Flexão Normal Simples - Dimensionamento de Seções Retangulares

CAPÍTULO 3 Volume 1 FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimensionamento de Seções Retangulares Prof José Milton de Araújo FURG 3 Diagrama parábolaretângulo n o c cd c f ε ε σ 1 1 0 85 se o c ε ε cd c 0 85 f σ se u c o ε ε ε σc 0 se u c ε ε Parâmetros do diagrama parábolaretângulo fck MPa 50 55 60 70 80 90 o ε o oo 20 22 23 24 25 26 u ε o oo 35 31 29 27 26 26 n 20 175 16 145 14 14 Parábola do segundo grau Módulo tangente na origem o cd c par nf E ε 0 85 derivando Prof José Milton de Araújo FURG 4 02 εo ooo se fck 50 MPa 53 50 0 0 085 02 ck o ooo f ε se fck 50 MPa 53 εu ooo se fck 50 MPa 4 100 35 90 62 ck u ooo f ε se fck 50 MPa 02 n se fck 50 MPa 4 100 90 23 4 41 fck n se fck 50 MPa Equações dos parâmetros do diagrama Prof José Milton de Araújo FURG 5 0 1 2 3 4 Deformação εc por mil 0 10 20 30 40 50 60 Tensão σc MPa fck30 MPa fck50 MPa fck60 MPa fck90 MPa 20 30 40 50 60 70 80 90 Resistência fck MPa 12 16 20 24 28 32 Módulo tangente Ecpar GPa Grupo I Grupo II Incoerência o módulo diminui com o crescimento da resistência para fck50 MPa Por isso esse diagrama não serve para calcular deformações dimensionamento de pilares esbeltos por exemplo Ele só serve para o dimensionamento de seções transversais Prof José Milton de Araújo FURG 6 33 Domínios de dimensionamento Reta a tração simples Reta b compressão simples Flexotração domínios 1 2 3 e 4 Flexocompressão domínios 2 3 4 4a e 5 Peças subarmadas rompem no domínio 2 A ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura ruptura convencional sem haver o esmagamento do concreto A ruptura é dúctil ou com aviso prévio intensa fissuração Peças normalmente armadas a ruptura ocorre no domínio 3 com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura O tipo de ruptura é semelhante ao das peças subarmadas Peças superarmadas a ruptura ocorre no domínio 4 O aço não escoa e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto A ruptura é frágil brusca ou sem aviso prévio Essas peças devem ser evitadas com o emprego de armadura dupla Prof José Milton de Araújo FURG 9 34 Diagrama retangular para o concreto Distribuição das tensões no concreto Deformações seções retangulares em flexão normal por exemplo Se a largura diminuir multiplicar por 09 seção circular x cd h x c cd cd α f σ 0 85 αc se fck 50 MPa 200 50 0 85 1 ck c f α se fck 50 MPa c α 80 λ se fck 50 MPa 400 50 80 fck λ se fck 50 MPa Prof José Milton de Araújo FURG 10 35 Momento limite para seções retangulares com armadura simples h d b As Md linha neutra b largura h altura d altura útil s A área da seção da armadura tracionada Dimensionamento com ênfase na ductilidade Devemse considerar apenas o domínio 2 e parte do domínio 3 A porção final do domínio 3 deve ser evitada para garantir que o aço entre em escoamento com certa folga Com esse procedimento garantese que a estrutura apresentará aviso da ruptura através de grandes aberturas das fissuras O dimensionamento deve ser feito impondo a condição xxlim B Análise linear com redistribuição de esforços Neste caso os momentos negativos nos apoios internos das vigas contínuas são reduzidos para facilitar a armação Se o momento negativo elástico é M podese fazer a redução para βM onde β 1 É necessário corrigir todo o diagrama de momentos fletores esforços cortantes e reações de apoio redistribuições de esforços Para as seções