Notas de Aula: Deformação de Sistemas Estruturais - Vigas Estaticamente Indeterminadas

UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 1 CAP 3 DEFORMAÇÃO DE SISTEMAS ESTRUTURAIS 31 Vigas Estaticamente Indeterminadas Definições de indeterminação estática em vigas São vigas em que as reações de apoio são em maior número do que as equações de equilíbrio estático disponíveis A resolução das forças externas reações exige que se leve em conta condições de deformação e compatibilidade de deslocamentos Para vigas com cargas externas verticais e horizontais dispõemse de três equações de equilíbrio estático ΣFv 0 ΣFH 0 e ΣM0 0 Para vigas somente com cargas verticais dispõemse de duas equações de equilíbrio estático ΣFv 0 e ΣM0 0 Alguns tipos de vigas hiperestáticas As reações em excesso sobre o número de equações necessárias para uma estrutura estaticamente determinada isostática são denominadas redundantes e o número delas define o grau de indeterminação estática da estrutura UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 2 Grau de indeterminação estática É definido como o número de reações redundantes na viga isto é n NR NE onde n grau de indeterminação estática da viga NR nº de reações NE nº de equações de equilíbrio estático disponíveis O grau de indeterminação estática ou hiperestaticidade de uma viga significa que rompendose ou liberandose n vínculos externos da viga temse uma viga isostática Podese também romper ou liberar vínculos internos como a introdução de rótulas para tornar a viga isostática As chamadas vigas Gerber 32 Vigas contínuas São vigas hiperestáticas que passam por vários apoios com continuidade de deformação por flexão São comumente empregadas em edifícios pontes e outras estruturas especiais pela capacidade de distribuir os momentos fletores ao longo do seu comprimento reduzindo os valores de máximo positivo caso se considerassem vigas isostáticas sem continuidade No exemplo a seguir considerando as duas vigas com as mesmas cargas mesmo vãos e seção transversal observase a redução dos momentos fletores positivos em II pela atuação do momento fletor negativo de continuidade da viga quando comparada com a viga em I como isostática I II DMF UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 3 Quando as cargas são todas verticais que é o caso mais comum em estruturas de edifício as reações serão todas verticais em cada apoio O número de reações será igual ao número de apoios e o grau de indeterminação estática hiperestaticidade será igual ao número de apoios subtraído de 2 A viga apresentada a seguir apresenta 5 reações de apoio verticais e portanto será de grau hiperestático 3 A resolução de uma viga hiperestática consiste na determinação dos vínculos redundantes o que permitirá o cálculo das demais reações de apoio e por consequência o cálculo dos esforços solicitantes Momentos Fletores e Forças Cortantes por meio da estática equilíbrio de forças nas seções A determinação dos vínculos redundantes é feita através de condições de deformação em pontos da viga 33 Método da equação diferencial da linha elástica para vigas hiperestáticas Este método consiste em deduzir a equação diferencial da linha elástica da viga utilizando as condições de contorno para determinação das constantes de integração e também de uma reação de apoio elegida como redundante no problema se for de grau de hiperestaticidade 1 Se o problema for de grau 2 ou acima devemse eleger 2 ou acima reações de apoio como redundantes e o problema fica mais complexo do ponto de vista de resolução numérica tratandose da resolução de sistemas de n equações a n incógnitas onde n será o grau de hiperestaticidade da viga Em todo caso haverá sempre condições de contorno