GAAL-Transformacoes-Lineares-Resolucao-de-Problemas-e-Comprovacoes

QUESTÃO 1 Orientações Está disponível em Material da Disciplina o arquivo Modelo de Resposta AE 3 GAAL documento WORD o qual vocês podem utilizar para responder a atividade Seu uso não é obrigatório mas auxilia a realizar e organizar seu trabalho Não serão aceitas respostas que constam apenas o resultado final sem que seja demonstrado o raciocínio que o levou a encontrar aquela resposta isso pode ser feito à mão e inserida a foto no documento WORD pode ser feito diretamente no documento WORD ou pode ser feito no EXCEL e inserida no documento WORD O arquivo de resposta pode ter quantas páginas você precisar para respondêlo desde que siga o Modelo de Resposta AE 3 GAAL Quando for enviar a atividade pelo STUDEO confira se é o arquivo correto da atividade e se o arquivo foi adequadamente enviado Trabalhos idênticos serão zerados Bom trabalho ATIVIDADE 3 As Transformações e consequentemente as Transformações Lineares estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear Lembrando dados dois conjuntos não vazios U e V uma aplicação transformação de U em V é uma lei que associa a cada elemento de U um único elemento de V Se denotamos por F esta aplicação então o elemento associado é denotado por Fu que está em V denominado a imagem de u pela aplicação F Para a Transformação a seguir responda ao que se pede T R³ R³ Txyz x 2y z 2x y z x y a A Transformação é Linear Comprove sua resposta através da aplicação da conservação ou não das Operações de Soma e Multiplicação b Qual o Núcleo de T KerT c Qual a dimensão do Núcleo dimKer A Transformação é injetora d Qual a Imagem de T ImT e Qual a dimensão da Imagem dimIm A Transformação é sobrejetora f Qual a matriz da Transformação g Quais seus autovalores h Quais seus autovetores Докладна інструкція Як зробити проект Сайматерікс Роботи для 67 класів Кімнатні квіти 40 завдань із природознавства Зошит для практичних робіт 70 творчих проектів із природознавства 25 лепбуків із природознавства Кульбаба Лепбук для 34 класів для занять вдома Чудомандрівки природи Навчальна книжка 40 завдань із природознавства для 24 класів Неймовірний світ навколо нас Учебное пособие 30 заданий по природоведению для 24 классов 6 БУДІВНИЦТВО 60 цікавих проектів із природознавства ЕКОКВЕСТ природничі проекти для 37 класів ЛЕПБУК СОКОЛОВІ для 34 класів пособиеметодичка с шаблонами та деталями 30 уроків і 13 проектів із природознавства для 24 класів 7 Учебное пособие Удивительный мир вокруг нас 24 классы 40 задань по природоведению 9 Варто подивитися 20 цікавих проектів із природознавства Квітиароматики Тренажер з природознавства 34 клас 20 цікавих проектів із природознавства Природа навколо нас Учебное пособие 40 заданий по природоведению 24 классы ЧУДЕСА ЖИВОЇ ПРИРОДИ 24 клас 30 завдань із природознавства Учебное пособие 30 заданий по природоведению 24 классы 15 уроків із природознавства для 34 класів практикум 50 проектів із природознавства 34 клас Роботи для 34 класів РОЗВИВАЙКО Цікаві досліди й ігри для 34 класів Мінілепбук ДЕНЬ І НІЧ 34 клас Поурочное планирование Природознавство 24 клас Зошит із прироознавства 34 кл Нуш 60 цікавих проектів із природознавства 40 завдань із природознавства 34 клас а це означає що за 24 тижні роботи учень та вчитель однозначно мають змогу впровадити проектну діяльність у навчальний процес отримати четку основу для проведення занять зануритися у різні