Notas de Aula: Flexão Composta em Vigas - UCSal Engenharia Civil

UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 1 CAP 1 FLEXÃO COMPOSTA EM VIGAS 12 Flexão e Carga Axial Conjuntas 121 Tensões Normais em Vigas com Flexão Pura Distribuição das tensões normais para flexão pura com atuação de momento fletor solicitante positivo MS Observar que sendo MS de valor positivo temse os seguintes elementos σc tensão máxima de compressão na fibra superior da seção σt tensão máxima de tração na fibra inferior da seção MR momento fletor resistente MR Ca Ta MS C resultante das tensões de compressão na seção acima da LN T resultante das tensões de tração na seção abaixo da LN a braço de alavanca do binário MR n n definição do plano neutro de tensões A linha neutra LN será coincidente com o eixo x da viga x eixo no sentido longitudinal da viga y eixo de posicionamento no plano vertical dos pontos da seção transversal Origem na linha neutra y 0 e sentido positivo para baixo da LN Dessa maneira as tensões serão positivas quando de tração e negativas quando de compressão Representação esquemática da flexão pura no plano vertical de atuação das cargas σc σt y n n C T M LN x h σc σt h2 h1 x x MR a MS LN UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 2 Distribuição das tensões normais para flexão pura com atuação de momento fletor solicitante negativo MS Observar que sendo MS de valor negativo temse os seguintes elementos σc tensão máxima de compressão na fibra inferior da seção σt tensão máxima de tração na fibra superior da seção MR momento fletor resistente MR Ca Ta C resultante das tensões de compressão na seção abaixo da LN T resultante das tensões de tração na seção acima da LN a braço de alavanca do binário MR n n definição do plano neutro de tensões A linha neutra LN será coincidente com o eixo x da viga x eixo no sentido longitudinal da viga y eixo de posicionamento dos pontos no plano vertical da seção transversal Origem na linha neutra y 0 e sentido positivo para baixo da LN Dessa maneira as tensões serão positivas quando de tração e negativas quando de compressão Representação esquemática da flexão pura no plano vertical de atuação das cargas considerando uma estrutura de comportamento linear com momento fletor negativo σt σc y n n T C M x LN h σt σc h2 h1 x x MR a MS UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 3 122 Tensões Normais em Vigas com Compressão ou Tração Simples Distribuição das tensões normais na seção transversal com atuação de Força Normal de compressão solicitante NS σcA Representação esquemática da compressão simples na seção transversal considerando uma estrutura de comportamento linear com força normal N de compressão Distribuição das tensões normais na seção transversal com atuação de Força Normal de tração solicitante NS σtA Representação esquemática da tração simples na seção transversal considerando uma estrutura de comportamento linear com força normal N de tração NS NR σc x N x σc σc NS NR x N x σt σt σt h2 h1 h2 h1 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 4 123 Atuação conjunta de força normal e flexão pura Seja uma viga em balanço conforme esquematizada na figura a seguir Considerar duas possibilidades em relação à rigidez da viga 1 Viga relativamente rígida à flexão isto é Deflexões laterais pequenas e 0 ec 0 Mudanças insignificantes em relação ao suporte de ação da força axial F 2 Viga sensivel aos efeitos da flexão isto é Deslocamentos laterais significativos da flexão da viga no plano vertical Deslocamento da linha de suporte inicial da força P com valores suficientes para produzir momentos adicionais nas seções ΔM Pec Estes momentos adicionais ΔM Pec são denominados momentos de segunda ordem e são importantes e significativos na análise não linear das estruturas análise de grandes deformações Na análise não linear ocorre uma interação significativa entre os efeitos da força normal e os efeitos do momento fletor nas seções Não é válido o princípio da superposição dos efeitos Para o estudo deste capítulo da disciplina só será considerada a primeira alternativa 1 ou seja não haverá interação entre os efeitos das forças axiais e de flexão na viga A segunda alternativa 2 será abordada no Cap 5 desta disciplina que trata de Pilares Esbeltos sob a ação de compressão excêntrica com efeitos de segunda ordem Q P A B C 1 A C B Q P P ec e UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 5 Para as hipóteses da primeira alternativa em que não são considerados os efeitos de segunda ordem as tensões na seção transversal σx da viga serão determinadas para os valores de N e M independentes um do outro Será usado o princípio da superposição dos efeitos pois os dois