Cálculo das Deformações das Vigas através dos Diagramas de Momentos Fletores

CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Método parcialmente gráfico para determinar a inclinação declividade e as deflexões flechas em pontos específicos de uma viga Particularmente útil quando a declividade e a flecha precisam ser determinadas em alguns pontos da viga Útil no caso de vigas com grande número de cargas concentradas Especialmente prático para vigas com seções transversais variáveis Este método é baseado em dois teoremas 1 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 1º Teorema o ângulo entre as tangentes em dois pontos quaisquer sobre a linha elástica é igual à área sob o diagrama de MEI entre estes dois pontos 2 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Seja uma viga AB sujeita a um carregamento arbitrário e o digrama MEI desta viga e sua Linha Elástica 3 CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Note que Se El é constante ao longo da viga o diagrama MEl é igual ao diagrama de momentos fletores exceto pela escala das ordenadas 0 e 8 sao as declividades dos pontos C e D respectivamente do dy M Sabemos que 3 a Entio d dx EI Considerando dois pontos quaisquer da viga no nosso caso C e De integrando ambos os termos da equacao entre Ce D CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES D M dé dx C El DM Oy 6 J El dx O 12 termo da equacdo acima representa o angulo formado pelas tangentes a linha elastica nos pontos C e D o 22 membro da equacado representa a area sob o diagrama de MEl entre os pontos CeD Se chamarmos 6 6 de Pp Vc temos Op Wc area do diagrama MEl entre Ce D CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 2º Teorema o desvio vertical ou desvio tangencial de C em relação a D tC D é igual ao momento estático da área limitada pelo diagrama MEI entre os pontos C e D em relação ao eixo vertical que passa pelo ponto C OBS o momento estático deve ser calculado em torno do eixo vertical que passa pelo ponto onde o desvio vertical deve ser determinado 6 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Consideremos a mesma viga AB com seu carregamento arbitrário e os pontos P e P entre situados entre C e D e separados por uma distância dx As tangentes à linha elástica nos pontos P e P interceptam a linha vertical que passa pelo ponto C e formam a distância dt Como as declividades em P e P são muito pequenas o ângulo dθ formado pelas tangentes de P e de P também é muito pequeno 7 CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Podemos entdao adotar que dt é igual ao arco de circunferéncia de raio x subentendido pelo angulo d e podemos escrever dt xdé Mas ja vi dd as ja vVimos que n o Entao dt x dx EI Se integrarmos a equacao acima de C até D notamos que enquanto P percorre a linha elastica de C até D a sua tangente varre a linha vertical que passa por C desde C até E CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Pace Px ma xX aT ax C C EI tp tCtype dx representa um elemento de area sob o diagrama MEl De maneira que x dx representa o momento estatico deste elemento de area em relacao ao eixo vertical que passa pelo ponto C Assim da equacdo fr dt fr X dx representa 0 momento estatico da area do diagrama MEl em relacgdo ao eixo vertical que passa pelo ponto C Relembrando que o momento estatico de uma area em relacdo a um eixo é igual ao produto desta area pela distancia do seu baricentro até o eixo podemos escrever typ area entre Ce D x CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 10 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Note que o desvio tangencial de C em relação à D não é necessariamente igual ao desvio tangencial de D em relação a C tCD área entre C e D x1 tDC área entre C e D x2 11 CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Ex 1 Determinar para a viga abaixo as declividades nos pontos B e C Calculo das reacg6des de apoio i 7 T Z2ZFy 0Ay P0 AyP A fn Lf2 AH2MA0 PLMA05MPL jp ai AN Diagrama de corpo livre i Frege aos UM Giz Toa fp a al wl AH 2M 0PL PxM0 M Px PL Parax0 9MPL Para x MPL2 ParaxLM0O CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Pelo 12 Teorema 0 6 areaentre Ae B NE Mas 6 0 On O4 OBA 0 AreaentreAeB oi AyeP L212 3PL2EI 14 wae Anjp se Logo 6B ae ae O 8 Gc Mas 6 0 a s tgA Entdo 0 Areaentre AeC Ss hone PLEIL 12 PL22EN Se Logo 6 PE ae CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Ex 2 Determinar para a viga abaixo sua flecha maxima Calculo das reacg6des de apoio a T x2Fy 0Ay P0 AyP A fn Lf2 AH2MA0 PLMA05MPL jp ai AN Diagrama de corpo livre i Frege aos UM Giz Toa fp Cd a vy AH 2M 0PL PxM0 M Px PL Parax O MPL Para x MPL2 ParaxLM0O CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES MEl A flecha maxima se da no ponto C Pelo 22 Teorema tyayc Area cya Xy 2 Area yjcLPH PE 2 X 3 LL PL2El PL 2 PL3 tase Fg BEI PLE i i A i I we Sg Ng CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Ex 3 Determinar para a viga abaixo a declividade em um dos apoios e a deflexdo maxima da viga Considerar EI constante P Calculo das reagdes de apoio ZF 0Ax 0 A TXFy0AyByP L2 L2 AH MA 0 P ByL 0 By i Logo Ay Diagrama de corpo livre P 12 Trecho 0 xL2 7 tn P y L By AHM 0xM0 M Px P 2 Ax Para x Om M0 ParaxL2 16 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 2 Trecho L2 x L 𝐴 𝐻 Σ𝑀 0 𝑃2 𝑥 𝑃 𝑥 𝐿 2 𝑀 0 𝑃 𝑥 2 𝑃𝑥 𝑃𝐿 2 𝑀 0 𝑀 𝑃𝑥 2 𝑃𝐿 2 Para x L2 M PL4 Para x L M 0 17 CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES DMF Pelo 1 Teorema ME 6c 0 Areaentre BeC mas 6 0 logo 0c areaentre BeC BL A LPL 1 PL 24EI 2 16EI Qc PL T6ET Pelo 22 Teorema ticjg Area entre BeC x tgC Ec PL x L3 we PL LPL tice Teer 3 488T CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Áreas e posições dos CG das figuras geométricas mais comuns 19 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Princípio da superposição Podese subdividir as cargas em componentes e encontrar as deformações para cada componente da carga isoladamente O princípio da superposição afirma que a deformação total é a soma algébrica das deformações de cada componente individual do carregamento Seja a viga abaixo 20 CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Ex 4 Determinar a flecha na extremidade em balanço da viga abaixo Considere EI 10 MNm2 1º Carregamento 21 Cálculo das reações de apoio Σ𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐾𝑁 Σ𝐹𝑦 0 𝐾𝑁 𝐴𝑦 50 0 𝐴𝑦 50 𝐾𝑁 𝐴 𝐻 Σ𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 50𝑥3 𝑀𝐴 150 𝐾𝑁 𝑚 CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES DCL 12 carregamento JSOKNm v SKN si AH 3M 015050xM 0 M 50x 150 BOS Ne Sees Para x O m M150 KNm SS Parax3mMOKNm SS 15x102 SS M 15010 Nam 15 103m71 EI 10x10Nm CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES DAS VIGAS ATRAVÉS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 2º carregamento 23 Cálculo das reações de apoio Σ𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐾𝑁 Σ𝐹𝑦 0 𝐾𝑁 𝐴𝑦 0 𝐴 𝐻 Σ𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 90 𝑀𝐴 90𝐾𝑁 𝑚 𝐴 𝐻Σ𝑀 0 90 𝑀 0 𝑀 90 𝐾𝑁𝑚 Para x 0 m M 90 KNm Para x 3 m M 90 KNm CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 22 carregamento M 20x10 Nam 9 103m1 EI 10x106Nm ME 9x10 WY A LA CALCULO DAS DEFORMACOES DAS VIGAS ATRAVES DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES Aplicando o 22 teorema Para o 12 carregamento Yi A Xy A 30 15x10732 00225 xX 20m Y 00225 x 2 0045 m 45 cm ou 45 mm Para o 22 carregamento V2 Ay x A 30 9x1070027 x15m Y 0027 x 15 00405 m 405 cm ou 405 mm A flecha total sera y y y 45 405 45 mm