Termodinâmica Estatística - Lista de Exercícios sobre Sistemas em Campos Magnéticos

PERGUNTA 1 Considere dois sistemas A e A colocados em um campo externo H O sistema A consiste de N partículas localizadas fracamente interagentes de spin 12 e momento magnético μ Os dois sistemas são isolados inicialmente com suas respectivas energias b N μ H e b N μ H Em um dado momento eles são colocados em contato térmico entre si Suponha que b 1 e b 1 de modo que as condições do sistema são tais que podemos utilizar a expressão ΩE 2N sqrtπ N2 exp2NE2 μH212 δE 2 μH para o número de estados dos dois sistemas Qual é a expressão do calor absorvido Q pelo sistema A ao passar da situação inicial para a situação final quando ele entra em equilíbrio com A A expressão de Q é O a NN b2 μ2 b μ2 μ2 N μ2 N H2 O b NN b2 μ2 b μ2 μ2 N μ2 N H O c NN b2 μ2 b μ μ2 μ2 N μ2 N H O d N2 N2 b2 μ μ b μ μ2 μ2 N μ2 N H O e NN b2 μ2 b μ μ2 μ2 N2 μ2 N2 H PERGUNTA 2 Considere dois sistemas A e A colocados em um campo externo H O sistema A consiste de N partículas localizadas fracamente interagentes de spin 12 e momento magnético μ Os dois sistemas são isolados inicialmente com suas respectivas energias b N μ H e b N μ H Em um dado momento eles são colocados em contato térmico entre si Suponha que b 1 e b 1 de modo que as condições do sistema são tais que podemos utilizar a expressão ΩE 2N sqrtπ N2 exp2NE2 μH212 δE 2 μH para o número de estados de cada um dos dois sistemas Sendo dada a expressão para a energia mais provável desse sistema Ē Ē μ2 N μ N μ N μ2 N μ2 N H qual é a probabilidade PEdE que A tenha sua energia final no intervalo Ē e E dE Escreva a resposta usando a constante σ2 μ2 N μ2 N μ2 N μ2 N H2 Dica Use a equação PE ΩE ΩE0 E O a 1 σ sqrt2π exp EĒ3 2 σ3 dE O b 1 N N exp EĒ σ dE O c EĒ3 32 π σ3 exp EĒ2 2 σ2 dE O d 1 σ sqrt2π exp EĒ2 2 σ2 dE O e EĒ2 2 π σ2 dE PERGUNTA 4 Considere dois sistemas A e A colocados em um campo externo H O sistema A consiste de N partículas localizadas fracamente interagentes de spin 12 e momento magnético μ Os dois sistemas são isolados inicialmente com suas respectivas energias b N μ H e b N μ H Em um dado momento eles são colocados em contato térmico entre si Suponha que b 1 e b 1 de modo que as condições do sistema são tais que podemos utilizar a expressão ΩE 2N sqrtπ N2 exp2NE2 μH212 δE 2 μH para o número de estados dos dois sistemas Qual é a dispersão Δ2 E E Ē2 da energia E do sistema A na situação final de equilíbrio Dica Use a equação PE ΩE ΩE0 E O a μ μ H2 sqrtN N μ2 N μ2 N O b μ2 H2 N μ2 N μ2 N O c μ2 H2 N μ2 N μ2 N O d μ2 μ2 H2 N N sqrtμ2 N μ2 N O e μ2 μ2 H2 N N μ2 N μ2 N O b 1 N N exp EĒ σ dE O c EĒ3 32 π σ3 exp EĒ2 2 σ2 dE O d 1 σ sqrt2π exp EĒ2 2 σ2 dE O e EĒ2 2 π σ2 dE PERGUNTA 4 Considere dois sistemas A e A colocados em um campo externo H O sistema A consiste de N partículas localizadas fracamente interagentes de spin 12 e momento magnético μ Os dois sistemas são isolados inicialmente com suas respectivas energias b N μ H e b N μ H Em um dado momento eles são colocados em contato térmico entre si Suponha que b 1 e b 1 de modo que as condições do sistema são tais que podemos utilizar a expressão ΩE 2N sqrtπ N2 exp2NE2 μH212 δE 2 μH para o número de estados dos dois sistemas Qual é a dispersão Δ2 E E Ē2 da energia E do sistema A na situação final de equilíbrio Dica Use a equação PE ΩE ΩE0 E O a μ μ H2 sqrtN N μ2 N μ2 N O b μ2 H2 N μ2 N μ2 N O c μ2 H2 N μ2 N μ2 N O d μ2 μ2 H2 N N sqrtμ2 N μ2 N O e μ2 μ2 H2 N N μ2 N μ2 N PERGUNTA 2 Um sólido contém N átomos magnéticos de spin S Em temperaturas suficientemente altas cada spin é orientado de forma completamente aleatória isto é possui iguais probabilidades de ser encontrados em qualquer um de seus 2S 1 estados Todavia em temperaturas suficientemente baixas as interações entre os átomos magnéticos os faz exibir o ferromagnetismo resultando em todos os spins orientados ao longo de uma mesma direção e sentido quando atinge o limite T 0 Os átomos magnéticos contribuem para a capacidade térmica do sólido CT que possui após uma aproximação drástica ser feita uma dependência da temperatura dada por CT C1 2 T T1 1 se 12 T1 T T1 0 caso contrário O aumento abrupto no calor específico conforme T é reduzido abaixo da temperatura T1 