dos apoios internos devemse considerar os limites abaixo Critério do CEB90 ξlim 08β 035 se fck 35 MPa 353 ξlim 08β 045 se fck 35 MPa 354 O CEB impõe a restrição β 075 para as vigas contínuas Se β1 obtémse as equações anteriores Prof José Milton de Araújo FURG 13 Tensões na seção transversal Momento solicitante e resultantes das tensões Prof José Milton de Araújo FURG 14 36 Dimensionamento com armadura simples Seção transversal com armadura simples deformações tensões resultantes Rcc λbxσcd Z d 05λx Rsd Asfyd Prof José Milton de Araújo FURG 17 Prof José Milton de Araújo FURG 19 37 Dimensionamento com armadura dupla h d b d As As Quando μ μlim Três incógnitas x s A e s A Duas equações de equilíbrio Solução usual fixamos x xlim Prof José Milton de Araújo FURG 20 Deformações e resultantes das tensões na seção Final do domínio 2 Só consideramos o caso xlimxa lim u s d sd cclim lim sd s yd o oo a 10 000 u a a x d x ε 10 000 u u a a d x ε ε ξ Rcclim λbxlimσcd Zlim d 05λxlim Mdlim Rcclim Zlim Mdlim λbxlim d 05λxlim σcd μlim M dlim bd² σcd μlim λξlim 1 05 λξlim Tabela 351 Valores de ξlim e μlim para análise linear sem redistribuição de esforços Grupo I fck 35 MPa 35 fck 50 MPa ξlim 045 035 μlim 02952 02408 Grupo II C55 C60 C70 C80 C90 ξlim 035 035 035 035 035 μlim 02376 02344 02280 02215 02149 Prof José Milton de Araújo FURG 15 Prof José Milton de Araújo FURG 21 Tensão na armadura yd s s sd f E ε σ O dimensionamento com armadura dupla somente será considerado para o caso em que ξa ξ lim Se for utilizado o recurso da redistribuição de momentos pode ocorrer que ξa ξ lim dependendo do valor adotado para o coeficiente de redistribuição β Nesse caso é recomendável aumentar as dimensões da seção transversal evitandose o uso de armadura dupla no domínio 2 Observase que essa situação nunca irá ocorrer se for adotado 1 β análise sem redistribuição de momentos ξa ξ lim δ ξ lim lim lim x d x u s ε ε d x lim lim ξ d δ d lim lim ξ δ ξ ε ε u s Prof José Milton de Araújo FURG 22 Tabela 371 Tensão sd σ kNcm2 na armadura de compressão Concreto fck 35 MPa 50 35 fck MPa δ CA50 CA60 CA50 CA60 001 4348 5217 4348 5217 002 4348 5217 4348 5217 003 4348 5217 4348 5217 004 4348 5217 4348 5217 005 4348 5217 4348 5217 006 4348 5217 4348 5217 007 4348 5217 4348 5217 008 4348 5217 4348 5217 009 4348 5217 4348 5200 010 4348 5217 4348 5000 PROCEDIMENTO dado o momento fletor solicitante Md calculase μ Md bd² σcd se μ μlim realizase o dimensionamento com armadura simples se μ μlim adotase armadura dupla fixandose que xxlim Prof José Milton de Araújo FURG 16 Tabela 371 Continuação Concreto fck 35 MPa 35 fck 50 MPa δ CA50 CA60 CA50 CA60 011 4348 5217 4348 4800 012 4348 5133 4348 4600 013 4348 4978 4348 4400 014 4348 4822 4200 4200 015 4348 4667 4000 4000 016 4348 4511 3800 3800 017 4348 4356 3600 3600 018 4200 4200 3400 3400 019 4044 4044 3200 3200 020 3889 3889 3000 3000 Prof José Milton de Araújo FURG 23 Prof José Milton de Araújo FURG 25 38 Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares Dados b h d d fck fyk Mk Valores requeridos s A e s A 1 41 ck cd f f c cd cd α f σ 15 1 yk yd f f k d M M 41 0 85 αc se fck 50 MPa 200 50 0 85 1 ck c f α se fck 50 MPa 2 cd d bd M σ μ 2 Prof José Milton de Araújo FURG 26 3 Sem redistribuição de esforços ξlim 0 45 se fck 35 MPa ξlim 0 35 se fck 35 MPa Com redistribuição ξlim é dado nas equações 353 e 354 80 λ se fck 50 MPa 400 50 80 fck λ se fck 50 