Estatistica Basica

Universidade do Estado de Minas Gerais UEMG Unidade Frutal Bacharelado em Engenharia Agronˆomica Estatıstica Basica Professor Fabio Rodrigues Silva fabiorodriguesuemgbr Lista de Exercıcios Probabilidade variaveis aleatorias e modelos probabilısticos 1 Quantos codigos unicos uma cadeia de lojas de ferragens pode criar usando duas letras seguidas de quatro numeros 2 Em SobralCE observaramse seis anos de seca no perıodo de 190166 66 anos Qual e a probabilidade do proximo ano ser seco 3 Uma empresa de aluguel de ferramentas gostaria de atribuir probabilidades para o numero de polidores de automoveis que aluga a cada dia Os registros dos ultimos 40 dias encontramse na tabela abaixo Forneca as probabilidades para a empresa Numero de polidores alugados Numero de observacoes 0 4 1 6 2 18 3 10 4 2 4 Muitos estudantes acumulam debitos quando se formam na faculdade A tabela a seguir mostra o percentual de graduados que tˆem debitos e a quantia de debito desses graduados em quatro universidades e quatro faculdades de artes liberais Universidade com debito Quantia Pace 72 32980 Iowa State 69 32130 Massachussetts 55 11227 SUNYAlbany 64 11856 Faculdade com debito Quantia Wartburg 83 28758 Morehouse 94 27000 Wellesley 55 10206 Wofford 49 11012 a Se vocˆe escolher aleatoriamente um estudante da Faculdade Morehouse qual e a probabili dade de que ele tenha se formado tendo contraıdo debito b Se vocˆe escolher aleatoriamente uma dessas oito instituicoes para fazer um estudo de acompa nhamento dos emprestimos dos estudantes qual e a probabilidade de escolher uma instituicao com 60 de seus formandos tendo contraıdo debito 1 c Se vocˆe escolher aleatoriamente uma dessas oito instituicoes para fazer um estudo do acompa nhamento dos emprestimos dos estudantes qual e a probabilidade de escolher uma instituicao cujos alunos graduados com debito tenham um debito medio de mais de 30000 d Qual e a probabilidade de que um graduado da Universidade Pace nao tenha contraıdo debito e Para os graduados da Universidade Pace com debito a quantia media do debito e 32980 Considerando todos os formandos da Universidade Pace qual e o debito medio por graduado 5 Para investigar com que frequˆencia as famılias fazem refeicoes em suas casas uma empresa pes quisou 496 adultos vivendo com filhos menores de 18 anos Os resultados do estudo sao mostrado na tabela a seguir Numero de refeicoes em famılia por semana Numero de respostas ao estudo 0 11 1 11 2 30 3 36 4 36 5 119 6 114 7 ou mais 139 Para uma famılia selecionada aleatoriamente com filhos menores de 18 anos calcule a a probabilidade de que a famılia nao faca nenhuma refeicao em casa durante a semana b a probabilidade de que a famılia faca pelo menos quatro refeicoes em casa durante a semana c a probabilidade de que a famılia faca duas refeicoes ou menos em casa durante a semana 6 A probabilidade de que a populacao atual de um paıs seja de 110 milhoes ou mais e de 95 A probabilidade de ser de 110 milhoes ou menos e de 8 Calcule a probabilidade de ser de 110 milhoes 7 Sejam A e B dois eventos em um dado espaco amostral tais que PA 0 2 PB p PA B 0 5 e PA B 0 1 Determine o valor de p 8 Informacoes sobre fundos mutuos fornecidas pela Morningstar Investment Research incluem o tipo de fundo mutuo Capital Nacional Americano Capital Internacional ou Renda Fixa e a classificacao pela Morningstar para o fundo A classificacao vai de 1 estrela menor classificacao a 5 estrelas maior classificacao Uma amostra com 25 fundos mutuos foi selecionada a partir da lista da Morningstar Funds 500 2008 Foram obtidas as seguintes contagens Dezesseis fundos mutuos eram de capital Nacional Americano Treze fundos mutuos foram classificados com 3 estrelas ou menos Sete dos fundos de Capital Nacional Americano foram classificados com 4 estrelas Dois dos fundos de Capital Nacional Americano foram classificados com 5 estrelas Assuma que um desses 25 fundos mutuos sera aleatoriamente selecionado a fim de saber mais sobre o fundo em questao e sua estrategia de investimento a Qual e a probabilidade de selecionar um fundo de Capital Nacional Americano b Qual e a probabilidade de selecionar um fundo com uma classificacao de 4 ou 5 estrelas 2 c