Física II - Princípio da Superposição do Campo Elétrico e Lei de Gauss

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II PROFª MS ILCA MARLI MOITINHO AMARAL MEDEIROS Objetivo da Aula Princípio da superposição do campo elétrico Campo elétrico devido a distribuições discretas de carga Fluxo do campo elétrico Lei de Gauss Condutor em equilíbrio eletrostático Força entre cargas recapitulando Definese carga elétrica puntiforme como sendo um corpo eletrizado cujas dimensões são desprezíveis se comparadas às distâncias que o separam de outros corpos eletrizados O conceito é semelhante à ideia de um ponto material apresentada na cinemática Consideremos duas cargas elétricas puntiformes q1e q2 separadas por uma distância d Se as cargas forem de mesmo sinal elas se repelem Se as cargas forem de sinais opostos elas se atraem Charles Augustin de Coulomb formulou em 1785 após análises experimentais a lei que rege essas interações e que levaria seu nome a Lei de Coulomb A força de ação mútua entre dois corpos carregados tem a direção da linha que une os corpos e sua intensidade é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa Assim podemos escrever Princípio da superposição do Campo Elétrico Até agora discutimos as forças elétricas devido a interação entre dois corpos carregados Vamos supor que uma carga de prova positiva qo tenha sido colocada na presença de várias outras cargas Qual será então a força eletrostática resultante sobre qo Podemos resolver este problema de forma semelhante à força gravitacional na mecânica isto é adicionar vetorialmente as forças que atuam separadamente entre dois corpos para obter a força resultante Este método é conhecido como princípio da superposição É possível observar na representação o esquema das forças atuando em qo devido a todas as outras forças Embora este resultado possa parecer óbvio ele não pode ser derivado de algo mais fundamental A única forma de verificálo é testandoo experimentalmente Forças elétricas sobre uma carga de prova qo devido a uma distribuição de cargas infinitesimais qi No caso de N partículas carregadas temos que a força resultante sobre qo será então a soma vetorial de todas como a seguir ou onde ri é a distância entre a carga de prova qo e uma outra carga qi Neste caso dizemos que a força resultante sobre qo devese à uma distribuição de cargas discretas Lei de Gauss Gauss Carl Friedrich 17771855 Trabalhou com física teórica especialmente em mecânica capilaridade acústica óptica e cristalografia Em 1830 Gauss publicou o PRINCIPIA GENERALIA THEORIARE FIGURAE FLUIDORUM EN STATU AEQUILIBRII que foi uma importante contribuição para o campo da capilaridade e teve um papel relevante no cálculo de variações pois foi a primeira solução envolvendo integrais duplas condições de contorno e limites variáveis Juntamente com Weber em 1833 Gauss chegou às leis de Kirchoff e antecipou várias descobertas na eletricidade estática térmica e da fricção porém não publicaram resultados pois seus interesses estavam voltados ao eletromagnetismo terrestre sendo que a publicação de maior relevância foi em 1839 no qual Gauss expressa o potencial em qualquer ponto da superfície da Terra como uma série infinita de funções esféricas juntamente com dados experimentais A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície Uma superfície gaussiana esférica A lei de Gauss considera uma superfície fechada imaginária que envolve a distribuição de cargas Essa superfície gaussiana como é chamada pode ter qualquer forma mas a forma que facilita o cálculo do campo elétrico é a que reflete a simetria da distribuição de cargas Uma superfície gaussiana esférica Se os vetores campo elétrico têm o mesmo módulo e apontam radialmente para fora da superfície em todos os pontos podemos concluir que existe uma carga positiva no interior da superfície e que a distribuição de carga tem simetria esférica A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície Superfície gaussiana Linha de campo Os vetores campo elétrico e as linhas de campo atravessam uma superfície gaussiana imaginária de forma esférica que envolve a carga Q Agora a carga da partícula envolvida é 2Q Qual é nesse caso a carga envolvida Resposta 05Q Fluxo Elétrico Saber que a lei de Gauss relaciona o campo elétrico em pontos de uma superfície fechada real ou imaginária chamada superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície Saber que o fluxo elétrico Φ através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície Saber que o vetor área de uma superfície plana é perpendicular à superfície cujo módulo é igual à área da