Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante - Apostila de Estruturas de Concreto II

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 2123 ESTRUTURAS DE CONCRETO II DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO À FORÇA CORTANTE Prof Dr PAULO SÉRGIO BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Mar2021 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2123 Estruturas de Concreto II do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP Encontramse publicadas no YOUTUBE cinco videoaulas da apostila no canal Paulo Sergio Bastos O texto apresenta conceitos teóricos e os procedimentos aplicados pela NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Procedimento para o projeto de vigas de Concreto Armado à força cortante bem como a formulação para verificação de lajes Na versão de 2003 da NBR 6118 foi introduzida uma nova metodologia para o dimensionamento de elementos de concreto à força cortante o chamado Modelo de Cálculo II que permite considerar inclinações variáveis para as diagonais comprimidas entre 30 e 45 De modo geral a metodologia segue o MC90 do CEBFIP e o Eurocode 2 com algumas modificações e adaptações A apostila apresenta duas diferentes formulações para o cálculo da armadura transversal de vigas de Concreto Armado sendo a primeira aquela constante da NBR 61182014 e a segunda uma formulação um pouco mais simples que possibilita a automatização manual dos cálculos de dimensionamento com consequente ganho de tempo O autor agradece ao Prof Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxílio e discussão que contribuíram para melhorar a qualidade da apostila e dos exemplos Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção dos desenhos Críticas e sugestões serão bemvindas SUMÁRIO 5 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS À FORÇA CORTANTE 1 51 INTRODUÇÃO 1 52 TENSÕES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES 1 53 MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE 5 531 Ação de Arco 5 532 Concreto Comprimido Não Fissurado 6 533 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas 6 534 Ação de Pino da Armadura Longitudinal 6 535 Tensões Residuais de Tração 7 536 Armaduras Longitudinal e Vertical 8 54 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE 8 541 Tipo de Carregamento 8 542 Posição da Carga e Esbeltez 8 543 Tipo de Introdução da Carga 8 544 Influência da Armadura Longitudinal 9 545 Influência da Forma da Seção Transversal 9 546 Influência da Altura da Viga 9 55 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL 9 56 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSÃO 11 57 TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTERMÖRSCH 45 12 58 TRELIÇA GENERALIZADA variável 16 59 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 18 591 Modelo de Cálculo I 19 592 Modelo de Cálculo II 22 593 Lajes e Elementos Lineares com bw 5d 24 510 ARMADURA MÍNIMA 26 511 EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS 27 5111 Modelo de Cálculo I 27 5112 Modelo de Cálculo II 30 512 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 32 5121 Diâmetro do Estribo 33 5122 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos 33 5123 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo 33 5124 Emenda do Estribo 34 5125 Ancoragem do Estribo 34 513 REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE 35 514 ARMADURA DE SUSPENSÃO 36 515 EXEMPLO NUMÉRICO 1 39 5151 Equações Teóricas 40 5152 Equações Simplificadas 43 5153 Comparação dos Resultados 44 5154 Detalhamento da Armadura Transversal 45 516 EXEMPLO NUMÉRICO 2 47 5161 Modelo de Cálculo I 48 5162 Equações Simplificadas 49 5163 Modelo de Cálculo II 50 5164 Equações Simplificadas 53 5165 Comparação dos Resultados 55 5166 Detalhamento da Armadura Transversal 55 517 EXEMPLO NUMÉRICO 3 58 5171 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I NBR 6118 60 5172 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com 45 62 518 EXEMPLO NUMÉRICO 4 63 519 EXEMPLO NUMÉRICO 5 67 520 QUESTIONÁRIO 69 521 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 70 522 REFERÊNCIAS 71 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 1 5 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS À FORÇA CORTANTE 51 INTRODUÇÃO No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado geralmente o primeiro cálculo feito é o de determinação das armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos seguido pelo cálculo da armadura transversal para resistência às forças cortantes Diferentes teorias e modelos foram desenvolvidos para análise de vigas de concreto sob força cortante sendo que o modelo de treliça embora desenvolvido há mais de cem anos é o que ainda se destaca no Brasil e nas principais normas internacionais devido à sua simplicidade e bons resultados A norma brasileira NBR 6118201411 admite dois modelos para cálculo da armadura transversal denominados Modelo de Cálculo I e Modelo de Cálculo II A treliça clássica de RitterMörsch é adotada no Modelo de Cálculo I e o Modelo de Cálculo II admite a chamada treliça generalizada Nas últimas décadas surgiram modelos mais refinados como o Rotating angle softened truss model RASTM e o Fixed angle softened truss model FASTM desenvolvidos por HSU234 e seus colaboradores o modelo Truss model with crack friction que considera o atrito entre as superfícies das fissuras inclinadas REINECK5 e modelos com base em campos de compressão como o Diagonal compression field theory CFT por MITCHELL e COLLINS6 e Modified compression field theory MCFT desenvolvido por VECCHIO e COLLINS7 Esses modelos não serão objeto de estudo nesta apostila A ruptura por efeito de força cortante é iniciada após o surgimento de fissuras inclinadas causadas pela combinação de força cortante momento fletor e eventualmente forças axiais A quantidade de variáveis que influenciam na ruptura é muito grande como geometria dimensões da viga resistência do concreto quantidade de armaduras longitudinal e transversal características do carregamento vão etc Como o comportamento de vigas à força cortante apresenta grande complexidade e dificuldades de projeto este assunto tem sido um dos mais pesquisados no passado bem como no presente8 52 TENSÕES PRINCIPAIS EM VIGAS SOB FLEXÃO SIMPLES Considere uma viga de concreto biapoiada Figura 51a submetida a duas forças concentradas P iguais com cinco barras longitudinais positivas duas longitudinais superiores construtivas portaestribos e armadura transversal composta apenas por estribos verticais2 na região adjacente ao apoio esquerdo e estribos verticais combinados com barras dobradas inclinadas3 na região próxima ao apoio direito Notase que no trecho da viga entre as forças concentradas P a solicitação é de flexão pura V 0 Considerando que a viga está sendo ensaiada em laboratório e que as forças P serão crescentes de zero até a força que causará a sua ruptura força última a Figura 51b mostra a viga quando as forças P são ainda de baixa intensidade com as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão para a viga ainda não fissurada e portanto no Estádio I No trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga Nos demais trechos as trajetórias das tensões são inclinadas devido à influência das forças cortantes É importante observar também que as trajetórias apresentamse aproximadamente perpendiculares entre si Com o aumento das forças P e consequentemente o aumento das tensões principais no instante que em uma determinada seção transversal seção b no trecho de flexão pura a tensão de tração atuante no lado inferior da viga supera a resistência do concreto à tração surge uma primeira fissura chamada fissura de flexão Figura 51c A fissura de flexão é aquela que inicia na fibra mais tracionada e se estende em direção à linha neutra perpendicularmente às trajetórias das tensões principais de tração e ao eixo longitudinal da viga Conforme as forças externas aplicadas vão sendo aumentadas outras fissuras vão surgindo e aquelas já existentes aumentam de abertura e se estendem em direção à borda superior da viga As seções fissuradas podem ser consideradas no Estádio II e as seções não fissuradas no Estádio I de modo que a viga pode ter trechos nos dois Estádios como indicado na Figura 51c De modo geral as fissuras passam a ser visíveis a olho nu somente quando alcançam a abertura de 005 mm 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 ABNT 2014 238p 2 O termo estribo vertical indica a suposição de que a viga tem eixo longitudinal horizontal Na verdade desejase informar que o estribo é perpendicular ao eixo longitudinal da viga 3 Barras inclinadas em relação ao eixo longitudinal da viga geralmente barras da armadura de flexão positiva do vão não mais necessárias à flexão devido à diminuição do momento fletor nas proximidades do apoio UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 2 a P armadura transversal somente estribos armadura transversal estribos e barras dobradas P M V b c d e f estádio II Seção bb s c s c fc f y P P P P fissura de flexão c fissura por força cortante fissura de flexão fissura de flexão e força cortante tração compressão estádio I estádio II estádio I Seção aa estádio I Seção bb estádio II c s c s c c s t Ec ctf b b a a b b Figura 51 Comportamento resistente de uma viga biapoiada a armação da viga e diagramas de M e V b trajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga não fissurada c surgimento das primeiras fissuras de flexão d tensões e deformações nos Estádios I e II e estado de fissuração préruptura f deformações e tensões na ruptura9 A Figura 51d mostra os diagramas de deformação e de tensão normal nas seções a e b da viga nos Estádios I e II respectivamente No Estádio I a máxima tensão de compressão c ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke não sendo o mesmo válido no Estádio II As notações indicadas na Figura 51 são εc deformação de encurtamento no concreto εs deformação de alongamento na armadura longitudinal tracionada UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 3 Ec módulo de elasticidade do concreto σt tensão de tração na fibra inferior de concreto σs tensão de tração na armadura longitudinal tracionada σc tensão normal de compressão máxima fy tensão de início de escoamento do aço da armadura fc resistência do concreto à compressão fctf resistência à tração na flexão do concreto Continuando a aumentar as forças P outras fissuras de flexão continuam a surgir e aquelas já existentes aumentam de abertura e prolongamse em direção ao topo da viga Figura 51d Nos trechos entre os apoios e as forças P as fissuras de flexão inclinamse devido à inclinação das trajetórias das tensões principais de tração I que são inclinadas devido à influência das forças cortantes As fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de flexão com força cortante ou fissuras de flexão com cisalhamento Nas proximidades dos apoios como a influência dos momentos fletores é menor podem surgir as chamadas fissuras por força cortante ou fissuras de cisalhamento ver Figura 51e e Figura 52 Com forças P elevadas a viga se apresenta no Estádio II em quase toda a sua extensão Figura 52 Fissuras na viga no Estádio II9 É importante ressaltar que fissuras verticais como mostradas na Figura 53 podem surgir nas vigas por efeito de retração do concreto não necessariamente por efeito de tensões normais de tração oriundas da flexão da viga São fissuras localizadas à meia altura que geralmente não se estendem até as bordas superior e inferior da viga fissuras de retração Figura 53 Fissuras de retração em viga Na Figura 54 são mostradas as trajetórias das tensões principais de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído ao longo de todo o vão ainda no Estádio I não fissurada e o estado de tensões principais num ponto sobre a linha neutra O carregamento externo introduz em uma viga diferentes estados de tensões principais em cada um dos seus infinitos pontos Na altura da linha neutra as trajetórias das tensões principais apresentamse inclinadas de 45 ou 135 com o eixo longitudinal da viga e em outros pontos as trajetórias tem inclinações diferentes de 45 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 4 II I Direção de tensões de tração Direção de tensões de compressão III M V x Figura 54 Trajetórias das tensões principais de uma viga biapoiada no Estádio I 9 Além dos estados de tensão relativos às tensões principais como o indicado na Figura 55b outros estados podem ser representados com destaque para aquele segundo os eixos xy Figura 55a que define as tensões normais x e y e as tensões de cisalhamento xy e yx X y y 0 x II I y y X yx xy a eixos xy b eixos principais Figura 55 Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos principais e aos eixos xy 9 De modo geral as tensões verticais y podem ser desprezadas tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução de forças na viga região de forças externas aplicadas apoios etc O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as tensões x e xy No entanto conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para se posicionar corretamente as armaduras de tração e para conhecer a direção das bielas de compressão As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura transversal composta normalmente na forma de estribos verticais fechados Note que na região de maior intensidade das forças cortantes a inclinação mais favorável para os estribos seria de aproximadamente 45 ou seja paralelos às trajetórias das tensões de tração e perpendiculares às fissuras Por razões de ordem prática os estribos são UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 5 normalmente posicionados na direção vertical o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45 A colocação da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e além disso possibilita que as tensões principais de compressão possam continuar atuando sem maiores restrições entre as fissuras inclinadas próximas aos apoios 53 MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE Em 1968 Fenwick e Paulay10 afirmaram que a ruptura das vigas por efeito de força cortante não estava ainda claramente definida pois os mecanismos responsáveis pela transferência da força cortante são variados complexos e difíceis de medir e identificar porque após o surgimento das fissuras inclinadas ocorre uma complexa redistribuição de tensões a qual é influenciada por vários fatores Sendo assim cada mecanismo tem uma importância relativa de acordo com os pesquisadores Excluindose a armadura transversal estribos são cinco os mecanismos mais importantes 1 força cortante na zona de concreto não fissurado banzo de concreto comprimido Vcz ver Figura 56 2 engrenamento dos agregados ou atrito das superfícies nas fissuras inclinadas Vay 3 ação de pino da armadura longitudinal Vd 4 ação de arco 5 tensão de tração residual transversal existente nas fissuras inclinadas11 A transferência da força cortante nas vigas de concreto é muito dependente das resistências do concreto à tração e à compressão e por isso a ruptura frágil é uma séria possibilidade de modo que é muito importante o correto dimensionamento das vigas à força cortante principalmente nos elementos sob ações de sismos Figura 56 Três mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura transversal Vcz proporcionada pelo banzo de concreto comprimido Vay proporcionada pelo engrenamento dos agregados ou atrito das superfícies nas fissuras inclinadas e Vd proporcionada pela ação de pino da armadura longitudinal11 Algumas características dos cinco mecanismos de transferência de força cortante são descritas a seguir com base em Leonhardt e Mönnig9 531 Ação de Arco O banzo de concreto comprimido pela flexão inclinase em direção aos apoios formando um arco na viga entre os apoios e a biela comprimida inclinada que surge absorve uma parte da força cortante Como consequência a tração na alma diminui Figura 57 A ação de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigasparedes4 à força cortante com o carregamento externo aplicado na região comprimida A formação do arco requer uma reação horizontal no apoio que em vigas biapoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva a qual deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para cumprir com esta função9 4 Vigaparede São consideradas vigasparede as vigas altas em que a relação entre o vão e a altura h é inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas NBR 6118 2241 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 6 q P P banzo comprimido Figura 57 Ação de arco ou de pórtico atirantado nas proximidades dos apoios 9 532 Concreto Comprimido Não Fissurado A zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão banzo de concreto também proporciona uma parcela de resistência à força cortante que é a componente Vcz mostrada na Figura 56 A contribuição à resistência proporcionada pelo banzo comprimido depende principalmente da altura da zona comprimida de modo que vigas retangulares com pequena altura e sem força axial de compressão apresentam pequena contribuição porque a altura do banzo é relativamente pequena1213 Por outro lado vigas com mesa comprimida como seções I e T a contribuição do banzo comprimido é maior Pesquisas experimentais em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuição do banzo comprimido alcança valores entre 20 e 40 da resistência à força cortante10121415 533 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas Em uma fissura inclinada existe uma resistência ao deslizamento entre as duas superfícies do concreto de um lado e do outro da fissura devido à rugosidade e engrenamento dos agregados e da própria matriz do concreto que proporcionam uma transferência de força cortante através da fissura inclinada15 São quatro os parâmetros mais importantes no mecanismo de atrito entre as superfícies nas fissuras tensão de cisalhamento nas interfaces tensão normal largura e escorregamento da fissura O mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona uma contribuição significativa à resistência à força cortante de vigas de Concreto Armado e Protendido Ensaios experimentais indicaram que entre 33 e 50 da força cortante total pode ser transferida pelo engrenamento na interface Outras considerações que esses pesquisadores apresentaram são16 a os fatores que mais influenciam o fenômeno são a largura da fissura e o tamanho dos agregados A resistência diminui com o aumento da abertura da fissura e a diminuição do tamanho dos agregados Concretos com maiores resistências tendem a apresentar superfícies menos rugosas e consequentemente menor transferência de força cortante b quanto menor a abertura da fissura maior é a área de contato e consequentemente é maior a transferência de força cortante c a contribuição do engrenamento dos agregados é maior nas seções onde as fissuras por efeito de força cortante de cisalhamento desenvolvemse