Qual e a probabilidade de selecionar um fundo que seja de Capital Nacional Americano e que tenha sido classificado com 4 ou 5 estrelas d Qual e a probabilidade de selecionar um fundo que seja de Capital Nacional Americano ou que tenha diso classificado com 4 ou 5 estrelas 9 Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada populacao foi classificada de acordo com a cor dos olhos e a cor dos cabelos Os resultados estao exibidos na tabela abaixo Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da populacao ter olhos azuis dado que possui cabelos loiros Tratamse de eventos independentes Cor dos cabelos Cor dos olhos Loiro Castanho Preto Ruivo Total Azul 1768 807 189 47 2811 Verde 946 1387 746 53 3132 Castanho 115 438 288 16 857 Total 2829 2632 1223 116 6800 10 Em um lote de 12 pecas 4 sao defeituosas Duas pecas sao retiradas sem reposicao uma apos a outra Qual a probabilidade de que ambas sejam pecas boas 11 Em uma fabrica trˆes maquinas B1 B2 e B3 fazem respectivamente 30 45 e 25 dos produtos Sabese por experiˆencias passadas que 2 3 e 2 respectivamente dos produtos fabricados sao defeituosos Suponha que um produto seja escolhido ao acaso a Qual a probabilidade de ele ser defeituoso b Verificouse que o produto escolhido e defeituoso Qual a probabilidade de ele ter sido fabricado pela maquina B1 E pela maquina B2 E pela maquina B3 12 Para selecionar seus funcionarios uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana No final do curso eles sao submetidos a uma prova e 25 sao classificados como bons B 50 como medios M e os restantes 25 como fracos F Para facilitar a selecao a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questoes referentes a conhecimentos gerais e especıficos Para isso gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivıduo aprovado no teste ser considerado fraco caso fizesse o curso Assim neste ano antes do inıcio do curso os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado A ou reprovado R No final do curso obtiveramse as seguintes probabilidades condicionais PAB 0 80 PAM 0 50 PAF 0 20 13 Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20 de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1 30 de uma outra fazenda F2 e 50 de F3 Um orgao de fiscalizacao inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20 do leite produzido por F1 estava adulterado por adicao de agua enquanto que para F2 e F3 essa proporcao era de 5 e 2 respectivamente Na industria de sorvetes os galoes de leite sao armazenados em um refrigerador sem iddentificacao das fazendas Para um galao escolhido ao acaso determine a probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1 14 Um banco local fez uma revisao de sua polıtica de cartoes de credito com a intencao de cancelar alguns contratos de cartoes No passado aproximadamente 5 dos detentores de cartoes de credito se tornaram inadimplentes deixando o banco incapaz de cobrar o saldo devedor Portanto 3 a gerˆencia estabeleceu uma probabilidade a priori de 005 de que qualquer portador de cartao de credito em particular se tornara inadimplente O banco tambem descobriu que a probabilidade de os clientes que nao sao inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal e de 020 Naturalmente a probabilidade de os inadimplenetes deixarem de efetuar um pagamento mensal e de 1 a Dado que o cliente tenha deixado de efetuar um ou mais pagamentos mensais calcule a probabilidade a posteriori de que o cliente se torne inadimplente b O banco gostaria de cancelar o cartao de credito se a probabilidade de um cliente tornarse inadimplente for maior que 020 O banco deveria cancelar o cartao se o cliente deixar de efetuar um pagamento mensal Justifique 15 Uma certa doenca pode ser curada atraves de procedimento cirurgico em 80 dos casos Dentre os que tˆem essa doenca sorteamos 15 pacientes que serao submetidos a cirurgia Fazendo alguma suposicao adicional que julgar necessaria responda qual e a probabilidade de a Todos serem curados b Pelo menos dois nao serem curados c ao menos 10 ficarem livres da doenca 16 Sendo X U0 4 calcule a PX 2 b P1 X 2 c P1 X 2X 3 d PX 31 X 2 17 A variavel aleatoria Y tem densidade Poisson com parˆametro µ 2 Obtenha a PY 2 b P2 Y 4 c PY 1Y 3 