Notas de Aula: Flexão Composta em Vigas - Engenharia Civil

UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 1 CAP 1 FLEXÃO COMPOSTA EM VIGAS 1 Tensões Normais em Vigas sob Flexão Simples 11 Hipóteses iniciais Estruturas lineares Vigas são elementos estruturais em que a dimensão do seu comprimento é preponderante sobre as dimensões das seções transversais Esta é a concepção de uma estrutura linear Dessa maneira podese admitir leis constantes de distribuição das tensões nas seções transversais tanto tensões normais como de cisalhamento e analisar a viga em equilíbrio como um elemento de barra reta com a massa concentrada no centro de gravidade de cada seção transversal É importante ressaltar que o estudo da flexão simples e composta na Resistência dos Materiais é feito com o comportamento dos elementos estruturais no regime elástico A análise das tensões será feita pela determinação dos esforços solicitantes nas seções transversais calculados pelo equilíbrio entre as forças externas cargas e reações de apoio Estes esforços solicitantes Momentos Fletores MS e Forças Cortantes VS serão igualados vetorialmente às resultantes de tensões internas no material na seção de modo a se estabelecer uma relação direta entre os Momentos Fletores e as tensões normais e entre as Forças Cortantes e as tensões cisalhantes 12 Hipóteses simplificadoras Existe um plano vertical de simetria passando pelo eixo longitudinal da viga As seções transversais da viga serão simétricas em relação à este plano vertical Os apoios são idealizados de modo que produzam forças ou momentos de reação somente neste plano vertical de simetria citado acima Todas as forças aplicadas externamente são verticais e estão contidas neste plano já citado UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 2 Cada ponto do eixo da viga que a representa como uma estrutura linear referese às seções transversais nas quais serão determinados um momento fletor e uma força cortante através do equilíbrio com as forças externas cargas e reações de apoio A análise de cada seção é feita cortandose a viga nesta seção plano mn da figura a seguir dividindoa em duas partes Afastando a parte da direita ou da esquerda será necessário colocar na seção uma força vertical V Força Cortante e um momento M Momento Fletor para manter o equilíbrio da parte da esquerda ou da direita Estes esforços resultantes M e V são chamados esforços solicitantes na seção sendo M o Momento Fletor e V a Força Cortante Estes esforços solicitantes serão equilibrados nas seções transversais da viga pelas tensões normais Momento Fletor e tensões de cisalhamento força cortante seguindo leis constantes de distribuição das tensões que são aplicadas somente nas estruturas lineares de acordo com a definição do início deste item UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 3 13Tensões normais na flexão pura Na flexão pura considerase somente a atuação de um momento fletor na seção transversal da viga anulandose a força cortante Dessa maneira somente as tensões normais estarão atuando na seção Para entender a distribuição das tensões normais nas seções transversais é necessário considerar a deformação da viga e admitir que a seção transversal permanece plana e normal às fibras longitudinais após a deformação por flexão Isto significa dizer que a seção transversal sofrerá tão somente uma rotação de corpo rígido em relação ao eixo longitudinal aplicado às vigas UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 4 14 Tensões Normais σx nas seções das vigas As vigas são estruturas lineares retas nas quais a distribuição das tensões normais é definida da maneira indicada a seguir Esta hipótese é denominada de Lei de Navier Seja Mz o momento fletor atuante na seção resultante do equilíbrio das forças externas na seção Considerar com o sinal positivo o momento fletor atuando no sentido indicado abaixo em que as fibras comprimidas estarão acima do plano neutro de tensões e as fibras tracionadas abaixo do plano neutro Considerando Rc como a resultante das tensões de compressão atuantes na seção acima da linha neutra e Rf a resultante das tensões de tração abaixo da linha neutra o binário composto pelas forças Rc e Rt separados pelo braço de alavanca z forma o que se chama Momento Fletor Resistente MR que estará em equilíbrio com o Momento Fletor Solicitante MS MS MR Rcz Rtz Para a análise dos deslocamentos e deformações na seção genérica de uma viga será adotada esta configuração gerada pela atuação do momento fletor solicitante positivo aquele que comprime as fibras acima do plano neutro e traciona as fibras abaixo do plano neutro Plano Neutro Eixo da viga Rc resultante das tensões de compressão Rt resultante das tensões de tração z Mz UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 5 Considerando duas seções transversais próximas mm e pp será verificado o que acontecerá após a deformação da viga por flexão pura ou seja atuação exclusiva de um momento fletor M Com