é devido ao início do comportamento ferromagnético está ocorrendo uma transição de fase Se diluirmos os átomos magnéticos pela substituição de 30 dos átomos de ferro por átomos de zinco não magnéticos então os restantes 70 dos átomos de ferro ainda se tornarão ferromagnéticos em temperaturas suficientemente baixas Os átomos magnéticos agora contribuem para a capacidade térmica CT do sólido com uma dependência da temperatura diferente dada de forma bastante aproximada por CT C2 T T2 se 0 T T2 0 caso contrário Já que as interações entre os íons magnéticos foi reduzida o comportamento ferromagnético iniciase agora em uma temperatura T2 menor que a temperatura T1 com 100 dos átomos magnéticos e a capacidade térmica cai mais lentamente abaixo da temperatura T2 Use considerações acerca da entropia para comparar a magnitude do calor específico máximo C2 no caso diluído com a magnitude do calor específico máximo C1 no caso sem diluição Determine uma expressão explícita para C2 C1 Tal expressão é O a 0816 O b 0224 O c 0785 O d 0446 O e 0215 PERGUNTA 3 Um calorímetro de cobre de 750 g contendo 200 g de água está em equilíbrio em uma temperatura de 20ºC Um estudante coloca então 30 g de gelo com a temperatura de 0ºC no calorímetro e o fecha com um isolante térmico em sua volta Quando todo o gelo tiver derretido e o equilíbrio tiver sido alcançado qual o trabalho em joules deve ser suprido ao sistema por intermédio de um bastão de mistura para restaurar a temperatura da água para 20ºC Dados calor específico do cobre 0418 joulesgK Calor específico da água 418 JgK O gelo tem densidade de 0917 gcm³ e seu calor de fusão é 333 joulesg O a 13124 O b 11550 O c 12749 O d 14012 O e 9748 PERGUNTA 4 Caso A Um quilograma de água a 0C é colocado em contato com um grande reservatório de calor a 100C Quando a água tiver alcançado 100C determine a variação de entropia que ocorreu no sistema inteiro da água mais o reservatório de calor ΔStotal ΔSa ΔSres Caso B Faça o mesmo experimento aquecendo a água a 100C mas primeiro colocandoa em contato com um reservatório a 50C e depois colocandoa em contato com um outro reservatório a 100C Quais são os valores do ΔStotal do caso A e do caso B respectivamente em JK Calor específico da água 4180 JkgK a 184 e 972 b 214 e 765 c 102 e 1102 d são ambos iguais a 993 e 90 e 457 PERGUNTA 1 Um calorímetro de cobre de 750 g contendo 200 g de água está em equilíbrio em uma temperatura de 20C Um estudante coloca então 30 g de gelo com a temperatura de 0C no calorímetro e o fecha com um isolante térmico em sua volta Quando todo o gelo tiver derretido e o equilíbrio tiver sido alcançado calcule a variação total de entropia resultante do processo em JK Dados calor específico do cobre 0418 joulesgK calor específico da água 418 JgK O gelo tem densidade de 0917 gcm³ e seu calor de fusão é 333 joulesg a 017 b 281 c 645 d 119 e 314 1 Q E W Q Ē b N₁ H como Ē μ² N μ₁ N μ N t ² N μ² N μ² N H Q μ² N μ₁ N μ N H μ² N μ² N b N₁ H Q b μ³ N H b μ² μ¹ N N H b₂ μ³ N² H b₂ μ μ² N N H μ² N μ² N Q b μ² μ¹ N N H b₂ μ μ² N N H μ² N μ² N Q N N b μ¹ μ² b μ¹ μ H μ² N μ² N Letra E 2 PE α Ω₂E Ω E₀¹⁰ E E0 é energia total E0 b N₁ H b N₁ H PE α exp E² 2 μ¹ H² N exp E₀¹⁰ E² 2 μ¹ H² N Como PE dE e exp E Ē² 2σ² dE onde Ē μ² N μ₁ N μ N μ² N μ² N H Vamos achar com a normalização e exp E Ē² 2 σ² dE 1 onde σ² μ² N μ² N H² μ² N μ² N Última então PE dE 12πσ exp E Ē² 2 σ² dE e 1 2πσ usando integral gaussiana Letra D 3 ΔE² E Ē² σ² ΔE² μ² μ¹ N N H² μ² N μ² N2 Letra E 4 ΔS ₀ᴛ c T dT vamos calcular S nos dois casos ΔS₁ T₁2T₁ c₁ 2T T₁ 1 dT T T₁2T₁ c₁ 2T₁ 1T dT ΔS₁ c₁ 1 ln2 1 ΔS₂ T₁2T₂ c₂ TT₂ dT T T₁2T₂ c₂ T₂ dT c₂ 2 Como ΔS ST S0 e ST0 0 então S₁0 S₂0 0 S2T1 C2 S1T1 e1 1 lna E como 70 é a diluição dos atomos 07 S1T1 S2T1 07 e1 1 lna e2 e2e1 1 lna 07 e2e1 0214 letra E 5 W me ce Tf Ti ma ea Tf Ti W me ce ma ca Tf Ti w 7500418 230418 293 283 w 3135 961410 W 12749 Joules 6 Caso A ΔS me 273 373 dTT 4180 ln373273 ΔSq 1310 J ΔS QT ΔS me ΔT T me 373 273 T ΔS 1120 JK ΔS ΔSq ΔSa 1310 1120 ΔS 190 JK Caso B ΔSq é igual a ΔSq do caso A então só precisamos de ΔSb ΔS QT me ΔT T me 50 T1 333 me 50 T2 373 ΔSb 1208 ΔS ΔSq ΔSb ΔSb 1310 1208 ΔS 102 JK letra A 7 ΔS me Ti Tf dTT ΔS me lnTfTi ΔS me l283273 me ln283273 ma ea ln383273 ΔS 16 JK