superfície Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área suficientemente pequenos e planos para que possam ser associados a um vetor elemento de área perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área do elemento Calcular o fluxo Φ do campo elétrico através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área No caso de uma superfície fechada explicar os sinais algébricos associados a fluxos para dentro e para fora da superfície a Um vento uniforme incide perpendicularmente ao plano de uma espira quadrada de área A b A componente da velocidade do vento perpendicular ao plano da espira é v cos θ onde θ é o ângulo entre a velocidade do vento e a normal ao plano da espira c O vetor área é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com o vetor velocidade d O campo de velocidades interceptado pela espira A vazão de ar através da espira é Φ v cos θA Essa vazão através de uma área é um exemplo de fluxo na presente situação tratase de um fluxo volumétrico Φ vA cos θ v A Lei de Gauss Usar a lei de Gauss para relacionar o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície Saber que o sinal algébrico da carga envolvida corresponde ao sentido para fora ou para dentro do fluxo Saber que a carga do lado de fora de uma superfície gaussiana não contribui para o fluxo total através da superfície fechada Calcular o módulo do campo elétrico produzido por uma partícula carregada usando a lei de Gauss Saber que no caso de uma partícula carregada ou uma esfera uniformemente carregada a lei de Gauss pode ser aplicada usando uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica com a carga ou com a esfera carregada O fluxo elétrico Φ através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície A figura mostra uma superfície gaussiana de forma arbitrária imersa em um campo elétrico A superfície está dividida em pequenos quadrados de área ΔA Os vetores campo elétrico e os vetores área são mostrados para três quadrados representativos rotulados como 1 2 e 3 Φ Σ E Δ A A definição exata do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos quadrados da figura tender a zero tornandose uma área diferencial dA Nesse caso o somatório acima se torna uma integral Φ E d A E para dentro fluxo negativo E para fora fluxo positivo E tangente fluxo nulo Podemos calcular o fluxo total integrando o produto vetorial para toda a superfície O fluxo total através da superfície é dado por Φ E d A fluxo total O fluxo líquido através de uma superfície fechada usado na lei de Gauss é dado por Φ E d A fluxo líquido em que a integração é executada ao longo de toda a superfície Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície o fluxo é positivo se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície o fluxo é negativo se o campo elétrico é paralelo à superfície o fluxo é zero O vetor área dA de um elemento de área é um vetor perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área do elemento O fluxo elétrico dΦ através de um elemento de área com um vetor de área dA é dado pelo produto escalar dΦ E d A Fluxo Elétrico ΔΦ E cos θ ΔA a Um vetor campo elétrico atravessa um pequeno elemento de área em uma superfície plana b Apenas a componente x atravessa o elemento de área a componente y é paralela ao plano c O vetor área é perpendicular ao elemento e tem um módulo igual à área do elemento Fluxo de um campo uniforme através de uma superfície cilíndrica A Fig 236 mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro oco de raio R cujo eixo é paralelo a um campo elétrico uniforme Qual é o fluxo Φ do campo elétrico através do cilindro IDEIASCHAVE De acordo com a Eq 234 podemos calcular o fluxo Φ integrando o produto escalar E dA para toda a superfície do cilindro Entretanto a superfície do cilindro não pode ser descrita por meio de uma única equação A forma de contornar esse problema é separar a superfície em partes que possam ser integradas com facilidade Cálculos Podemos realizar a integração escrevendo o fluxo como a soma de três integrais uma para a base esquerda do cilindro a outra para a superfície lateral do cilindro b e outra para a base direita do cilindro c Nesse caso de acordo com a Eq 234 Φ E dA EdA E dA E dA Para todos os pontos da base a o ângulo θ entre E e dA é 180 e o módulo E do campo é o mesmo Assim E dA Ecos 180 dA E dA EA em que A é igual à área da base A πr² Analogamente na base c em que θ0 para todos os pontos E dA Ecos 0 dA EA Finalmente para a superfície lateral b do cilindro em que θ 90 para todos os pontos E dA Ecos 90 dA 0 Substituindo os três valores na Eq 235 obtemos Φ EA 0 EA 0 Resposta Este resultado já era esperado como todas as