Mapa - Geometria Analítica e Álgebra Linear - 53_2024

MAPA GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Nome RA Data ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais desde a mecânica clássica até a economia e a biologia Considere o sistema a seguir E1 x 4y E2 2x 3y a Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2 b Qual o determinante da matriz de a c Qual a matriz inversa da matriz de a ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear T xy E1 E2 a Qual a transformação de 12 b Qual a transformação de 11 c Qual a transformação de 34 d Qual o Núcleo da TL e sua dimensão e Qual a imagem da TL e sua dimensão ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear Especificamente se A é uma matriz nn então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor a Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2 b Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2 c Sabendo que para ser estável todos os autovalores devem ser negativos o sistema é estável ou instável ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES a O sistema de duas equações dado pode ser escrito na forma matricial como E1 E2 1 4 2 3 x y Portanto a matriz do sistema é dada por 1 4 2 3 b Calculando o determinante da matriz 1 4 2 3 obtemos 1 4 2 313423811 c Suponha que a inversa da matriz do item a seja dada por A 1 a b c d Então como o produto entre uma matriz e sua inversa é igual a matriz identidade podemos escrever A 1 AI a b c d 1 4 2 3 1 0 0 1 a2b 4 a3b c2d 4 c3d 1 0 0 1 Ao igualar os termos correspondentes obtemos dois sistema de equações I a2b1 4 a3b0 e II c2d0 4c3d1 Solução do sistema de equações I Isolando a incógnita a na primeira equação a2b1a12b Agora substituindo a12b na segunda equação 4 12b3b048b3b08b3b411b411b4b 4 11 Com isso segue que a12ba12 4 11a1 8 1111a1111 8 1111a11811a3a 3 11 Solução do sistema de equações II Isolando c na primeira equação c2d0c2d Substituindo c2d na segunda equação 4 c3d14 2d 3d18d3d111d111d1d1 11 Então segue que c2dc2 1 11 c2 1 11c 2 11 Portanto a matriz inversa é A 1 3 11 4 11 2 11 1 11 ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES a Ao calcular T 12 obtemos T 12 1 4 2 3 1 2T 12 114 2 213 2T 12 18 26T 12 9 4 Ou ainda T 1294 b Ao calcular T 11 obtemos T 11 1 4 2 3 1 1T 11 1141 213 1T 11 14 23 T 11 5 1 Ou ainda T 1151 c Ao calcular T 34 obtemos T 3 4 1 4 2 3 3 4 T 3 4 134 4 2334T 3 4 316 612 T 3 4 13 18 Ou ainda T 3 41318 d O núcleo da transformação linear é o conjunto composto por todos os vetores v x y tais que T v 0 0 Sendo assim temos que T v 0 0 1 4 2 3 x y 0 0 1 x4 y 2 x3 y 0 0 x4 y 2x3 y 0 0 Assim obtemos o seguinte sistema de equações x4 y0 2x3 y0 Ao isolar x na primeira equação ficamos com x4 y Então 2 x3 y024 y 3 y08 y3 y011 y0y0 11 y0 e x4 y400 Portanto o núcleo de T é o conjunto 00 Ou ainda Ker T 00 Além disso como o núcleo da transformação linear contém apenas o vetor nulo a dimensão do núcleo é zero isto é dim ker T0 e Temos que T x y 1 4 2 3 x yT x y x4 y 2 x3 yT x y x 2 x 4 y 3 yT x y x 1 2 y 4 3 Portanto a imagem da