Probabilidade na Estatística - Conceitos e Cálculo

ESTATÍSTICA Jamur Silveira Cálculo de probabilidade Objetivos de apren dizagem A o f i n a l d e s t e t e x t o v o c ê d e v e a p r e s e n t a r o s s e g u i n t e s a p r e n d i z a d o s Diferenciar eventos mutuamente excludentes de eventos comple m e n t a r e s D i s t i n g u i r e v e n t o s i n d e p e n d e n t e s d e e v e n t o s d e p e n d e n t e s R e a l i z a r c á l c u l o s s i m p l e s de p r ob a b i l i d a d e Introdução N e s t e t e x t o v o c ê v a i e s t u d a r u m d o s c on c e i t o s m a i s i m p o r t a n t e s d a e s t a t í s t i c a a p r o b a b i l i d a d e A p a r t i r d e l e v o c ê t e r á i n f o r m a ç õ e s a d i c i o n a i s d a s i t u a ç ã o q ue e s t á a n a l i s a n do e c om i s s o m a i s ê x i t o n a t o m a d a de d e c i s õ e s Probabilidade A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios Há certos fenômenos ou experimentos que embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas não apresentam os mesmos resultados Por exemplo no lançamento de uma moeda perfeita o resultado é imprevisível não se pode determinálo antes de ser realizado e não podemos prever mas podemos saber quais são os possíveis resultados Aos fenômenos ou expe rimentos desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios ou casuais Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis as chances e as probabilidades de um determinado resultado ocorrer 2 Cálculo de probabilidade S e g u n d o M a nn a p r o b a b il i d a d e c o r r e s p o n d e à m e d i d a n u m é r i c a d a p o ss i b il i d a d e d e q u e um d e t e r m i n a d o e v e n t o v enha a o c o r r e r Espaço amostral Em um experimento ou fenômeno aleatório o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral que vamos indicar por U ou Ω Veja os seguintes exemplos Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima U cara coroa Lançar um dado e observar a face voltada para cima U 1 2 3 4 5 6 Evento Chamase evento todo subconjunto de um espaço amostral ou seja os resul tados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno Resultados esses que queremos que aconteçam ou não No lançamento de um dado por exemplo em relação à face voltada para cima podemos ter os seguintes eventos O número é par 2 4 6 O número é menor que 5 U 1 2 3 4 O número é 8 Cálculo de probabilidade 3 Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10 Retirase uma bola ao acaso e se o b s e r v a o n ú m e r o i n d i c a d o D e s c r e v e r d e f o r m a e x p l í ci t a o s s e gu i n t e s c o n j u n t o s e d a r o n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e c a d a u m o espaço amostral U o e v e n t o A o n ú m e r o d a b o l a é ím p a r o evento B o número da bola é múltiplo de 3 Solução O conjunto de todos os resultados possíveis é representado pelo seguinte espaço a m o s t r a l U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 O n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e s s e c o n j u n t o é n U 1 0 S e o n ú m e r o d a b o la é í m p a r t e m o s o e v e n t o A 1 3 5 7 9 O n ú m e r o d e elementos desse conjunto é n A 5 S e o n ú m e r o d a b o l a é mú l t i p l o d e 3 t e m o s o e v e n t o B 3 6 9 O n ú m e r o d e elementos desse conjunto é n B 3 Eventos mutuamente excludentes e eventos complementares Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos mutuamente excludentes também chamados de eventos mutuamente exclu sivos Caso dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes no máximo um deles irá ocorrer a cada vez que repetirmos o experimento Por conseguinte a ocorrência de um evento exclui a ocorrência do outro ou de outros eventos Considerando por exemplo dois lançamentos de uma moeda esse expe rimento tem quatro resultados possíveis caracara caracoroa coroacara coroacoroa Esses resultados são mutuamente excludentes uma vez que um e somente um