linhas de campo que representam o campo elétrico atravessam a superfície gaussiana entrando pela base esquerda e saindo pela base direita o fluxo total deve ser nulo Figura 236 Uma superfície gaussiana cilíndrica fechada pelos planos das bases imersa em um campo elétrico uniforme O eixo do cilindro é paralelo à direção do campo Exemplo Fluxo de um Campo Elétrico Não Uniforme Através de um Cubo O cubo gaussiano que aparece na Fig 235 está submetido a um campo elétrico não uniforme dado por E 30xî 40ĵ com E em newtons por coulomb e x em metros Qual é o fluxo elétrico na face direita na face esquerda e na face superior do cubo As outras faces são consideradas em outro exemplo Face direita O vetor área A é sempre perpendicular à superfície e aponta para fora do cubo Assim no caso da face direita o vetor aponta no sentido dA positivo do eixo x Em termos dos vetores unitários dA dA î Φd E dA 30xî 40ĵ dAî 30xdAî î 40dAĵ î 30x dA 0 30 x dA Como a face direita é perpendicular ao eixo x todos os pontos da face têm o mesmo valor de x 30 m e portanto já que as coordenadas y e z não estão envolvidas na integração temos Φd 30 30 dA 90 dA 90 NC40 m² 36 N m²C Resposta Exemplo Fluxo de um Campo Elétrico Não Uniforme Através de um Cubo continuação O cubo gaussiano que aparece na Fig 235 está submetido a um campo elétrico não uniforme dado por E 30xî 40ĵ com E em newtons por coulomb e x em metros Qual é o fluxo elétrico na face direita na face esquerda e na face superior do cubo As outras faces são consideradas em outro exemplo Face esquerda O método para calcular o fluxo através da face esquerda é o mesmo que foi usado para a face direita Apenas duas coisas mudam 1 o vetor área elementar dA agora aponta no sentido negativo do eixo x e portanto dA dAî 2 o valor constante de x agora é 10 m Com essas duas mudanças verificamos que o fluxo Φe através da face esquerda é dado por Φe 12 N m²C Resposta Face superior Como o vetor área elementar dA agora aponta no sentido positivo do eixo y dA dAĵ Fig 235e O fluxo Φs através da face superior é portanto Φs 30xî 40ĵ dAĵ 30xdAî ĵ 40dAĵ ĵ 0 40 dA 40 dA 16 N m²C Resposta A lei de Gauss relaciona o fluxo de um campo elétrico através de uma superfície fechada uma superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície Em notação matemática ε₀Φ qenv A lei de Gauss também pode ser escrita na forma ε₀ E d A qenv A carga total qenv é a soma algébrica das cargas envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser positiva negativa ou nula Se qenv é positiva o fluxo total é para for a da superfície gaussiana se qenv é negativa o fluxo total é para dentro Figura 236 Duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que representam o campo elétrico Quatro superfícies gaussianas são mostradas vistas de perfil A superfície S₁ envolve a carga positiva A superfície S₂ envolve a carga negativa A superfície S₃ não envolve nenhuma carga A superfície S₄ envolve as duas cargas Superfície S1 Como o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo A carga envolvida pela superfície é positiva o que está de acordo com a lei de Gauss Superfície S2 Como o campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície o fluxo do campo elétrico através da superfície é negativo A carga envolvida pela superfície é negativa o que está de acordo com a lei de Gauss Duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que representam o campo elétrico Quatro superfícies gaussianas são mostradas em seção reta Superfície S3 Como essa superfície não envolve nenhuma carga o fluxo através da superfície de acordo com a lei de Gauss deve ser nulo Isso realmente acontece pois todas as linhas de campo atravessam totalmente a superfície entrando pela parte de cima e saindo pela parte de baixo Superfície S4 Como a carga total envolvida por essa superfície é zero a carga positiva e a carga negativa se cancelam o fluxo através da superfície de acordo com a lei de Gauss deve ser nulo e isso realmente acontece porque o número de linhas de campo que entram na superfície é igual ao número de linhas de campo que saem Duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que representam o campo elétrico Quatro superfícies gaussianas são mostradas em seção reta Exemplo Relação entre a Carga Total e o Fluxo Total A Figura 237 mostra cinco pedaços de plástico eletricamente carregados e uma moeda neutra A figura mostra também uma superfície gaussiana S vista de perfil Qual é o fluxo elétrico que atravessa a superfície S se q1 q4 31 nC q2 q5 59 nC e q3 31 nC IDEIACHAVE O fluxo total Φ que atravessa a superfíce S depende da carga total qenv envolvida pela superfície