MPa lim lim lim 50 1 λξ λξ μ Os valores de ξlim e de μlim podem ser lidos diretamente da tabela 351 para o caso β 1 sem redistribuição de esforços Prof José Milton de Araújo FURG 27 4 Se μlim μ armadura simples λ μ ξ 2 1 1 yd cd s bd f A σ λξ As 0 5 Se μlim μ armadura dupla 53 εu ooo se fck 50 MPa 4 100 35 90 62 ck u ooo f ε se fck 50 MPa d δ d lim lim ξ δ ξ ε ε u s yd s s sd f E ε σ onde Es 20000 kNcm2 Para concretos do Grupo I ler sd σ da tabela 371 Prof José Milton de Araújo FURG 28 sd cd s bd A σ δ σ μ μ 1 lim yd cd s f bd A σ δ μ μ λξ 1 lim lim Observação Empregando redistribuição de momentos β 1 se resultar 000 lim 10 u u a ε ε ξ ξ e simultaneamente μ μlim devemse aumentar as dimensões da seção transversal O mesmo deve ser feito se δ ξ lim e μ μlim Prof José Milton de Araújo FURG 29 39 Exemplos de dimensionamento l4m pk 15cm 36 40 4 As As Concreto fck 20 MPa Aço CA50 Cálculos preliminares Concreto do grupo I 0 85 αc 80 λ 14 2 41 20 41 ck cd f f MPa 1 42 fcd kNcm2 121 0 85 cd c cd cd f α f σ MPa 1 21 σcd kNcm2 4348 115 50 115 yk yd f f kNcm2 Prof José Milton de Araújo FURG 30 Exemplo 1 Carga de serviço pk15 kNm 30 8 15 4 8 2 2 x p l M k k kNm 42 30 41 x M M k f d γ kNm momento fletor de serviço momento fletor de cálculo 018 1 21 36 15 4200 2 2 x x bd M cd d σ μ μlim 0 2952 da tabela 351 μlim μ armadura simples s 0 A 3 00 s A Solução cm2 0 25 2 1 1 λ μ ξ 4348 1 21 0 25 15 36 80 x x x x bd f A yd cd s σ λξ Prof José Milton de Araújo FURG 31 Exemplo 2 Carga de serviço pk35 kNm 70 8 35 4 8 2 2 x p l M k k kNm 98 70 41 x M M k f d γ kNm 0 42 1 21 36 15 9800 2 2 x x bd M cd d σ μ lim 0 2952 μ μ μlim 0 2952 armadura dupla 4348 011 36 4 sd d d σ δ kNcm2 da tabela 371 lim 0 45 ξ tabela 351 sd cd s bd A σ δ σ μ μ 1 lim yd cd s f bd A σ δ μ μ λξ 1 lim lim Prof José Milton de Araújo FURG 32 211 011 4348 1 1 21 0 2952 15 36 0 42 x x As cm2 7 52 4348 1 21 15 36 011 1 0 2952 0 42 0 45 80 x x x As cm2 Exemplo 3 Repetir o exemplo 2 com fck 70 MPa 0 77 200 50 0 85 1 ck c f α 0 75 400 50 80 fck λ 50 0 41 70 41 ck cd f f MPa 38 5 0 77 cd c cd cd f α f σ MPa 3 85 σcd kNcm2 Equilíbrio de momentos Md Rsd d d Rcc lim Zlim 0 As Md Md lim d dσsd Md lim Rcc lim Zlim Rsd As σsd As μ μlim b d σcd 1 δ σsd 1 Equilíbrio de forças Rsd Rsd Rcc lim As As σsd λ b xlim σcd fyd Introduzindo 1 As λ ξlim μ μlim 1 δ b d σcd fyd 2 As equações 1 e 2 permitem resolver o problema Prof José Milton de Araújo FURG 24 μ Md bd2 σcd 9800 15x362 x385 013 μlim 02280 Tabela 351 Armadura simples ξ 1 1 2μ λ 019 As λ ξ b d σcd fyd 075 x 019 x 15 x 36 x 385 4348 681 cm2 311 Cálculo da armadura mínima Além do dimensionamento no estado limite último devese especificar uma área mínima da armadura tracionada para evitar uma ruptura brusca da seção na passagem do estado não fissurado Estádio I para o estado fissurado Estádio II A armadura tracionada deve ser suficiente para absorver o momento de fissuração Mr Prof José Milton de Araújo FURG 33 Prof José Milton de Araújo FURG 37 b15 cm h40 cm aço CA50 Esse valor é inferior aos obtidos pelo dimensionamento Portanto irão prevalecer as armaduras efetivamente calculadas Exemplos 1 e 2 fck20 MPa ρmin 015 0 90 100 15 40 015 100 015 min x x bh As cm2 Exemplo 3 fck70MPa ρmin 0 27 1 62 15 40 100 0 27 100 0 27 min x x bh As cm2 6 81 As cm2 é maior que A s min Logo 6 81 As cm2 1 62 15 40 100 0 27 100 0 27 min x x bh As 1 62 cm2 15 40 100 0 27 100 0 27 min x x bh As cm2