suficientes para resolução do sistema de equações que resulta o problema hiperestático O processo é o mesmo apresentado no Cap 2 Deformação de vigas acrescentandose as incógnitas das forças redundantes a mais na resolução das constantes de integração gerando um sistema de n equações e n incógnitas Este método só é prático de ser usado para casos relativamente simples de carregamento e para vigas de um só vão Nos demais casos empregase o método da superposição de efeitos que será estudado no item seguinte deste capítulo UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 4 Como aplicação do método considerase a viga apoiada e engastada esquematizada na figura seguir Elegese como redundante a reação vertical do apoio B Rb Assim as reações em A em função de Rb serão A função momento fletor Mx será definida por Mx Ra x Ma qx² 2 qLx Rbx qL² 2 RbL qx² 2 Utilizando a equação da segunda derivada em função de Mx temse EI d²ydx² M qLx Rbx qL² 2 RbL qx² 2 Fazendose duas integrações sucessivas temse EIdydx qLx² 2 Rbx² 2 qL²x 2 RbLx qx³ 6 C1 EIy qLx³ 6 Rbx³ 6 qL²x²4 RbLx² 2 qx4 24 C1x C2 Para as três incógnitas C1 C2 e Rb existem três condições de contorno y0 0 dy0dx 0 yL 0 Aplicandose estas três condições às equações precedentes temse Rb 3qL 8 C1 0 C2 0 Calculado o valor da redundante Rb podemse determinar facilmente os valores das outras reações Ra 5qL 8 e Ma ql² 8 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 5 Substituindose estes valores C1 C2 e Rb na equação da elástica y e da sua derivada dydx completase a análise da viga Outra maneira de resolver este problema pela determinação da equação diferencial da elástica consiste em considerar como redundante o momento Ma de engastamento do apoio A A função Mx será definida em função deste valor Ma Fazendose as duas integrações sucessivas temse condições de contorno suficiente para resolver as três incógnitas C1 C2 e Ma O restante da resolução segue o mesmo caminho da solução anterior 34 Método da superposição para vigas hiperestáticas O Método da Superposição é o método mais prático para a resolução de estruturas hiperestáticas Aplicase tanto às estruturas mais simples como as vigas como às estruturas mais complexas como os pórticos e treliças Em primeiro lugar identificamse as reações de apoio da viga e elegemse as redundantes Em seguida rompese o vínculo da redundante e transformase a viga em uma estrutura isostática chamase esta viga isostática de estrutura primaria Com os conhecimentos do Cap 2 Deformação de Vigas calculamse os deslocamentos angulares ou lineares correspondentes aos vínculos rompidos A seguir com o valor da força ou momento correspondente aos vínculos redundantes atuando como carga calculamse os deslocamentos lineares ou angulares que repõem a estrutura nas condições de deformação original Com esta condição estabelecese um sistema de equações que permite o cálculo dos vínculos redundantes A descrição acima pode ser visualizada por meio das ilustrações abaixo Selecionandose a reação Rb como redundante e suprimindo o vínculo correspondente obtémse como estrutura primaria a viga em balanço da figb A deflexão correspondente ao vinculo rompido com as cargas originais da viga será denominada δb A deflexão correspondente à força redundante rompida será δb UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 6 A deflexão total δb δb δbdeverá ser nula de acordo com o princípio da superposição para restabelecer a condição original de apoio com deslocamento vertical nulo O sinal negativo aparece nesta equação pois δb é para baixo sinal positivo enquanto δb está para cima sinal positivo Os valores das deflexões na viga em balanço tanto devido à carga distribuída na estrutura primaria como devido a atuação