Cálculo A moeda não contribui para Φ porque é neutra e portanto contém quantidades iguais de cargas positivas e negativas As cargas q4 e q5 não contribuem porque estão do lado de fora da superfíce S Assim qenv é igual a q1 q2 q3 e a Eq 236 nos dá Φ qenvε0 q1 q2 q3ε0 31 10⁹ C 59 10⁹ C 31 10⁹ C885 10¹² C²Nm² 670 Nm²C Resposta O sinal negativo indica que o fluxo total que atravessa a superfíce é para dentro e portanto que a carga total envolvida pela superfície é negativa Figura 237 Cinco pedaços de plástico eletricamente carregados e uma moeda neutra Uma superfície gaussiana vista de perfil envolve três pedaços de plástico e a moeda Lei de Gauss e Lei de Coulomb A Fig 238 mostra uma carga pontual positiva q em torno da qual foi desenhada uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r Vamos dividir a superfície em áreas elementares dA Por definição o vetor área dA em qualquer ponto é perpendicular à superfície e orientado para fora Pela simetria da situação sabemos que o campo elétrico também é perpendicular à superfície e orientado para fora Assim como o ângulo θ entre E e dA é zero podemos escrever a lei de Gauss na forma ε0 E dA ε0 E dA qenv ε0E dA q ε0E4πr² q E 14πε0 q r² que é exatamente a lei de Coulomb Figura 238 Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma carga pontual q Um Condutor Carregado Ideias básicas Usar a relação entre a densidade superficial de carga σ e a área da superfíce para calcular a carga de um condutor Saber que se uma carga em excesso positiva ou negativa for introduzida em um condutor isolado a carga se acumulará na superfíce e o interior do condutor permanecerá neutro Conhecer o valor do campo elétrico no interior de um condutor isolado No caso de um condutor com uma cavidade que contém um objeto carregado determinar a carga na superfíce da cavidade e na superfíce externa do condutor Explicar de que forma a lei de Gauss é usada para determinar o módulo E do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor com uma densidade superficial de carga uniforme σ No caso de uma superfíce uniformemente carregada de um condutor conhecer a relação entre a densidade superficial de carga σ e o módulo E do campo elétrico nas vizinhanças do condutor e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico Um Condutor Carregado Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor a carga se concentra na superfície do condutor o interior do condutor continua a ser neutro A Fig 239a mostra uma vista de perfil de um pedaço de cobre pendurado por um fio isolante com uma carga em excesso q Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor O campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo Como a carga em excesso não está no interior da superfície gaussiana deve estar do lado de fora o que significa que só pode estar na superfície do condutor A Fig 239b mostra o mesmo condutor agora com uma cavidade interna Colocamos uma superfície gaussiana em torno da cavidade Como o campo elétrico é nulo no interior do condutor o fluxo através dessa superfície gaussiana é zero e portanto não existe carga em excesso na superfície da cavidade toda a carga em excesso permanece na superfície externa do condutor Figura 239 a Um pedaço de cobre com uma carga q pendurado por um fio não condutor Uma superfície gaussiana é colocada logo abaixo da superfície do condutor b O pedaço de cobre agora possui uma cavidade Uma superfície gaussiana é colocada do lado de fora da cavidade perto da sua superfície no interior do condutor 236 Um Condutor Carregado O Campo Elétrico Externo O campo elétrico externo nas proximidades da superfície de um condutor pode ser determinado com facilidade usando a lei de Gauss Para isso consideramos uma região da superfície suficientemente pequena para que possamos desprezar a curvatura e usamos um plano para representar a região Em seguida imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado na superfície como na Fig 2310 uma das bases está do lado de dentro do condutor a outra base está do lado de fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície também é perpendicular à superfície Vamos supor que a área A da base do cilindro é suficientemente pequena para que o módulo E do campo elétrico seja constante em toda a base Nesse caso o fluxo através da base é EA e esse é o fluxo total Φ através da superfície gaussiana A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na superfície do condutor e ocupa uma área A Se σ é a carga por unidade de área qenv é igual a σA ε0EA σA E σε0 Figura 2310 a Vista em perspectiva e b vista de perfil de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica engastada perpendicularmente no condutor envolve parte das cargas Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor mas não a base que está do lado de dentro A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é A Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor a carga se concentra na superfície do condutor o interior do condutor permanece neutro E σε0 superfície condutora a Vista em perspectiva b Vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica engastada perpendicularmente no condutor envolve parte das cargas Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor mas não a base que está do lado de dentro A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é A Só existe fluxo através da base externa Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo do campo elétrico do lado de fora de uma linha de carga ou do lado de fora da superfície de um cilindro de material isolante com uma densidade linear de carga uniforme λ Conhecer a relação entre a densidade linear de carga λ em uma superfície cilíndrica e o módulo E do campo elétrico a uma distância r do eixo central da superfície cilíndrica Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo E do campo elétrico no interior de um cilindro isolante com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ Exemplo Casca de Metal Esférica Campo Elétrico e Carga A Fig 2311a mostra uma seção reta de uma casca metálica esférica de raio interno R Uma carga pontual de 50 μC está situada a uma distância R2 do centro da casca Se a casca é eletricamente neutra quais são as cargas induzidas na superfície interna e na superfície externa Essas cargas estão distribuídas uniformemente Qual é a configuração do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora da casca Figura 2311 a Uma carga pontual negativa está situada no interior de uma casca metálica esférica eletricamente neutra b Em consequência cargas positivas se distribuem de modo assimétrico na superfície interna da casca e uma quantidade igual de cargas negativas se distribui uniformemente na superfície externa Raciocínio Como existe uma carga pontual de 50 μC no interior da casca deve haver uma carga de 50 μC na superfície interna da casca para que a carga envolvida seja zero Se a carga pontual estivesse no centro de curvatura da casca as cargas positivas estariam distribuídas uniformemente ao longo da superfície interna da casca Como porém a carga pontual está fora do centro a distribuição de cargas positivas é assimétrica como mostra a Fig 2311b já que as cargas positivas tendem a se concentrar na parte da superfície interna que está mais próxima da carga pontual já que esta é negativa Como a casca é eletricamente neutra para que a superfície interna tenha uma carga de 50 μC é preciso que elétrons com uma carga total de 50 μC sejam transferidos da superfície interna para a superfície externa onde se distribuem uniformemente como mostra a Fig 2311b A distribuição de cargas negativas é uniforme porque a casca é esterna e porque a distribuição assimétrica de cargas positivas na superfície interna não pode produzir um campo elétrico no interior do metal para afetar a distribuição de cargas na superfície externa A Fig 2311b mostra também as linhas de campo do lado de dentro e do lado de fora da casca Todas as linhas de campo interceptam perpendicularmente a casca e convergem para a carga pontual Do lado de dentro da casca a configuração de linhas de campo é assimétrica por causa da assimetria da distribuição de cargas positivas Do lado de fora o padrão é o mesmo que se a carga pontual estivesse no centro de curvatura e a casca não existisse Na verdade a configuração seria a mesma para qualquer posição da carga pontual no interior da casca A figura mostra uma parte de um cilindro de plástico de comprimento infinito com uma densidade de carga uniforme λ A distribuição de carga e o campo têm simetria cilíndrica Para determinar o campo a uma distância r do eixo do cilindro envolvemos parte do cilindro com um cilindro gaussiano concêntrico de raio r e altura h O fluxo através da superfície lateral do cilindro é dado por Φ EA cos θ E2πrh cos 0 E2πrh De acordo com a lei de Gauss ε0Φ qenv ε0E2πrh λh o que nos dá E λ 2πε0r linha de carga Só existe fluxo através da superfície curva Uma superfície gaussiana de forma cilíndrica envolve parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva Exemplo A Lei de Gauss e uma Tempestade Elétrica A mulher da Fig 2313 estava em uma plataforma de observação do Sequoia National Park quando uma grande nuvem de tempestade passou no céu Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada