Transformações Lineares - Exercícios Resolvidos e Análise Completa

ATIVIDADE 3 As Transformações e consequentemente as Transformações Lineares estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear Lembrando dados dois conjuntos não vazios U e V uma aplicação transformação de U em V é uma lei que associa a cada elemento de U um único elemento de V Se denotamos por F esta aplicação então o elemento associado é denotado por Fu que está em V denominado a imagem de u pela aplicação F Para a Transformação a seguir responda ao que se pede T R³ R³ Txyz x 2y z 2x y z x y a A Transformação é Linear Comprove sua resposta através da aplicação da conservação ou não das Operações de Soma e Multiplicação b Qual o Núcleo de T KerT c Qual a dimensão do Núcleo dimKer A Transformação é injetora a A Transformação é Linear Comprove sua resposta através da aplicação da conservação ou não das Operações de Soma e Multiplicação b Qual o Núcleo de T KerT c Qual a dimensão do Núcleo dimKer A Transformação é injetora d Qual a Imagem de T ImT e Qual a dimensão da Imagem dimIm A Transformação é sobrejetora f Qual a matriz da Transformação g Quais seus autovalores h Quais seus autovetores SUA RESPOSTA 1 a Txyz x 2y z 2x y z x y Para ser transformações deve respeitar as seguintes operações Tu v Tu Tv Tλu λTu Sendo os vetores genéricos u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 Tx1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 2y1 y2 z1 z2 2x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 Tu v x1 x2 2y1 2y2 z1 z2 2x1 2x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 yL Tu v x1 2y1 z1 2x1 y1 z1 x1 y1 x2 2y2 z2 2x2 y2 z2 x2 y2 logo Tu v Tu Tv Tλu Tλx1 λy1 λz1 λx1 2λy1 λz1 2λx1 λy1 λ z1 λx1 λy1 Tλu λx1 2y1 z1 2x1 y1 z1 x1 y1 logo Tλu λTu Assim Txyz é uma transformação linear b Para encontrar o núcleo de T fazemos Txyz 0 x 2y z 2x y z x y 0 Assim Temos o sistema b x 2y z 0 2x y z 0 x y 0 Resolvendo o sistema temos que x z y z e z z logo o núcleo da T é formado por vetores do tipo z z z 1 1 1 kerT 1 1 1 c Como temos um vetor no núcleo então dim kerT 1 Como temos um vetor diferente do vetor zero no núcleo A transformação não é injetora d Para descobrir a imagem de T fazemos Tx y z x 2y z 2x y z x y Tx y z x 2x x 2y y y z z 0 Tx y z x1 2 1 y2 1 1 z1 1 0 Vemos que o vetor 1 1 0 é combinação linear dos vetores 1 2 1 e 2 1 1 logo Imgt 1 2 1 2 1 1 e Como temos 2 vetores dim Imgt 2 A transformação não é sobrejetora pois a dimensão da imagem é 2 e do conjunto de chegada R³ são diferentes Digitalizado com CamScanner f Podemos escrever T x 2y z 2x y z x y 0 1 2 1 1 1 1 1 1 0x y z logo M 1 2 1 2 1 1 1 1 0 g Para encontrar os autovalores fazemos pλ 1 λ 2 1 2 1 λ 1 1 1 0 λ Calculando o determinante temos pλ λ³ 2 λ² 3 λ λ³ 2 λ² 3 λ 0 λλ² 2 λ 3 0 λ 0 λ² 2 λ 3 0 λ₁₂ 2 2² 413 21 λ₁₂ 2 4 21 λ₁ 1 λ₂ 3 logo os autovalores são λ 0 λ 1 e λ 3 Digitalizado com CamScanner h Para encontrar os autovetores fazemos λ 0 1 2 1 1 1 1 1 1 0x y z 0 0 0 x 2y z 0 2x y z 0 x y 0 Para esse sistema temos a solução x z y z e z z logo para λ 0 temos o autovetor z z z 1 11 λ 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1x y z 0 0 0 2x 2y z 0 2x 2y z 0 x y z 0 Para esse sistema temos a solução x y y y e z 0 logo para λ 1 temos o autovetor y y 0 1 1 0 λ 3 1 3 2 1 2 1 3 1 1 1 0 3x y z 0 0 0 2x 2y y 0 2x 2y z 0 1x y 3z 0 Para esse sistema temos a solução x 74 z y 54 z z z logo λ 3 temos 74 z 54 z z 74 54 1 Digitalizado com CamScanner