deles irá ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes Chamase evento complementar de um evento A e é representado por Ā o conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não pertencem ao evento A No lançamento de um dado temos o seu espaço amostral U 1 2 3 4 5 6 Considere os eventos a seguir O evento A o número obtido é menor que 3 O evento Ā o número obtido é maior ou igual a 3 4 Cálculo de probabilidade Observe que os eventos A 1 2 e Ā 3 4 5 6 Estes são complemen tares pois A Ā e A Ā U a interseção o que há de comum entre os conjuntos entre os dois conjuntos resulta em um resultado vazio visto que os dois conjuntos não possuem resultados em comum e a união unir todos os elementos dos conjuntos envolvidos entre os dois conjuntos resulta no conjunto espaço amostral U Eventos independentes e eventos dependentes Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem reposição respectivamente Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante portanto não se altera a probabilidade de sorteio do evento seguinte Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu con junto de origem alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte Exemplo de evento independente Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como eventos independentes uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento Exemplo de evento dependente A retirada de duas bolas sem reposição de uma urna contendo 20 bolas numeradas de 1 a 20 são dependentes pois as probabilidades do resultado da retirada da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira bola Especificamente se na primeira bola retirada saiu a de número 10 e se não houver reposição com certeza não existirá a probabilidade de que na segunda retirada a bola 10 apareça pois esta não se encontra mais na urna ou seja a primeira retirada afetou completamente as probabilidades de retirada da segunda bola Cálculo de probabilidade 5 Todo experimento que tiver dois ou mais eventos e aparecer no enunciado as palavras c o m r e p o s i ç ã o o u se m r e p o s i ç ã o a u t o m a t i c a m e n t e j á s a b e r e m o s s e s ã o i n d e p e n de n t e s c o m r e p o s i ç ã o o u de p e n de n t e s s e m r e p o s i ç ã o Cálculo de probabilidade Como se calcular questões eou experimentos de probabilidade Considere uma área muito visitada no Museu de Animais Em um recipiente existem 12 aranhas das quais 8 são fêmeas A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um experimento é de No lançamento de um dado perfeito qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4 Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20 Sorteandose uma bola ao acaso qual é a probabilidade em porcentagem de que o número da bola sorteada seja divisível por 3 Considere o lançamento de três dados comuns Qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5 Maria ganhou de João nove pulseiras quatro delas de prata e cinco de ouro Maria ganhou de Pedro onze pulseiras oito delas de prata e três de ouro Ela guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de joias Uma noite arrumandose apressadamente para ir ao cinema com João Maria retira ao acaso uma pulseira de sua pequena caixa de joias Ela vê então que retirou uma pulseira de prata Levando em conta tais informações a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a Uma urna contém 8 bolas das quais três são vermelhas e as restantes são brancas Qual a probabilidade de ao retirar duas bolas sucessivamente sem reposição obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento como os casos apresentados acima além dos conceitos de espaço amostral eventos e tipos de eventos apresentados neste capítulo anteriormente foi preciso saber diferenciar os tipos de probabilidade que veremos adiante probabilidade de um evento em um espaço amostral finito probabilidade condicional e probabilidades de eventos independentes Além de sabermos apresentar os 6 Cálculo de probabilidade cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de apresentação valor fracionário valor numérico e valor percentual Resultados da probabilidade Como citado anteriormente podemos apresentar os resultados obtidos nos cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes Valor fracionário quando se faz um cálculo de probabilidade como veremos adiante o primeiro resultado obtido é o fracionário em que temos um número que fica na parte superior da fração chamado de numerador e outro valor na parte inferior da mesma fração chamado de denominador ab 1 Exemplo 2 5 Valor numérico quando acharmos o valor fracionário e realizarmos a divisão proposta ou seja o numerador em cima dividido pelo de nominador embaixo obterá um resultado que chamaremos de valor numérico É o resultado da divisão do valor fracionário 5 2 Exemplo 2 040 Valor percentual ao chegarmos ao valor numérico podemos trans formar qualquer um deles em valor percentual apenas multiplicando o valor por 100 cem e após colocar o símbolo de porcentagem 3 Exemplo 040 100 40 quarenta por cento Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras isso vai depender do que for pedido no enunciado de algum problemaquestão experimento Probabilidade de um evento em um espaço amostral finito A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é co nhecida como probabilidade clássica A regra da probabilidade clássica é aplicada para se calcularem as probabilidades de eventos a um experimento para o qual os resultados sejam igualmente possíveis Dado um experimento aleatório sendo U o seu espaço amostral vamos admitir que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer Cálculo de probabilidade 7 Chamamos de probabilidade de um evento A o número real PA tal que n U P A n A em que n A é o número de elementos do conjunto A e n U é o número de elementos do conjunto U Em outras palavras P A número de casos favoráveis número total de casos possíveis Todas as possíveis respostas favoráveis eventos são divididas por todas de respostas possíveis espaço amostral E n c o n t r e a p r o b a b il i d a d e d e s e o b t e r u m n ú m e r o p a r e m u m la n ç a m e n t o d e u m d a d o Solução E s s e e x p e r i m e n t o t e m u m t o t a l d e s e i s r e s u l t a d o s 1 2 3 4 5 e 6 T o d o s e s t e s s ã o i gu a l m e n t e p o s s í v e i s C o n s i d e r e A um e v e n t o e m q u e um n ú m e r o p a r s e j a o b s e r v a d o n o d a d o O e v e n t o A i n c l u i t r ê s r e s u l t a d o s p o s s í v e i s 2 4 e 6 o u s e j a A 2 4 6 C a s o qua l q u e r um d e s s e s t r ê s n ú m e r o s s e j a o b t i d o c o n s i d e r a s e q u e o e v e n t o A t e nh a o c o rr i d o A s s i m s e n d o P A número de casos favoráveis número total de casos possíveis P A 3 S i m p l i f i c a n d o o u s e j a d i v i d i n d o o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r p e l o 6 1 2 m e s m o v a l o r n e s t e c a s o d i v i d i n d o o s d o i s v a l o r e s p o r 3 o b t e m o s v a l or f r a c i o n á ri o S e d i v i d i r m o s o v a l o r f r a c i o n á r i o 1 o u s e j a 1 2 0 5 0 v a l o r n u m é r i c o 2 E s e mu l t i p l i c a r m o s p o r 1 0 0 e s s e v a l o r n u m é r i c o i r e m o s o b t e r o v a l o r f r a c i o n á r i o 0 5 0 x 1 0 0 5 0 c i n q u e n t a p o r c e n t o R e s um i n d o qu a l q u e r um a d a s 3 r e s p o s t a s s ã o i gu a i s v á l i d a s e p o d e m s e r apresentadas 1 050 50 2 I n t e r p r e t a n d o o r e s u l t a d o o b t i d o 1 a c a d a 2 v e z e s q u e o d a d o f o r j o g a d o t e m o s a p r o b a b il i d a d e d e 1 d e s s as 2 j o g a d as s e r o v a l o r p a r 0 5 a p r o b a b il i d a d e d e a c o n t e c e r u m e v e n t o é e x a t a m e n t e a m e t a d e o u s e j a c a d a v e z q u e s e j o g a 2 v e z e s o d a d o a p r o b a b i l i d a d e é q u e a m e t a d e d as v e z e s 0 5 a c o n t e ç a d e s a ir o v a l o r p a r 5 0 a