efeitos se somam linearmente Dessa maneira a tensão normal em cada ponto da seção transversa será determinada pela expressão 𝝈𝒙 𝑵 𝑨 𝑴 𝑰𝒛 𝒚 onde N força normal na seção M momento fletor na seção no plano vertical que contém o eixo y A área da seção transversal Iz momento de inércia da seção transversal em torno do eixo z y posição do ponto em referência medido pela distância ao cdg da seção transversal considerando valor positivo para baixo σx tensão normal no ponto distante y do cdg Para a convenção de sinais seguem as considerações já feitas N força normal positiva para tração e negativa para compressão M momento fletor positivo quando produz tração nas fibras abaixo da LN e compressão nas fibras acima da LN Na combinação de força normal e flexão a linha neutra LN não mais será localizada no centro de gravidade cdg da seção pois não se consumará a condição de ydA 0 momento estático da área da seção em relação ao eixo da LN igual a zero A linha neutra poderá mesmo situarse fora da área da seção 1r σx Ey e σx dA eyr dA ou ainda ᶴ σx dA ᶴ Eyr dA Er ᶴ y dA 0 Logo ᶴ y dA 0 e a LN coincide com o cdg da seção z y A cdg UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 6 124 Análise linear dos casos de flexocompressão Conforme já visto a flexocompressão fica configurada quando atua uma força normal de compressão conjuntamente com um momento fletor na seção Em termos esquemáticos usando o princípio da superposição dos efeitos na flexocompressão tem se as seguintes possibilidades 1 Momento fletor positivo força normal de compressão Observar que o resultado das tensões σx na seção se apresenta em três alternativas 1 Seção está comprimida acima da LN e tracionada abaixo da LN 2 Seção totalmente comprimida com a LN passando na fibra inferior da seção 3 Seção totalmente comprimida com a LN passando abaixo da fibra inferior da seção portanto fora da seção 2 Momento fletor negativo força normal de compressão As observações são as mesmas da situação 1 invertendose a posição da LN em relação ao CDG da seção no plano vertical de atuação das cargas LN 1 LN 2 LN 3 o UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 7 125 Análise da Carga Axial Excêntrica com Compressão ou Tração Tratase de um caso especial de flexocompressão ou de flexotração de interesse prático quando a viga está sujeita a uma carga axial de compressão ou tração atuando excentricamente A força P atuando fora do centroide da seção com uma excentricidade e no eixo y solicitará cada seção com uma força normal N P e um momento fletor M Pe Para a análise de 1ª ordem análise linear as tensões na seção transversal serão determinadas por 𝝈𝒙 𝑵 𝑨 𝑴𝒚 𝑰𝒛 𝑷 𝑨 𝑷𝒆𝒚 𝑰𝒛 Para a determinação da posição da Linha Neutra LN fazse σx 0 temse a equação em y que define a posição da linha neutra LN linha nn da figura abaixo em função da excentricidade da força normal N de tração ou de compressão 𝒚 𝑰𝒛 𝑨𝒆 Para e 0 positivo N tração N compressão O sinal negativo na equação mostra que a linha neutra LN está acima do eixo z quando a excentricidade for positiva tanto para uma força N de tração negativa como de compressão A linha neutra irá se afastar do eixo z quanto menor for a excentricidade e No limite quando e 0 a linha neutra estará em y ou seja tração ou compressão centrada cdg y y z n n P e cdg P e Em cada seção do pilar temse x z P e e P M Pe P UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 8 Caso especial da seção retangular com flexocompressão Neste caso seção retangular b x h temse que h Iz bh³12 A bh e MP 𝝈𝒙 𝑵 𝑨 𝑴𝒚 𝑰𝒛 𝑷 𝑨 𝑷𝒆𝒚 𝑰𝒛 b Fazendose 𝝈𝒙 𝟎 temse 𝟎 𝑷 𝑨 𝑷𝒆𝒚 𝑰𝒛 ou seja 𝟎 𝟏 𝑨 𝒆𝒚 𝑰𝒛 Aplicandose as fórmulas para Iz e A para seção retangular temse então 0 𝟏 𝒉 𝒆𝒚𝟏𝟐 𝒉³ resultando y h²12e Para que a seção seja totalmente comprimida será necessário para um valor positivo de e que a linha neutra tenha um valor y h2 Neste caso o valor da excentricidade limite para seção totalmente comprimida será deduzido da expressão y h2 h²12e resulta que o valor da excentricidade e será calculado por e h6 Como conclusão estabelecese que a excentricidade e da força P de compressão aplicada deverá estar situada com e h 6 ou seja aplicada no terço central da altura da seção para que a seção esteja totalmente comprimida Este fato tem aplicações práticas no dimensionamento de fundações e muros de arrimo submetidos a flexo compressão e na análise de seções de vigas submetidas à esforços de protenção também caracterizada pela flexo compressão Assim Com e h6 temse os diagrama de tensões abaixo Com e h6 temse o diagrama de tensões σ1 σ2 σ2 0 σ1 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 9 126 Análise da Compressão ou Tração Excêntrica em Relação a dois Planos de Flexão Quando a força excêntrica