transformação linear é o conjunto gerado pelos vetores 1 2 e 4 3 ou seja ℑT 1243 Como o conjunto dos geradores da imagem da transformação linear contém dois vetores e 1 2 não é um múltiplo de 4 3 ou seja esses dois vetores são linearmente independentes concluímos que o conjunto 124 3 é uma base da imagem de T Portanto dim ℑ T 2 ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES a Os autovalores da transformação linear podem ser determinados resolvendo a seguinte equação det 1 4 2 3λ 1 0 0 10 Então det 1 4 2 3λ 1 0 0 10det 1 4 2 3 λ 0 0 λ0det 1λ 4 2 3λ0 1λ 3λ 2403λ3 λ λ 280λ 22 λ110 Utilizando a fórmula de Bhaskara para determinar a soluções da equação quadrática λ 22 λ110 obtemos λ22 24 1 11 21 λ2444 2 λ248 2 λ2163 2 λ24 3 2 λ123 Portanto os autovalores são λ1123e λ2123 b O autovetor v1 x y associado ao autovalor λ1 é solução da seguinte equação Aλ1 I x y 0 0 Então 1 4 2 3123 1 0 0 1 x y 0 0 1 4 2 3 123 0 0 123 x y 0 0 1123 40 20 3123 x y 0 0 223 4 2 223 x y 0 0 223 x4 y 2x223 y 0 0 Igualando os termos obtemos 223 x4 y0 2x223 y0 13 x2 y0 x13 y0 Agora note que ao multiplicarmos ambos os lados da segunda equação por 13 obtemos 13 x13 13 y013 x2 y0 Ou seja as duas equações do sistema são equivalentes Assim isolando x na segunda equação ficamos com x13 y Portanto v1 x y 13 y y y 13 1 Por fim calculando o autovetor v2 x y associado ao autovalor λ2 temos 1123 4 2 3123 x y 0 0 223 4 2 223 x y 0 0 223 x4 y 2x223 y 0 0 Então 223 x4 y0 2x223 y0 Da mesma forma note que as duas equações são equivalentes pois ao isolar x na primeira ou na segunda equação obteremos x13 y Com isso segue que v2 x y 13 y y y 13 1 c Como 3173 temos que λ21231346246 Isto é o autovalor λ2 é positivo Isso implica que o sistema é instável ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES a O sistema de duas equações dado pode ser escrito na forma matricial como 𝐸1 𝐸2 1 4 2 3 𝑥 𝑦 Portanto a matriz do sistema é dada por 1 4 2 3 b Calculando o determinante da matriz 1 4 2 3 obtemos 1 4 2 3 1 3 4 2 3 8 11 c Suponha que a inversa da matriz do item a seja dada por 𝐴1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Então como o produto entre uma matriz e sua inversa é igual a matriz identidade podemos escrever 𝐴1 𝐴 𝐼 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 4 2 3 1 0 0 1 𝑎 2𝑏 4𝑎 3𝑏 𝑐 2𝑑 4𝑐 3𝑑 1 0 0 1 Ao igualar os termos correspondentes obtemos dois sistema de equações 𝐼 𝑎 2𝑏 1 4𝑎 3𝑏 0 e 𝐼𝐼 𝑐 2𝑑 0 4𝑐 3𝑑 1 Solução do sistema de equações I Isolando a incógnita a na primeira equação 𝑎 2𝑏 1 𝑎 1 2𝑏 Agora substituindo 𝑎 1 2𝑏 na segunda equação 4 1 2𝑏 3𝑏 0 4 8𝑏 3𝑏 0 8𝑏 3𝑏 4 11𝑏 4 11𝑏 4 𝑏 4 11 Com isso segue que 𝑎 1 2𝑏 𝑎 1 2 4 11 𝑎 1 8 11 11a 11 11 8 11 11a 11 8 11a 3 a 3 11 Solução do sistema de equações II Isolando c na primeira equação 𝑐 2𝑑 0 𝑐 2𝑑 Substituindo 𝑐 2𝑑 na segunda equação 4𝑐 3𝑑 1 4 2𝑑 3𝑑 1 8𝑑 3𝑑 1 11𝑑 1 11𝑑 1 𝑑 1 11 Então segue que 𝑐 2𝑑 𝑐 2 1 11 c 2 1 11 𝑐 2 11 Portanto a matriz inversa é 𝐴1 3 11 4 11 2 11 1 11 ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES a Ao calcular 𝑇1 2 obtemos 𝑇1 2 1 4 2 3 1 