dentro da alma da viga e menor nas fissuras inclinadas que são continuidade de fissuras de flexão iniciadas na borda tracionada da viga A porcentagem da contribuição é maior para valores baixos e médios da tensão ou resistência última à força cortante mas é ainda notada em valores maiores quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminuem d o uso de estribos de pequeno diâmetro menor espaçamento entre eles favorece o engrenamento dos agregados 534 Ação de Pino da Armadura Longitudinal A ação de pino de uma barra de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferência de força cortante que foi percebida na década de 30 do século passado e ocorre em um grande número de aplicações práticas das estruturas de concreto como mostrado na Figura 58 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 7 Figura 58 Exemplos onde a ação de pino ocorre17 Estudos experimentais feitos por diversos pesquisadores101218 e vários outros autores citados no ASCEACI15 indicaram que a força resistente à força cortante proporcionada pela barra de aço na ação de pino dowel action é entre 15 e 25 da força cortante total A força cortante que pode ser transferida pela ação de pino depende de vários parâmetros como a quantidade de armadura b diâmetro da barra c espaçamento entre as barras d espessura do cobrimento embaixo da barra de aço e propriedades do concreto f tensões axiais na armadura g existência de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal Na situação de carga última é necessário considerar as não linearidades do concreto e do aço assim como o dano no concreto localizado na região próxima ao plano da força cortante Dois modos de ruptura podem ocorrer fendilhamento do concreto do cobrimento e esmagamento do concreto sob a barra acompanhado pelo escoamento da barra Figura 59 Figura 59 Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino19 O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento Para grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II com o esmagamento do concreto sob a barra Para o caso de ruptura devida ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfície de concreto na região próxima à barra ruptura tipo I Figura 59 a resistência máxima do efeito pino não é proporcional ao diâmetro da barra isto é a eficiência do mecanismo é reduzida aumentandose o diâmetro da barra Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do diâmetro da barra afeta negativamente a eficiência da resistência do mecanismo do efeito pino Segundo a ASCEACI20 normalmente a ação de pino não é muito importante em elementos sem armadura transversal porque a máxima força cortante proporcionada pela ação de pino é limitada pela resistência à tração do concreto do cobrimento da barra que apoia a barra A ação de pino pode ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal devido a altas forças cortantes principalmente quando a armadura longitudinal for distribuída em mais que uma camada 535 Tensões Residuais de Tração Quando o concreto fissura não ocorre uma separação completa porque pequenas partículas do concreto continuam ligando as duas superfícies na fissura e continuam a transmitir forças de tração isto quando a abertura da fissura é pequena entre 005 e 015 mm Essa capacidade do concreto contribui para a transferência de força cortante importante quando a abertura da fissura ainda é pequena As tensões de tração residuais fornecem uma importante porção da resistência à força cortante de elementos com alturas menores que 100 mm onde as aberturas das fissuras inclinadas e de flexão são pequenas13 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 8 536 Armaduras Longitudinal e Vertical Em uma viga antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformação nos estribos é a mesma do concreto adjacente ao estribo e como a tensão de tração que causa a fissura no concreto é pequena a tensão no estribo também é pequena De modo que somente após ocorrer o início da fissuração inclinada é que os estribos passam a transferir efetivamente força cortante isto é um estribo passa a ser efetivo ao transferir a força de um lado para outro da fissura inclinada que o intercepta Os estribos também atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas proporcionando uma ruptura mais dúctil às vigas A existência do estribo na viga faz com que ocorra uma mudança na contribuição relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante A contribuição da armadura transversal à resistência à força cortante da viga é tipicamente computada por meio da analogia de viga fissurada com uma treliça plana a chamada treliça clássica somada à contribuição do concreto ou por meio da treliça com ângulo variável para a diagonal comprimida com menor contribuição do concreto treliça generalizada Os estribos também proporcionam eles próprios uma pequena resistência por ação de pino nas fissuras e aumentam a resistência da zona comprimida de concreto pelo confinamento que promovem 54 FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE São muitos fatores que influenciam a resistência de vigas à força cortante cerca de 20 sendo que de alguns deles não há conhecimento suficiente da sua influência9 A seguir apresentamse de maneira resumida alguns dos principais fatores conforme apresentados em Leonhardt e Mönnig95 541 Tipo de Carregamento Para carregamento uniformemente distribuído atuando sobre a viga alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade resistente à força cortante cerca de 20 a 30 maior do que para carga concentrada na posição mais desfavorável Entretanto na realidade não há garantia de uma distribuição uniforme da carga de utilização por isso os critérios de dimensionamento devem levar em consideração os resultados mais desfavoráveis referentes às cargas concentradas9 542 Posição da Carga e Esbeltez No caso de carga concentrada sobre a viga tem grande influência a distância do apoio até a carga a Já para carga uniformemente distribuída tem grande influência a esbeltez h vãoaltura Quanto à ruptura de uma viga com e sem armadura transversal para força cortante a posição da carga concentrada que mais requer atenção é no trecho a 25h a 35h que corresponde à relação momento fletorforça cortante de MVh ah 25 a 35 Para carga uniformemente distribuída rigidezes de h 10 a 14 são as que conduzem a maiores perigos de ruptura por força cortante e consequentemente na menor capacidade resistente à força cortante A capacidade resistente à força cortante aumenta bastante para carga concentrada próxima ao apoio para uma relação decrescente ah 25 Um aumento correspondente acontece com carga uniformemente distribuída quando h 10 Devese prever uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado no apoio9 543 Tipo de Introdução da Carga Efetuandose a ligação de uma viga em toda sua altura h com outra viga a viga que se apoia distribui a carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio Dizse então que se trata de um carregamento ou apoio indireto Nos ensaios foi possível mostrar que na região de cruzamento dessas vigas é necessária uma armadura de suspensão que deve ser dimensionada para a força total atuante no apoio ou nó ver item 514 Uma viga no Estádio II portanto já fissurada transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de compressão e no modelo de treliça para o nó as diagonais comprimidas definem claramente a necessidade de montantes verticais de tração ou seja armadura de suspensão ver Figura 533 como exemplo Na região do cruzamento a armadura de suspensão atende simultaneamente à função de armadura 5 Para um melhor conhecimento dos fatores que influenciam a resistência de vigas à força cortante recomendamos a leitura do item 84 do volume 2 de Leonhardt e Mönnig UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 9 transversal Na região fora do cruzamento o comportamento da viga à força cortante é o mesmo como no apoio com carregamento direto sobre a viga Carga pendurada na região inferior da seção transversal de uma viga produz tração na alma e deve ser transferida ao banzo comprimido por barras de tração colocadas na alma armadura de suspensão ver Figura 534 a qual é adicional à armadura transversal dimensionada para a força cortante9 544 Influência da Armadura Longitudinal O desenvolvimento de uma fissura inclinada por força cortante isto é sua extensão até as proximidades da borda superior da zona comprimida de concreto depende da rigidez à deformação do banzo tracionado Quanto menos resistente for o banzo tracionado tanto mais se alonga com o aumento da carga e tão mais rapidamente a fissura inclinada se torna perigosa O banzo tracionado não pode portanto ser muito enfraquecido na região de uma possível ruptura por força cortante Também um escorregamento na ancoragem da armadura longitudinal de tração no apoio tem um efeito enfraquecedor Ambas as influências devem ser consideradas como detalhes construtivos na execução da armadura Uma outra influência é a qualidade da armadura longitudinal Ensaios demonstraram por exemplo que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal a distribuição de tensões com um número maior de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente à força cortante9 545 Influência da Forma da Seção Transversal A forma da seção transversal tem uma forte influência sobre o comportamento resistente de vigas de concreto solicitadas à força cortante A seção transversal retangular pode se adaptar livremente a uma forte inclinação do banzo comprimido e frequentemente pode absorver toda a força transversal no banzo comprimido especialmente nos casos de carga uniformemente distribuída e de carga concentrada próxima ao apoio Em seções transversais de vigas T a força resultante no banzo comprimido só pode ter uma inclinação quase horizontal porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje mesa da viga até as proximidades do apoio transferindose para a alma gradativamente apenas nas proximidades do apoio ver Figura 514 O banzo comprimido por este motivo só pode absorver uma pequena parcela da força cortante sendo a maior parte resistida pelas diagonais comprimidas na alma e pela armadura transversal Ensaios mostraram também que a inclinação das fissuras inclinadas ou das diagonais comprimidas varia com a relação bf bw sendo em torno de 30º para bf bw 1 e crescente para cerca de 45º com bf bw 8 a 12 O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuição dos esforços internos pouco antes da ruptura ou seja deve ser considerada a largura da alma em relação a largura do banzo comprimido9 546 Influência da Altura da Viga Ensaios realizados segundo uma lei de semelhança com vigas sem armadura transversal e diferentes alturas h com igual porcentagem de armadura longitudinal e mesma distribuição de barras mostraram que a capacidade resistente à força cortante diminui consideravelmente com o aumento da altura h quando a granulometria e o cobrimento do concreto não variarem de acordo com a escala9 55 COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL Nas seções próximas ao apoio da viga quando as tensões principais de tração inclinadas I alcançam a resistência do concreto à tração surgem as primeiras fissuras inclinadas de cisalhamento perpendiculares à direção de I como mostradas na Figura 51 item 52 No ensaio experimental à medida que o carregamento sobre a viga vai sendo aumentado novas fissuras vão surgindo as quais provocam uma redistribuição de esforços internos o que é função principalmente da quantidade e da direção da armadura transversal Com a redistribuição de esforços a armadura transversal6 e as diagonais comprimidas de concreto passam a trabalhar de maneira mais efetiva9 Ou seja após a ocorrência de fissuras de cisalhamento o trabalho resistente de uma viga à força cortante é desempenhado principalmente pelos estribos e pelo concreto das bielas inclinadas Quando a armadura transversal é insuficiente o aço atinge a deformação de início de escoamento y e as fissuras de cisalhamento elevamse em direção ao banzo comprimido Neste estágio a viga ainda 6 O estribo proporciona uma ponte de transferência para as tensões de tração de um lado para o outro da fissura UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 10 tem uma reserva de resistência proporcionada principalmente pelo atrito entre as superfícies na interface das fissuras devido ao engrenamento entre as partículas do concreto7 Com o aumento da abertura das fissuras o atrito entre as superfícies de concreto diminui e por consequência aumenta a força transferida pelo concreto do banzo comprimido e aumenta a ação de pino Quando a fissura de cisalhamento alcança e diminui a seção resistente de concreto do banzo comprimido pode ocorrer a ruptura do concreto bruscamente8 A fissura pode também propagarse pela armadura longitudinal de tração nas proximidades do apoio separandoa do restante da viga como mostrado na Figura 510 Figura 510 Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto 9 Quando a armadura transversal é insuficiente pode também ocorrer o rompimento dos estribos antes da ruptura do concreto do banzo comprimido ou ocorrer a ruptura da ligação das diagonais comprimidas com o banzo comprimido A Figura 511 mostra a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformação excessiva dos estribos Figura 511 Ruína de viga por deformação excessiva ou rompimento de estribos 9 Em seções com banzos comprimidos de concreto reforçados como vigas seções I e T que possuam armaduras longitudinal e transversal reforçadas formamse muitas fissuras inclinadas de cisalhamento e neste caso o concreto que forma as bielas de compressão entre as fissuras pode romper de maneira brusca ao ser atingida a resistência do concreto Tal ruptura ocorre antes da armadura transversal alcançar o escoamento Figura 512 De modo que as bielas de compressão delimitam o limite superior da resistência de vigas à força cortante limite esse dependente principalmente da resistência do concreto9 Figura 512 Ruptura das diagonais comprimidas de concreto no caso de seções com mesa comprimida e armadura transversal reforçada 9 O trabalho desenvolvido pelo estribo fechado na analogia de treliça em uma viga de seção retangular está mostrado na Figura 513 sendo o estribo formado por dois ramos verticais e dois horizontais Nos vértices inferiores o estribo entrelaça a armadura longitudinal tracionada As e nos vértices superiores o 7 Neste processo os estribos ao continuarem escoando com o aumento do carregamento sobre a viga proporcionam uma ruptura dúctil 8 A ausência de armadura transversal também pode levar a esta forma de ruptura UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 11 estribo ancorase no concreto do banzo comprimido e na armadura longitudinal As bielas de compressão apoiamse nas barras da armadura longitudinal inferior no trecho inferior dos ramos verticais do estribo no ramo horizontal e principalmente na intersecção do estribo com as barras longitudinais dos vértices onde as tensões de compressão se inclinam e originam tensões de tração O ramo horizontal inferior é importante também para resistir a essas tensões de tração O ramo horizontal superior do estribo não é imprescindível no caso da resistência à força cortante9 porém sua disposição é indicada para facilitar a montagem das barras longitudinais e para proporcionar resistência a esforços secundários que geralmente ocorrem nas vigas e que não são considerados no projeto10 As barras longitudinais superiores atuam para evitar fendilhamento11 nos vértices do estribo que pode surgir devido ao gancho da ponta do estribo aplicar tensões de tração em um pequeno volume de concreto como mostrado na Figura 51321 A ancoragem dos ganchos nas pontas do estribo fica melhor quando posicionada na região do banzo comprimido portanto na região superior da viga para momentos fletores positivos e na inferior para momentos fletores negativos12 Figura 513 Atuação do estribo em seção transversal de viga21 56 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSÃO Segundo Leonhardt e Mönnig9 A forma da seção transversal tem uma forte influência sobre o comportamento resistente de vigas de concreto armado solicitadas à força cortante E informam que investigações experimentais mostraram que após iniciado o processo de fissuração na viga ocorre uma redistribuição dos esforços internos proporcional à rigidez do banzo comprimido e das diagonais de compressão bielas principalmente desta última No caso de seção retangular as diagonais de compressão bielas são rígidas em relação ao banzo comprimido e o banzo inclinase em direção ao apoio criando o efeito de arco atirantado na viga ver Figura 57 como indicado pela força resultante Rcc na Figura 514 O banzo comprimido inclinado pode até mesmo absorver toda a força transversal aplicada P por meio de sua componente vertical V Na analogia de viga fissurada com treliça plana clássica ou generalizada13 a rigidez das barras da treliça depende da quantidade das armaduras longitudinal e transversal e principalmente da relação entre as áreas de concreto do banzo comprimido e das diagonais comprimidas expressa simplificadamente pela razão bf bw sendo bf a largura da mesa comprimida e bw a largura da alma em vigas seção T e I por exemplo Com a diminuição da relação bf bw ocorre um aumento da inclinação da força no banzo comprimido e uma diminuição da inclinação das diagonais comprimidas diminuição de e como consequência os esforços de tração na alma diminuem progressivamente em comparação àqueles calculados segundo a treliça clássica 9 Porém os estribos dimensionados para a resistência ao momento de torção devem ser obrigatoriamente fechados 10 Esforços secundários como por exemplo aqueles oriundos da torção de compatibilidade bem como de deformações do concreto causados por variação de temperatura retração fluência etc 11 Fendilhamento ao se aplicar tensões de compressão surgem também tensões de tração perpendiculares às tensões de compressão aplicadas Um exemplo muito simples é o ensaio de compressão diametral para determinação da resistência do concreto à tração indireta Ao se aplicar tensões de compressão ao longo do comprimento do corpo de prova surgem tensões de tração perpendiculares às tensões de compressão que causam a ruptura ou separação do corpo de prova em duas partes Essas tensões de tração são chamadas tensões de fendilhamento que originam o esforço de fendilhamento e a fissura de fendilhamento 12 Mais importante é a confecção do gancho segundo as prescrições da NBR 6118 principalmente o comprimento do gancho 13 Treliça clássica tem ângulo fixo em 45 e treliça generalizada tem ângulo variável entre 30 e 45 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 12 Figura 514 Efeito de arco em viga de seção retangular e seção T com inclinação do banzo comprimido de concreto em direção ao apoio 9 Os diversos ensaios experimentais realizados na Alemanha