Notas de Aula sobre Deformação de Vigas em Resistência dos Materiais

UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 1 CAP 2 DEFORMAÇÃO DE VIGAS 21 Equação Diferencial da Linha Elástica A viga submetida à solicitação de flexão simples apresentará deformações em seu corpo e terá como consequência o deslocamento no plano vertical de flexão do eixo longitudinal O presente estudo considera os efeitos de deformação limitados ao regime elástico do material que compõem a viga Considerando os eixos coordenados xy conforme indicado na figura a seguir onde o sentido positivo do eixo y será para baixo do eixo longitudinal x da viga serão considerados como esforços solicitantes de flexão da viga o momento fletor M e a força cortante V O efeito da força cortante V na curvatura da linha elástica é em geral muito pequeno e na análise deste capítulo ele será desprezado A curvatura 1r da linha elástica em qualquer ponto no eixo da viga dependerá exclusivamente do valor do momento fletor M da forma geométrica da seção transversal Iz e do módulo de resistência do material E que constitui a viga Conforme já visto no estudo da distribuição das tensões normais na seção da viga quando submetida à flexão pura a curvatura é dada por 1r M EIz Para manter a coerência do sinal da curvatura 1r pelo qual a concavidade para cima curvatura negativa corresponde a um momento fletor positivo e consequentemente a concavidade para baixo curvatura positiva ao momento fletor negativo a equação acima será modificada com a troca de sinal passando a ter a seguinte apresentação 1r M EIz eq 1 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 2 Considerando dois pontos adjacentes da linha elástica m1 e m2 distante um do outro do comprimento ds ficam definidos o ângulo θ que a tangente em m1 faz com o eixo dos x e o ângulo dθ entre as normais à curva da elástica nos pontos m1 e m2 O ponto O interseção das normais em m1 e m2 representa o centro de curvatura instantâneo e define o comprimento r do raio de curvatura Dessa maneira temse ds rdθ e 1r dθds eq 2 Considerando o regime de pequenas deformações a curva da elástica será bastante achatada podese admitir com precisão suficiente que ds dx e θ tgθ dydx Levando estes valores para a eq 2 temse que 1r dθds ddydxdx d²ydx² Com isso a eq 1 tornase d²ydx² M EIz eq Derivandose uma vez em relação a x temse d³ydx³ dMdx 1EIz V EIz Derivandose de novo em relação a x temse EIzd4ydx4 dVdx 1EIz qx EIz Finalmente temse a forma mais geral da equação diferencial da elástica de uma viga d4ydx4 qx EIz eq 4 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 3 22 Viga simplesmente apoiada com carga uniforme Partindo da equação genérica da elástica d²ydx² M EIz O valor de M em cada ponto x do eixo da viga será dado por M qℓ2x qxx 2 Substituindose temse EIzd²ydx² qℓx 2 qx² 2 Integrandose uma vez EIzdydx qℓx² 4 qx³ 6 C1 Integrandose a segunda vez EIzy qℓx³ 12 qx4 24 C1x C2 Determinação das constantes de integração pelas condições de contorno para x 0 y 0 e então C2 0 e para x ℓ y 0 e então C1 qℓ³ 24 A equação da elástica será então 𝒚 𝒒 𝟐𝟒𝑬𝑰𝒛 𝒙𝟒 𝟐𝓵𝒙𝟑 𝒍𝟑𝒙 eq 5 A flecha máxima ocorrerá no meio do vão para x ℓ 2 com o valor 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝟓 𝒒𝓵𝟒 𝟑𝟖𝟒𝑬 𝑰𝒛 Para o cálculo da rotação nos apoios usase a expressão da tangente à curva derivando se a eq 5 uma vez 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒒 𝟐𝟒𝑬𝑰𝒛 𝟒 𝒙³ 𝟔 𝓵𝒙² 𝒍³ eq 6 Nas extremidades da viga pontos A e B temse para x 0 𝒅𝒚 𝒅𝒙 θA 𝒒𝓵𝟑 𝟐𝟒𝑬𝑰𝒛 rotação em A para x ℓ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 θB θA 𝒒𝓵³ 𝟐𝟒𝑬𝑰𝒛 rotação em B para x ℓ 2 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒒 𝟐𝟒𝑬𝑰𝒛ℓ³ 6ℓℓ2² 4ℓ2³ 0 que é o ponto de máxima flecha UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 4 Aplicações numéricas 1 Seja uma viga de concreto armado com seção retangular V101 1540 simplesmente apoiada nas extremidades com vão de 600m com uma carga distribuída constante de valor q12 kNm Considerar o modulo de elasticidade do concreto como Ec28000MPa Calcular a flecha máxima no meio do vão e a rotação dos apoios em A e B O valor de Iz 015 x 040³12 0800 x 103 m4 Ec 28000 MPa 28000000 kNm² 28x106kNm² Flecha máxima em x ℓ 2 ymax 5384 qℓ4 EIz ymax 5384 12x64 28x106x08x103 904 103m 904 mm Rotação dos apoios em x 0 e x ℓ θA θB qℓ³ 24EI θA θB 12x603 24x28x106x08x103 482x103 000482 rd 2 Viga com o mesmo esquema estático da viga de concreto armada do exercício anterior composta de um perfil laminado em aço de W310 x 210 Verificar tensão máxima de compressão e tração e determinar a máxima flecha no meio do vão Considerar a tensão admissível como σadm 218 MPa O momento fletor no meio do vão será M qℓ² 8 12x6² 8 54 kNm Para o perfil W310 x 210 temse Iz 3776 cm4 Es 210 GPa 210000 MPa Wz 2492 cm³ σadm 218 MPa A tensão máxima tanto de compressão como de tração será σmax MWz 5400 2492 217 kNcm² 217000 kNm² 217 MPa Este valor σmax 217 MPa será menor do que σadm 218 MPa o que está OK Flecha máxima ymax 5384 qℓ4 EIz 5384 12x64 210x106x3776x108 ymax 0026m 26 cm 26 mm Escolher perfil mais rígido para contemplar flecha máxima menor q 12 kNm ℓ 600m A B UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 5 23 Viga simplesmente apoiada com carga concentrada 6 Considerando que as reações de apoio são RA Pb ℓ e RB Pa ℓ podese escrever as expressões dos momentos fletores em duas partes à esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga concentrada P 0 x a M RA x Pb ℓ x a x ℓ M RA x P x a Pbx ℓ P x a Partindo da expressão geral da elástica EId²ydx² M temse 0 x a EId²ydx² Pbx ℓ a x ℓ EId²ydx² Pb xℓ P x a Integrandose estas duas equações duas vezes têmse Para 0 x a EIy Pb6ℓx3 C1x C2 Para a x ℓ EIy Pbx36ℓ Pxa36 C3 x C4 Definindose as condições de contorno para a determinação das 4 constantes de integração C1 C2 C3 e C4 temse para x 0 com y 0 e para x ℓ com y 0 para x a temse as deflexões iguais à direita e à esquerda da carga P para x a temse as inclinações iguais à direita e à esquerda da carga P Aplicandose estas quatro condições de contorno chegamse aos seguintes valores para as constantes de integração C2 C4 0 e C1 C3 Pbℓ2 b26 ℓ Com estes valores as equações da elástica para cada trecho da viga ficam 0 x a EIy Pbx 6ℓ ℓ2b2 x2 eq I a x ℓ EIy Pbx 6ℓ ℓ2b2 x2 Px a3 6 eq II P A B a b ℓ UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 6 Para a inclinação das seções resultam as seguintes equações para as duas partes da viga 0 x a EIdydx Pb 6ℓ ℓ2b2 3x2 eq III a x ℓ EIdydx Pb 6ℓEI ℓ2b2 3x2 Px a2 2 eq IV Com estas quatro equações podem ser calculadas as flechas e as inclinações em qualquer ponto x da viga Em particular fazendose x 0 na eq III e x ℓ na eq IV tem se os ângulos de rotação das extremidades da viga θA Pabℓ b6ℓEI θB Pabℓ a6ℓEI A flecha máxima ocorrerá quando a inclinação da tangente for nula Se a b o ponto de flecha máxima estará na parte da esquerda da viga Este ponto poderá ser encontrado fazendose 𝒅𝒚 𝒅𝒙 0 Chamando a coordenada deste ponto de x1 temse que x1 𝓵𝟐𝒃𝟐 𝟑 para a b ymax 𝑷𝒃𝓵𝟐 𝒃𝟐𝟑𝟐 𝟗𝟑𝓵𝑬𝑰 para a b A flecha no meio do vão será obtida fazendose x ℓ 2 na eqI yℓ2 𝑷𝒃𝟑𝓵𝟐𝟒𝒃𝟐 𝟒𝟖𝑬𝑰 Para a b ou seja a carga P no meio do vão temse as expressões simplificadas θA θB 𝑷𝓵² 𝟏𝟔𝑬𝑰 ymax 𝑷𝓵𝟑 𝟒𝟖𝑬𝑰 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 7 24 Viga em balanço com carga distribuída Partindo da expressão geral da elástica d²ydx² M EI temse 𝑬𝑰𝒅²𝒚𝒅𝒙² qℓ x² 2 Integrandose a equação duas vezes e calculandose as constantes de