типи завдань дослідження аналіз спостереження порівняння Кожен проект розкриває різні освітні напрямки за темою кожного заняття і містить конспекти та покрокові завдання з природознавства Atividade As Transformações e consequentemente as Transformações Lineares estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear Lembrando dados dois conjuntos não vazios U e V uma aplicação transformação de U em V é uma lei que associa a cada elemento de U um único elemento de V Se denotamos por F esta aplicação então o elemento associado é denotado por Fu que está em V denominado a imagem de u pela aplicação F Para a Transformação a seguir responda ao que se pede T R³ R³ Txyz x 2y z 2x y z x y a A Transformação é Linear Comprove sua resposta através da aplicação da conservação ou não das Operações de Soma e Multiplicação Para determinar se a transformação T é linear precisamos verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por escalar Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades 1 Adição de vetores Tu v Tu Tv para todos os vetores u e v em R³ 2 Multiplicação por escalar Tku kTu para qualquer escalar k e vetor u em R³ Vamos verificar essas propriedades para Tx y z x 2y z 2x y z x y 1 Adição de vetores Tu v Tx y z x y z Tx x y y z z x x 2y y ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ z z 2x x y y z z x x y y ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ Tu Tv x 2y z 2x y z x 2y z 2x y z x 2y z x ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ 2y z 2x y z 2x y z x x y y ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ Comparando as duas expressões vemos que Tu v Tu Tv portanto a propriedade de adição de vetores é preservada 2 Multiplicação por escalar Tku Tkx ky kz kx 2ky kz 2kx ky kz kx ky kTu kx 2y z 2x y z kx 2y z k2x y z kx 2ky kz 2kx ky kz Comparando as duas expressões vemos que Tku kTu portanto a propriedade de multiplicação por escalar também é preservada Portanto a transformação T é linear b Qual o Núcleo de T KerT b O núcleo de T KerT é o conjunto de vetores em R³ que são mapeados para o vetor nulo em R³ pela transformação T Ou seja KerT u em R³ Tu 0 0 0 Vamos encontrar o núcleo de T resolvendo a equação Tx y z 0 0 0 x 2y z 0 2x y z 0 x y 0 A terceira equação nos diz que x y Substituindo isso nas duas primeiras equações obtemos y 2y z 0 y z 0 2y y z 0 y z 0 Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas y e z 1 y z 0 2 y z 0 Podemos resolver esse sistema somando as duas equações y z y z 0 y y z z 0 0 0 Isso nos diz que as equações são linearmente dependentes Portanto a solução é que y e z podem ser qualquer número real desde que obedeçam à equação y z 0 Isso significa que y z Portanto o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores da forma x x y onde x e y são números reais c Qual a dimensão do Núcleo dimKer A Transformação é injetora A dimensão do núcleo dimKer é o número de variáveis livres no sistema de equações que encontramos para o núcleo de T No nosso caso temos duas variáveis livres x e y portanto dimKer 2 A transformação não é injetora porque o núcleo não é trivial não consiste apenas do vetor nulo d Qual a Imagem de T ImT A imagem de T ImT é o conjunto de todos os vetores em R³ que podem ser obtidos aplicando a transformação T em algum vetor x y z em R³ Para encontrar a imagem podemos considerar a forma paramétrica da transformação Tx y z Tx y z x 2y z 2x y z x y Os vetores na imagem são