Notas de Aula sobre Pilares Esbeltos e Flambagem

UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 1 CAP 4 PILARES ESBELTOS FLAMBAGEM 41 Definições Pilares são elementos estruturais lineares normalmente situados na vertical submetidos a cargas axiais de compressão podendo também estar associado à atuação de cargas transversais resultando em uma combinação de carga axial e flexão ou seja flexo compressão Seja por exemplo o pilar engastado e livre apresentado a seguir com seu esquema estático de forças externas Como consequência das deformações do pilar por flexocompressão haverá um deslocamento horizontal para a direita no topo ponto A no valor de δ Se este valor for considerado pequeno a configuração deformada não afetará o comportamento do pilar para o efeito de flexão As solicitações em uma seção genérica S distante x do topo do pilar serão avaliadas com a superposição dos dois efeitos compressão e flexão conforme a expressão σx NA MyIz em que N P compressão simples na seção S A área da seção M Hx flexão simples na seção S Iz momento de inércia da seção y posição do ponto na seção onde se quer o valor da tensão Neste caso definese tratar de um pilar curto submetido à flexão composta com a superposição linear dos efeitos de compressão e flexão Este assunto já foi estudado no Cap1 Flexão Composta desta disciplina Observar que a configuração deformada não interfere no comportamento dos esforços solicitantes do pilar Quando o valor de δ não for considerado pequeno haverá um incremento progressivo do efeito de flexão no pilar pela introdução de uma parcela no momento fletor inicial causada pela mudança da linha de suporte da força P Assim o braço de alavanca δx da força P em relação às seções transversais induzirá uma parcela ΔM no momento fletor em cada seção do pilar Temse na seção genérica S distante x do topo N P e M Hx Pδx Hx ΔM P H P H δ S x h ᵟx x A B δ x y UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 2 Neste caso definese o pilar como pilar esbelto No exemplo apresentado o incremento ΔM será nulo no topo e terá o valor máximo no pé do pilar x h com ΔM Pδ Observase que o deslocamento δx da linha de suporte da força vertical P em cada seção será resultante de um processo iterativo entre P e δx O valor de δx provocará um incremento inicial ΔM Pδx que por sua vez irá aumentar o valor do deslocamento para δx1 que aumentará o valor para ΔM1Pδx1 e assim por diante Este processo poderá progredir de duas maneiras O aumento progressivo do valor de δx resultará em incrementos cada vez maiores do valor de ΔM Pδx terminando com a ruptura do pilar por flexocompressão Dizse que o pilar é instável O incremento regressivo do valor de δx resultando em uma tendência à estabilização do pilar Dizse que o pilar é estável 42 Pilar esbelto submetido à carga axial Um pilar de comprimento L seção transversal com área A e momento de inércia I e um material com módulo de elasticidade E está submetido à uma força axial centrada P aplicada progressivamente na extremidade A conforme a figura a seguir Fig 41 Pilar sob carga axial P Considerando este pilar como um pilar curto a tensão normal na área da seção transversal em qualquer ponto do eixo do pilar será determinada como σ PA Ao atingir um valor P Pmax este valor será aquele que atende à relação σmax σadm onde σadm é a tensão admissível para o dimensionamento do material do pilar Concluise que o pilar foi corretamente dimensionado à compressão simples para a carga P Pmax Entretanto pode ocorrer que a carga axial aplicada progressivamente antes de atingir o valor P Pmax definido acima para σmax σadm faça com que o pilar seja submetido ao fenômeno da flambagem UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 3 Em vez de permanecer com seu eixo reto o pilar se curva lateralmente para uma carga P1 Pmax conforme a figura mostrada a seguir indicando o fenômeno