integração pelas condições de contorno do problema onde para x 0 temse y 0 e para x 0 temse dydx 0 chegamse as seguintes equações para a elástica e para as inclinações das seções y 𝒒𝒙𝟐 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝟔𝓵² 𝟒𝓵𝒙 𝒙² eqV 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒒𝒙² 𝟔𝑬𝑰 𝟑 𝓵𝟐 𝟑 𝓵𝒙 𝒙𝟐 eq VI Fazendo x ℓ nas eq V e eq VI temse os valores de flecha máxima e rotação máxima na ponta do balanço ymax qℓ4 8EI θB qℓ3 6EI A B q ℓ UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 8 25 Viga em balanço com carga concentrada Elástica y Px2 6EI 3ℓ x Rotação das seções 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Px 2EI 2ℓ x Flecha máxima em B yB Pℓ³ 3EI Rotação da extremidade em B 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Pℓ2 2EI 26 Método da superposição Observase que a equação diferencial da linha elástica da viga é linear isto é todos os termos contendo a variável y deflexão ou suas derivadas são do primeiro grau potência 1 Assim as soluções para diferentes condições de cargas mantendose as características físicas da viga e suas condições de apoio inalteradas podem ser superpostas Isto significa que a deflexão de um ponto da viga ou a rotação de uma seção causada por cargas atuando simultaneamente podem ser determinadas pela superposição destes efeitos considerando as cargas separadamente Este método é especialmente útil quando o carregamento puder ser subdividido em carregamentos parciais cujas soluções já se acham tabeladas como no caso de cargas concentradas ou cargas parcialmente distribuídas na viga Devese ressaltar ainda que o princípio da superposição só será válido se o material obedecer a Lei de Hooke e se as deflexões forem pequenas conforme aplicadas às deduções da equação da elástica nos itens anteriores A restrição de pequenas deformações assegura que a equação diferencial da linha elástica seja linear garantido também que a linha de ação das forças e das reações de apoio não saia da posição inicial A Lei de Hooke garante a linearidade mecânica do comportamento da viga e a hipótese das pequenas deformações garante a linearidade geométrica P ℓ A B UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 9 Aplicação Rotação na extremidade de viga biapoiada Seja a viga abaixo com momentos concentrados aplicados em A e B Ma e Mb Calcular δ θa e θb a Atuação de Ma somente Temse que θ11 rotação em A devido a Ma θ21 rotação em B devido a Ma Função momento Mx Ma MaLx Ma1 xL Equação da curvatura d2xdy² Mx EI Ma1 xL EI MaLEI x L d2xdy² MaLEI x L 1ª Integração dydx MaLEI x²2 Lx C1 Ma A B L Ma Mb δ θa θb A B L δ θ11 θ21 Ra MaL Rb MaL Ma DMF UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 10 2º Integração y MaLEIx³6 Lx²2 C1x C2 1ª Condição de contorno x 0 y 0 e C2 0 2ª Condição de contorno x L y 0 MaLEIL³6 L³2 C1L 0 C1 MaL3EI Temse então dydxMaLEI x²2 Lx C1 dydx MaLEIx²2 Lx MaL 3EI dydx MaLEIx²2 Lx L²3 dydx Ma6LEI3x² 6Lx 2L² Para x 0 temse θ11 MaL 3EI b Atuação de Mb somente Temse que θ12 rotação em A devido a Mb θ22 rotação em B devido a Mb Função momento Mx MbLx xLMb Equação da curvatura d2xdy² Mx EI Mbx LEI 1ª Integração dydx x²2MbLEI C1 A B L Mb δ θ12 θ22 Ra MbL Rb MbL Mb DMF Mb UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 11 2º Integração y MbLEIx³6 C1x C2 1ª Condição de contorno x 0 y 0 e C2 0 2ª Condição de contorno x L y 0 C1 MbL6EI Temse então dydx x²2MbLEI C1 dydx MbLEIx²2 MbL 6EI dydx Mb2EIx²L L²3L dydx Mb6LEI3x² L² Para x 0 temse θ12 MbL 6EI c Aplicando o princípio da superposição na extremidade A temse θa θ11 θ12 MaL 3EI MbL 6EI θa L 2Ma Mb 6EI Se Ma Mb M0 temse θa L M0 2EI UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 12 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 13