está aplicada com excentricidade em relação a dois planos de flexão da seção haverá simultaneamente flexão em torno de ambos os eixos principais de inércia da seção Chamando as coordenadas do ponto de aplicação de P de ey e ez ver figura abaixo resulta que os momentos fletores em torno dos eixos y e z são Pey e Pez respectivamente 127 Linha Neutra com Excentricidade Dupla A tensão σ em qualquer ponto da seção transversal com dupla excentricidade ey e ez em relação aos eixos y e z será determinada por 𝝈 𝑷 𝑨 𝑷𝒆𝒛 𝑰𝒚 𝒛 𝑷𝒆𝒚 𝑰𝒛 𝒚 Igualando a zero a equação de σ temse a equação do eixo neutro para a excentricidade dupla 𝑨𝒆𝒛 𝑰𝒚 𝒛 𝑨𝒆𝒚 𝑰𝒛 𝒚 𝟏 𝟎 É a equação de uma reta localizada no plano yz a qual representa a linha neutra indicada pela reta nn na figura anterior Esta reta pode ou não cortar a seção transversal dependendo da forma da seção e das excentricidades ey e ez da aplicação da carga P As interseções da reta nn com os eixos y e z podem ser determinadas fazendose y e z iguais a zero respectivamente obtendose os respectivos valores y z P ey ez cdg n n P n n m m R cdg p1 p2 s2 e2 s1 1 e1 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 10 128 Núcleo Central da Seção Transversal Existe uma correlação importante entre o ponto de aplicação da força P e a posição do eixo neutro Considerando uma reta qualquer mm passando pelo ponto de aplicação da força P quando ela se desloca sobre a reta mm o eixo neutro gira em torno de um ponto fixo R conforme a figura anterior Este ponto R em relação à reta mn é definido pelas coordenadas 𝒔𝟏 𝑰𝒛 𝑨𝒆𝟏 e 𝒔𝟐 𝑰𝒚 𝑨𝒆𝟐 onde os valores de e1 e e2 são definidos pelos pontos de interseção da reta mn com os eixos y e z respectivamente nos pontos p1 e p2 A força P pode ser decomposta em duas componentes iguais e paralelas uma atuando em p1 e a outra em p2 A componente em p1 atua no plano principal de flexão em torno do eixo z e a linha de tensão nula correspondente será paralela ao eixo z a uma distância s1IzAe1 do cdg da seção Do mesmo modo a componente que atua em p2 produz flexão no plano principal de flexão em torno do eixo y e a linha de tensão nula correspondente será paralela ao eixo y a uma distância s2IyAe2 do cdg da seção O ponto R na interseção das duas linhas interrompidas da figura acima estará sempre no eixo neutro nn correspondente à força P atuando excentricamente nas duas direções Dessa maneira quando a força P se desloca sobre mm o ponto R permanece fixo e o eixo neutro sempre irá passar por ele Para o caso de compressão excêntrica verificase que a proximidade ou distanciamento do eixo neutro ao centroide da seção irá determinar se as tensões em toda a seção permanecem com o mesmo sinal somente compressão ou somente tração ou haverá a alternância de sinal com parte da seção comprimida ou tracionada e parte tracionada ou comprimida Haverá uma pequena região na seção em torno do centroide na qual uma força de compressão P aplicada produzirá apenas compressão em toda a seção transversal Esta região é chamada de núcleo central da seção A forma geométrica do núcleo central vai depender da forma geométrica da seção e pode ser determinada aplicandose o raciocínio acima considerando que o ponto R será fixo para o percurso da carga sobre uma reta mm que passa pelo ponto de aplicação da força P Para as seções de forma retangular considerando somente o plano de flexão que contém o eixo y positivo em torno de z o eixo neutro mais afastado do centroide e dentro da área da seção ficará distante de y h2 Considerando Iz bh³12 A bh e ez0 ponto p o valor de e1 será calculado da expressão y IAe donde temse e1IzAy Assim e1 bh³12bhh2 ou e1 h6 z y b h b6 h6 m p q UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 11 O mesmo raciocínio pode ser feito para a condição da carga P atuando no ponto q o que resultará em e2 b6 Movendose a carga P ao longo da reta pq observase que o eixo neutro irá girar em torno do ponto m vértice da seção transversal Assim o segmento pq será um dos lados do núcleo central Os outros três lados serão deduzidos por simetria e o núcleo central será um losango com as diagonais b3 e h3 conforme a figura acima Enquanto o ponto de aplicação da carga P de compressão estiver dentro da área do losango o eixo neutro não corta a seção que estará sempre totalmente comprimida O núcleo central para outras formas geométricas de seção pode ser definido pelo mesmo raciocínio empregado acima Seja a seção circular definida por um diâmetro D uma área A πD²4 e um momento de inércia Iz πD464 Temse que y Iz Ae D²16e Considerando que y1 y2 D 2 resultará e D 8 Ou seja o núcleo central da seção circular será um círculo com diâmetro e D 8 concêntrico com o círculo da seção transversal y D D8 D8