da flambagem Fig 42 Pilar submetido à carga de flambagem Isto significa que o pilar não foi dimensionado corretamente A tensão σmax Pmax A não será atingida pela atuação de P e o pilar deveria ser dimensionado para que a carga axial não atingisse o valor de P1 que causa a flambagem Observar que a flambagem é um fenômeno de perda de estabilidade do pilar Após a carga atingir o valor P1 o deslocamento transversal será progressivo e o pilar irá entrar em ruptura por flexo compressão O dimensionamento do pilar deverá ser feito para que a carga P1 jamais seja atingida A carga axial P1 que provoca a flambagem do pilar é denominada carga crítica de flambagem Quando a carga atingir o valor P1 qualquer deslocamento transversal por mínimo que seja fará com que o pilar perca a estabilidade encaminhandose à ruptura Antes de atingir o valor de P1 qualquer deslocamento transversal aplicado ao pilar fará com que ele retorne à posição inicial UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 4 O fenômeno da flambagem pode ser explicado através de um modelo de duas barras rígidas conectadas através de uma mola de torção como mostra a figura a seguir Se as duas barras AC e CB estiverem perfeitamente alinhadas as duas forças P e P também estarão alinhadas e o sistema permanecerá na posição de equilíbrio Ao se aplicar um pequeno deslocamento lateral para a direita no ponto C de tal modo que as barras AC e CB formem um pequeno ângulo Δθ com a vertical o sistema poderá ou não retornar à posição original com a atuação da mola de torção em C conforme se vê na figura abaixo Se ocorrer o retorno à posição original dizse que o sistema é estável Caso contrário instável Para analisar se este sistema é estável ou instável é necessário a análise dos esforços na barra AC conforme o esquema estático da figura a seguir UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 5 A atuação das forças P e P irá provocar o momento MS PL2senΔθ que tende a afastar a barra da linha da vertical O momento Mmola exercido pela mola de torção tende a trazer a barra de volta à posição vertical Como o ângulo de deflexão da mola é 2Δθ o momento solicitante da mola será dado por Mmola K2Δθ onde K é a constante de mola à torção Se o momento Mmola for maior do que MS o sistema tende a retornar à posição original de equilíbrio O sistema neste caso é estável Se o momento MS for maior do que Mmola o sistema tende a se afastar da posição original de equilíbrio Neste caso o sistema é instável O valor da força P para o qual os dois momentos se equilibram é chamado de força crítica e será representado por Pcrit Da igualdade dos momentos temse Pcrit L2sen Δθ K2 Δθ Fazendo senΔθ Δθ por se tratarem de valores pequenos da deflexão das duas barras temse finalmente Pcrit 4KL Fica bem claro que o sistema é estável para P Pcrit e instável para P Pcrit UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 6 43 Carga Crítica de Flambagem para pilares birotulados Para o exemplo do pilar birotulado com duas barras rígidas e com carga axial apresentado no item anterior é importante observar que enquanto a carga não atinge o valor P1 qualquer deslocamento transversal imposto ao pilar fará com que ele retorne à configuração inicial permanecendo estável com as tensões nas seções transversais com o valor σ PA O valor da carga axial P1 que representa o limite da estabilidade do pilar será a carga crítica de flambagem do pilar Considerando o pilar flexível da Fig 41 o ponto genérico Q no eixo do pilar terá a coordenada x conforme representado pela figura a seguir Fig 43 Elemento AQ do pilar sob flambagem O valor do momento fletor gerado pelo deslocamento lateral y do eixo do pilar para a direita será representado por Mx Py Considerando a equação da elástica em relação à curvatura d²ydx² MEI PyEI d²ydx² PEIy 0 que é uma equação diferencial linear homogênea do 2º grau com