Fig 2314a o que deixou o corpo da mulher positivamente carregado Observando a fotografia da Fig 2313 é possível concluir que o corpo da mulher está carregado já que os fios de cabelo se repelem mutuamente e se projetam para cima ao longo das linhas de campo elétrico produzidas pela carga do corpo Figura 2314 a Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada o que deixou o corpo positivamente carregado b Em uma descarga para cima o ar sofre uma ruptura dielétrica o que permite que elétrons livres criados no ar sejam atraídos para o corpo da mulher c O corpo da mulher pode ser representado por um cilindro Vamos modelar o corpo da mulher como um cilindro vertical estreito de altura L 18 m e raio R 010 m Fig 2314c Suponha que a carga Q esteja uniformemente distribuída ao longo do cilindro e que a ruptura dielétrica ocorra quando o módulo do campo elétrico excede o valor crítico Ec 24 MNC Para que valor de Q o ar em volta da mulher está a ponto de sofrer uma ruptura dielétrica IDEIACHAVE Como R L podemos aproximar a distribuição de cargas por uma linha comprida de cargas Além disso como estamos supondo que a distribuição de cargas é uniforme o módulo do campo elétrico é dado aproximadamente pela Eq 2312 E λ2 πε0r Cálculos Substituindo o campo elétrico E pelo valor crítico Ec a distância radial r pelo raio do cilindro R e a densidade linear de cargas λ pela razão QL temos Ec QL2πε0R ou Q 2πε0RL Ec Substituindo as constantes por valores numéricos temos Q 2π885 1012 C²N m²010 m 18 m24 106 NC 2402 105 C 24μC Resposta Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar Usar a lei de Gauss para calcular o módulo E do campo elétrico nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ No caso de pontos nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico No caso de pontos nas proximidades de duas superfícies planas condutoras de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal das cargas e o sentido do campo elétrico Aplicando a Lei de Gauss Simetria Planar Placa Não Condutora A Fig 2315 mostra uma parte de uma placa fina infinita não condutora com uma densidade superficial de carga positiva σ Uma folha de plástico com uma das superfícies uniformemente carregada pode ser um bom modelo Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da placa Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base de cada lado da placa como mostra a figura Por simetria o campo elétrico é perpendicular à placa e portanto às bases do cilindro Como a carga é positiva o campo elétrico aponta para longe da placa O produto E dA é nulo na superfície lateral do cilindro e igual a EdA nas bases Assim ε0 E dA qenv ε0 EA EA σA onde σA é a carga envolvida pela superfície gaussiana Assim E σ2ε0 Só existe fluxo através das bases Figura 2315 a Vista em perspectiva e b vista de perfil de uma pequena parte de uma placa de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica com o eixo perpendicular à placa e uma base de cada lado da placa envolve parte das cargas Duas Placas Condutoras A figura a mostra uma seção reta de uma placa fina infinita condutora positivamente carregada com uma densidade superficial de carga uniforme σ₁ A figura b mostra uma placa igual negativamente carregada com uma densidade superficial de carga de mesmo valor absoluto Suponha que as duas placas sejam colocadas lado a lado como na figura c Nesse caso as cargas das duas placas se atraem mutuamente e todas as cargas em excesso se acumulam na superfície interna das placas como mostra a figura c Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas a nova densidade superficial de carga é E 2σ₁ε₀ σε₀ Exemplo Campo Elétrico A Fig 2317a mostra partes de duas placas de grande extensão paralelas não condutoras ambas com uma carga uniforme de um dos lados Os valores das densidades superficiais de cargas são σ₁ 68 μCm² para a placa positivamente carregada e σ₁ 43 μCm² para a placa negativamente carregada Determine o campo elétrico Ē a à esquerda das placas b entre as placas c à direita das placas IDEIACHAVE Como as cargas estão fixas as placas são não condutoras podemos determinar os campos elétricos produzidos pelas placas da Fig 2317a 1 calculando o campo produzido pelas placas como se a outra não existisse e 2 somando algebricamente os resultados Não há necessidade de usar uma soma vetorial porque os campos são paralelos Cálculos Em qualquer ponto o campo elétrico Ē produzido pela placa positiva aponta para longe da placa e de acordo com a Eq 2313 tem um módulo dado por E σ₁2ε₀ 68 x 10⁶ Cm² 2885 x 10¹² C²Nm² 384 x 10⁵ NC Analogamente em qualquer ponto o campo elétrico Ē produzido pela placa