descritos por Leonhardt e Mönnig9 mostraram que a inclinação das fissuras de cisalhamento ou das diagonais comprimidas varia com a relação bf bw essa inclinação situase em torno de 30 para bf bw 1 e cresce para cerca de 45 para bf bw 8 a 12 As diagonais de compressão que possuem uma inclinação menor que 45 conduzem a esforços de tração na alma de menor valor Dessas constatações experimentais podese concluir pela indicação do ângulo em torno de 30 no dimensionamento de vigas de seção retangular e no caso de seções com banzos comprimidos mais rígidos como seções transversais T I etc a força no banzo comprimido inclinase menos em direção ao apoio e podese recomendar de 45 ou um pouco menor conforme a relação bf bw pois nessas seções o ângulo de inclinação das fissuras de cisalhamento tende para 45 57 TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTERMÖRSCH 45 Neste item são apresentadas as equações para as forças e tensões nas barras da treliça clássica e no item 58 as equações desenvolvidas segundo a treliça generalizada Os dois modelos de treliça são a base para a dedução das equações contidas na NBR 6118 para o dimensionamento de elementos à força cortante O comportamento da região da viga sob maior influência de forças cortantes e com fissuras inclinadas no Estádio II pode ser bem descrito fazendose a analogia com uma treliça isostática Figura 515 Cada barra da treliça representa uma parte de uma viga simples o banzo inferior representa a armadura longitudinal de tração As o banzo superior o concreto comprimido pela flexão as diagonais inclinadas representam as bielas de compressão entre as fissuras de cisalhamento e as diagonais tracionadas inclinadas representam os estribos inclinados Figura 515a No caso de estribos verticais estes são representados por montantes verticais na treliça Figura 515b A treliça com banzos paralelos e diagonais comprimidas inclinadas de 45 é chamada treliça clássica 2 z fissura de cisalhamento z a treliça para armadura transversal inclinada b treliça para armadura transversal a 90 Figura 515 Analogia de treliça com as forças internas de uma viga na região próxima ao apoio 9 A analogia de viga fissurada com uma treliça isostática foi introduzida por RITTER em 1899 e serviu para o entendimento do comportamento de vigas à força cortante no início do século 20 Este modelo de Ritter foi melhorado por Mörsch222324 assumindo que as diagonais comprimidas estendemse por mais de um estribo Sobre a treliça Lobo Carneiro escreveu o seguinte A chamada treliça clássica de RitterMörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais estribos e barras inclinadas das vigas de concreto armado e está muito longe de ser abandonada ou considerada superada As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria mantendo no entanto o seu aspecto fundamental a analogia R P cc cc R V cc R P Rs Rcb h f b bw cc R V bf UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 13 entre a viga de concreto armado depois de fissurada e a treliça É válido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras até o presente Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura inclinada devida às forças cortantes pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre os estribos for 2z para estribos inclinados a 45 e z para estribos a 90 Figura 515 onde z é o braço de alavanca da viga distância entre as forças resultantes do banzo de concreto comprimido e da armadura longitudinal de tração Considerandose a existência de múltiplos estribos próximos entre si podese imaginar a viga como sendo na realidade uma superposição de várias treliças isostáticas treliça em malha hiperestática Figura 516 com cada treliça recebendo um quinhão de carga Porém por simplicidade as forças nas barras são calculadas considerandose apenas uma treliça simples A NBR 6118 item 1741 preconiza que o dimensionamento de elementos lineares como as vigas à força cortante pode ser feito segundo dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em treliça de banzos paralelos associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc A treliça clássica é a admitida pela NBR 6118 para o Modelo de Cálculo I item 17422 onde o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas14 bielas de compressão é fixo com valor de 45 e a treliça generalizada item 58 é o modelo admitido para o Modelo de Cálculo II Rcb s R Rs Rcb Figura 516 A viga como uma superposição de treliças 9 Considere na Figura 517 uma viga biapoiada já fissurada Estádio II submetida a uma força concentrada P no meio do vão e que resulta força cortante constante e onde é mostrada também a treliça isostática A analogia dessa viga com a treliça clássica com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas bielas de compressão de 45 e com diagonais tracionadas inclinadas de um ângulo está mostrada na Figura 517 V P 2 V 2 P P V V 45 diagonal comprimida P V P 2 z 1 cotg diagonal tracionada banzo tracionado banzo comprimido z 1 cotg 2 z 1 1 45 V Figura 517 Viga representada segundo a treliça clássica de RitterMörsch 14 O ângulo é entre as bielas inclinadas de concreto comprimido e o eixo longitudinal da viga UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 14 Sendo a treliça isostática as forças nas barras podem ser determinadas considerandose apenas as condições de equilíbrio dos nós a partir da força cortante Considerando a seção 11 da treliça sob atuação da força cortante V a força na diagonal comprimida biela de compressão Rcb é Rcb V sen 45 Eq 51 45 V cb R 1 1 2 V 45 sen V Rcb Eq 52 A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes na direção perpendicular a elas é Figura 517 cotg 1 2 z A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto área da biela bw cotg 1 2 z onde bw é a largura da seção transversal15 e é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas A tensão normal média de compressão na biela relativamente ao eixo longitudinal da viga é dada por z 1 cotg b 2 V 2 cotg 1 2 z b R w w cb cb z 1 cotg b V 2 w cb Eq 53 A força na diagonal tracionada Rs inclinada do ângulo pode ser determinada fazendo o equilíbrio da seção 11 da treliça Figura 517 s R V sen Eq 54 V Rs sen V R s Eq 55 Cada diagonal tracionada com força Rs é relativa a um comprimento da viga a distância z 1 cotg medida na direção do eixo longitudinal e deve ser resistida por uma armadura chamada transversal composta por barras estribos espaçadas em um comprimento s e inclinadas de um ângulo Figura 518 Considerando Asw 16 a área de aço de um estribo a área total de armadura transversal no comprimento z 1 cotg é dada por s z 1 cotg A sw onde z 1 cotg s representa o número de estribos nesse comprimento A tensão sw na armadura transversal resulta 15 Em seções T e I por exemplo bw é a largura da alma 16 A área Asw é a soma das áreas das barras dos ramos do estribo perpendiculares ao eixo longitudinal da viga geralmente verticais UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 15 z 1 cotg s s s s s s s Asw z 1 cotg Figura 518 Armadura transversal resistente à força em uma diagonal tracionada da treliça sw sw s sw A s sen 1 cotg z V s z 1 cotg A R Asw s sw sw A s cos sen z V Eq 56 O ângulo de inclinação da armadura transversal pode variar teoricamente de 45 a 90 sendo que na esmagadora maioria dos casos da prática o ângulo adotado é de 90 com a armadura transversal consistindo de estribos na posição vertical para viga de eixo longitudinal horizontal Porém é interessante fazer algumas comparações com o ângulo assumindo os valores de 45 e 90 o que é mostrado na Tabela 51 A equação que determina a tensão na diagonal comprimida cb mostra que o ângulo de inclinação da armadura transversal influencia o valor da tensão na diagonal comprimida Quando a armadura transversal é colocada na posição vertical com 90 como a armadura fica inclinada com relação às tensões principais de tração I a tensão na diagonal comprimida biela de compressão resulta o dobro da tensão para quando a armadura é colocada inclinada a 45 Concluise que quanto mais inclinada for a armadura até o limite de 45 menor será a tensão nas bielas de compressão Tabela 51 Resumo das equações para a treliça clássica em função do ângulo de inclinação das diagonais tracionadas Força ou Tensão em função de 45 90 Força na diagonal comprimida Rcb 2 V 2 V 2 V Tensão na diagonal comprimida cb z 1 cotg b V 2 w z b V w z b V 2 w Força na armadura transversal Rs sen V 45 sen V V Tensão na armadura transversal sw sw A s cos sen z V 2 A s z V 45 sw sw90 A s z V O fato já enunciado da armadura transversal inclinada de 45 ser mais eficiente por acompanhar a inclinação das tensões principais de tração I fica evidenciado ao se comparar as equações da tensão na armadura transversal sw Notase que a armadura a 90 resulta 2 vezes maior 41 que a armadura a 45 No entanto a barra da armadura transversal inclinada a 45 apresenta comprimento 2 vezes maior que a barra da armadura a 90 o que resulta em consumos de armadura praticamente iguais De modo que por questões práticas a armadura transversal com estribos a 90 tem a preferência UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 16 58 TRELIÇA GENERALIZADA variável Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificouse no século passado que a inclinação das fissuras é geralmente inferior a 45 e consequentemente as bielas de compressão têm inclinações menores que 45 podendo chegar a ângulos de 30 ou até menores com o eixo longitudinal da viga geralmente horizontal em função principalmente da quantidade de armadura transversal e da relação entre as larguras da alma bw e da mesa comprimida bf como por exemplo seções T e I Figura 519 17 Além disso a treliça não considera a ação de arco nas proximidades dos apoios Por não fazer essas considerações a treliça clássica de RitterMörsch foi considerada conservadora e consequentemente com armadura transversal um pouco exagerada Figura 519 Treliça generalizada para vigas seção T com alma espessa e alma delgada26 Na década de 60 para levar em consideração a menor inclinação das fissuras surgiu a chamada treliça generalizada com ângulos menores que 45 para a inclinação das diagonais comprimidas Figura 520 diagonal comprimida P V 2 diagonal tracionada z banzo tracionado banzo comprimido P zcotg cotg sen zcotg cotg 1 1 V Figura 520 Treliça generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ângulo e armadura transversal inclinada com ângulo 17 A determinação correta do ângulo para uma viga é muito complexa porque depende de inúmeros fatores 30 38 38 45 a treliça de alma espessa b treliça de alma delgada P P UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 17 A dedução das forças na treliça generalizada é semelhante àquela já apresentada para a treliça clássica Sendo V a força cortante que atua na seção 11 da treliça Figura 520 a força na diagonal comprimida Rcb é Rcb V sen Eq 57 V cb R 1 1 sen V Rcb Eq 58 A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes na direção perpendicular a elas é z cotg cotg sen A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto área da biela bw z cotg cotg sen onde é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas A tensão média de compressão na biela é então dada por sen cotg z cotg b R w cb cb 2 w cb sen cotg z cotg b V Eq 59 A força na diagonal tracionada Rs pode ser determinada fazendo o equilíbrio da seção 11 da treliça Figura 520 s R V sen Eq 510 V Rs sen V R s Eq 511 Cada diagonal de tração com força Rs é relativa a um comprimento da viga a distância z cotg cotg medida na direção do eixo longitudinal e deve ser resistida por uma armadura transversal composta por barras estribos espaçadas em um comprimento s e inclinadas de um ângulo Considerando Asw a área de aço de um estribo a área total de armadura transversal no comprimento z cotg cotg é dada por s cotg z cotg A sw onde z cotg cotg s representa o números de estribos nesse comprimento A tensão sw na armadura transversal resulta s cotg z cotg A R sw s sw UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 18 sw sw A s sen cotg cotg z V Eq 512 Asw s No modelo de treliça generalizada o ângulo é uma incógnita no problema sendo dependente de diversos fatores Este é um assunto que vem sendo pesquisado e nos modelos desenvolvidos por Collins Mitchell e Vecchio67 CFT e MCFT o ângulo é determinado calculado 59 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 A partir de março de 2003 uma nova versão da NBR 6118 entrou em vigor no Brasil trazendo significativas mudanças em relação à sua versão anterior a NB 17827 quanto ao dimensionamento da armadura transversal para a resistência de elementos de Concreto Armado e Concreto Protendido à força cortante A nova NBR 6118 manteve a hipótese básica da analogia de viga fissurada com uma treliça de banzos paralelos Porém introduziu algumas inovações como a possibilidade de considerar inclinações diferentes de 45 para as diagonais comprimidas bielas de compressão novos valores adotados para a parcela Vc da força cortante absorvida por mecanismos complementares de treliça adoção da resistência do concreto à compressão para região fissurada fcd2 constante no código MC90 do CEBFIP28 e consideração de uma nova sistemática para verificação do rompimento das diagonais comprimidas por meio da força cortante resistente de cálculo VRd2 em substituição à tensão de cisalhamento última wu A norma dividiu o cálculo segundo dois modelos os Modelos de Cálculo I e II O Modelo de Cálculo I admite a chamada treliça clássica com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas fixo em 45 Já o Modelo de Cálculo II considera a chamada treliça generalizada onde o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas pode variar entre 30 e 45 Aos modelos de treliça foi associada uma força cortante adicional Vc proporcionada por mecanismos complementares ao de treliça O Modelo de Cálculo I é semelhante ao método constante da versão anterior da norma NB 17827 porém com alteração no valor da parcela Vc Podese dizer que a nova metodologia introduzida pela NBR 6118 segue em linhas gerais o MC90 do CEBFIP28 e o Eurocode 229 com algumas mudanças e adaptações A condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificados os Estados Limites Últimos atendidas simultaneamente as duas condições seguintes Rd2 Sd V V Eq 513 sw c Rd3 Sd V V V V Eq 514 VSd força cortante solicitante de cálculo na seção VRd2 força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto VRd3 Vc Vsw força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal Vsw parcela da força cortante solicitante resistida pela armadura transversal Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça ver Figura 56 não considerados no modelo de treliça tradicional e difíceis de serem quantificados sendo por isso adotados valores empíricos Os três mecanismos principais de resistência são proporcionados por a banzo de concreto comprimido da flexão b engrenamento dos agregados ao longo das fissuras inclinadas c efeito de pino da armadura longitudinal Os mecanismos complementares resultam 1 o ângulo da tensão principal de compressão na alma é menor que o ângulo de inclinação das fissuras 2 uma componente vertical da força ao longo da fissura que contribui para a resistência à força cortante sendo esse mecanismo resistente chamado no ACI 31825 como contribuição do concreto Vc UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 19 591 Modelo de Cálculo I No Modelo de Cálculo I a NBR 6118 item 17422 adota a treliça clássica de RitterMörch ao admitir o ângulo de 45o entre as diagonais comprimidas de concreto bielas de compressão e o eixo longitudinal do elemento estrutural e a parcela complementar Vc tem valor constante independentemente da força cortante solicitante VSd 5911 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto A equação que define a tensão de compressão nas bielas de concreto para a treliça clássica 45o foi deduzida no item 57 Eq 53 z 1 cotg b V 2 w cb A NBR 6118 limita a tensão de compressão nas bielas ao valor fcd2 como definido no código MC90 do CEB28 O valor fcd2 atua como um fator redutor da resistência à compressão do concreto quando há tração transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais às tensões de compressão Figura 521 O valor fcd2 é definido por cd ck cd2 250 f f 0 60 1 f cd 2 0 60 v f Eq 515 fissura tensão de tração de armadura tensão f cd2 Figura 521 Tensão de compressão com tração transversal conforme o MC90 do CEB28 A NBR 6118 item 17422 chama o fator 250 f 1 ck de v2 Na Eq 53 substituindo o braço de alavanca z por 09d d é a altura útil cb por fcd2 e fazendo V como a máxima força cortante resistente VRd2 correspondente à ruína das diagonais comprimidas de concreto temse cotg 90 d 1 b 2 V f 60 0 w 2 Rd cd v2 2 d 1 cotg 90 b f 0 60 V w cd 2 v 2 Rd Eq 516 d 1 cotg b f 0 27 V w cd v2 Rd2 Eq 517 A inclinação da armadura transversal deve estar compreendida entre 45 e 90 Fazendo igual a 90 para estribo vertical18 a Eq 517 fica d b f 0 27 V w cd v2 Rd2 Eq 518 18 Na verdade o estribo será vertical se a viga tiver eixo longitudinal horizontal UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 20 com 250 f 1 ck v2 fck em MPa d b 250 f f 0 27 1 V w cd ck Rd2 Eq 519 Portanto conforme a Eq 513 para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas devese ter Rd2 Sd V V 5912 Cálculo da Armadura Transversal Da Eq 514 VSd VRd3 fazendo a força cortante de cálculo VSd igual à máxima força cortante resistente de cálculo relativa à ruptura da diagonal tracionada armadura transversal temse sw c Rd3 Sd V V V V A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como a elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção Vc 0 b na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção Vc Vc0 d b f 60 V w ctd 0 c Eq 520 sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração direta e avaliado por 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f Eq 521 com fck em MPa A força Vc0 representa a resistência à força cortante de uma viga sem estribos ou seja é a máxima força cortante que uma viga sem estribos pode resistir c na flexocompressão 0 c máx Sd 0 c0 c 2 V M M 1 V V Eq 522 bw menor largura da seção compreendida ao longo da altura útil d19 d altura útil da seção igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração20 s espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural fywd tensão na armadura transversal passiva limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70 desse valor no caso de barras dobradas não se tomando para ambos os casos valores superiores a 435 MPa21 ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural podendose tomar 4590 19 No caso de elementos protendidos consultar o item 17422 da NBR 6118 20 No caso de elementos protendidos consultar o item 17422 da NBR 6118 21 no caso de armaduras transversais ativas o acréscimo de tensão devida à força cortante não pode ultrapassar a diferença entre