somente da redundante Rb podem ser tabelados para os casos mais comuns Neste caso os valores serão δb q L4 8EI δb RbL³ 3EI Temse então δb qL4 8EI RbL³ 3EI 0 o que resulta em Rb 3qL 8 Considerandose as equações de equilíbrio obtêmse as outras reações Ra 5qL8e Ma qL² 8 Outro caminho para resolução desta viga hiperestática seria considerar como redundante a reação momento de engastamento em A Neste caso a ilustração para aplicação das equações de compatibilidade seriam Na estrutura primaria temos θa qL³ 24EI A rotação correspondente à redundante Ma será θa MaL 3EI A equação de compatibilização será θa θa qL³ 24EI MaL 3EI que resultará em Ma qL² 8 concordando com o resultado anterior UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 7 3 5 Resolução de vigas contínuas pelo método da superposição Para a resolução de vigas contínuas somente o método da superposição é de ordem prática Podemse definir como reações redundantes as forças verticais de reação nos apoios ou os momentos de continuidade também nos apoios Aplicação 1 Viga continua com uma força redundante Viga continua com dois vãos de mesmo comprimento ℓ e carga q uniformemente distribuída nos dois vãos Calcular as reações Ra Rb e Rc considerando EI constante e elegendo Rb como redundante Aplicar os valores q 50kNm e ℓ 400m Estrutura primária vínculo Rb rompido L 2ℓ δb 5384 qL4EI 5384 q2ℓ4 EI 524qℓ4EI Redundante aplicada no vínculo rompido sem carga com L 2ℓ δb 148 RbL3EI 148 Rb 2ℓ3 EI 16Rbℓ3EI ℓ ℓ q A B C ℓ ℓ A B C δb ℓ ℓ A B C δb Rb Ra Rb Rc UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 8 Compatibilizando as flechas em B δbδb δb 0 524qℓ4EI 16Rbℓ3EI Temse então Rb 5qℓ 4 5 x 50 x 4 4 250 kN Por equilíbrio das forças verticais Ra Rc 3qℓ 8 3 x 50 x 4 8 75 kN Resolver o mesmo problema tomando como redundante o momento de continuidade sobre B Aplicação 2 Viga contínua com duas forças redundantes Viga continua com três vãos de mesmo comprimento ℓ e carga q uniformemente distribuída nos três vãos EI constante reações a serem determinadas Ra Rb Rc e Rd Escolha das redundantes Rb e Rc Estrutura primária O modelo estático a ser aplicado será ℓ ℓ q A B D Ra Rb Rd C Rc ℓ A B D C 3ℓ δb δc q x L UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 9 Eq Elástica y qx 24EIL³ 2Lx² x³ Ponto B para x ℓ L3ℓ temse yb δb qℓ 24EI 3ℓ³ 23ℓℓ² ℓ³ δb qℓ 24EI 27ℓ³ 6ℓ3 ℓ³ 11qℓ4 12EI Ponto C x2ℓ L3ℓ temse yc δc q2ℓ24EI 3ℓ³ 23ℓ4ℓ² 8ℓ³ δc qℓ12EI 27Lℓ³ 24ℓ3 8ℓ³ 11qℓ4 12EI Assim temse δb δc 11qℓ4 12EI Aplicação da força redundante Rc O modelo estático a ser aplicado será Para a b a elástica será y Pbx6LEIL² b² x² Ponto B Em x ℓ L 3ℓ b ℓ yb δbc Rcℓℓ63ℓEI3ℓ² ℓ² ℓ² δbc Rcℓ218ℓEI3ℓ² ℓ² ℓ² δbc 7Rcℓ318EI Ponto C Em x 2ℓ ℓ 3ℓ b ℓ yc δcc Rcℓ2ℓ63ℓEI3ℓ² ℓ² 2ℓ² δcc Rc2ℓ218ℓEI3ℓ² ℓ² 2ℓ² δcc 8Rcℓ318EI A B D C 3ℓ δbc δcc c Rc 2ℓ ℓ x L a b UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 10 Assim temse δbc 7Rcℓ318EI δcc 8Rcℓ3 18EI Aplicação da força redundante Rb O modelo estático a ser aplicado será Por simetria considerase o mesmo modelo anterior com o sentido da coordenada x para a esquerda mantendose a relação a b Ponto B Em x a 2ℓ L 3ℓ b ℓ δbb 8Rcℓ318EI Ponto C Em x ℓ L 3ℓ b ℓ δcb 7Rcℓ318EI Equações de compatibilidade de deformação Ponto B deflexão nula δb δbb δbc 0 11qℓ4 12EI 8Rcℓ3 18EI 7Rcℓ3 18EI 0 33qℓ 16Rb 14Rc 0 I Ponto C deflexão nula δc δcc δcb 0 11qℓ4 12EI 8Rcℓ3 18EI 7Rcℓ3 18EI 0 33qℓ 14Rb 16Rc 0 II A B D C 3ℓ δbb δcb c Rb 2ℓ ℓ b a x L ℓ UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 11 Sistema de duas equações I e II e duas incógnitas Rb e Rc 33qℓ 16Rb 14Rc 0 I 33qℓ 14Rb 16Rc 0 II Resolvendo por substituição temse Rb 1110 qℓ Rc 1110qℓ Por equilíbrio estático temse Ra Rb Rc Rd 3ℓq Daí temse finalmente Ra Rd 410 qℓ