18 Admitese que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede eletrica de 10 quilˆometros a Qual e a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros E de ocorrer nos 3 quilˆometros centrais da rede b O custo de reparo da rede depende da distˆancia do servico ao local da pane Considere que o servico esta na origem da rede e que o custo e de R 200 para distˆancias de ate 3 quilˆometros de R 400 entre 3 e 8 quilˆometros e de R 1000 para as distˆancias acima de 8 quilˆometros Qual e o custo medio do conserto 19 O escore em um teste internacional de proficiˆencia na lıngua inglesa varia de 0 a 700 pontos com mais pontos indicando um melhor desempenho Informacoes coletadas durante varios anos permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho do teste Pontos 0 200 200 300 300 400 400 500 500 600 600 700 pi 006 015 016 025 028 010 4 Varias universidades americanas exigem um escore mınimo de 600 pontos para aceitar estudantes de paıses de lıngua nao inglesa De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o ultimo exame escolhemos ao acaso 20 deles Qual a probabilidade de no maximo 3 atenderem ao requisito mınimo mencionado 20 O tempo necessario para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais Um paciente que esteja sofrendo dor recebe o remedio e supondo valido o modelo mencionado acima perguntase a probabilidade da dor a Cessar em ate 10 minutos b Demorar pelo menos 12 minutos c Durar mais de 7 minutos sabendo que durou menos de 10 21 A emissao de partıculas radioativas tem sido modelada atraves de uma distribuicao de Poisson com o valor do parˆametro dependendo da fonte utilizada Suponha que o numero de partıculas alfa emitidas por minuto seja uma variavel aleatoria seguindo o modelo de Poisson com parˆametro 5 isto e a taxa media de ocorrˆencia e de 5 emissoes a cada minuto Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emissoes em um minuto 22 Vocˆe e o gerente de uma loja e sabe que fora do horario de pico entram em media 6 clientes a cada 10 minutos Qual a probabilidade de entrarem a 6 clientes na loja em um perıodo qualquer de 10 minutos fora do horario de pico b ate 2 clientes num perıodo de 10 minutos fora do horario de pico c entrarem trˆes clientes ou mais fora do horario de pico ao longo de 10 minutos 23 No pedagio da rodovia dos Imigrantes passam em media 3600 carros por hora em vesperas de feriados Qual a probabilidade de a passarem dois carros em 1 segundo b passarem 30 carros em 15 segundos c passarem ate 5 carros em 10 segundos 24 Suponha que 360 erros de impressao sejam distribuıdos aleatoriamente segundo uma distribuicao de Poisson em um livro de 180 paginas Calcule a probabilidade de encontrar uma pagina com a nenhum erro b mais de um erro 25 Uma clınica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuicao Nor mal de media 130kg e desvio padrao 20kg Para efeito de determinar o tratamento mais adequado os 25 pacientes de menor peso sao classificados de magros enquanto os 25 de maior peso de obesos Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificacoes 26 Em uma certa regiao estudos meteorologicos indicam que a precipitacao pluviometrica total no perıodo de seca pode ser modelada por uma distribuicao Normal de media 30 mm e variˆancia 16 mm2 a Qual seria o valor da precipitacao no perıodo de seca para que com 10 de probabilidade ocorra uma precipitacao inferior a esse valor 5 b Construa um intervalo central em torno da media que contenha 80 dos possıveis valores de precipitacao pluviometrica c Considerando que esse modelo e correto para os proximos 50 perıodos de seca em quantos deles esperarıamos uma precipitacao pluviometrica superior a 34 mm 27 Um usuario do transporte coletivo chega pontualmente as 8 horas para pegar o seu ˆonibus Devido ao trˆansito caotico a demora pode ser qualquer tempo entre 1 e 20 minutos admita que o relogio pule de minuto em minuto Perguntase a Qual a probabilidade de demorar mais de 10 minutos b qual a probabilidade de demorar pelo menos 5 minutos mas nao mais de 10 minutos c Qual a probabilidade de a demora nao chegar a 5 minutos d Se um amigo chegou 10 minutos atrasado e vai pegar o mesmo ˆonibus que ainda nao passou qual a probabilidade