fpyd e a tensão de protensão nem ser superior a 435 MPa NBR 6118 item 17422 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 21 M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção tracionada por Mdmáx provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd sendo essa tensão calculada com valores de f e p iguais a 10 e 09 respectivamente os momentos correspondentes a essas forças normais não podem ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em MSd devem ser considerados apenas os momentos isostáticos de protensão MSdmáx momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado para esse cálculo não se consideram os momentos isostáticos de protensão apenas os hiperestáticos Com o valor de Vc conhecido da Eq 514 calculase a parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal c Sd sw V V V Eq 523 A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça clássica 45o foi deduzida no item 57 Eq 56 sw sw A s cos sen z V Substituindo z por 09d V por Vsw e fazendo sw igual à máxima tensão admitida na armadura fywd a Eq 56 modificase para sw sw ywd A s cos d sen 90 V f Eq 524 cos sen d f 90 V s A ywd sw sw Eq 525 A NBR 6118 item 17422 limita a tensão fywd ao valor de fyd para armadura transversal passiva constituída por estribos e a 70 de fyd quando forem utilizadas barras dobradas inclinadas não se tomando para ambos os casos valores superiores a 435 MPa Portanto para estribos temse 435 15 1 f f f f yk s yk yd ywd MPa A tensão máxima imposta pela norma referese ao aço CA50 pois fyd 500115 435 MPa No caso do dimensionamento do estribo ser feito com o aço CA60 esta tensão máxima também deve ser obedecida ou seja devese calcular como se o aço fosse o CA50 A inclinação dos estribos deve obedecer à condição o o 90 45 Para estribo inclinado a 45 e a 90 a Eq 525 fica respectivamente igual a ywd sw 45 sw 27 d f 1 V s A Eq 526 ywd sw 90 sw d f 90 V s A Eq 527 No caso de serem utilizados os aços CA50 ou CA60 e armadura transversal somente na forma de estribos fywd assume o valor de 435 kNcm2 que aplicado às Eq 526 e Eq 527 encontramse 55 4 d V s A sw sw45 Eq 528 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 22 39 2 d V s A sw sw90 Eq 529 com Asw cm2cm Vsw kN e d cm É importante observar que s Asw é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e Asw é a área de todos os ramos verticais do estribo Para estribo de dois ramos que é o tipo aplicado na grande maioria das vigas Asw equivale à área dos dois ramos verticais do estribo Para estribos com três ou quatro ramos Asw é a área de todos os três ou quatro ramos verticais do estribo Figura 522 Asw Asw Figura 522 Área Asw de estribos de três e quatro ramos 592 Modelo de Cálculo II No Modelo de Cálculo II a NBR 6118 item 17423 admite que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão varie livremente entre 30o e 45o e que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd Ao admitir ângulos inferiores a 45 a norma adota a chamada treliça generalizada como mostrada no item 58 5921 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto Conforme a Eq 59 no item 58 foi deduzida a expressão para a tensão nas bielas de concreto para a treliça com diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo 2 w cb sen cotg z cotg b V A norma limita a tensão nas bielas comprimidas ao valor fcd2 como apresentado no item 5911 O valor fcd2 apresentado na Eq 515 é cd ck cd2 250 f f 0 60 1 f com fck em MPa Chamando o fator 250 f 1 ck de v2 e substituindo z por 09 d cb por fcd2 e V pela máxima força cortante resistente de cálculo VRd2 a Eq 59 transformase em 2 w 2 Rd cd v2 sen cotg d cotg 90 b V f 0 60 Isolando VRd2 fica cotg cotg d sen b f 0 54 V 2 w cd v2 Rd2 Eq 530 e substituindo v2 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 23 cotg cotg d sen b 250 f f 0 54 1 V 2 w cd ck Rd2 Eq 531 Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas conforme a Eq 513 devese ter Rd2 Sd V V 5922 Cálculo da Armadura Transversal Da Eq 514 fazendo a cortante de cálculo VSd igual à máxima cortante resistente de cálculo relativa à ruptura da diagonal tracionada armadura transversal temse sw c Rd3 Sd V V V V A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como a elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção Vc 0 b na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção Vc Vc1 c na flexocompressão 1 c máx Sd 0 c1 c 2 V M M 1 V V Eq 532 Para a determinação de Vc em função de Vc1 a seguinte lei de variação para Vc1 deve ser considerada Vc1 Vc0 para VSd Vc0 e Vc1 0 para VSd VRd2 Eq 533 interpolandose linearmente para valores intermediários de Vc1 A Eq 520 apresentou a parcela Vc0 d b f 60 V w ctd 0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa Na Figura 523 é mostrado um gráfico que mostra a variação de Vc1 com VSd onde quando VSd for maior que Vc0 a força Vc1 pode ser calculada com c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 V V V V V V Eq 534 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 24 VSd Vc0 VRd2 0 VSd Vc1 VSd Vc0 Vc0 Vc1 Vc0 VSd VRd2 Vc0 VRd2 VSd V Sd Vc0 VRd2 Figura 523 Gráficos demonstrativos da variação entre Vc1 e VSd Com o valor de Vc1 conhecido nas vigas submetidas à flexão simples fazse Vc Vc1 e aplicando a Eq 514 calculase a parcela Vsw da força cortante a ser resistida pela armadura transversal de modo semelhante à Eq 523 c Sd sw V V V A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a foi deduzida no item 58 sw sw A s sen cotg cotg z V limitando sw à máxima tensão admitida na armadura fywd e fazendo V Vsw e z 09d temse sw sw ywd sw A s sen cotg d cotg 90 V f Isolando Asws encontrase a equação para cálculo da armadura transversal sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw Eq 535 s espaçamento dos estribos Asw área de todos os ramos verticais do estribo ângulo de inclinação dos estribos o o 90 45 ângulo de inclinação das bielas de compressão o o 45 30 fywd tensão máxima no estribo 435 15 1 f f f yk s yk ywd MPa para qualquer tipo de aço 593 Lajes e Elementos Lineares com bw 5d A força cortante em lajes e elementos lineares com bw 5d é verificada no item 194 da NBR 6118 A norma faz distinção entre laje sem e com armadura transversal para a força cortante UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 25 5931 Lajes sem Armadura para Força Cortante As lajes maciças ou nervuradas conforme 174112b podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio obedecer à expressão NBR 6118 1941 Rd1 Sd V V Eq 536 onde VSd é a força cortante de cálculo e a força cortante máxima VRd1 é d b 015 40 21 k V w cp 1 Rd Rd1 Eq 537 onde c Sd cp A N Eq 538 NSd força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento compressão com sinal positivo Não existindo protensão ou força normal que cause tensões de compressão a Eq 537 tornase d b 40 21 k V w 1 Rd Rd1 Eq 539 bw largura mínima da seção ao longo da altura útil d Rd tensão resistente de cálculo do concreto à força cortante ou cisalhamento conforme a norma Rd 025 fctd Eq 540 fctd fctkinf c k coeficiente que tem os seguintes valores para elementos onde 50 da armadura inferior não chega até o apoio k 1 para os demais casos k 16 d não menor que 1 com d em metros d b A w 1 s 1 não maior que 002 Eq 541 As1 área da armadura de tração que se estende até não menos que d bnec além da seção considerada Figura 524 com bnec definido como NBR 6118 9425 mín b ef s calc s b b nec A A Eq 542 10 para barras sem gancho 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 07 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma 05 quando houver barras transversais soldadas conforme o item 9422 da norma e gancho com cobrimento normal no plano normal ao do gancho 3 b comprimento de ancoragem básico mostrado na Tabela A2 e Tabela A3 NBR 6118 9424 Ascalc área da armadura calculada Asef área da armadura efetiva 100 mm 10 30 b mín b Eq 543 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 26 As 45 45 sd d Vsd 45 bnec b nec b nec d s A s A V Seção considerada Figura 524 Comprimento de ancoragem necessário para as armaduras nos apoios 5932 Lajes com Armadura para Força Cortante No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante a NBR 6118 recomenda que sejam seguidos os critérios apresentados em 1742 que trata do dimensionamento de vigas à força cortante A tensão nos estribos deve atender o seguinte NBR 6118 1942 A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos sendo permitida interpolação linear 250 MPa para lajes com espessura até 15 cm 435 MPa fywd para lajes com espessura maior que 35 cm 510 ARMADURA MÍNIMA GARCIA30 afirma que uma armadura transversal mínima deve ser colocada nas vigas a fim de atender os seguintes objetivos a na eventualidade de serem aplicados carregamentos não previstos no cálculo as vigas não apresentem ruptura brusca logo após o surgimento das primeiras fissuras inclinadas b limitar a inclinação das bielas e a abertura das fissuras inclinadas c evitar a flambagem da armadura longitudinal comprimida Conforme a NBR 6118 item 174111 em todos os elementos lineares submetidos à força cortante com exceção dos casos indicados na sequência deve existir uma armadura transversal mínima constituída por estribos com a seguinte taxa geométrica ywk m ct w sw sw f f 20 s sen b A Eq 544 Asw área da seção transversal total de cada estribo compreendendo todos os seus ramos verticais s espaçamento dos estribos ângulo de inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural bw largura média da alma medida ao longo da altura útil da seção fywk resistência ao escoamento do aço da armadura transversal valor característico fctm resistência média à tração do concreto Isolando Asws na Eq 544 e fazendo como armadura mínima fica sen b f f 20 s A w ywk ctm swmín Eq 545 Para estribo vertical 90 e com o espaçamento s de 100 cm a armadura mínima fica UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 27 w ywk m ct swmín b f 20f A Eq 546 Aswmín área da seção transversal de todos os ramos verticais do estribo cm2m bw em cm fywk em kNcm2 A resistência fctm deve ser aplicada em kNcm2 e calculada como 3 2 ck ctm f 30 f fck em MPa As exceções indicadas pela NBR 6118 174112 que não necessitam conter a armadura mínima indicada na Eq 546 são a os elementos estruturais lineares com bw 5d em que d é a altura útil da seção caso que deve ser tratado como laje ver 194 b as nervuras de lajes nervuradas descritas em 13242a e b que também podem ser verificadas como lajes Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado podendo ser dispensada a armadura transversal quando atendido o disposto em 1941 c os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão que atendam simultaneamente na combinação mais desfavorável das ações em estadolimite último calculada a seção em Estádio I às condições seguintes em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk VSd Vc sendo Vc definido em 17422 Nesse caso a armadura transversal mínima é a definida na Seção 18 511 EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS Com base na formulação contida na NBR 6118 e deduzida nos itens precedentes desenvolvemse a seguir equações um pouco mais simples com o objetivo de automatizar o dimensionamento das armaduras transversais para as vigas de Concreto Armado submetidas à flexão simples O uso dessas equações torna o cálculo mais simples e rápido facilitando o trabalho manual Na sequência as equações teóricas dos Modelos de Cálculo I e II são remanejadas e simplificadas 5111 Modelo de Cálculo I O modelo de cálculo I assume a treliça clássica com o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas 45 51111 Força Cortante Máxima Para verificar se ocorrerá ou não o esmagamento das bielas de compressão considerase a situação limite Rd2 Sd V V a partir das Eq 513 e Eq 518 d b f 0 27 V w cd v2 Rd2 Com 250 f 1 ck v2 c 14 e estribo vertical 90 resulta a equação para VRd2 d b 250 f f 0 027 1 V w cd ck Rd2 Eq 547 com c ck cd f f e fck em MPa e VRd2 em kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 28 Se VSd VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão Na Tabela 52 encontramse equações de VRd2 em função da resistência característica do concreto fck 51112 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima A força cortante correspondente à armadura mínima VSdmín pode ser obtida por meio da igualdade s A s A sw swmín Eq 548 Conforme as Eq 525 e Eq 544 temse cos sen d f 90 V s A ywd sw sw Eq 549 sen b s A w mín sw swmín Eq 550 Aplicando a Eq 549 e a Eq 550 na Eq 548 e fazendo o ângulo igual a 90 estribo vertical cos90 sen90 d f 90 V sen90 b ywd mín sw w swmín Eq 551 ou ainda ywd w swmín swmín d f 90 b V Eq 552 Sendo a taxa de armadura mínima dada por ywk 3 2 ck ywk ctm swmín f f 30 20 f f 20 Eq 553 a Eq 552 passa a ser escrita em função das resistências características do concreto e do aço 15 1 d f 90 b f 10 f 0 06 V ywk w ywk 3 2 ck swmín Eq 554 O fator dez no denominador da Eq 554 é para transformar o resultado de MPa para kNcm2 dado que fck deve ser aplicado em MPa Fazendo as simplificações na Eq 554 obtémse a Eq 555 referente à resistência da viga correspondente à armadura mínima em função da resistência característica do concreto 3 2 ck w swmín f d 0 0047b V Eq 555 Fazendo Vc Vc0 na Eq 514 VSd Vc Vsw de verificação do EstadoLimite Último ELU tem se swmín c0 Sdmín V V V Substituindose as expressões de Vc0 e de Vswmín Eq 520 e Eq 555 respectivamente resulta 0 0047 10 41 30 70 60 f d b V 3 2 ck w Sdmín Eq 556 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 29 ou ainda 3 2 ck w Sdmín f d 0 0137b V Eq 557 com fck em MPa e VSdmín em kN A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSdmín e Se VSd VSdmín utilizase armadura transversal mínima Se VSd VSdmín calculase a armadura transversal para VSd Na Tabela 52 encontramse apresentadas as equações para VSdmín em função da resistência característica fck dos concretos do Grupo I normalizados pela NBR 895332 51113 Armadura Transversal Para a determinação da armadura transversal necessária também em função da resistência do concreto podese retomar a Eq 525 cos sen d f 90 V s A ywd sw sw e como c Sd sw V V V considerandose também fywd 435 MPa aços CA50 e CA60 s 100 cm e estribo vertical 90 obtémse cos 90 d 435 sen 90 90 d b f 60 V 100 A o o w ctd Sd sw Eq 558 ou ainda simplificandose 3 2 ck w Sd sw90 f 0 023b d 2 55 V A Eq 559 com fck em MPa e Asw em cm2m A Tabela 52 mostra a Eq 547 Eq 557 e Eq 559 para VRd2 VSdmín e Asw respectivamente em função da resistência característica do concreto à compressão fck somente para os concretos do Grupo I de resistência do concreto C20 ao C50 Entrando com bw e d em cm e VSd em kN resultam VRd2 e VSdmín em kN e Asw em cm2m Notase que os coeficientes de segurança c e s com valores de 14 e 115 respectivamente já estão considerados nas equações constantes da Tabela 52 As equações são válidas para os aços CA50 e CA60 e para a solicitação de flexão simples UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 30 Tabela 52 Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo I estribo vertical 90 c 14 s 115 aços CA50 e CA60 flexão simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 d 0 35 b w d 0101b w w Sd 017 b d 2 55 V C25 d 0 43 b w d 0117 b w w Sd 0 20 b d 2 55 V C30 d 0 51b w d 0132 b w w Sd 0 22 b d 2 55 V C35 d 0 58 b w d 0147 b w w Sd 0 25 b d 2 55 V C40 d 0 65 b w d 0160 b w w Sd 0 27 b d 2 55 V C45 d 0 71b w d 0173 b w w Sd 0 29 b d 2 55 V C50 d 0 77 b w d 0186 b w w Sd 0 31b d 2 55 V bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm 5112 Modelo de Cálculo II Processo semelhante ao desenvolvido para o Modelo de Cálculo I pode ser aplicado ao Modelo II com o intuito de definir equações simplificadoras 51121 Força Cortante Última Para a verificação do esmagamento das bielas de compressão considerase a situação limite Rd2 Sd V V a partir da Eq 513 aplicada na Eq 530 cotg cotg d sen b f 0 54 V 2 w cd v2 Rd2 Com 250 f 1 ck v2 c 14 e estribo vertical 90 resulta a equação para VRd2 cos d sen b 250 f f 0 054 1 V w cd ck 2 Rd Eq 560 com c ck cd f f e fck em MPa Deve ser considerada a condição necessária Se VSd VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 31 Na Tabela 53 encontramse apresentadas equações mais simples para VRd2 em função da resistência característica do concreto fck 51122 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima A força cortante correspondente à armadura mínima VSdmín pode ser obtida por meio da igualdade resultante da Eq 514 swmín c Sdmín V V V Eq 561 Das Eq 535 e Eq 545 sen cotg cotg d f 90 s A V ywd sw sw sen b f f 30 20 s A w ywk 3 2 ck swmín aplicando a armadura mínima na Eq 535 fica sen cotg 15 cotg 1 d f 90 sen b f 10 f 30 20 V ywk w ywk 3 2 ck swmín Eq 562 Para estribo vertical 90 a Eq 562 fica d cotg b 0 0047 f V w 3 2 ck swmín Eq 563 Sendo Vc Vc1 item 5922 e aplicando a Eq 563 na Eq 561 temse a força cortante mínima referente à resistência da viga com a armadura mínima em função da resistência característica do concreto cotg f d 0 0047b V V 3 2 ck w c1 Sdmín Eq 564 com fck em MPa A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSdmín e Se VSd VSdmín utilizase armadura transversal mínima Se VSd VSdmín calculase a armadura transversal para VSd Na Tabela 53 encontramse apresentadas as equações para VSdmín em função da resistência característica fck do concreto 51123 Armadura Transversal Para a determinação da armadura transversal necessária também em função da resistência do concreto à compressão podese retomar a Eq 535 sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw e como c1 Sd sw V V V Eq 523 com Vc Vc1 na flexão simples considerandose também fywd 435 MPa aços CA50 e CA60 s 100 cm e estribo vertical 90 obtémse UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 32 d 435 cotg 90 V V 100 A c1 Sd sw90 ou ainda simplificandose cotg d V 2 55 V A c1 Sd sw90 Eq 565 com d em cm VSd e Vc1 em kN e Asw em cm2m A parcela Vc1 sai da Eq 534 já definida c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 V V V V V V A Tabela 53 mostra a Eq 560 Eq 564 e Eq 565 para VSRd2 VSdmín e Asw respectivamente em função da resistência característica do concreto à compressão fck somente para os concretos do Grupo I de resistência do concreto C20 ao C50 Entrando com bw e d em cm e VSd e Vc1 em kN resultam VRd2 e VSdmín em kN e Asw em cm2m Notase que os coeficientes de segurança c e s com valores de 14 e 115 respectivamente já estão considerados nas equações constantes da Tabela 53 As equações são válidas para os aços CA50 e CA60 e para a solicitação de flexão simples Tabela 53 Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo II estribo vertical 90 c 14 s 115 aços CA50 e CA60 flexão simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 cos 0 71b d sen w c1 w V d cotg 0 035b d V V 2 55 tg c1 Sd C25 cos 0 87 b d sen w c1 w V d cotg 0 040b C30 cos 102 b d sen w c1 w V d cotg 0 045b C35 cos 116 b d sen w c1 w V d cotg 0 050b C40 cos 