTA P A REIS M M BORNIA A C Estatística para cursos de engenharia e infor mática 2 ed São Paulo Atlas 2008 CRESPO A A Estatística fácil 17 ed São Paulo Saraiva 2002 MILONE G Estatística geral e aplicada São Paulo Thomson Learning 2006 Leitura recomendada BECKER J L Estatística básica transformando dados em informação Porto Alegre Bookman 2015 Medidas de posição média mediana e moda 12 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo saGAH Soluções Educacionais 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