p r o b a b i l i d a d e d e a c o n t e c e r o e v e n t o f a v o r á v e l n o c a s o n ú m e r o s p a r e s é d e e x a t a m e n t e 5 0 a c a d a 2 v e z e s q u e f o r j o g a d o o d a d o 8 Cálculo de probabilidade O s v a l o r e s d o e s p a ç o a m o s t r a l n o e x e m p l o a c i m a f o i j o g a d o a p e n a s um d a d o C o m o f i c a r i a o v a l o r d o e s p a ç o a m o s t r a l s e j o g ás s e m o s a o m e s m o t e m p o 2 3 o u m a i s d a d o s A o j o g a r m o s 1 d a d o c h e g a m o s a c o n c l u s ã o d e q u e t e r e m o s 6 p o s s í v e i s r e s p o s t as t o d as as m e s m as p o s s i b i l i d a d e s M as a o j o g a r m o s 2 d a d o s a o m e s m o t e m p o e s s e v a l o r n ã o s e r á o m e s m o V a m o s p e n s a r u m p o u c o e v e r i f i c a r as p o s s í v e i s r e s p o s t a s 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 e 6 6 I s s o t o t a l i z a 3 6 p o s s í v e i s r e s p o s t as m as p o d e m o s c h e g a r a e s s e v a l o r d e u m a m a n ei r a mu i t o m a i s r á p i d a u t i l i z a n d o a s e gu i n t e o p e r a ç ã o 6 n n é a q u a n t i d a d e d e d a d o s q u e e s t ã o s e n d o u t i l i z a d o s D o i s d a d o s 6 2 6 6 3 6 T r ê s d a d o s 6 3 6 6 6 21 6 E as s i m p o r d i a n t e No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade apresentamos várias questões sobre probabilidade Vamos aproveitar agora que aprendemos a calcular a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito pro babilidade clássica e resolvermos estas Considere uma área muito visitada do Museu de Animais Em um recipiente existem 12 aranhas das quais 8 são fêmeas A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um experimento é de quanto Solução No total existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma possibilidade de serem sorteadas espaço amostral e queremos sortear aranhas macho Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas então 4 são machos evento Colocando os valores na fórmula P A número de casos favoráveis número total de casos possíveis 12 P A 4 3 P A 1 valor fracionário que significa que a cada 3 aranhas retiradas temos a probabilidade 1 delas ser macho Cálculo de probabilidade 9 3 Ou P A 1 0333 valor numérico Ou PA 0333 x 100 3333 valor percentual No lançamento de um dado perfeito qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4 Solução Um dado possui 6 faces numeradas ou seja os números 1 2 3 4 5 e 6 possuem as mesmas possibilidades ao jogarmos o dado da face desse número cair voltada para cima espaço amostral O problema pede a probabilidade de sair a face para cima de um número maior do que 4 Temos como possíveis respostas os números 5 e 6 evento Colocando na fórmula P A 2 simplificando dividindo os dois valores por 2 obtemos o valor final de 1 6 3 Ou P A 1 0333 valor numérico 3 Ou PA 0333 x 100 3333 valor percentual Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20 Sorteando uma bola ao acaso qual é a probabilidade em porcentagem de que o número da bola sorteada seja divisível por 3 Solução Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20 em que todas possuem a mesma possibilidade de serem retiradas espaço amostral O problema quer calcular a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja divisível por Esses números são 3 6 9 12 15 e 18 ou seja temos 6 possíveis números que são favoráveis ao que o problema está solicitando evento Colocando na fórmula P A 6 simplificando fica como resultado final 3 a cada 10 retiradas 20 10 de bolas temos a probabilidade de 3 delas serem divisíveis por 3 Ou P A 3 03 valor numérico 10 Ou PA 03 x 100 30 valor percentual 10 Cálculo de probabilidade Considere o lançamento de três dados comuns Qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5 Solução Em primeiro lugar precisamos calcular o valor do espaço amostral e da quantidade de possíveis respostas Utilizando a operação que foi citada