130 b d sen w c1 w V d cotg 0 055b C45 cos 142 b d sen w c1 w V d cotg 0 059b C50 cos 154 b d sen w c1 w V d cotg 0 064b bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm ângulo de inclinação das bielas de compressão VC1 força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça kN 512 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Segundo os itens 174113 e 174114 da NBR 6118 a armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos combinados ou não com barras dobradas ou barras verticais soldadas Os estribos devem envolver a armadura longitudinal e serem fechados na região de apoio das diagonais comprimidas Quando forem utilizadas barras dobradas ou barras verticais soldadas estas não podem resistir mais do que 60 da força cortante total resistida pela armadura As barras soldadas devem ser ancoradas conforme o item UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 33 9462 da norma e quando combinadas com estribos em proporção menor que 60 os elementos longitudinais soldados devem obrigatoriamente constituir a totalidade da armadura longitudinal de tração No item 18331 consta que os estribos podem ser combinados também com telas soldadas além das barras dobradas A combinação de estribos e barras dobradas em vigas era muito comum no Brasil até cerca de 40 anos atrás mas deixou de ser aplicada porque a armadura consistida apenas por estribos é mais simples e econômica Süssekind31 apresenta razões que justificam a não aplicação de barras dobradas também chamadas cavaletes No item 18333 a NBR 6118 apresenta prescrições no caso de uso de barras dobradas Barras verticais soldadas também não são usuais na prática brasileira No item 18332 a NBR 6118 acrescenta que Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração e ancorados na face oposta Quando essa face também puder estar tracionada o estribo deve ter o ramo horizontal nessa região ou complementado por meio de barra adicional 5121 Diâmetro do Estribo As prescrições para o diâmetro do estribo t são NBR 6118 18332 5 mm t bw10 Eq 566 quando a barra for lisa seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm para estribos formados por telas soldadas o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 42 mm desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura 5122 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos O espaçamento mínimo entre estribos medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador garantindo um bom adensamento da massa NBR 6118 18332 Adotandose uma folga de 1 cm para a passagem da agulha do vibrador o espaçamento mínimo fica s vibr 1 cm Eq 567 A fim de evitar que uma fissura não seja interceptada por pelo menos um estribo os estribos não devem ter um espaçamento maior que um valor máximo estabelecido conforme as seguintes condições NBR 6118 18332 20cm d 30 s 67 V 0 30cm d 60 s 67 V 0 V máx 2 Rd máx 2 Rd Sd Eq 568 5123 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo O espaçamento transversal st entre os ramos verticais sucessivos dos estribos não pode exceder os seguintes valores NBR 6118 18332 35cm d 60 s 20 V 0 80 cm d s 20 V 0 V t máx 2 Rd t máx 2 Rd Sd Eq 569 O espaçamento transversal stmáx serve para definir qual o número de ramos verticais deve ser especificado para os estribos principalmente no caso de estribos de vigas largas Nas vigas correntes das construções com larguras geralmente até 30 cm o estribo mais comum de ser aplicado é o de dois ramos verticais que é simples de ser feito e amarrado com as barras longitudinais de flexão Porém em vigas largas como vigas de equilíbrio em fundações de edifícios vigas de pontes vigas com grandes vãos etc se a distância entre os ramos verticais do estribo supera o espaçamento máximo permitido a solução é aumentar o número de ramos geralmente fazendo ramos pares pois assim os estribos UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 34 podem ser idênticos O maior número de ramos é obtido pela sobreposição dos estribos na mesma seção transversal como mostrado na Figura 522 para quatro ramos Vigas largas com larguras maiores que aproximadamente 40 cm devem ter estribos com mais de dois ramos verticais sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos que oferece a vantagem de ser montado sobrepondose dois estribos idênticos de dois ramos No caso do estribo com três ramos é colocada uma barra adicional no espaço entre os ramos de um estribo convencional com dois ramos Figura 525 5124 Emenda do Estribo As emendas por traspasse são permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por telas ou por barras de alta aderência NBR 6118 item 18332 Figura 525 Estribos com três e com quatro ramos verticais 5125 Ancoragem do Estribo A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas NBR 6118 item 946 Os ganchos dos estribos conforme a NBR 6118 item 9461 podem ser ver Figura 526 a semicirculares ou em ângulo de 45 interno com ponta reta de comprimento igual a 5 t porém não inferior a 5 cm b em ângulo reto com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t porém não inferior a 7 cm este tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo igual ao valor apresentado na Tabela 54 Tabela 54 Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Tabela 92 da NBR 6118 Bitola mm Tipo de aço CA25 CA50 CA60 10 3 t 3 t 3 t 10 20 4 t 5 t 20 5 t 8 t No item 9462 a NBR 6118 prescreve como deve ser a ancoragem de estribos por meio de barras transversais soldadas e em 947 a ancoragem por meio de dispositivos mecânicos UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 35 D D t 5 5 cm t t t 10 7 cm t 45 5 5 cm t D Figura 526 Tipos de ganchos para os estribos 513 REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostram que o modelo de treliça desenvolvido para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios pois se constatou que os estribos muito próximos aos apoios apresentam tensão menor que os estribos fora deste trecho Em função desta característica na região junto aos apoios a NBR 6118 item 174121 permite uma pequena redução da força cortante para o dimensionamento da armadura transversal segundo a prescrição no caso de apoio direto se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural comprimindoo valem as seguintes prescrições a no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d2 da face de apoio a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada constante e igual à desta seção b a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a 2d do eixo teórico do apoio pode nesse trecho de comprimento a ser reduzida multiplicandoa por a2d Todavia esta redução não se aplica às forças cortantes provenientes dos cabos inclinados de protensão As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto No caso de apoios indiretos essas reduções também não são permitidas A Figura 527 apresenta o caso a e a Figura 528 o caso b A redução da força cortante junto aos apoios como descrita não é feita na prática por muitos engenheiros estruturais por questão de simplicidade e a favor da segurança UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 36 h d 2 R d Vd Figura 527 Redução da força cortante para viga sob carregamento uniforme h a 2d R d redução em d V R d Vd Figura 528 Redução da força cortante para viga sob carga concentrada 514 ARMADURA DE SUSPENSÃO A analogia de treliça com as vigas implica na aplicação do carregamento na borda superior da viga isto é nos nós do banzo superior da treliça Quando o carregamento é aplicado na região inferior da viga deve ser prevista uma armadura transversal para transferir o carregamento para a região superior da viga chamada armadura de suspensão e que deve ser somada à armadura transversal destinada a resistir às forças cortantes atuantes Vigas invertidas têm geralmente o carregamento aplicado na região inferior e por isso devem ter uma armadura de suspensão convenientemente projetada e detalhada Os pilares são os elementos de apoio mais comum para as vigas das edificações No entanto as vigas podem também ser apoiadas sobre outras vigas Quando o apoio é pilar o apoio é chamado direto e quando é outra viga o apoio é chamado indireto Figura 529 VS2 VS6 P5 VS5 VS4 P4 Apoio direto VS2 P4 P5 VS6 Apoio direto Apoio indireto Figura 529 Apoios direto e indireto em vigas de Concreto Armado As vigas de concreto transmitem as cargas aos apoios principalmente por meio de bielas de compressão na região inferior da viga como mostrado na Figura 530 que mostra uma viga apoiada sobre outra A viga que atua como apoio recebe a maior parte da carga em sua região inferior e por isso há a UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 37 necessidade de suspender a carga para a região superior para coerência com o modelo de treliça ou seja a força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a região comprimida da viga de apoio A suspensão é feita por meio de estribos armadura de suspensão Segundo a NBR 6118 item 1836 Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em parte de sua altura ou fiquem nela pendurados deve ser colocada armadura de suspensão Viga de apoio Viga apoiada Estribo Viga de apoio Viga apoiada d V Figura 530 Transmissão do carregamento de uma viga para outra que lhe serve de apoio Em função de possíveis diferenças entre as alturas e dos níveis das duas vigas os seguintes casos podem ocorrer a Vigas com bordas inferiores no mesmo nível A Figura 531 mostra duas vigas com alturas iguais e as bordas inferiores no mesmo nível Neste caso a área de armadura de suspensão é calculada com a equação yd d s susp f V A Eq 570 onde Vd é a força de cálculo aplicada pela viga apoiada naquela que lhe serve de apoio e fyd é a resistência de cálculo de início de escoamento do aço Viga de apoio Viga apoiada Estribo Viga de apoio Viga apoiada d V Figura 531 Vigas com bordas inferiores no mesmo nível UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 38 A armadura de suspensão Assusp deve ser distribuída na viga que serve de apoio no comprimento máximo igual à altura h da viga de apoio hapoio conforme mostrado na Figura 532 Como opção admitese colocar 30 de Assusp na viga apoiada e 70 na viga que serve de apoio h ssusp A apoio bwa wapoio b a h 2 viga de apoio viga apoiada Figura 532 Região de distribuição da armadura de suspensão nas vigas com ha altura da viga apoiada b Borda inferior da viga apoiada acima da borda inferior da viga de apoio A Figura 533 mostra o caso quando as duas vigas têm alturas diferentes e a borda da viga que se apoia está acima da borda inferior da viga que serve de apoio A armadura de suspensão é função das alturas das duas vigas sendo yd d apoio a s susp f V h h A Eq 571 ha altura da viga apoiada hapoio altura da viga de apoio A distribuição da armadura pode ser feita como indicada na Figura 532 Estribo Viga de apoio Viga apoiada d V hapoio ha Figura 533 Borda inferior da viga apoiada acima da borda inferior da viga de apoio c Borda inferior da viga apoiada abaixo da borda inferior da viga de apoio A Figura 534 mostra a situação onde a borda inferior da viga que se apoia está abaixo da borda inferior da viga que serve de apoio bem como também a viga não se apoia ao longo de toda a altura da viga de apoio Esse tipo de arranjo entre as duas vigas deve ser evitado tanto quanto possível nas estruturas de concreto UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 39 Figura 534 Viga apoiada com a borda inferior abaixo da borda inferior da viga de apoio A força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a região superior da viga de apoio por meio da armadura de suspensão yd d s susp 1 f V A Eq 572 Essa armadura pode ser colocada na forma de estribos distribuídos com pequeno espaçamento e dentro da largura da viga que serve de apoio bw Figura 535 Os ramos verticais dos estribos devem estenderse desde a borda inferior da viga apoiada até a borda superior da viga de apoio Figura 534 Na viga que serve de apoio deve ser colocada também uma armadura transversal para reforçar a região que recebe a força da viga pendurada distribuída ao longo da distância hapoio e com área yd d s susp2 2f V A Eq 573 Figura 535 Distribuição da armadura de suspensão na largura bw da viga que serve de apoio 515 EXEMPLO NUMÉRICO 1 A Figura 536 mostra uma viga biapoiada sob flexão simples para a qual devese calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais São conhecidos concreto C25 aço CA50 c f 14 s 115 d 46 cm c 20 cm Vd Viga apoiada Viga de apoio Estribo Estribo de Assusp1 viga de apoio viga apoiada apoio A viga de apoio ssusp ssusp A viga pendurada h Assusp1 Assusp2 viga de apoio viga apoiada UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 40 Figura 536 Esquema estático carregamento da viga e diagrama de forças cortantes Por simplicidade e a favor da segurança a força cortante solicitante no apoio não será reduzida conforme permitido pela NBR 6118 e apresentado no item 513 de tal forma que Vk 1093 kN VSd f Vk 14 1093 1530 kN Segundo indicações contidas em Leonhardt e Mönnig9 e apresentadas no item 56 quando a seção transversal é retangular o ângulo de inclinação das bielas aproximase de 3022 Para fins de comparação neste exemplo o cálculo da armadura transversal será feito segundo o Modelo de Cálculo II com ângulo de 30 e também conforme o Modelo de Cálculo I onde é fixo em 45 O ângulo de inclinação dos estribos será de 90 isto é estribos verticais considerando que a viga tem eixo longitudinal horizontal23 Para exemplificação a resolução será feita conforme as equações teóricas deduzidas no item 59 e também segundo as equações simplificadas apresentadas no item 511 5151 Equações Teóricas 51511 Modelo de Cálculo I O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica de RitterMörsch onde o ângulo inclinação das diagonais comprimidas é fixo e igual a 45 a Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas devese ter Eq 513 VSd VRd2 A Eq 519 definiu o valor de VRd2 d b 250 f f 0 27 1 V w cd ck Rd2 com fck em MPa Substituindo os valores numéricos na equação e considerando as unidades kN e cm para as demais variáveis temse 2795 14 46 41 52 250 25 0 27 1 V Rd2 kN VSd 1530 kN VRd2 2795 kN ok 22 Ângulos menores resultam armaduras transversais menores 23 Barras dobradas cavaletes embora permitidas pela NBR 6118 não serão utilizadas nos exemplos porque não são usuais na prática atual e resultam em uma maior dificuldade na montagem das armaduras das vigas 12 50 cm 40 kNm 50 m 100 100 V kN k 437 kNm 1093 14 1093 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 41 A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e podese assim dimensionar a armadura transversal para a viga Caso resultasse VSd VRd2 a viga teria que passar por alguma modificação de modo a tornar VSd menor que VRd2 Geralmente na prática as dimensões prédeterminadas para as vigas resultam valores VRd2 maiores que VSd Caso isso não ocorra e assumindo que VSd não possa ser diminuída a solução do problema é aumentar VRd2 o que pode ser obtido aumentandose as dimensões da seção transversal bw e h ou a resistência do concreto Geralmente todos os elementos de um pavimento da edificação recebem o mesmo tipo de concreto de modo que alterar a resistência do concreto não é indicado A largura da viga normalmente depende da largura da parede na qual a viga está embutida não podendo por isso ser alterada livremente Portanto a solução mais utilizada é o aumento da altura da viga devendo porém verificar se o projeto arquitetônico permite altura maior para a viga Por outro lado como as dimensões especificadas para a seção transversal das vigas são determinadas em função dos momentos fletores das flechas e da estabilidade global no caso principalmente em edifícios altos geralmente os valores de VRd2 são maiores que a força cortante solicitante VSd b Cálculo da Armadura Transversal Para efeito de comparação com a armadura calculada primeiramente será determinada a armadura mínima Eq 546 para estribo vertical 90 e aço CA50 w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m A resistência média do concreto à tração direta conforme o item 825 da NBR 6118 é 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 1 44 14 50 20 0 256 A swmín cm2m Para calcular a armadura transversal devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc e pela armadura Vsw de tal modo que Eq 514 sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é determinada pela Eq 520 d b f 60 V V w ctd c0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa 1 28 25 41 30 70 f 3 2 ctd MPa 0128 kNcm2 49 6 01281446 60 V V c0 c kN Portanto Vsw VSd Vc 1530 496 1034 kN que é a parcela da força cortante solicitante a ser resistida pelos estribos Se esta força resultar negativa significa que os mecanismos complementares aos de treliça são suficientes para proporcionar resistência à força cortante solicitante e deve ser colocada somente a armadura mínima transversal prescrita pela norma A armadura de acordo com a Eq 529 é UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 42 39 2 d V s A sw sw90 0 0573 2 46 39 4 103 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 573 cm2m Aswmín 144 cm2m Portanto devese dispor a armadura calculada de 573 cm2m 51512 Modelo de Cálculo II com 30o a Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas devese ter Eq 513 VSd VRd2 A equação que define VRd2 é Eq 531 cotg cotg d sen b 250 f f 0 54 1 V 2 w cd ck Rd2 com fck em MPa Aplicando a equação numericamente e com as unidades kN e cm para as variáveis temse 2420 cotg 30 14 46sen 30 cotg 90 41 52 250 25 0 54 1 V 2 Rd2 kN VSd 1530 kN VRd2 2420 kN ok A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios da viga b Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura devese determinar as parcelas da força cortante solicitante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc e pela armadura Vsw de tal modo que Eq 514 sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é igual a Vc1 Deve também ser calculada a força Vc0 Eq 520 d b f 60 V w ctd 0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa 1 28 25 41 30 70 f 3 2 ctd MPa 0128 kNcm2 49 6 01281446 60 V 0 c kN Notase que a parcela Vc0 é igual à determinada no Modelo de Cálculo I ou seja Vc0 não depende do modelo de cálculo utilizado O esquema gráfico mostrado na Figura 537 apresenta a relação inversa entre a força Vc1 e a solicitação de cálculo VSd explicitando que quanto maior o grau de solicitação menor será a contribuição proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça na resistência à força cortante Como VSd é maior que Vc0 a parcela Vc1 deve ser calculada pela Eq 534 ilustrada no gráfico da Figura 537 22 9 49 6 0 242 1530 49 6 2420 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 c kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 43 Figura 537 Valor de Vc1 quando VSd Vc0 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é 1300 229 1530 V V V c Sd sw kN A Eq 535 foi definida para o