2 𝑇1 2 1 1 4 2 2 1 3 2 𝑇1 2 1 8 2 6 𝑇1 2 9 4 Ou ainda 𝑇1 2 9 4 b Ao calcular 𝑇1 1 obtemos 𝑇1 1 1 4 2 3 1 1 𝑇1 1 1 1 4 1 2 1 3 1 𝑇1 1 1 4 2 3 𝑇1 1 5 1 Ou ainda 𝑇1 1 5 1 c Ao calcular 𝑇3 4 obtemos 𝑇3 4 1 4 2 3 3 4 𝑇3 4 1 3 4 4 2 3 3 4 𝑇3 4 3 16 6 12 𝑇3 4 13 18 Ou ainda 𝑇3 4 13 18 d O núcleo da transformação linear é o conjunto composto por todos os vetores 𝑣 𝑥 𝑦 tais que 𝑇𝑣 0 0 Sendo assim temos que 𝑇𝑣 0 0 1 4 2 3 𝑥 𝑦 0 0 1 𝑥 4 𝑦 2 𝑥 3 𝑦 0 0 𝑥 4𝑦 2𝑥 3𝑦 0 0 Assim obtemos o seguinte sistema de equações 𝑥 4𝑦 0 2𝑥 3𝑦 0 Ao isolar 𝑥 na primeira equação ficamos com 𝑥 4𝑦 Então 2𝑥 3𝑦 0 2 4𝑦 3𝑦 0 8𝑦 3𝑦 0 11𝑦 0 𝑦 0 11 𝑦 0 e 𝑥 4𝑦 4 0 0 Portanto o núcleo de 𝑇 é o conjunto 0 0 Ou ainda 𝐾𝑒𝑟𝑇 0 0 Além disso como o núcleo da transformação linear contém apenas o vetor nulo a dimensão do núcleo é zero isto é dim𝑘𝑒𝑟 𝑇 0 e Temos que 𝑇𝑥 𝑦 1 4 2 3 𝑥 𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 4𝑦 2𝑥 3𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥 4𝑦 3𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 1 2 𝑦 4 3 Portanto a imagem da transformação linear é o conjunto gerado pelos vetores 1 2 e 4 3 ou seja 𝐼𝑚𝑇 1 2 4 3 Como o conjunto dos geradores da imagem da transformação linear contém dois vetores e 1 2 não é um múltiplo de 4 3 ou seja esses dois vetores são linearmente independentes concluímos que o conjunto 1 2 4 3 é uma base da imagem de 𝑇 Portanto dim𝐼𝑚𝑇 2 ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES a Os autovalores da transformação linear podem ser determinados resolvendo a seguinte equação det 1 4 2 3 𝜆 1 0 0 1 0 Então det 1 4 2 3 𝜆 1 0 0 1 0 det 1 4 2 3 𝜆 0 0 𝜆 0 det 1 𝜆 4 2 3 𝜆 0 1 𝜆3 𝜆 2 4 0 3 𝜆 3𝜆 𝜆2 8 0 𝜆2 2𝜆 11 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara para determinar a soluções da equação quadrática 𝜆2 2𝜆 11 0 obtemos 𝜆 2 22 4 1 11 2 1 𝜆 2 4 44 2 𝜆 2 48 2 λ 2 16 3 2 𝜆 2 43 2 𝜆 1 23 Portanto os autovalores são 𝜆1 1 23 𝑒 𝜆2 1 23 b O autovetor 𝑣1 𝑥 𝑦 associado ao autovalor 𝜆1 é solução da seguinte equação 𝐴 𝜆1 𝐼 𝑥 𝑦 0 0 Então 1 4 2 3 1 23 1 0 0 1 𝑥 𝑦 0 0 1 4 2 3 1 23 0 0 1 23 𝑥 𝑦 0 0 1 1 23 4 0 2 0 3 1 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23 4 2 2 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23𝑥 4𝑦 2𝑥 2 23𝑦 0 0 Igualando os termos obtemos 2 23𝑥 4𝑦 0 2𝑥 2 23𝑦 0 1 3𝑥 2𝑦 0 𝑥 1 3𝑦 0 Agora note que ao multiplicarmos ambos os lados da segunda equação por 1 3 obtemos 1 3𝑥 1 31 3𝑦 0 1 3𝑥 2𝑦 0 Ou seja as duas equações do sistema são equivalentes Assim isolando x na segunda equação ficamos com 𝑥 1 3𝑦 Portanto 𝑣1 𝑥 𝑦 1 3𝑦 𝑦 𝑦 1 3 1 Por fim calculando o autovetor 𝑣2 𝑥 𝑦 associado ao autovalor 𝜆2 temos 1 1 23 4 2 3 1 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23 4 2 2 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23𝑥 4𝑦 2𝑥 2 23𝑦 0 0 Então 2 23𝑥 4𝑦 0 2𝑥 2 23𝑦 0 Da mesma forma note que as duas equações são equivalentes pois ao isolar x na primeira ou na segunda equação obteremos 𝑥 1 3𝑦 Com isso segue que 𝑣2 𝑥 𝑦 1 3𝑦 𝑦 𝑦 1 3 1 c Como 3 173 temos que 𝜆2 1 23 1 346 246 Isto é o autovalor 𝜆2 é positivo Isso implica que o sistema é instável