no Fique Atento acima como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo vamos utilizar a operação 6 n 6 3 216 possíveis respostas O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados ao mesmo tempo sejam 5 Vamos achar essas possíveis respostas 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 1 2 e 2 2 1 totalizando 6 possíveis respostas favoráveis Colocando na fórmula P A 6 Simplificando ou seja dividindo os dois valores por 6 chega 216 1 mos ao valor final 36 valor fracionário A cada 36 vezes que jogarmos os 3 dados ao mesmo tempo 1 das jogadas dará como soma de todos os números o valor 5 36 Ou P A 1 002777 Ou PA 002777 x 100 277 valor percentual Probabilidade condicional Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade de ocorrência de um evento A então dizemos que a probabilidade de A está condicionada à probabilidade de B e representamos por P A B Lêse pro babilidade de A dado B A B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu ou que a ocorrência de B esteja garantida os eventos A e B são dependentes n B P AB n A B Cálculo de probabilidade 11 P a r a s e c a l c u l a r u m a p r o b a b i l i d a d e c o n d i c i o n a l n o d e n o m i n a d o r s e c o l o c a o t o t a l d e p o s s í v e i s r e s p o s t a s d a c o n d i ç ã o e n o d e n o mi n a d o r c o l o q u e a qua n t i d a d e d e p o s s í v e i s r e s p o s t as f a v o r á v e i s e v e n t o s d e n t r o d a c o n d i ç ã o Uma concessionária A tem em seu estoque 25 carros de um modelo B O quadro a s e gu ir d i v i d e o s 25 c a r r o s d i s p o n í v e i s e m t i p o d e m o t o r e c o r 10 16 20 Motor Cor Branca Preta Prata Vermelha 2 2 5 1 1 1 4 1 2 2 3 1 U m c a r r o d o m o d e l o B f o i c o m p r a d o n e s s a c o n c e s s i o n á r i a D a d o q u e e s s e c a r r o é d e c o r p r a t a q u a l a p r o b a b i l i d a d e q u e s e u m o t o r s e j a 1 0 Solução E s s e p r o b l e m a d e p r o b a b il i d a d e é u m c a s o d e p r o b a b il i d a d e c o n d i c i o n a l p o i s o cálculo está condicionado à informação de que já sabemos que o carro é prata c o n d i ç ã o U t i l i z a n d o a f ó r mu l a d a p r o b a b i l i d a d e c o n d i c i o n a l P AB n A B n B No denominador colocamos a quantidade de possíveis respostas da condição cor p r a t a c o n f o r m e t a b e l a V e r i f i c o u s e q u e a c o n c e s s i o n á r i a p o s s u i 1 2 c a r r o s p r a t a s N a p a r t e s u p e r i o r n o n u m e r a d o r c o l o c a m o s a s p o s s i b i l i d a d e s d e r e s p o s t a s f a v o r á v e i s m o t o r 1 0 d e n t r o d o s c a r r o s d e c o r p r a t a 5 c a r r o s c o m m o t o r 1 0 e q u e s ã o d e c o r p r a t a P A B 5 v a l o r f r a c i o ná r i o 12 12 P A B 5 04166 v a l o r n u m é r i c o P A B 0 4 1 6 6 x 1 0 0 4 1 6 6 v a l o r p e r c e n t u a l 12 Cálculo de probabilidade Resolvendo o problema citado anteriormente Maria ganhou de João nove pulseiras quatro delas de prata e cinco de ouro Maria ganhou de Pedro onze pulseiras oito delas de prata e três de ouro Ela guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de joias Uma noite arrumandose apressadamente para ir ao cinema com João Maria retira ao acaso uma pulseira de sua pequena caixa de joias Ela vê então que retirou uma pulseira de prata Levando em conta tais informações a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a Solução Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata por isso precisamos saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou 12 Ela que saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando no escuro tenha sido dada de presente pelo João Então precisamos verificar quantas pulseiras de prata João deu de presente 4 Utilizando a fórmula n B P AB n A B PAB 4 Simplificando 13 valor fracionário 12 3 PAB 1 03333 valor numérico PAB 03333 100 3333 Probabilidade de eventos independentes Dois eventos A e B são