o giro das seções mm e pp uma em relação à outra as fibras longitudinais do lado convexo sofrem distensões e as do lado côncavo contração Na linha nn1 denominada eixo neutro não haverá deformação O alongamento s1s de uma fibra longitudinal situada à distância y do eixo neutro pode ser expresso pela seguinte relação levando em conta a semelhança de triângulos non1 e s1n1s s1snn1 εx yr O valor de y será medido positivo quando dirigido para baixo Aplicando a Lei de Hooke σ Eε σx Eεx Eyr ou ainda que 1r σx Ey ou seja as tensões são distribuídas na seção transversal conforme a distância ao eixo neutro ou tambem que a curvatura 1r na seção é definida pela expressão σx Ey em cada ponto de y UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 6 Representando uma área elementar da seção transversal por dA temse em cada ponto da seção uma força resultante dada por σx dA EydAr Como a resultante destas forças na seção transversal deve ser nula ocorrência do binário temse EyrdA 0 Considerando E e r constantes na seção Er ydA 0 Para que isto ocorra é necessário que ydA 0 ou seja que o momento estático da área da seção transversal seja nulo Portanto o eixo neutro passa obrigatoriamente pelo centro de gravidade da seção Como o somatório dos momentos de todas as forças elementares será igual ao momento fletor que solicita a seção temse que σxdAy M EyrdA y M ErdAy² M Er y²dA M UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 7 Por definição y²dA é o momento de inercia da seção em torno do eixo z ou seja Iz Assim EIzr M ou 1r MEIz Como já foi visto que 1r σx Ey temse finalmente que σx MyIz Ao se fazer a análise da variação dos valores das tensões normais verificase que os valores máximos tanto de tração como de compressão ocorrerão na fibra superior y2 e na fibra inferior y1 da altura da seção Definemse os valores de y1 e y2 como sendo as distâncias da linha neutra até a fibra inferior e até a fibra superior da seção respectivamente Para as seções com simetria em relação ao eixo horizontal que passa na linha neutra os valore de y1 e y2 serão iguais em módulo com os sinais invertidos Fazendo Wz Iz y definese o módulo resistente à flexão da seção Os valores máximos de Wz serão aqueles correspondentes a y y1 para a tensão normal máxima na fibra inferior e a y y2 na fibra superior Observar que estes dois valores serão iguais em módulo e resultarão nos valores máximos das tensões de tração e compressão na seção As tensões normais serão dadas por σx MWz que é a expressão usada para a verificação de tensões máximas em estruturas metálicas e de madeira no regime elástico y2 y1 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 8 Observações 1 O sinal de M será positivo quando as fibras abaixo da Linha Neutra LN forem tracionadas e as fibras acima da LN forem comprimidas Isto significa convexidade para baixo na deformada 2 O sinal de σx será positivo para tração e negativo para compressão 3 A seguir são apresentadas as principais características geométricas das seções dos perfis metálicos laminados tipo I produzidos no Brasil UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 9 15 Tensões de cisalhamento em vigas fletidas Tensões Tangenciais Modelo de corte Tensões Tangenciais ou cisalhantes τxy A força V forma o que se chama força cortante solicitante na seção e será a resultante das tensões tangenciais internas solicitantes da viga na seção indicada As tensões tangenciais distribuídas τxy na seção serão distribuídas segundo uma função parabólica com valores nulos nas fibras mais superiores e inferiores da seção e com valor máximo na linha neutra determinadas pela expressão τ V Ms Ib onde V é a força cortante solicitante na seção I é pó momento de inércia da seção b é a largura da seção e Ms é o momento estático da área da seção abaixo do nível definido por y1 no qual se deseja determinar o valor de τ Esta concepção de forças internas nas peças fletidas as vigas não era bem entendida a princípio pelos construtores da antiguidade Muito mais simples era entender o comportamento das peças comprimidas como as V resultante das tensões tangenciais Plano Neutro Fy UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 10 colunas e os arcos cujos materiais que os compunham tinham bom comportamento a compressão e nem tanto a tração Havia uma clara percepção que as peças fletidas eram induzidas a trabalharem a tração em parte do seu corpo Somente a madeira apresentava bom comportamento a tração e os materiais pétreos não acompanhavam na tração o mesmo desempenho que tinham à compressão Não existia o aço nesta época que pudesse complementar na tração o que as rochas desempenhavam na compressão A seguir é apresentado um desenho que compunha o trabalho desenvolvido por Galileu Galilei em 1638 com as primeiras concepções da distribuição das tensões em peças fletidas tal como a apresentamos acima UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 11 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 12