coeficientes constantes Fazendo o valor constante p2 PEI temse a equação que corresponde à flambagem do pilar sob carga P d²ydx² p2y 0 eq I UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 7 A solução geral desta equação pode ser escrita como y Asenpx Bcospx onde A e B são constantes de integração a serem determinadas com as condições de contorno do problema apoios das extremidades do pilar Fazendo em x 0 y 0 temse B 0 Fazendo em x L y 0 temse AsenpL 0 Esta expressão será satisfeita se A 0 ou senpL 0 Se A 0 então y 0 e o pilar terá a configuração reta sem deslocamento Para senpL 0 então pL nπ Substituindo na equação da solução e resolvendo para P temse P n²πEI L2 O menor dos valores de P será para n 1 Temse então Pcr π2 EI L2 eq II Esta expressão é conhecida como fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem de um pilar rotulado nas extremidades A configuração deformada para P Pcr π2 EI L2 p2 PEI e B 0 será y AsenπxL eqIII que é a equação da elástica do pilar logo após ocorrer a flambagem Observar que ymax A para x L2 A deflexão máxima será um valor indeterminado pelo fato que a equação diferencial eqI é uma aproximação linearizada da equação diferencial completa que governa a linha elástica ao se desprezar os efeitos de segunda ordem teoria das pequenas deformações em que se toma ds dx e tanθ θ Se P Pcr a condição senpL 0 não pode ser satisfeita e a solução dada por eqIII não existe É obrigatório então que A 0 e a única configuração possível é a elástica reta Isto significa que para P Pcr a configuração estável do pilar é a elástica reta ou seja sem deslocamento transversal no pilar UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 8 44 Tensão crítica de flambagem para pilares birotulados A tensão normal na seção do pilar correspondente à carga crítica de flambagem será denominada de tensão crítica e será representada por σcr Pcr A onde A será a área da seção do pilar Considerando a eqII em que Pcr π2 EIL2 temse σcr π2 EIL2A Nesta expressão definese a grandeza r2 I A onde r é uma característica geométrica da figura da seção transversal do pilar chamado de raio de giração da seção Assim podese escrever a expressão da tensão crítica como σcr π2 ELr2 eq IV A relação λ L r é chamada de índice de esbeltez do pilar e correlaciona o comprimento do pilar biarticulado nas extremidades e o raio de giração da seção que por sua vez é uma característica correlacionando a influência da área e do momento de inércia da seção do pilar Assim podese escrever tambem a relação σcr π2 Eλ2 eq V Fica claro que o valor mínimo do raio de giração deverá ser usado na determinação do índice de esbeltez λ de um pilar No caso de um pilar com seção circular o momento de inércia será o mesmo para qualquer eixo que passa pelo centroide da seção e o raio de giração será o mesmo em qualquer direção na seção transversal Assim o pilar poderá flambar aleatoriamente em qualquer um dos planos que passam pelo centroide Para outras formas de seção transversal a força crítica dever ser calculada para o valor de I Imin e se houver flambagem ela será em relação ao plano do eixo principal de inércia correspondente ao menor valor de I Dessa maneira o valor do raio de giração que interessa para a flambagem será aquele de valor mínimo correspondente ao plano onde ocorre o menor valor do momento de inércia Com relação ao valor obtido para a tensão crítica é importante observar que se este valor for maior do que a tensão de escoamento do material do pilar a análise feita até aqui não terá mais sentido pois o pilar irá atingir a tensão crítica de flambagem no regime plástico Neste caso a flambagem se dará no regime elastoplástico fugindo completamente á análise feita até aqui no regime elástico UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 9 45 Pilares com outras condições de extremidades 451 Pilar engastado e livre Tratase de um