da forma x 2y z 2x y z x y onde x y e z são números reais e Qual a dimensão da Imagem dimIm A Transformação é sobrejetora Para determinar a dimensão da imagem dimIm precisamos encontrar um conjunto de vetores que podem gerar todos os vetores na imagem Podemos ver que os três componentes da imagem são funções lineares das variáveis x y e z Portanto a imagem é gerada por três vetores linearmente independentes Assim dimIm 3 A transformação não é sobrejetora pois a dimensão da imagem é menor do que a dimensão do espaço de destino R³ f Qual a matriz da Transformação A matriz da transformação é obtida a partir da representação de Tx y z como uma matriz A matriz é formada pelas derivadas parciais das componentes da transformação em relação às variáveis x y e z Portanto a matriz de T é 1 2 1 2 1 1 1 1 0 g Quais seus autovalores detA λI 0 onde A é a matriz da transformação λ é o autovalor e I é a matriz identidade 1λ 2 1 2 1λ 1 1 1 λ Calculando o determinante detA λI 1λ1λ1λ 11 22λ 11 11 21λ detA λI 1λ1λ 1 22λ 1 1 2 2λ detA λI 1λ2λ 4λ 2 1 2 2λ detA λI 1λ2λ 4λ 3 detA λI 2 3λ λ² 4λ 3 detA λI λ² λ 3λ 2 3 detA λI λ² 2λ 1 Agora resolvemos detA λI 0 para encontrar os autovalores λ² 2λ 1 0 Usando a fórmula quadrática λ b b² 4ac 2a onde a 1 b 2 e c 1 λ 2 2² 411 21 λ 2 4 4 2 λ 2 8 2 λ 2 22 2 λ 1 2 Portanto os autovalores são λ₁ 1 2 e λ₂ 1 2 h Quais seus autovetores Para encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados precisamos resolver o sistema de equações A λIv 0 onde v é o autovetor Para λ₁ 1 2 A 1 2Iv 0 Substituindo os valores 2 2 1 2 2 1 1 1 2 resolvendo o sistema 1 2x 2y z 0 2 2x 2y z 0 3 x y 2z 0 Escolhendo uma variável livre z t Então podemos expressar x e y em termos de t 1 x 2y 2t 2 y 2t z 3 z t Agora podemos escrever o autovetor como um vetor coluna x y z v₁ x y z 2y 2t 2t z t Substituindo as expressões para x y e z v₁ 22t z 2t 2t z t Simplificando v₁ 22t 2z 2t 2t z t v₁ 2t 2z 2t z t Agora podemos escolher valores adequados para t e z para obter diferentes autovetores correspondentes a λ ₁ Para λ₂ 1 2 A 1 2Iv 0 Substituindo os valores 2 2 1 2 2 1 1 1 2 sistema 1 2x 2y z 0 2 2x 2y z 0 3 x y 2z 0 variável livre z t 1 x 2y z 2 y 2z 2x 3 z t Agora podemos escrever o autovetor como um vetor coluna x y z v₂ x y z 2y z 2z 2x t Substituindo as expressões para x y e z v₂ 22z 2x z 2z 2x t v₂ 2z 4x z 2z 2x t v₂ 3z 4x 2z 2x t Agora podemos escolher valores adequados para t e z para obter diferentes autovetores correspondentes a λ ₂ Para o autovalor λ₁ 1 2 Já tínhamos encontrado a expressão para o autovetor correspondente a λ como ₁ v₁ 2t 2z 2t z t Podemos escolher valores específicos para t e z para obter um autovetor particular Por exemplo se escolhermos t 1 e z 0 teremos v₁ 21 20 21 0 1 v₁ 2 2 1 Portanto um autovetor correspondente a λ₁ 1 2 é 2 2 1 Agora para o autovalor λ₂ 1 2 Tínhamos encontrado a expressão para o autovetor correspondente a λ como ₂ v₂ 3z 4x 2z 2x t Da mesma forma podemos escolher valores específicos para t e z para obter um autovetor particular Por exemplo se escolhermos t 1 e z 0 teremos v₂ 30 4x 20 2x 1 v 4x 2x 1 ₂ Podemos simplificar isso dividindo todos os componentes por 2 v 2x x 1 ₂ Agora podemos escolher um valor específico para x como x 1 v 21 1 1 ₂ v 2 1 1 ₂ Portanto um autovetor correspondente a λ₂ 1 2 é 2 1 1 Agora temos os autovetores correspondentes aos autovalores λ e λ ₁ ₂ Para λ₁ 1 2 Autovetor v₁ 2 2 1 Para λ₂ 1 2 Autovetor v₂ 2 1 1