de o amigo atrasado esperar ate 3 minutos 28 As vendas de determinado produto tˆem apresentado distribuicao normal com media de 600 uni dades e desvio padrao de 40 unidades Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mesmo mˆes qual e a probabilidade de ela nao poder atender a todos os pedidos desse mˆes por estar com o estoque esgotado 29 Qual a probabilidade de escolherse de forma aleatoria numa so tentativa uma pessoa que tenha renda anual entre US 400000 e US 700000 morador de uma cidade sendo a renda media desta cidade US 500000 e o desvio padrao de US 150000 Sabese que a renda populacional possui uma distribuicao normal 30 Os pesos de 600 estudates sao normalmente distribuıdos com media 653 kg e desvio padrao 55 kg Determine o numero de estudantes que pesam a entre 70 kg e 80 kg b mais que 632 kg c mais que 72 kg 31 O salario semanal dos operarios de construcao civil de certo paıs e distribuıdo normalmente em torno da media de 80 com desvio de 5 a Qual e o valor do salario para escolhermos 10 dos operarios com maiores remuneracoes b Qual e o maior salario correspondente aos 20 dos trabalhadores que ganham menos 32 Vocˆe vende uma marca de pneus de automoveis que tem uma expectativa de vida que e normal mente distribuıda com uma vida media de 30000 milhas e um desvio padrao de 2500 milhas Vocˆe quer dar uma garantia de troca de pneus gratis que nao durem muito Como vocˆe poderia honrar sua garantia se vocˆe esta disposto a trocar 10 dos pneus 33 Sendo Z uma variavel normal padrao calcule as seguintes probabilidades a P0 Z 1 44 b P1 48 Z 2 05 c PZ 2 03 d PZ 2 03 e P0 72 Z 1 89 6 f P1 89 Z 0 72 g P0 72 Z 1 89 h P0 72 Z 1 89 i PZ 0 72 j PZ 1 89 k PZ 4 5 l PZ 4 5 34 O tempo necessario para eliminar o perigo de contaminacao de certo pesticida apos sua aplicacao em um pomar e uma variavel aleatoria Exponencial de parˆametro 2 em anos O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva vento e umidade da regiao Tendo em vista esse comportamento as autoridades sanitarias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo apos a aplicacao Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar escolhida ao acaso nao estar mais contaminada apos 1 ano da pulverizacao Qual e a nossa seguranca se aguardarmos 2 anos para consumir essas frutas 35 Em uma UTI em media 5 dos bebˆes que nascem prematuros nao sobrevivem Se atualmente ha 40 bebˆes prematuros qual a probabilidade de no maximo 5 dos bebˆes nao sobrevivam 36 Em uma grande pesquisa com 6000 respondentes determinouse que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV Se 20 pessoas sao escolhidas ao acaso qual a probabilidade de que ao menos 19 assistam a esse programa 37 Em uma determinada cidade 56 dos dias de um ano possuem tempo limpo e ensolarado No mˆes de abril quantos dias esperase que tenham tempo limpo e ensolarado 38 Em uma pesquisa realizada verificouse que trˆes a cada oito pessoas tem dificuldades para pegar no sono Uma amostra aleatoria de 25 pessoas e selecionada Determine a media e o desvio padrao do numero de pessoas que possuem dificuldades para pegar no sono dentro dessa amostra 39 Admitese que uma valvula eletrˆonica instalada em determinado circuito tenha probabilidade 03 de funcionar mais de 600 horas Analisandose 10 valvulas qual a probabilidade de que pelo menos 3 continuem funcionando apos 600 horas 40 Experiˆencias indicam que o numero de ligacoes recebidas no perıodo noturno em uma central telefˆonica segue uma distribuicao de Poisson As probabilidades de receber um certo numero de chmadas por hora estao apresentadas na tabela a seguir No de chamadas 0 1 2 3 4 5 Probabilidades 00111 00500 01125 01687 01898 01708 Calcule a probabilidade de que essa central receba 3 ou mais chamadas ao longo de uma hora 41 O tempo de vida em horas de um transistor pode ser considerada uma variavel aleatoria com distribuicao Exponencial de parˆametro 1500 Determine a probabilidade de que um transistor escolhido ao acaso dure mais do que a media 42 Em um certo teste de aptidao para contratacao de determinada empresa os candidatos devem realizar uma sequˆencia de tarefas no menor tempo possıvel Suponhamos que o tempo necessario para completar esse teste tenha