negativa aponta na direção da placa e tem um módulo dado por E σ₁2ε₀ 43 x 10⁶ Cm² 2885 x 10¹² C²Nm² 243 x 10⁵ NC A Fig 2317b mostra os campos criados pelas placas à esquerda das placas E entre as placas C e à direita das placas D Os campos resultantes nas três regiões podem ser obtidos usando o princípio de superposição À esquerda o módulo do campo é Eₑ E E 384 x 10⁵ NC 243 x 10⁵ NC 14 x 10⁵ NC Resposta Como E é maior que E o campo elétrico total Ēₑ nessa região aponta para a esquerda como mostra a Fig 2317c À direita das placas o campo elétrico Ēₚ tem o mesmo módulo mas aponta para a direita como mostra a Fig 2317c Entre as placas os dois campos se somam e temos Eₐ E E 384 x 10⁵ NC 243 x 10⁵ NC 63 x 10⁵ NC Resposta O campo elétrico Ēₐ aponta para a direita Figura 2317 a Duas placas de grande extensão paralelas não condutoras com uma carga uniforme em um dos lados b Campos elétricos criados pelas duas placas c Campo total criado pelas duas placas obtido por superposição Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro da casca Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca No caso de um ponto situado do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a carga q da casca e a distância r entre o ponto e o centro da casca No caso de um ponto situado no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer o valor do módulo E do campo elétrico No caso de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga determinar o módulo e a orientação do campo elétrico em pontos no interior da esfera e do lado de fora da esfera Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca No interior de uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme o campo é radial e o módulo do campo é dado por E q 4πε₀R³ r distribuição uniforme campo em r R em que q é a carga total R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto considerado e o centro da esfera Uma casca com uma distribuição uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse no centro da casca Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca com uma distribuição uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula Resumo Lei de Gauss De acordo com a lei de Gauss ε₀Φ qenv Fluxo total do campo elétrico através de uma superfície gaussiana Φ 𝐄 d𝐀 Aplicações da Lei de Gauss Campo na superfície de um condutor carregado E σε₀ Campo de uma linha de carga E λ2πε₀ r Campo de uma placa condutora infinita E σ2ε₀ Campo do lado de fora de uma casca esférica carregada E 14πε₀ qr² Campo no interior de uma casca esférica uniformemente carregada E 0 Campo no interior de uma esfera carregada E q4πε₀R³ r UNICID Universidade Cidade de S Paulo APLICAÇÕES Lei de Gauss A figura principal da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada SUPERFÍCIE GAUSSIANA Pode ser uma ESFERA CILINDRICO ou qualquer outra forma simétrica Exercício Exercício 1 Uma placa metálica quadrada de 8 cm de lado e espessura desprezível tem uma carga total de de 6 10⁶ C a Estime o módulo de E do campo elétrico localizado imediatamente fora do centro da placa a uma distância digamos de 0 5 mm supondo que a carga esteja uniformemente distribuída sobre as duas faces da placa b Estime o valor do campo a uma distância de 30 m relativamente grande comparada ao tamanho da placa supondo que a placa seja uma carga puntiforme Exercício 1 Resolução Uma placa metálica quadrada de 8 cm de lado e espessura desprezível tem uma carga total de de 6 106 C a Estime o módulo de E do campo elétrico localizado imediatamente fora do centro da placa a uma distância digamos de 05 mm supondo que a carga esteja uniformemente distribuída sobre as duas faces da placa b Estime o valor do campo a uma distância de 30 m relativamente grande comparada ao tamanho da placa supondo que a placa seja uma carga puntiforme a Para calcular o campo elétrico num ponto muito perto do centro de uma placa condutora uniformemente carregada é razoável substituirmos a placa finita por uma placa infinita contendo a mesma densidade superficial de carga e considerar a magnitude do campo como sendo E σ ε0 onde σ é a densidade de carga da superfície sob o ponto considerado A carga está distribuída uniformemente sobre ambas faces da placa original metade dela estando perto do ponto considerado Portanto σ q 2A 6 106 2 008 2 469 104 Cm² A magnitude do campo é E σ ε0 469 104 885 1012 530 107 NC b Para uma distância grande da placa o campo elétrico será aproximadamente o mesmo que o produzido por uma partícula puntiforme com carga igual à carga total sobre a placa A magnitude de tal campo é E q 4πε0 r2 onde r é a distância à placa Portanto E 9 109 6 106 302 60 NC