Lista de Exercícios Resolvidos - Matrizes, Sistemas Lineares e Geometria Analítica

DESAFIO I MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Toda matriz pode ser descrita por uma regralei de formação Estas leis descrevem os elementos da matriz segundo a posição que esses ocupam nas linhas e colunas Na notação das leis de formação i representa a linha e j a coluna sendo essa a notação mais usada na maioria das leis Considere que analisando a matriz de produtividade de uma empresa você se deparou com os seguintes dados As linhas representam as três unidades produtoras e as colunas representam os três primeiros meses do ano 1 Qual a lei de formação vinculada a matriz A 2 Para os próximos três meses a lei de formação que pode ser aplicada à matriz seria Qual seria a matriz B 3 Para os dois próximos trimestres a produção será C A B Qual seria a matriz C DESAFIO II SISTEMAS LINEARES Para atender às demandas de determinada empresa foram realizados alguns pedidos de matéria prima para suprir a produção mensal da mesma Os pedidos realizados foram 1000 unidades de A 2000 unidades de B e 3000 unidades de C que custou R 2200000 2000 unidades de A e 4000 unidades de C que custou R 2200000 3000 unidades de A e 1000 unidades de B que custou R 1900000 Qual o custo unitário das matérias primas A B e C DESAFIO III TAMANHO DAS CORREIAS Imagine que você é trainee em uma empresa que trabalha com a distribuição de peças mecânicas Em uma das reuniões de rotina a gerência apresentou um novo projeto que corresponde a instalação de novas correias transportadoras em um de seus galpões Você foi envolvido no projeto para auxiliar nas estimativas iniciais Considerando que todas as correias não possuem elevação que a Correia I inicia na posição 1020 e acaba em 3010 e que a Correia II começa em 3010 e acaba em 530 a Qual o tamanho da Correia I b Qual o tamanho da Correia II c Se fosse necessária uma terceira correia Correia III ligando o final da correia II ao início da correia I qual tamanho ela teria Observação As correias devem ter o dobro do tamanho da distância entre seu início e seu fim O ponto 00 corresponde à entrada principal do galpão DESAFIO IV TRANSFORMAÇÕES Trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é muitas vezes muito complicado Uma alternativa é utilizar matrizes para representar as transformações lineares Além disso é a partir desse procedimento que é possível encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação Considere a TL a seguir Txy 2x 3y 3x 2y 1 Qual a matriz M da TL 2 Quais os autovalores e autovetores da TL 3 Usando o conceito de Diagonalização de Matrizes calcule M10 DESAFIO I MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Toda matriz pode ser descrita por uma regralei de formação Estas leis descrevem os elementos da matriz segundo a posição que esses ocupam nas linhas e colunas Na notação das leis de formação i representa a linha e j a coluna sendo essa a notação mais usada na maioria das leis Considere que analisando a matriz de produtividade de uma empresa você se deparou com os seguintes dados As linhas representam as três unidades produtoras e as colunas representam os três primeiros meses do ano 1 Qual a lei de formação vinculada a matriz A A lei de formação de A é dada por A3 x3aij 40i1 45i2 25i3 2 Para os próximos três meses a lei de formação que pode ser aplicada à matriz seria Qual seria a matriz B A matriz B é dada por B 20 45 60 10 15 20 75 25 20 3 Para os dois próximos trimestres a produção será C A B Qual seria a matriz C Temos CAB 40 40 40 45 45 45 25 25 25 20 45 60 10 15 20 75 25 20 60 85 100 55 40 65 120 50 45 Portanto a matriz C é dada por C 60 85 100 55 40 65 120 50 45 DESAFIO II SISTEMAS LINEARES Para atender às demandas de determinada empresa foram realizados alguns pedidos de matéria prima para suprir a produção mensal da mesma Os pedidos realizados foram 1000 unidades de A 2000 unidades de B e 3000 unidades de C que custou R 2200000 2000 unidades de A e 4000 unidades de C que custou R 2200000 3000 unidades de A e 1000 unidades de B que