chamados independentes quando a probabilidade de ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro ou seja P B A P B ou P A B P A Se A e B são eventos independentes então a probabilidade de ocorrência de A e B será P A B P A P B Cálculo de probabilidade 13 N o c a s o d a p r o b a b il i d a d e d e e v e n t o s i n d e p e n d e n t e s c a l c u l a s e c a d a e v e n t o s e p a r a d a m e n t e e a p ó s o b t e r t o d as as r e s p o s t as f a z s e a mu l t i p l i c a ç ã o e n t r e t o d as as p r o b a b i l i d a d e s d e c a d a e v e n t o r e s u l t a d o s D e a c o r d o c o m o s c á l c u l o s d e s in i s t r o d e u m a d e t e r m in a d a s e gu r a d o r a o cl i e n t e Antonio tem uma probabilidade de sinistro para o ano de vigência de seu seguro d e 2 2 J á a c l i e n t e M a r i a t e m u m a p r o b a b i l i d a d e d e s i n i s t r o d e 1 0 p a r a o a n o d e v i g ê n c i a d e s e u s e gu r o Qual seria a probabilidade de ambos terem um sinistro durante a vigência de seu seguro Como temos duas apólices distintas de pessoas que provavelmente nem se c o n h e ç am t e m o s e v e n t o s i n d e p e n d e n t e s P Antonio ter sinistro 022 P Maria ter sinistro 010 P ambos com sinistro P Antonio ter sinistro P Maria ter sinistro P o r s e r em e v e n t os i n d e p e n d e n t e s c a l c u l a m os d a s e g u i n t e f o r m a P a m b o s c o m s i n i s t r o 0 2 2 0 1 0 0 0 2 2 o u 2 2 0 A g o r a q u a l é a p r o b a b i l i d a d e d e a m b o s n ã o t e r e m u m s i n i s t r o d u r a n t e a v i g ê n c ia d e seu seguro P Antônio não ter sinistro 1 022 078 P Maria não ter sinistro 1 010 090 P nenhum com sinistro P Antonio não ter sinistro P Maria não ter sinistro P o r s e r em e v e n t os i n d e p e n d e n t e s c a l c u l a m os d a s e g u i n t e f o r m a P n e n h u m c o m s i n i s t r o 0 7 8 0 9 0 0 70 2 0 o u 7 0 2 0 14 Cálculo de probabilidade Resolvendo o problema citado anteriormente Uma urna contém 8 bolas das quais três são vermelhas e as restantes são brancas Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas suces sivamente sem reposição sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca Solução Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento em que dentro da urna há 8 bolas espaço amostral e queremos sortear uma bola vermelha tendo dentro da urna um total de 3 dessa cor evento 8 P A 3 Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento e sabendo que não houve reposição dentro da urna há 7 bolas espaço amostral e queremos sortear desta vez uma bola branca sabendo que dentro dessa urna há um total de 5 bolas dessa cor evento 7 P B 5 Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes P A B P A P B P A B P A P B 3 5 15 8 7 56 P A B 15 56 02678 valor numérico PAB 02678 100 2678 valor percentual Cálculo de probabilidade 15 Leituras recomendadas A N D E R S O N D R S W EE N E Y D J W I LL I A MS T A E s t a t í s t i c a a p l i c a d a à a d m i n i s t r a ç ã o e e c on o m i a 2 e d S ã o P a u l o C e n g a g e L e a r n i n g 2 0 1 1 B A R B E T T A P A R E I S M M B O R N I A A C Es t a t í s t i c a p a r a cu r s o s d e e n g enha r i a e i n f o r m á t i c a 3 e d S ã o P a u l o A t l as 2 0 1 0 M A NN P S I n t r o du ç ã o à e s t a t í s t i c a R i o d e J a n ei r o L T C 2 0 0 6 M O R E T T I N L G E s t a t í s t i c a b á s i c a p r o b a b i l i d a d e e i n fe r ê n c i a S ã o P a u l o P e a r s o n P r e n t i c e H a ll 2 0 1 0 S I L V E I R A J F R a c i o c í n i o l ó g i c o m a t em á t i c o c u r s o c o m p l e t o p r e p a r a t ó r i o p a r a c o n c u r s o s 2 0 1 5 D i s p o n í v e l e m h t t p ww w p r o f e s s or j a m u r c o m b r d o w n l o a d s A P O S T I L A 2 0 2 0 R A C I O C C 3 8 D N I O 2 0 L C 3 9 3 G I C O 2 0 2 0 P R O F 20 J A M U R p d f A c e s s o e m 1 9 a g o 2 0 1 7 Identificação interna do documento PYDB0XJZAKD1SFU31