cálculo da armadura transversal Fazendo estribo vertical 90 sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw 0417 0 cotg30 sen 90 115 cotg 90 46 50 90 0 130 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 417 cm2m Aswmín 144 cm2m Portanto devese dispor a armadura calculada de 417 cm2m 5152 Equações Simplificadas A fim de exemplificação são aplicadas as equações definidas no item 511 51521 Modelo de Cálculo I a Verificação da Compressão nas Bielas Da Tabela 52 para concreto C25 determinase a força cortante última ou máxima que a viga pode resistir 2769 0 4314 46 d 0 35b V w Rd2 kN 2769 kN V 1530 V Rd2 Sd ok não ocorrerá esmagamento das bielas de concreto b Cálculo da Armadura Transversal Da Tabela 52 para concreto C25 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é 753 011714 46 d 0117b V w Sdmín kN 753 kN V 1530 V Sdmín Sd portanto devese calcular a armadura transversal pois será maior que Aswmín Da equação para Asw na Tabela 52 concreto C25 temse 5 68 0 2014 46 2 551530 0 20b d 2 55 V A w Sd sw cm2m Vc1 kN Vc1 229 VSd 1530 Vco 496 VRd2 2420 VSd kN Vco 496 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 44 Observe que ocorre grande semelhança nos valores obtidos para a armadura transversal calculada segundo as duas formulações equações teóricas Asw 573 cm2m equações simplificadas Asw 568 cm2m 51522 Modelo de Cálculo II com 30o a Verificação da Compressão nas Bielas Da Tabela 53 para concreto C25 a força cortante última ou máxima é 2426 0 871446sen 30cos30 cos d sen 0 87b V w Rd2 kN 2426 kN V 1530 V Rd2 Sd ok não ocorrerá esmagamento das bielas de concreto b Cálculo da Armadura Transversal Antes de calcular a armadura devese verificar se não vai resultar armadura mínima Para isso determinase a força cortante mínima VSdmín Da Tabela 53 para concreto C25 temse c1 w Sdmín V d cotg 0 040b V Antes é necessário determinar as parcelas Vc0 e Vc1 Dos cálculos já efetuados foi definido que Vc0 496 kN valor a ser utilizado porque Vc0 não depende do modelo de cálculo escolhido Como VSd 1530 kN Vc0 496 kN a força Vc1 deve ser determinada pela Eq 534 visualizada no gráfico da Figura 537 230 49 6 6 242 1530 49 6 2426 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 c kN Assim VSdmín é 67 5 230 0 04014 46 cotg 30 V d cotg 0 040b V o c1 w Sdmín kN 67 5 kN V 1530 V Sdmín Sd portanto devese calcular a armadura transversal que será maior que Aswmín Da Tabela 53 a armadura transversal é 416 46 230 2 55 tg30 1530 d V V 2 55 tg A c1 Sd sw cm2m Aswmín 144 cm2m 5153 Comparação dos Resultados Na Tabela 55 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados segundo a norma NB17827 com o anexo da NB 116 e os Modelos de Cálculo I e II da NBR 611814 com ângulo de 30 40 e 45 para o Modelo II Tabela 55 Resultados de Asw obtidos segundo os Modelos de Cálculo I e II da NBR 611814 e segundo a NB178 NORMA o Asw cm2m Aswmín cm2m Eq Teórica Eq Simplificada NB178 Anexo NB 116 45 620 168 NBR 6118 Modelo I 45 573 568 144 Modelo II 45 698 697 40 588 586 30 417 416 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 45 Observase que para o ângulo de 45 a NB178 era mais conservadora que o Modelo de Cálculo I da NBR 61182014 No caso do Modelo de Cálculo II da norma atual e ângulo de 45 a armadura é superior à dos outros dois processos da NB178 e Modelo de Cálculo I Aliás resultou no maior valor de armadura dentre todos os calculados A armadura com de 30 resultou a menor dentre todas as calculadas sendo portanto a mais econômica Resultou menor que as armaduras dos Modelos I e II com de 45 A armadura transversal resultante do Modelo de Cálculo I é muito próxima daquela calculada com o Modelo de Cálculo II com ângulo igual a 39 Com acima de 39 a armadura resulta maior que a do Modelo de Cálculo I e abaixo resulta menor que a do Modelo de Cálculo I Portanto se por alguma razão se desejar um cálculo mais conservador da armadura transversal para seção retangular o Modelo de Cálculo I pode ser escolhido ao invés do Modelo de Cálculo II com de 30 E esta opção não é exageradamente conservadora 5154 Detalhamento da Armadura Transversal Para efeito de detalhamento na Figura 538 os estribos verticais são mostrados conforme definidos pelo Modelo de Cálculo II com ângulo de 30 Asw 417 cm2m a Diâmetro do estribo Eq 566 5 mm t bw10 14010 14 mm b Espaçamento máximo entre os estribos Eq 568 067VRd2 067 2420 1621 kN VSd 1530 1621 kN s 06d 30 cm 06d 06 46 276 cm Portanto s 276 cm c Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo Eq 569 020VRd2 020 2420 484 kN VSd 1530 484 kN st 06d 35 cm 06d 06 46 276 cm Portanto st 276 cm d Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos A escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos pode ser feita de duas maneiras muito simples por meio de cálculo ou com o auxílio de uma tabela de área de armadura por metro linear cm2m Na sequência são apresentados os dois modos Para a armadura calculada segundo o Modelo de Cálculo II de 417 cm2m nos apoios considerando estribo vertical com diâmetro de 5 mm 1 5 mm 020 cm2 composto por dois ramos verticais 2 5 mm 040 cm2 temse 0 0417 s Asw cm2cm 0 0417 s 0 40 s 96 cm 276 cm ok Portanto estribo com dois ramos 5 mm c9 cm ou c95 cm Para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A1 ver a tabela anexa no final do texto devese determinar a área de apenas um ramo do estribo Portanto para a área de armadura de 417 cm2m e estribo com dois ramos verticais 2 09 2 417 A sw 1 ramo cm2m Com a área de um ramo na Tabela A1 encontramse 5 mm c95 cm 211 cm2m ou 63 mm c15 cm 210 cm2m UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 46 Observando que a opção 63 c15 cm atende ao espaçamento máximo de 276 cm Para a armadura mínima de 144 cm2m considerando o estribo 5 mm temse 0 0144 s Asw cm2cm 0 0144 s 0 40 s 278 cm 276 cm Fazendo com o auxílio da Tabela A1 e considerandose a área de um ramo apenas do estribo 0 72 2 1 44 A sw 1 ramo cm2m na Tabela A1 encontrase 5 mm c26 cm 077 cm2m sendo possível também a c27 cm 074 cm2m Para a distribuição dos estribos ao longo do tramo da viga é necessário desenhar o diagrama de forças cortantes de cálculo e posicionar a força cortante mínima VSdmín Figura 538 Para maior simplicidade do desenho de armação e da montagem dos estribos os tramos das vigas podem ser divididos em três trechos dois adjacentes aos apoios e um no centro Desse modo os estribos ficam com três espaçamentos diferentes o primeiro a partir da face do apoio esquerdo até a força cortante mínima o segundo a partir da face do apoio direito até a força cortante mínima e o terceiro entre as forças cortantes mínimas para a armadura mínima ver Figura 538 Em tramos com vãos longos quando a distância do apoio à força VSdmín é grande os estribos podem ser dispostos em mais de três trechos com espaçamentos diferentes a fim de gerar economia Neste caso o trabalho de montagem e amarração dos estribos requer maior atenção Um tramo de viga pode ter diâmetros diferentes para os estribos no entanto sendo possível um único diâmetro é mais indicado para maior simplicidade da armação Os diâmetros mais comuns para os estribos geralmente são o 5 e o 63 mm ocorrendo também o 8 e o 10 mm em vigas com forças cortantes elevadas24 O espaçamento dos estribos não deve ser inferior a 6 ou 7 cm a fim de não dificultar a penetração do concreto na fôrma da viga No entanto espaçamentos superiores a 8 cm são mais indicados Os espaçamentos são adotados geralmente com valores inteiros em cm e ocasionalmente valores múltiplos de 05 cm O desenho da armação da viga é feito geralmente na escala 150 e o detalhe do estribo normalmente na escala 120 ou 125 20 Sdmín V 675 20 Sd kN V N1 41 Ø 5 C122 cm 480 cm 250 250 140 220 140 135 135 N115 c9 N115 c9 N1 11 c20 10 46 1530 1530 Figura 538 Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga 24 Nas vigas de edificações de pequeno porte como casas sobrados galpões etc é ainda comum a aplicação do diâmetro de 42 mm nos estribos embora a NBR 6118 prescreva o diâmetro mínimo de 5 mm Com a maior utilização dos programas computacionais nos projetos de estruturas essa prática vem diminuindo UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 47 O estribo deve ter uma numeração como por exemplo o N1 da Figura 538 Como a viga é simétrica o diâmetro e espaçamento dos estribos são iguais nas proximidades dos dois apoios A armadura Asw determinada para a força cortante máxima nos apoios está distribuída desde a face do apoio até a posição da força cortante mínima VSdmín de maneira aproximada Considerando estribos 5 c9 cm a quantidade de estribos foi determinada fazendo 140 109 144 cm Portanto aproximando para o número inteiro maior são 15 estribos e para o espaçamento de 9 cm resulta 15 9 135 cm Essa distância 135 cm somada a 10 cm até o eixo do pilar representam 145 cm que cobre a distância de 140 cm até a força VSdmín Os estribos da armadura mínima podem ser espaçados até 27 cm No entanto como uma questão prática a fim de embutir uma segurança adicional no detalhamento de vigas o espaçamento dos estribos pode ser limitado a 20 ou 25 cm Adotando espaçamento de 20 cm para os estribos da armadura mínima o número de estribos no trecho central do tramo é calculado fazendo o comprimento do trecho 480 135 135 210 cm dividido pelo espaçamento dos estribos 210 20 105 11 estribos como mostrado na Figura 538 As dimensões do estribo são determinadas fazendo a largura e a altura da viga menos duas vezes o cobrimento da armadura Largura 14 2 20 10 cm Altura 50 2 20 46 cm Os estribos devem ter obrigatoriamente ganchos nas pontas com comprimento de no mínimo 5 t 5 cm quando o gancho direcionar a ponta do estribo para o concreto da parte interna da viga Para estribo com diâmetro de 5 mm o gancho deve ter o comprimento mínimo de 5 cm em cada ponta do estribo Portanto o comprimento do estribo é calculado como C 2 10 46 5 122 cm 516 EXEMPLO NUMÉRICO 2 Calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais para as forças cortantes máximas da viga esquematizada na Figura 539 São conhecidos C25 CA50 s 115 c 25 cm c f 14 d 80 cm A altura da viga transversal é de 60 cm responsável pela força de 150 kN Como as forças cortantes atuantes na viga são diferentes nos apoios A e B serão dimensionadas duas armaduras transversais diferentes uma para cada apoio As forças cortantes de cálculo não considerando a redução de força permitida pela NBR 6118 são Apoio A VSdA f VkA 14 1658 2321 kN Apoio B VSdB f VkB 14 1872 2621 kN 2875 A B C 150 kN 29 kNm 25 25 25 85 675 cm 400 300 700 cm viga transversal 3875 Figura 539 Esquema estático e carregamento na viga Como comentado no exemplo anterior sendo a viga de seção retangular o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas diminui e se aproxima de 30 segundo Leonhardt e Mönnig ver item 56 e neste caso ao menos teoricamente o cálculo da armadura pelo Modelo de Cálculo II com ângulo de 30 ou UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 48 próximo é mais indicado No caso de se preferir um dimensionamento mais conservador podese adotar o Modelo de Cálculo I fixo em 45 que resulta uma armadura transversal um pouco superior à do Modelo II com de 30 O ângulo de inclinação dos estribos será adotado igual a 90 isto é estribos verticais para a viga horizontal Barras dobradas não serão utilizadas Para exemplificação das formulações todos os cálculos serão feitos segundo as equações teóricas derivadas da NBR 6118 e também segundo as equações simplificadas definidas no item 511 5161 Modelo de Cálculo I O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica com o ângulo inclinação das diagonais comprimidas fixo em 45 51611 Equações de Teóricas a Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas diagonais inclinadas na treliça clássica devese ter VSd VRd2 A equação que define VRd2 Eq 519 é d b 250 f f 0 27 1 V w cd ck Rd2 fck em MPa 8679 2580 41 52 250 25 0 27 1 V Rd2 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 8679 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios e neste caso a armadura transversal pode ser calculada b Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente será calculada a armadura mínima Aswmín para estribo vertical 90 e aço CA50 Eq 546 w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 0256 kNcm2 2 56 25 50 20 0 256 A swmín cm2m Para calcular a armadura necessária deve ser determinada a parcela da força cortante que será absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc e a parcela a ser resistida pela armadura transversal Vsw de tal modo que sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é determinada pela Eq 520 d b f 60 V V w ctd c0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 49 1 28 25 41 30 70 f 3 2 ctd MPa 0128 kNcm2 1539 0128 2580 60 V V c0 c kN Vsw VSd Vc Apoio A VswA 2321 1539 782 kN Apoio B VswB 2621 1539 1082 kN A armadura vertical de acordo com a Eq 529 é 39 2 d V s A sw sw90 Apoio A 0 0249 2 80 39 2 78 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 249 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura mínima Apoio B 0 0345 2 80 39 2 108 s A sw90 cm2cm Asw90 345 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura calculada 5162 Equações Simplificadas a Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 52 para o concreto de resistência característica 25 MPa temse a força cortante máxima permitida 8600 0 432580 d 0 43b V w Rd2 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 8600 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios b Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente devese verificar se a força cortante solicitante resultará maior ou menor que a força cortante mínima Na Tabela 52 encontrase a equação para a força cortante mínima correspondente à armadura mínima 2340 0117 2580 d 0117b V w Sdmín kN Apoio A VSdA 2321 kN VSdmín 2340 kN portanto devese dispor armadura mínima conforme definida no item anterior Somente para efeito de comprovação e aplicando VSd 2321 kN verificase que a armadura resulta menor que a mínima Na Tabela 52 encontrase a equação para cálculo da armadura 2 40 0 20 25 80 2 55 2321 0 20b d 2 55 V A w Sd sw90 cm2m Aswmín 256 cm2m Apoio B VSdB 2621 kN VSdmín 2340 kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 50 portanto devese calcular a armadura transversal 3 35 0 20 25 80 2 55 2621 0 20b d 2 55 V A w Sd sw90 cm2m Aswmín 256 cm2m 5163 Modelo de Cálculo II O Modelo de Cálculo II supõe a possibilidade de se adotar diferentes valores para o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas no intervalo de 30 a 45 A título de comparação a viga será calculada com os ângulos de 30 e 45 segundo as equações teóricas item 592 e as equações simplificadas item 5112 51631 Equações Teóricas 51632 Modelo de Cálculo II com Ângulo de 30 a Verificação da Compressão nas Bielas A equação que define VRd2 é Eq 531 cotg cotg d sen b 250 f f 0 54 1 V 2 w cd ck Rd2 com fck em MPa Para estribo vertical 90 7516 cotg 30 2580sen 30 cotg 90 41 52 250 25 0 54 1 V 2 Rd2 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 7516 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios b Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante solicitante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc e pela armadura Vsw de tal modo que sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é igual a Vc1 Devem também ser calculados Eq 520 d b f 60 V w ctd 0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa 1 28 25 41 30 70 f 3 2 ctd MPa 0128 kNcm2 1539 0128 2580 60 V 0 c kN Como em ambos os apoios a força cortante solicitante VSdA 2321 kN e VSdB 2621 kN é maior que Vc0 1539 kN a força Vc1 deve ser determinada pela Eq 534 ver Figura 540 e Figura 541 Apoio A 1338 1539 6 751 2321 1539 7516 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 c A kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 51 Apoio B 1260 1539 6 751 2621 1539 7516 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 c B kN 0 V kN Sd V kN c1 V 1539 c0 V 2321 Sd V 1338 c1 V 1539 c0 V 7516 Rd2 Figura 540 Apoio A Valor de Vc1 quando VSd Vc0 0 V kN Sd V kN c1 V 1539 c0 V 2621 Sd V 1260 c1 V 1539 c0 V 7516 Rd2 Figura 541 Apoio B Valor de Vc1 quando VSd Vc0 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é Apoio A 983 1338 2321 V V V c A SdA swA kN Apoio B 1361 1260 2621 V V V c B SdB swB kN A equação que define o valor da armadura transversal é sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw A armadura transversal no apoio A para estribo vertical 90 é 0181 0 cotg30 sen 90 115 cotg 90 80 50 90 3 98 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 181 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura mínima E no apoio B 0251 0 cotg30 sen 90 115 cotg 90 80 50 90 1 136 s A sw90 cm2cm Asw90 251 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura mínima UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 52 51633 Modelo de Cálculo II com Ângulo de 45 a Verificação da Compressão nas Bielas A equação que define VRd2 é Eq 531 cotg cotg d sen b 250 f f 0 54 1 V 2 w cd ck Rd2 com fck em MPa Para estribo vertical 90 cotg 45 2580sen 45 cotg 90 41 52 250 25 0 54 1 V 2 Rd2 8679 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 8679 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios b Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura deve ser determinada a parcela de força cortante Vc que é proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça e a parcela Vsw a ser resistida pela armadura transversal sw c Sd V V V Como em ambos os apoios a força cortante solicitante VSdA 2321 kN e VSdB 2621 kN é maior que Vc0 1539 kN a força Vc1 deve ser determinada pela Eq 534 ver Figura 542 e Figura 543 Apoio A 1370 1539 9 867 2321 1539 8679 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 A c A kN Apoio B 1306 1539 9 867 2621 1539 8679 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 B c B kN 0 V kN Sd V kN c1 V 1539 c0 V 2321 Sd V 1370 c1 V 1539 c0 V 8679 Rd2 Figura 542 Apoio A Valor de Vc1 quando VSd Vc0 0 V kN Sd V kN c1 V 1539 c0 V 2621 Sd V 1306 c1 V 1539 c0 V 8679 Rd2 Figura 543 Apoio B Valor de Vc1 quando VSd Vc0 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 53 Apoio A 951 1370 2321 V V V c A SdA swA kN Apoio B 1315 1306 2621 V V V c B SdB swB kN Armadura transversal sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw A armadura transversal no apoio A para estribo vertical 90 é 0304 0 cotg45 sen 90 115 cotg 90 80 50 90 1 95 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 304 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura calculada E no apoio B 0420 0 cotg45 sen 90 115 cotg 90 80 50 90 5 131 s A sw90 cm2cm Asw90 420 cm2m Aswmín 256 cm2m portanto devese dispor a armadura calculada 5164 Equações Simplificadas 51641 Modelo de Cálculo II com Ângulo de 30 a Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 53 para o concreto de resistência característica 25 MPa C25 temse a força cortante máxima