pilar com comprimento L tendo a extremidade A livre onde está aplicada a carga axial P e a extremidade B está engastada Fig 44 Pilar engastado e livre Observase que o pilar se comportará como a metade superior de um pilar biarticulado A carga crítica Pcr poderá ser calculada pela fórmula de Euler eq II usando um comprimento igual a duas vezes o comprimento real L do pilar Este comprimento equivalente Lfl 2L é denominado de comprimento de flambagem do pilar engastado e livre Substituindo na fórmula de Euler temse a carga crítica para o pilar engastado e livre Pcr π2EI Lfl2 π2EI 4L2 eq VI A tensão crítica de flambagem será escrita em função da eq IV σcr π2 ELflr2 π2 E2Lr2eq VII O índice de esbeltez do pilar dado pela relação λ Lflr neste caso será λ 2L r UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 10 452 Pilar engastado nas duas extremidades Por simetria dos vínculos nas extremidades do pilar concluise que o comprimento de flambagem do pilar biengastado será Lfl L 2 Todas as fórmulas referentes à carga crítica Pcr tensão crítica σcr e índice de esbeltez λ serão as mesmas para o pilar birotulado considerando L Lfl UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 11 453 Pilar engastado e rotulado Para o pilar engastado e rotulado devese escrever e resolver a equação diferencial da linha elástica a partir da correlação entre a curvatura e o momento fletor ou seja d²ydx² M EI Com as condições de contorno do problema determinamse as constantes de integração e o problema fica resolvido com o comprimento de flambagem sendo Lfl 07L 454 Resumo dos comprimentos de flambagem UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 12 46 Carregamento excêntrico de pilares 461 Definição de pilar excêntrico Chamase carregamento excêntrico de pilares quando a carga P paralela ao eixo do pilar atua com uma excentricidade e que é a distância entre a linha de ação de P e o eixo do pilar Neste caso podese substituir a força excêntrica atuante por uma força centrada P e um momento M Pe Assim o momento M Pe provocará a flexão do pilar independentemente do valor de P O problema agora consiste em determinar o valor da força P e do momento M Pe de modo que a seção mais solicitada do pilar não tenha valor de tensão normal σmax que ultrapasse o valor da tensão admissível σadm e também que a deflexão ymax não seja excessiva 462 Análise da deformação Para análise desta situação tomase como base a equação diferencial da linha elástica das vigas que governa o problema d²ydx² MEI O diagrama de corpo livre será do pilar carregado excentricamente dará como equilíbrio de momentos em uma seção genérica de coordenada x com a deflexão y o momento fletor M Pe Py Substituindo esta expressão de M na equação diferencial temse d²ydx² PEIy PEIe P e L M Pe P M Pe P P UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 13 Fazendo p² PEI temse d²ydx² p²y p²e A solução geral desta equação diferencial será do tipo y Asenpx Bcospx e As constantes A e B serão obtidas com as condições de contorno do problema específico Para x 0 temse y 0 resultando B e Para x L temse y 0 resultando AsenpL e1 cospL Da trigonometria temse as seguintes relações senpL 2senpL2 cospL2 1 cospL2 2sen²pL2 Substituindose na expressão para o valor de A temse A etgpL2 Substituindose os valores de A e B na solução da equação diferencial temse y e tgpL2 senpx cospx 1 que é a equação da linha elástica do pilar deformado pela carga excêntrica O valor da deflexão máxima será obtido fazendose x L2 nesta equação Temse ymax etgpL2senpL2 cospL2 1 ymax esen²pL2 cos²pL2cospL2 1 ymax e secpL2 1 Aplicandose p² PEI ou 𝒑 𝑷𝑬𝑰 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝒆 𝒔𝒆𝒄 𝑳 𝟐 𝑷 𝑬𝑰 𝟏 Esta expressão indica que ymax é infinito quando 𝑳 𝟐 𝑷 𝑬𝑰 𝝅 𝟐 UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 14 A deflexão neste caso não é realmente infinita mas bastante grande e