custou R 1900000 Qual o custo unitário das matérias primas A B e C Sejam x custo unitário da matéria prima A y o custo unitário da matéria prima B e z o custo da matéria prima C Temos o seguinte sistema linear 1000x2000 y3000 z22000 2000 x4000 z22000 3000 x1000 y19000 Dividindo todas as equações do sistema acima por 1000 temos o seguinte sistema equivalente x2 y3 z221 2x4 z222 3 x y193 Da equação 3 3 x y19 y193 x Da equação 2 2 x4 z22 x2 z11 z11x 2 Da equação 1 x2 y3 z22 x2 193 x 3 11x 2 22 x386 x33 2 3 x 2 22 13 x 2 65 2 x130 26 5 Como y193 x y1935 y4 E z11x 2 z115 2 z6 2 z3 Portanto o custo unitário da matéria prima A é R 500 da matéria prima B é R 400 e da matéria prima C é R 300 DESAFIO III TAMANHO DAS CORREIAS Imagine que você é trainee em uma empresa que trabalha com a distribuição de peças mecânicas Em uma das reuniões de rotina a gerência apresentou um novo projeto que corresponde a instalação de novas correias transportadoras em um de seus galpões Você foi envolvido no projeto para auxiliar nas estimativas iniciais Considerando que todas as correias não possuem elevação que a Correia I inicia na posição 1020 e acaba em 3010 e que a Correia II começa em 3010 e acaba em 530 a Qual o tamanho da Correia I O tamanho da correia I é dado por 301010 20 201020 210 24001005100105 Como as correias devem ter o dobro do tamanho da distância entre seu início e seu fim Portanto o comprimento da correia I é 205 uc b Qual o tamanho da Correia II O tamanho da correia II é dado por 5303010252025 220 262540010252541541 Como as correias devem ter o dobro do tamanho da distância entre seu início e seu fim Portanto o comprimento da correia II é 1041 uc c Se fosse necessária uma terceira correia Correia III ligando o final da correia II ao início da correia I qual tamanho ela teria O tamanho da correia III é dado por 53010 20 5105 210 22510012525555 Como as correias devem ter o dobro do tamanho da distância entre seu início e seu fim Portanto o comprimento da correia III é 105 uc Observação As correias devem ter o dobro do tamanho da distância entre seu início e seu fim O ponto 00 corresponde à entrada principal do galpão DESAFIO IV TRANSFORMAÇÕES Trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é muitas vezes muito complicado Uma alternativa é utilizar matrizes para representar as transformações lineares Além disso é a partir desse procedimento que é possível encontrar os autovalores e autovetores de uma transformação Considere a TL a seguir Txy 2x 3y 3x 2y 1 Qual a matriz M da TL Seja βe110 e201 a base canônica de R 2 temos T e123 2e13e2 Logo as coordenadas de T e1 em relação a base canônica é dada por T e1β 2 3 T e232 3e12e2 Logo as coordenadas de T e2 em relação a base canônica é dada por T e2β 3 2 Portanto a matriz de T é dada por M 2 3 3 2 2 Quais os autovalores e autovetores da TL Autovalores de T Temos que o polinômio característico de T é dado por p λdet MλI 2λ 3 3 2λ2λ 29λ 24 λ5λ1λ5 Logo p λλ1λ5 Sabemos que os autovalores de T são as raízes do polinômio característico de T p λλ1λ5 λ1ou λ5 Portanto os autovalores de T são λ11λ25 Autovetores de T Para cada λi com i12 precisamos resolver o seguinte sistema linear homogêneo MλiI x y 0 0 Para λ11 3x 3 y 0 3x 3 y 0 Donde obtemos xy yy Autovetor associado à λ11 é da forma v1y y y11 Para λ25 3 x 3 y 0 3 x 3 y 0 Donde obtemos xy yy Autovetor associado à λ25 é da forma v2 y y y11 Portanto os autovetores são v111 para λ11 v211para λ25 3 Usando o conceito de Diagonalização de Matrizes calcule M10 Sabemos que se M é diagonalizável então M nP D nP 1 onde D é a matriz diagonal e P é a matriz invertível que diagonaliza M Pelo item 1 como M tem dois autovalores distintos e M é uma matriz de ordem 2 então M é diagonalizável Logo a matriz invertível P que diagonaliza M é dada por P 1 1 1 1 Cujas as colunas são os autovetores de T Logo P 1 1 det P 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 12 12 12 12 Ainda temos D 1 0 0 5 Daí segue M 10 1 1 1 1 1 0 0 5 10 1 2 1 2 1 2 1 2 M 10 1 1 1 1 1 0 0 9765625 1 2 1 2 1 2 1 2 M 10 4882813 4882812 4882812 4882813