uma distribuicao normal com media 45 minutos e desvio padrao de 20 minutos Suponhamos que numa primeira etapa esse teste foi aplicado com uma amostra de 50 candidatos 7 a Qual a probabilidade de encontrarmos algum candidato que tenha um tempo superior a 50 minutos candidato muito lento ou inferior a 30 minutos que seria impossıvel completar o teste b Qual o numero aproximado de candidatos com tal perfil 43 Uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um sendo apenas uma delas correta Um aluno que nada sabe a respeito da materia avaliada chutauma resposta para cada teste Qual e a probabilidade de ele acertar pelo menos 6 testes 44 Suponha que o tempo de vida T em segundos de um vırus exposto ao meio ambiente segue uma distribuicao Exponencial com parˆametro α 120 s Calcule a probabilidade condicional PT 15 T 10 45 Considere a tabela de distribuicao conjunta de X e Y parcialmente conhecida dada na tabela abaixo Y X 1 0 1 PY y 1 112 0 13 1 14 14 PX x 1 a Complete a tabela considerando X e Y independentes b Calcule as medias e variˆancias de X e Y c Obtenha as distribuicoes condicionais de X dado que Y 0 e de Y dado que X 1 46 Depois de um tratamento seis operarios submeteramse a um teste e mais tarde mediuse a produtividade de cada um deles A partir dos resultados apresentados na tabela a seguir calcule o coeficiente de correlacao entre a nota do teste e a produtividade Operario Teste Produtividade 1 9 22 2 17 34 3 20 29 4 19 33 5 20 42 6 23 32 47 O exemplo a seguir ilustra que uma correlacao nul nao implica independˆencia Suponha que X Y tenha distribuicao conjunta dada pela tabela a seguir Y X 1 0 1 1 18 18 18 0 18 0 18 1 18 18 18 a Mostre que EXY EXEY donde segue que a correlacao se torna nula 8 b Justifique por que X e Y nao sao independentes 48 As variaveis U e V possuem a seguinte distribuicao conjunta U V 22 34 38 46 54 58 610 pu v 01 02 01 02 01 02 01 Represente essa distribuicao atraves de uma tabela de dupla entrada incluindo as marginais e calcule EU e EV 49 Esta sendo estudado o efeito do teor de ferro na capacidade de carga de vigas de concreto Os dados abaixo apresentam os resultados de medidas obtidas em uma amostra Obtenha a correlacao entre as variaveis Ferro peso 54 68 69 73 77 81 82 85 86 89 Carga tonm2 21 22 29 29 30 31 31 31 34 35 50 O departamento de vendas de certa companhia ofereceu um curso de atualizacao a seus funcio narios e para estudar a eficacia do curso resolveu comparar a nota de teste no curso T com o volume de vendas em milhares de unidades nos seis meses seguintes ao curso V Os resultados estao na tabela abaixo T 8 9 7 8 6 8 5 5 6 7 4 7 3 5 3 V 14 13 12 13 10 12 11 11 10 12 10 13 10 12 11 a A variavel T serve para explicar a variavel V Justifique b Calcule a correlacao entre as variaveis 51 As variaveis F e M representam respectivamente o numero de anos para completar o ensino fundamental e o ensino medio Numa certa cidade a tabela a seguir e adotada para a funcao de probabilidade conjunta dessas variaveis Determine o valor esperado e a variˆancia da variavel F M que representa o total de anos ate completar o ensino medio F M 3 4 5 6 9 960 960 760 160 10 760 760 560 360 11 360 460 360 260 52 Um paleontologo acredita que o numero de minerais presentes em certo tipo de rocha pode influir na chance de se encontrar fosseis perto de uma industria calcaria Atraves de amostras de rocha obtidas em levantamentos de campo ele obteve a distribuicao conjunta apresentada a seguir para as variaveis Z numero de minerais presentes e W variavel que assume 1 se for observada a presenca de fossil e 0 caso contrario W Z 1 2 3 0 18 18 14 1 18 14 18 9 a Calcule PW 0 Z 1 b Encontre as distribuicoes marginais para Z e W c Qual a esperanca de Z 53 Baseandose nas projecoes de preco de duas materiasprimas M1 e M2 pretendese estudar a viabilidade econˆomica do lancamento de um certo produto A funcao conjunta de probabilidade com os precos em reais e apresentada a seguir M1 M2 5 9 13 1 01 0 0 3 01 02 02 5 0 02 02 a Determine o preco medio e a variˆancia das materiasprimas b O produto usa 2 unidades de M1 e 3 de M2 Qual e seu custo medio c Se o produto devera ser vendido por 50 reais qual sera o seu lucro medio por unidade 10