inaceitável Portanto não se pode permitir que o valor de P alcance valor que permita terse a condição acima Resolvendo esta equação para o valor de P temse Pcr 𝝅² 𝑬𝑰 𝑳² Esta é a expressão já deduzida anteriormente para o valor da carga crítica de Euler para um pilar com carga centrada e bi rotulado Em conclusão independentemente da excentricidade aplicada na carga P não é possível ocorrer um valor de P maior do que o valor da carga crítica Assim podese deduzir uma expressão alternativa para a deflexão máxima do pilar em função da carga crítica de Euler 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝒆 𝒔𝒆𝒄 𝝅 𝟐 𝑷 𝑷𝒄𝒓 𝟏 463 Análise das tensões A tensão normal máxima σmax no pilar excêntrico vai ocorrer na seção onde o momento fletor é máximo Para o pilar biarticulado nas extremidades o ponto de tensão máxima será no meio da altura Fazendo o diagrama de corpo livre para a metade superior do pilar temse o valor do momento máximo no ponto C conforme se apresenta a seguir σmax PA Mmax cI A C L2 ymax P P MAPe MCMmax UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 15 Como Mmax Pymax MA Pymax e temse σmax 𝑷 𝑨 1 𝐲𝒎𝒂𝒙𝐞𝐜 𝒓² Substituindo 𝐲 𝒎𝒂𝒙 𝒆 𝒔𝒆𝒄 𝑳 𝟐 𝑷 𝑬𝑰 𝟏 temse σmax 𝑷 𝑨 1 𝒆𝒄 𝒓² 𝒔𝒆𝒄 𝑳 𝟐 𝑷 𝑬𝑰 eq A Uma alternativa será dada substituindo a expressão de Pcr 𝝅² 𝑬𝑰 𝑳² na eq A σmax 𝑷 𝑨 1 𝒆𝒄 𝒓² 𝒔𝒆𝒄 𝟏 𝟐 𝑷𝑳²𝝅² 𝑬𝑰𝝅² σmax 𝑷 𝑨 1 𝒆𝒄 𝒓² 𝒔𝒆𝒄 𝝅 𝟐 𝑷 𝑷𝒄𝒓 eq B Esta equação eq B pode ser usada para qualquer condição de contorno do pilar desde que seja usado o valor apropriado para Pcr Verificase que como σmax não varia linearmente com a força P o princípio da superposição não se aplica na determinação da tensão provocada pela aplicação simultânea de várias forças Deve ser calculada a resultante das forças e depois usada qualquer da duas equações acima para a determinação da tensão correspondente Do mesmo modo qualquer coeficiente de segurança dado deve ser aplicado à força e não à tensão quando a segunda fórmula eq B for utilizada Fazendo I Ar² na equação eqA e resolvendo para a relação PA temse 𝑷 𝑨 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝟏 𝒆𝒄 𝒓² 𝐬𝐞𝐜 𝑳𝒇𝒍 𝟐𝒓 𝑷 𝑬𝑨 eq C Observase que o comprimento de flambagem é usado para fazer com que a fórmula seja aplicada às várias condições de contorno Esta fórmula é chamada de fórmula da secante e define a força por unidade de área PA que provoca a tensão máxima σmax em um pilar com o índice de esbeltez Lfl r para uma relação ecr² em que e é a excentricidade da carga aplicada Como PA aparece em ambos os lados da equação tratase de uma equação transcendental a ser resolvida por tentativa e erro para obter o valor de PA correspondente à uma coluna dada e uma condição de carregamento UCSal Curso de Engenharia Civil Eng123 Resistência dos Materiais 2 Notas de Aula 20222 Prof Irani Rossini 16 As curvas apresentadas na figura abaixo foram desenhadas utilizando a equação eq C para um pilar de aço E 200 GPa e σy 250 Mpa Estas curvas permitem determinar a força por unidade de área PA que faz o pilar atingir o escoamento σy para valores das relações Lfl r índice de esbeltez e ecr² Para pequenos valores do índice de esbeltez Lfl r a secante é aproximadamente igual a 1 na equação eq C e a relação PA pode ser considerada igual a 𝑷 𝑨 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝟏𝒆𝒄𝒓² Esta expressão é equivalente à determinação da tensão sem o efeito da deflexão lateral do pilar usando o método da flexão composta já visto no início do curso Por outro lado para grandes valores do índice de esbeltez Lfl r as curvas correspondentes aos vários valores da relação ecr² ficam próximas à curva de Euler definida pela equação σcr π²ELr2 Neste caso o efeito da excentricidade da força sobre o valor PA tornase desprezível A fórmula da secante é útil principalmente para valores intermediários de Lflr 𝑷 𝑨 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝟏 𝒆𝒄 𝒓² 𝐬𝐞𝐜 𝑳𝒇𝒍 𝟐𝒓 𝑷 𝑬𝑨 eq C