permitida 7517 0 872580sen 30cos30 cos 0 87b d sen V w Rd2 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 7517 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios b Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente devese verificar se a força cortante solicitante resultará em uma armadura maior ou menor que a armadura mínima Na Tabela 53 encontrase a equação para a força cortante mínima c1 w Sdmín V d cotg 0 040b V c1 c1 Sdmín V 1386 V 0 040 2580cotg 30 V Como as forças cortantes solicitantes VSd são maiores que Vc0 a parcela Vc1 deve ser calculada Eq 566 Os valores de Vc0 1539 kN VRd2 7517 kN VSdA 2321 kN e VSdB 2621 kN já são conhecidos e Apoio A 1338 1539 7 751 2321 1539 7517 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 A c A kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 54 Apoio B 1260 1539 7 751 2621 1539 7517 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 B c B kN Apoio A VSdmínA 1386 1338 2724 kN VSdA 2321 kN VSdmínA 2724 kN portanto devese dispor a armadura mínima Apoio B VSdmínB 1386 1260 2646 kN VSdB 2621 kN VSdmínB 2646 kN portanto devese dispor a armadura mínima As armaduras serão calculadas apenas para efeito de exemplificação pois já se sabe que são menores que a mínima Conforme a Tabela 53 a equação para cálculo da armadura é d V V 2 55tg A c1 Sd sw No apoio A 181 80 1338 2 55tg30 2321 A swA cm2m Aswmín 256 cm2m No apoio B 2 50 80 1260 2 55tg30 2621 A swB cm2m Aswmín 256 cm2m 51642 Modelo de Cálculo II com Ângulo de 45 a Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 53 para o concreto de resistência característica 25 MPa C25 temse a força cortante máxima 8680 0 87 2580sen45 cos 45 d sen cos 0 87 b V w Rd2 kN Apoio A VSdA 2321 kN VRd2 8680 kN Apoio B VSdB 2621 kN VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios b Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente deve ser verificado se a força cortante solicitante resultará em uma armadura maior ou menor que a armadura mínima Na Tabela 53 encontrase a equação para a força cortante mínima c1 w Sdmín V d cotg 0 040b V c1 c1 Sdmín V 80 0 V 0 0402580cotg 45 V Como as forças cortantes solicitantes VSd são maiores que Vc0 a parcela Vc1 deve ser calculada Eq 566 Os valores de Vc0 1539 kN VRd2 8680 kN VSdA 2321 kN e VSdB 2621 kN já são conhecidos e Apoio A 1370 1539 0 868 2321 1539 8680 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 A c A kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 55 Apoio B 1306 1539 0 868 2621 1539 8680 V V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c 1 B c B kN Apoio A VSdmínA 800 1370 2170 kN VSdA 2321 kN VSdmínA 2170 kN portanto devese calcular a armadura transversal Apoio B VSdmínB 800 1306 2106 kN VSdB 2621 kN VSdmínB 2106 kN portanto devese calcular a armadura transversal Conforme a Tabela 53 a equação para cálculo da armadura é d V V 2 55tg A c1 Sd sw No apoio A 3 03 80 1370 2 55tg45 2321 A swA cm2m Aswmín 256 cm2m No apoio B 419 80 1306 2 55tg45 2621 A swB cm2m Aswmín 256 cm2m 5165 Comparação dos Resultados Na Tabela 56 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados conforme os Modelos de Cálculo I e II com o ângulo assumindo valores de 30 e 45 para o Modelo de Cálculo II Os resultados permitem descrever que as equações simplificadas conduzem a valores muito próximos daqueles obtidos com as equações teóricas Como esperado com ângulo de 30o do Modelo II as armaduras de 181 cm2m no apoio A e 251 cm2m no apoio B resultaram menores que as armaduras proporcionadas pelo Modelo I 249 cm2m e 345 cm2m respectivamente Concordando com o Exemplo 1 as armaduras do Modelo II com de 45o 304 e 420 cm2m resultaram maiores que as armaduras do Modelo I 249 e 345 cm2m onde é também 45o Portanto neste caso de seção retangular a armadura mais econômica é a proporcionada pelo Modelo II com ângulo de 30o e a mais conservadora é aquela do mesmo modelo com de 45o A armadura do Modelo I representa um situação intermediária Tabela 56 Resultados obtidos conforme os modelos de cálculo I e II da NBR 6118 Modelo de Cálculo o Equações de Cálculo Asw cm2m Apoio A Apoio B I 45 Teóricas 249 345 Simplificadas 240 335 II 30 Teóricas 181 251 Simplificadas 181 250 45 Teóricas 304 420 Simplificadas 303 419 5166 Detalhamento da Armadura Transversal UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 56 Dentre os vários valores de armadura transversal calculados para fins de detalhamento serão aplicados os valores determinados segundo o Modelo I de 249 cm2m no apoio A e 345 cm2m no apoio B ver Figura 544 a Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 25010 25 mm b Espaçamento máximo entre os estribos 067VRd2 067 8680 5815 kN Apoio A VSdA 2321 5815 kN s 06d 30 cm 06d 06 80 48 cm portanto s 30 cm Apoio B VSdB 2621 5815 kN s 06d 30 cm portanto s 30 cm c Espaçamento transversal máximo entre os ramos verticais do estribo 020VRd2 020 8680 1736 kN VSdA 1736 kN e VSdB 1736 kN st 06d 35 cm 06d 06 80 48 cm portanto s 35 cm d Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos A título de exemplo serão feitos os cálculos com diâmetros de 5 mm e de 63 mm sem e com auxílio de tabela de área de armadura em cm2m d1 considerando estribo com diâmetro de 5 mm 1 5 mm 020 cm2 composto por dois ramos verticais 2 5 mm 040 cm2 temse para o apoio A Asw 249 cm2m Aswmín 256 cm2m 0 0256 s Asw cm2cm 0 0256 s 0 40 s 156 cm 30 cm ok Para o apoio B Asw 345 cm2m 0 0345 s Asw cm2cm 0 0345 s 0 40 s 116 cm 30 cm ok Com o auxílio da Tabela A1 ver a tabela anexa no final do texto devese determinar a área de apenas um ramo vertical do estribo Apoio A armadura mínima 1 28 2 2 56 A sw 1 ramo cm2m Tabela A1 5 mm c16 cm 125 cm2m Apoio B 173 2 3 45 A sw 1 ramo cm2m Tabela A1 5 mm c11 cm 182 cm2m d2 considerando estribo com diâmetro de 63 mm 1 63 mm 031 cm2 composto por dois ramos verticais 2 63 mm 062 cm2 temse para o apoio A 0 0256 s Asw cm2cm 0 0256 s 0 62 s 242 cm 30 cm ok UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 57 Para o apoio B 0 0345 s Asw cm2cm 0 0345 s 0 62 s 180 cm 30 cm ok Com o auxílio da Tabela A1 ver a tabela anexa no final do texto devese determinar a área de apenas um ramo vertical do estribo Apoio A armadura mínima 1 28 2 2 56 A sw 1 ramo cm2m Tabela A1 63 mm c24 cm 131 cm2m Apoio B 173 2 3 45 A sw 1 ramo cm2m Tabela A1 63 mm c18 cm 175 cm2m O detalhamento mostrado na Figura 544 está feito com o diâmetro de 63 mm para o estribo Poderia ser utilizado o diâmetro de 5 mm também sem qualquer inconveniente O desenho da viga deve ser feito em escala 150 e o detalhe do estribo normalmente é feito nas escalas de 120 ou 125 Nos trechos correspondentes à armadura transversal mínima os estribos foram espaçados em 20 cm ao invés dos 24 cm calculados porque é comum entre os engenheiros estruturais limitar o espaçamento dos estribos em 20 cm No entanto fica a critério do engenheiro seguir esta recomendação ou obedecer os limites prescritos pela NBR 6118 No apoio B os estribos devem ficar espaçados em 18 cm na distância de 692 cm do apoio centro do pilar neste caso ou seja até a posição do VSdmín e a partir desta força o espaçamento pode ser correspondente à armadura mínima A favor da segurança os estribos foram dispostos num trecho maior de 90 cm a partir da face do pilar Na região da força concentrada de 150 kN ver Figura 539 devida à viga transversal deve ser colocada armadura de suspensão ver Figura 530 conforme prevista pela NBR 6118 Como a viga apoiada tem a face inferior acima da face inferior da viga de apoio deve ser aplicada a Eq 571 41 3 115 50 150 41 85 60 f V h h A yd d apoio a s susp cm2 Conforme prescrito por FUSCO 200025 e apresentado em BASTOS 201526 a armadura de suspensão deve ser distribuída na menor distância possível sem no entanto prejudicar a montagem dos estribos e nem causar restrições para o preenchimento da peça pelo concreto ou prejudicar o adensamento27 Deve também ser considerada a distância máxima de hapoio 85 cm Por exemplo considerando a armadura de suspensão 341 cm2 distribuída em uma distância de 60 cm a área de armadura relativamente ao comprimento de 1 m 100 cm é 341 60 100 568 cm2m Somando à armadura transversal mínima relativa à força cortante 256 cm2m Aswtot 256 568 824 cm2m Para o diâmetro de 63 mm área de 1 de 031 cm2 e estribo com dois ramos temse 25 FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p 26 BASTOS PSS Vigas de Concreto Armado Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista jun2015 56p Disponível em 24082015 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 27 O espaçamento mínimo geralmente adotado para os estribos é de 7 ou 8 cm Dependendo principalmente da largura da peça e do abatimento fluidez do concreto um espaçamento um pouco menor pode ser estudado UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 58 0 0824 s 0 62 s 75 cm portanto podese colocar 8 estribos 6075 8 distribuídos na distância de 60 cm espaçados de 75 cm como indicado na Figura 544 3875 25 25 90 700 cm 2308 692 VSdmín 2340 VSd kN N1 39 Ø 63 C210 cm N1 5 c18 N1 18 c20 20 80 2621 2321 697 1403 A B N1 8c75 N1 8 c20 1675 60 3575 viga transversal 2875 Figura 544 Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga medidas em cm 517 EXEMPLO NUMÉRICO 3 Neste exemplo serão dimensionadas as armaduras transversais das vigas principais de uma ponte rodoviária conforme indicadas na Figura 545 e apresentadas no exemplo de PFEIL33 As duas vigas principais em conjunto com as vigas transversinas compõem o sistema de vigamento que proporciona a sustentação da ponte As vigas principais estendemse ao longo de todo o comprimento da ponte sendo composta por quatro apoios e cinco vãos com os dois vãos extremos em balanço A altura das vigas é constante com 225 cm e a largura é variável em alguns trechos Na seção de apoio do pilar 1 a largura é de 80 cm e no pilar 2 é de 100 cm as seções nos vãos tem largura de 40 cm Figura 545b e Figura 545c RESOLUÇÃO As lajes que formam o tabuleiro da ponte apoiamse nas faces superiores das vigas em toda a extensão inclusive nas seções próximas aos apoios pilares onde ocorrem as maiores forças cortantes Nas seções próximas aos apoios e que estão submetidas a momentos fletores negativos a mesa superior é tracionada e o banzo comprimido inferior não tem contribuição de lajes sendo retangular Para seções retangulares Leonhardt e Mönnig9 indicam que o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas aproximase de 30 o que resulta em uma diminuição da armadura transversal em relação ao ângulo de 45 No caso de grandes estruturas como pontes ocorrem outras tensões adicionais não consideradas no cálculo de modo que as armaduras transversais exercem também funções secundárias sendo por isso recomendado adotar 45 para a favor da segurança Os cálculos de dimensionamento para as diversas seções transversais encontramse organizados na Tabela 57 A título de comparação os cálculos são efetuados conforme a versão atual da NBR 6118 e a versão de 1978 NB 127 considerado também o anexo da NB 11689 Na sequência são também apresentados os cálculos efetuados segundo a NBR 6118 para a seção transversal 10d onde ocorre a maior força cortante As áreas de armadura apresentadas na Tabela 57 indicam que as armaduras transversais foram sendo gradativamente diminuídas com as atualizações da NBR 6118 antiga NB 17827 Os maiores valores resultam da NB 1 sem se considerar o anexo da NB 11689 Considerando a NB 1 e o anexo da NB 11689 a armadura diminuiu e com a NBR 6118 a diminuição foi ainda mais significativa Analisando os valores da seção 10d verificase que a armadura diminuiu 45 com o Modelo I e 34 com o Modelo II comparada à UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 59 armadura da NB 1 E também diminuiu 21 com o Modelo I e 4 com o Modelo II comparada à armadura da NB 1 com o anexo da NB 11689 Notase que as armaduras calculadas conforme o Modelo de Cálculo II com de 45 aproximase daquela calculada com a NB 1 e o anexo da NB 11689 500 2000 1250 225 Pilar 1 Pilar 2 Viga Principal Laje do Tabuleiro a corte longitudinal Viga Principal 1 Viga Principal 2 100 40 40 100 40 80 b planta com o vigamento da ponte Pilar 2 40 100 225 Laje do Tabuleiro Viga principal na seção de apoio Viga principal nos vãos c seções transversais no apoio do pilar 2 e nos vãos Figura 545 Desenhos ilustrativos da ponte rodoviária33 A viga é simétrica e tem os vãos cm e forças cortantes características de apenas uma metade mostradas na Figura 546 Notase que a força cortante máxima de 2000 kN ocorre no pilar 2 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 60 500 2000 1250 a b O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 280 740 1210 1490 1180 900 640 390 530 780 1030 1270 1550 1830 2000 1640 1310 990 690 390 k V kN Pilar 1 Pilar 2 Figura 546 Esquema estático vãos efetivos cm e forças cortantes características kN33 Tabela 57 Dimensionamento da armadura transversal segundo os Modelos de Cálculo I e II da NBR 611814 e conforme a NB 17827 com o anexo da NB 11689 para estribos verticais c f 14 s 115 Seção Vk kN VSd kN bw cm VRd2 kN Vc0 kN Vc1 kN Asw90 cm2m NBR 6118 Modelo I Asw90 cm2m NBR 6118 Modelo II c 45 Asw90 cm2m NB 178 Asw90 cm2m NB 178 Anexo NB 116 a 280 392 40 3732 662 720 103 b 740 1036 60 5598 993 983 051 063 705 240 Oe 1210 1694 80 7464 1323 1244 440 535 1325 704 Od 1490 2086 80 7464 1323 1159 905 1102 1807 1186 1 1180 1652 60 5598 993 850 782 953 1463 997 2 900 1260 40 3732 662 533 710 864 1170 860 3 640 896 40 3732 662 611 278 338 723 412 4 390 546 40 3732 662 687 292 5 530 742 40 3732 662 644 095 116 533 223 6 780 1092 40 3732 662 569 511 622 964 653 7 1030 1442 40 3732 662 494 926 1127 1394 1084 8 1270 1778 40 3732 662 421 1324 1613 1808 1497 9 1550 2170 70 6531 1158 940 1201 1462 2005 1462 10e 1830 2562 100 9329 1654 1459 1077 1311 2203 1427 10d 2000 2800 100 9329 1654 1407 1359 1655 2495 1720 11 1640 2296 70 6531 1158 913 1350 1644 2160 1617 12 1310 1834 40 3732 662 409 1391 1694 1877 1566 13 990 1386 40 3732 662 506 859 1046 1325 1015 14 690 966 40 3732 662 596 361 440 809 498 15 390 546 40 3732 662 687 292 5171 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I NBR 6118 Para o dimensionamento são considerados os seguintes dados C25 CA50 d 215 cm estribo vertical c f 14 s 115 90 Os cálculos de dimensionamento serão feitos apenas com as equações teóricas da norma UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 61 a Verificação da compressão nas bielas A equação que define o valor de VRd2 é Eq 519 d b 250 f f 0 27 1 V w cd ck Rd2 com fck em MPa Substituindo os valores numéricos de VRd2 9 329 100 215 41 52 250 25 0 27 1 V Rd2 kN VSd 2800 kN VRd2 9329 kN A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e podese assim dimensionar a armadura transversal para a seção b Cálculo da armadura transversal Para efeito de comparação com a armadura calculada primeiramente será determinada a armadura mínima para estribo a 90 e aço CA50 w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m A resistência média do concreto à tração direta é 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 0256 kNcm2 100 1026 50 20 0 256 A swmín cm2m Para calcular a armadura transversal deve ser determinada a parcela proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça Vc de tal modo que sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é determinada pela equação Eq 520 d b f 60 V V w ctd c0 c com 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f fck em MPa 1 28 25 41 30 70 f 3 2 ctd MPa 0128 kNcm2 1 654 0128100 215 60 V V c0 c kN Portanto a parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é Vsw VSd Vc 2800 1654 1146 kN A armadura transversal composta por estribos verticais segundo o Modelo de Cálculo I é UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 62 39 2 d V s A sw sw90 01359 2 215 39 1146 s A sw90 cm2cm e para 1 m de comprimento da viga Asw90 1359 cm2m Aswmín 1026 cm2m portanto devese dispor a armadura calculada 5172 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com 45 a Verificação da compressão nas bielas A equação que define VRd2 é Eq 531 cotg cotg d sen b 250 f f 0 54 1 V 2 w cd ck Rd2 com fck em MPa Para estribo vertical 90 cotg 45 100 215sen 45 cotg 90 41 52 250 25 0 54 1 V 2 Rd2 9329 kN VSd 2800 kN VRd2 9329 kN A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão b Cálculo da armadura transversal Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares Vc e pela armadura Vsw de tal modo que sw c Sd V V V Na flexão simples a parcela Vc é igual a Vc1 O valor de Vc0 já foi determinado 1654 kN e independe do modelo de cálculo Como VSd 2800 kN é maior que Vc0 a parcela Vc1 deve ser determinada com a Eq 534 ver Figura 547 1 407 1654 9329 16549329 2800 V V V V V V c0 2 Rd Sd 2 Rd c0 c1 kN 0 V kN Sd V kN c1 V 1654 c0 V 2800 Sd V 1407 c1 V 1654 c0 V 9329 Rd2 Figura 547 Valor de Vc1 quando VSd Vc0 A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é 1 393 2800 1407 V V V c Sd sw kN A equação que define o cálculo da armadura transversal é UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 63 sen cotg cotg d f 90 V s A ywd sw sw Aplicando numericamente para estribo vertical 90 1655 0 cotg45 sen 90 115 cotg 90 215 50 90 1393 s A sw90 cm2cm Asw90 1655 cm2m Aswmín 1026 cm2m portanto dispor a armadura calculada 518 EXEMPLO NUMÉRICO 4 Uma viga seção T biapoiada sobre dois pilares serve de apoio a lajes maciças e uma viga transversal que aplica a força concentrada de 300 kN Pedese dimensionar e detalhar a armadura transversal28 São dados C30 c 25 cm estribo vertical 90 CA50 d 113 cm c f 14 s 115 O esquema estático da viga com as forças cortantes valores característicos e a seção transversal encontramse na Figura 548 Por simplicidade e a favor da segurança a redução da força cortante solicitante no apoio conforme permitido pela NBR 6118 e apresentado no item 513 não será aplicada RESOLUÇÃO Como a viga tem seção transversal tipo T com relação bf bw 24040 6 o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas aproximase de 45 razão pela qual será adotado o Modelo de Cálculo I para o dimensionamento da armadura transversal Outra opção seria o Modelo II com 45 que como já visto conduz à maior armadura O dimensionamento será feito segundo as equações simplificadas definidas no item 511 a Verificação da compressão nas bielas Da Tabela 52 para concreto C30 determinase a força cortante máxima que a viga pode resistir 2 305 0 51 40113 d 0 51b V w Rd2 kN 2 305kN V 770kN 41 550 V Rd2 Sd não ocorrerá esmagamento do concreto nas bielas b Cálculo da armadura transversal Da Tabela 52 para concreto C30 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é 597 0132 40113 d 0132b V w Sdmín kN 597kN V 770 V Sdmín Sd portanto devese calcular a armadura transversal p VSd 28 Este exemplo toma como base o apresentado em SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 1 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1985 376p UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 64 viga transversal 30 30 30 10 m pilar 1 pilar 2 viga T laje 80 kNm 300 kN 500 cm 500 cm 550 550 150 150 V kN k Vigas 400 40 40 120 15 40 240 15 120 Figura 548 Esquema estático carregamento esforços cortantes e seção transversal da viga Da equação para Asw na Tabela 52 concreto C30 0 22 40 113 2 55 770 0 22 b d 2 55 V A w Sd sw 858 cm2m A armadura mínima para estribo a 90 e aço CA50 é w ywk m ct swmín b f 20 f A 2 90 30 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 0290 kNcm2 4 63 40 50 20 0 290 A swmín cm2m Como Asw 858 cm2m Aswmín 463 cm2m devese dispor a armadura calculada c Detalhamento da armadura transversal c1 Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 40010 40 mm c2 Espaçamento máximo entre os estribos 067VRd2 067 2305 1544 kN UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 65 VSd 770 1544 kN s 06d 30 cm 06d 06 113 678 cm Portanto s 30 cm c3 Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo 020VRd2 020 2305 461 kN VSd 770 461 kN st 06d 35 cm 06d 06 113 678 cm Portanto st 35 cm c4 Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos c41 Estribo com dois ramos verticais Considerando estribo com dois ramos verticais para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A1 devese determinar a área de apenas um ramo do estribo Portanto para a área de armadura transversal de 858 cm2m e estribo com dois ramos 4 29 2 8 58 A sw 1 ramo cm2m Com a área de um ramo na Tabela A1 encontrase 8 mm c11 cm 455 cm2m Como o espaçamento máximo é 30 cm é possível adotar 8 mm c11 cm Para a armadura mínima de 463 cm2m e estribo com dois ramos a área de um ramo é 2 32 2 4 63 A sw 1 ramo cm2m na Tabela A1 encontrase 8 mm c20 cm com o espaçamento sendo menor que o máximo permitido 30 cm O espaçamento entre os eixos de dois ramos verticais do estribo é bw 2 c t 40 2 25 08 342 cm valor um pouco menor que o espaçamento máximo permitido st 35 cm sendo portanto possível fazer os estribos com apenas dois ramos verticais Como alternativa apresentase na sequência o cálculo do estribo com quatro ramos c42 Estribo com quatro ramos verticais Caso não fosse possível fazer o detalhamento com dois ramos verticais uma solução seria aumentar o número de ramos com quatro ramos verticais por exemplo o que resulta em dois estribos idênticos a serem colocados sobrepostos na mesma seção transversal da viga ver Figura 549 Com quatro ramos verticais a área de um ramo apenas é 215 4 8 58 A sw 1 ramo cm2m Com a área de um ramo na Tabela A1 encontrase o espaçamento e o diâmetro do estribo 63 mm c14 cm 225 cm2m Para a armadura mínima de 463 cm2m resulta 63 mm c26 cm 121 cm2m sendo ambos os espaçamentos menores que o máximo de 30 cm O espaçamento será feito 25 cm ao invés de 26 cm a favor da segurança Figura 549 Na região da força concentrada de 300 kN ver Figura 548 devida à viga transversal deve ser colocada armadura de suspensão ver Figura 531 conforme prevista pela NBR 6118 Como as duas vigas têm as faces inferiores no mesmo nível aplicase a Eq 570 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 66 66 9 115 50 300 41 f V A yd d s susp cm2 Esta armadura de suspensão deve ser distribuída na menor distância possível e considerada a distância máxima de hapoio 120 cm conforme a Figura 532 Deve ser escolhido um espaçamento para os estribos da armadura transversal de modo a não prejudicar a montagem e nem causar restrições para o preenchimento da peça pelo concreto Considerando que a área da armadura de suspensão seja distribuída em uma distância de 80 cm a área de armadura relativamente ao comprimento de 1 m 100 cm é 80 9 66100 1208 cm2m e somando à armadura transversal para a força cortante que é a mínima29 no trecho em questão 463 cm2m Aswtot 463 1208 1671 cm2m Considerando o diâmetro de 63 mm área de 031 cm2 e estribo com quatro ramos temse 01671 s 4 0 31 s 74 cm Portanto podese colocar 11 estribos duplos 2 x 11 distribuídos na distância de 80 cm espaçados de 7 cm tendose como referência o centro da viga transversal Figura 549 No detalhamento observase que a armadura calculada deve ser colocada a partir da face do apoio até a força Vsdmín 597 kN isto é na extensão de 154 cm A favor da segurança de modo geral estendese a armadura calculada um pouco além da necessária como no caso foi estendida em 168 cm 770 210 210 770 V kN Sd 154 154 115 23 dois estribos idênticos formando quatro ramos 30 30 Sdmín V 597 kN N1 114 Ø 63 C286 cm 970 cm Sdmín V 597 kN 168 168 N12x12 c14 N12x12 c14 N12x11 c7 80 N12x11 c25 N12x11 c25 277 277 500 500 Figura 549 Detalhamento da armadura transversal com estribo duplo quatro ramos verticais A Figura 550 mostra um detalhe dos dois estribos que sobrepostos formam os quatro ramos verticais O comprimento do ramo horizontal dos estribos foi calculado como 233 52 2 3 40 2 cm 29 As armaduras de suspensão e mínima são somadas porque essas duas armaduras têm finalidades diferentes UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 67 O ideal é que os dois estribos sejam idênticos a fim de simplificar a execução No caso de estribo com ramo horizontal de comprimento 23 cm como mostrado na Figura 549 as medidas entre os ramos verticais resultam aquelas mostradas na Figura 550 de 114 e 97 cm Essas medidas devem ser próximas entre si mas não necessariamente iguais No caso por exemplo do ramo horizontal ser feito com comprimento de 24 cm as medidas entre os ramos verticais resultam 102 e 114 cm Observase que os espaçamentos transversais st resultam menores que o valor máximo de 35 cm 114 114 97 12 23 40 25 25 23 12 Figura 550 Detalhamento dos estribos duplos na seção transversal 519 EXEMPLO NUMÉRICO 5 Uma viga prémoldada seção I de Concreto Armado biapoiada sobre dois pilares tem força cortante máxima Vk de 340 kN Figura 551 Pedese dimensionar a armadura transversal para a viga São dados concreto C40 aço CA50 c 20 cm bw 152 mm d 960 mm c f 14 s 115 estribo vertical 90 Figura 551 Dimensões mm da seção transversal da viga I RESOLUÇÃO Como mostrado no item 56 para seção retangular onde bf bw é 1 o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas aproximase de 30 Quando bf bw 8 a 12 o ângulo aproximase de 45 Neste exemplo a viga seção I tem relação bf bw 457152 3 de modo que podese pensar em um valor intermediário para o ângulo algo como 35 Sabese que ângulos menores resultam armaduras transversais menores portanto se no dimensionamento considerarse o Modelo de Cálculo I 45 a armadura resultante será um pouco maior como feito a seguir 457 1020 102 105 457 152 35 152 152 152 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 68 a Verificação da compressão nas bielas Da Tabela 52 ver item 5111 para concreto C40 determinase a força cortante máxima que a viga pode resistir 9485 0 6515 2 96 d 0 65b V w Rd2 kN 9485 kN V 4760 kN 41 3400 V Rd2 Sd não ocorrerá esmagamento do concreto nas bielas b Cálculo da armadura transversal Da Tabela 52 para concreto C40 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é 2335 016015296 d 0160b V w Sdmín kN 2335 kN V 4760 kN V Sdmín Sd portanto devese calcular a armadura transversal Da equação para Asw na Tabela 52 concreto C40 0 2715 2 96 2 55 4760 0 27 b d 2 55 V A w Sd sw 853 cm2m A armadura mínima para estribo a 90 e aço CA50 é w ywk m ct swmín b f 20 f A 3 51 40 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa 0351 kNcm2 213 15 2 50 20 0 351 A swmín cm2m Como Asw 853 cm2m Aswmín 213 cm2m devese dispor a armadura calculada c Detalhamento da armadura transversal c1 Diâmetro do estribo 5 mm t bw10 15210 152 mm c2 Espaçamento máximo entre os estribos 067VRd2 067 9485 6355 kN VSd 4760 6355 kN s 06d 30 cm 06d 06 96 576 cm Portanto s 30 cm c3 Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo 020VRd2 020 9485 1897 kN VSd 4760 1897 kN st 06d 35 cm 06d 576 cm Portanto st 35 cm UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 69 c4 Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos Considerando estribo com dois ramos verticais para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A1 devese determinar a área de apenas um ramo do estribo Portanto para a área de armadura transversal de 853 cm2m e estribo com dois ramos 4 27 2 8 53 A sw 1 ramo cm2m Com a área de um ramo na Tabela A1 encontrase 8 mm c11 cm 455 cm2m Como o espaçamento máximo entre estribos é 30 cm é possível estribo a c11 cm A distância entre os eixos de dois ramos verticais do estribo também atende ao máximo permitido st 35 cm Os ramos horizontais do estribo têm o comprimento bw 2c 152 2 20 11 cm Os ramos verticais têm o comprimento h 2c 102 2 20 98 cm 520 QUESTIONÁRIO 1 Em uma viga de Concreto Armado biapoiada sob carregamento de apenas duas forças concentradas P aplicadas nos terços do vão mostre como se apresentam as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão o que diferencia o trecho de flexão pura dos demais trechos em que instante do carregamento surge a primeira fissura de flexão em uma seção como são as fissuras por flexão por flexão com força cortante e por apenas força cortante como é a configuração comum da fissuração no instante da ruptura 2 Mostre como se apresentam as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão em uma viga biapoiada sob carregamento uniforme 3 Em uma viga contínua sobre três apoios simples e dois tramos e com carregamento uniforme como se mostram as trajetórias das tensões principais 4 Desenhe em uma viga contínua sobre três apoios simples e dois tramos qual seria a inclinação mais favorável para os estribos Explique 5 Por que há indicação de um espaçamento máximo entre os estribos 6 Quais são os principais mecanismos básicos de transferência de força cortante em uma viga Explique 7 Quais são os principais fatores que influenciam na resistência de vigas à força cortante Explique 8 Explique o comportamento das vigas com armadura transversal 9 Qual a função dos estribos nas vigas Comente sobre a forma de atuação dos ramos verticais e horizontais dos estribos verticais na resistência de vigas à força cortante 10 Mostre as diferentes possibilidades de ruptura por força cortante de vigas com armadura transversal 11 Explique a analogia de uma viga fissurada com a treliça clássica Quais as hipóteses da treliça clássica 12 Explique a função das diagonais de compressão 13 Qual a configuração da treliça generalizada Quais as diferenças principais em relação à treliça clássica 14 Por que a treliça clássica conduz a uma armadura transversal exagerada 15 Nas treliças clássica e generalizada estude como surgem as equações para cálculo da armadura transversal Asw e para a verificação da tensão na biela comprimida 16 Quais as diferenças nos valores da armadura transversal e da tensão na biela de compressão quando é igual a 45 ou 90 17 Quais as indicações para adoção do ângulo nas vigas 18 Por que pode ser feita uma redução da força cortante nos apoios Como deve ser considerada 19 De que modo é feita a verificação do concreto comprimido nas bielas 20 O que são os Modelos de Cálculo I e II Quais as diferenças entre eles 21 Qual o significado da parcela Vco e como é deduzida 22 Como é calculada a parcela Vc1 O que ela representa 23 O que significam os valores VSdmín e VRd2 24 Qual o valor da armadura mínima à força cortante 25 Quais os limites para o diâmetro e o espaçamento dos estribos UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 70 521 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcular e detalhar a armadura transversal para as vigas mostradas na Figura 552 Figura 553 e Figura 554 submetidas à flexão simples e sendo comuns os seguintes valores c f 14 s 115 CA 50 ou CA60 1 Para a viga da Figura 552 C25 c 20 cm bw 20 cm h 50 cm d 45 cm 2 Idem ao primeiro exercício mas com a modificação do concreto para o C30 Compare os resultados encontrados 3 Para a viga da Figura 553 C25 c 25 cm bw 14 cm h 60 cm d 56 cm 600 cm 20 20 25 kNm ef Figura 552 Esquema estático e carregamento externo na viga 550 cm 2 30 20 kNm 50 kN 2 30 Figura 553 Esquema estático e carregamento externo na viga 4 Para a viga da Figura 554 C40 c 25 cm d 93 cm Vkmáx 250 kN A viga é do tipo prémoldada com comprimento total de 1060 m UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 71 58 15 125 125 40 12 40 cm 30 100 cm Figura 554 Dimensões cm da seção transversal da viga I 522 REFERÊNCIAS 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p 2 HSU TTC MAU ST CHEN B A theory of shear transfer strength of reinforced concrete AC1 Structural Journal v84 n2 1987 pp149160 3 HSU TTC Softened truss model theory for shear and torsion AC1 Structural Journal v85 n6 1988 pp624635 4 PANG XBD HSU TTC Fixed angle softened truss model for reinforced concrete ACI Structural Journal v93 n2 1996 pp197207 5 REINECK KH Shear design based on truss models with crackfriction Comité EuroInternational du Béton CEB Bulletin d Information n 223 Ultimate limit state design models A stateoftheart report 1995 pp137157 6 MITCHELL D COLLINS MP Diagonal compression field theory A rational mode1 for structural concrete in pure torsion Journal of American Concrete Institute v71 n8 Aug 1974 pp396408 7 VECCHIO FJ COLLINS MP The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear ACI Journal v83 n2 1986 pp21931 8 HAWKINS NM KUCHMA DA MAST RF MARSH ML REINECK KH Simplified shear design of structural concrete members NCHRP Report 549 Washington Transportation Research Board 2005 55p 9 LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado v 1 Rio de Janeiro Ed Interciência 1982 305p 10 FENWICK RC PAULAY SRT Mechanisms of shear resistance of concrete beams Journal of Structural Engineering ASCE v94 n10 1968 pp23252350 11 MACGREGOR JG WIGHT JK Reinforced concrete Mechanics and 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dowel bar embedded in concrete ACI Structural Journal v89 n6 1992 pp665675 18 KREFELD WJ THURSTON CW Contribution of longitudinal steel to shear resistance of reinforced concrete beams ACI Journal mar 1966 pp325342 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 72 19 VINTZILEOU E Shear transfer by dowel action and friction as related to size effects COMITÉ EURO INTERNATIONAL DU BÉTON CEB Bulletin d Information n237 Concrete tension and size effects April 1997 pp5377 20 AMERICAN SOCIETY CIVIL ENGINEERS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Recent approaches to shear design of structural concrete StateoftheArtReport ASCEACI Committee 445 on Shear and Torsion Journal of Structural Engineering v124 n12 1998 pp13751417 21 FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p 22 MÖRSCH E Der EisenbetonbauSeine Anwendung und Theorie 1st ed Wayss and Freytag A G Im Selbstverlag der Firma Neustadt a d Haardt Germany 1902 23 MÖRSCH E Der EisenbetonbauSeine Theorie und Anwendung Reinforced concrete construction Theory and application 5th ed Wittwer Sttugart v1 Part 1 1920 24 MÖRSCH E Der EisenbetonbauSeine Theorie und Anwendung Reinforced concrete construction Theory and application 5th ed Wittwer Sttugart v1 Part 2 1922 25 AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI 31814 Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary ACI committee 318 2014 520p 26 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON Codemodèle CEBFIP pour les structures au béton CEB Bulletin DInformation n 124125 1979 27 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto e execução de estruturas de concreto armado NB 1 Rio de Janeiro ABNT 1978 76p 28 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON Model Code 1990 MC90 CEBFIP Bulletin DInformation n 204 Lausanne 1991 29 EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION Eurocode 2 Design of concrete structures Part 1 General rules and rules for buildings London BSI 1992 30 GARCIA SLG Taxa de armadura transversal mínima em vigas de concreto armado Tese Doutorado Rio de Janeiro Universidade Federal do Rio de Janeiro 2002 207p 31 SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 1 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1985 376p 32 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Concreto para fins estruturais Classificação pela massa específica por grupos de resistência e consistência NBR 8953 ABNT 2009 4p 33 PFEIL W Pontes em concreto armado Elementos de projeto solicitações e superestrutura v 1 Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora 3a ed 1983 225p UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 73 TABELAS ANEXAS Tabela A1 ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA cm2m Espaçamento cm Diâmetro Nominal mm 42 5 63 8 10 125 5 277 400 630 1000 1600 2500 55 252 364 573 909 1455 2273 6 231 333 525 833 1333 2083 65 213 308 485 769 1231 1923 7 198 286 450 714 1143 1786 75 185 267 420 667 1067 1667 8 173 250 394 625 1000 1563 85 163 235 371 588 941 1471 9 154 222 350 556 889 1389 95 146 211 332 526 842 1316 10 139 200 315 500 800 1250 11 126 182 286 455 727 1136 12 115 167 262 417 667 1042 125 111 160 252 400 640 1000 13 107 154 242 385 615 962 14 099 143 225 357 571 893 15 092 133 210 333 533 833 16 087 125 197 313 500 781 17 081 118 185 294 471 735 175 079 114 180 286 457 714 18 077 111 175 278 444 694 19 073 105 166 263 421 658 20 069 100 158 250 400 625 22 063 091 143 227 364 568 24 058 083 131 208 333 521 25 055 080 126 200 320 500 26 053 077 121 192 308 481 28 049 071 112 179 286 446 30 046 067 105 167 267 417 33 042 061 095 152 242 379 Diâmetros especificados pela NBR 7480 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 74 Tabela A2 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA50 nervurado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 63 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 8 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 10 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 125 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 16 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 20 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 225 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 25 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 32 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 40 303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b c 14 s 115 UNESP BauruSP Dimensionamento de vigas à força cortante 75 Tabela A3 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM b cm para Asef Ascalc e aço CA60 entalhado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 34 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 42 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 5 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 6 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 7 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 8 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 95 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência b Sem e Com ganchos nas extremidades Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo 100 mm 10 30 b mín b c 14 s 115