Notas de Aula: Estruturas de Concreto II - Vigas de Concreto Armado

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Campus de BauruSP Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 2123 ESTRUTURAS DE CONCRETO II VIGAS DE CONCRETO ARMADO Prof Dr PAULO SÉRGIO BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Junho2017 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de ser as notas de aula da disciplina 2123 Estruturas de Concreto II do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP Deve ser estudada na sequência da apostila Ancoragem e Emenda de Armaduras Para auxiliar no aprendizado encontramse publicados três videoaulas no YOUTUBE no canal Paulo Sergio Bastos O texto apresenta algumas das prescrições contidas na NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Procedimento para o projeto de vigas de Concreto Armado Para facilitar o entendimento do estudante está incluído um exemplo completo do cálculo dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua com dois tramos e três apoios Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos Críticas e sugestões serão bemvindas SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 2 DEFINIÇÃO 1 3 ANÁLISE ESTRUTURAL 1 31 Análise Linear item 1452 1 32 Análise Linear com Redistribuição item 1453 2 33 Análise Plástica item 1454 2 34 Análise Não Linear item 1455 2 35 Análise por Meio de Elementos Físicos item 1456 3 36 Hipóteses Básicas 3 4 VÃO EFETIVO 3 5 ALTURA E LARGURA 4 6 INSTABILIDADE LATERAL 4 7 ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃO 5 71 Rigidez 5 72 Restrições para a Redistribuição 5 73 Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de Ductilidade 5 8 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFÍCIOS 7 9 GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS 11 10 CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS 11 11 ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 11 12 ARMADURA DE SUSPENSÃO 12 13 EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA 14 131 Estimativa da Altura da Viga 15 132 Vão Efetivo 15 133 Instabilidade Lateral da Viga 18 134 Cargas na Laje e na Viga 18 135 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 19 136 Rigidez da Mola 20 137 Esforços Solicitantes 20 138 Dimensionamento das Armaduras 23 1381 Armadura Mínima de Flexão 23 1382 Armadura de Pele 24 1383 Armadura Longitudinal de Flexão 24 13831 Momento Fletor Negativo 24 13832 Momento Fletor Positivo 26 1384 Armadura Longitudinal Máxima 27 139 Armadura Transversal para Força Cortante 27 1391 Pilar Intermediário P2 28 1392 Pilares Extremos P1 e P3 29 1393 Detalhamento da Armadura Transversal 29 1310 Ancoragem das Armaduras Longitudinais 30 13101 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 30 13102 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 33 13103 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 34 1311 Detalhamento da Armadura Longitudinal 34 REFERÊNCIAS 36 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 1 1 INTRODUÇÃO O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 611820141 relativos às vigas contínuas de edificações A norma publicada em maio de 2014 substituiu a versão anterior de 2003 2 DEFINIÇÃO Vigas são elementos lineares em que a flexão é preponderante NBR 6118 14411 Elemento linear é aquele em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal sendo também denominado barra 3 ANÁLISE ESTRUTURAL No item 142 a NBR 6118 apresenta uma série de informações relativas à Análise Estrutural como princípios gerais hipóteses tipos etc de elementos lineares e de superfície além de vigas parede pilaresparede e blocos Segundo o item 1421 O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura com a finalidade de efetuar verificações dos estadoslimites últimos e de serviço A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos tensões deformações e deslocamentos em uma parte ou em toda a estrutura A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao objetivo da análise Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar as verificações previstas nesta Norma O modelo deve representar a geometria dos elementos estruturais os carregamentos atuantes as condições de contorno as características e respostas dos materiais sempre em função do objetivo específico da análise A resposta dos materiais pode ser representada por um dos tipos de análise estrutural apresentados em 1451 a 1455 item 1422 No item 145 a NBR 6118 apresenta cinco métodos de análise estrutural para o projeto que se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura não perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes Os métodos de análise admitem que os deslocamentos da estrutura são pequenos 31 Análise Linear item 1452 Admitese comportamento elásticolinear para os materiais Significa que vale a lei de Hooke existe proporcionalidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais num ciclo carregamentodescarregamento Na análise global as características geométricas podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais Em análises locais para cálculo dos deslocamentos na eventualidade da fissuração esta deve ser considerada Na análise global considerase o conjunto da estrutura e na análise local apenas um elemento estrutural isolado Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson devem ser adotados de acordo com o apresentado em 828 e 829 devendo em princípio ser considerado o módulo de elasticidade secante Ecs Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de estadoslimites de serviço Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir de base para o dimensionamento dos elementos estruturais no estadolimite último mesmo que esse dimensionamento admita a plastificação dos materiais desde que se garanta uma dutilidade mínima às peças 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 ABNT 2014 238p 2 O item 14 contém diversas outras informações não apresentadas neste texto UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 2 32 Análise Linear com Redistribuição item 1453 Na análise linear com redistribuição os efeitos das ações determinados em uma análise linear são redistribuídos na estrutura para as combinações de carregamento do ELU Nesse caso as condições de equilíbrio e de dutilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas Todos os esforços internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilíbrio de cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo Os efeitos de redistribuição devem ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural inclusive as condições de ancoragem e corte de armaduras e as forças a ancorar Cuidados especiais devem ser tomados com relação aos carregamentos de grande variabilidade As verificações de combinações de carregamento de ELS ou de fadiga podem ser baseadas na análise linear sem redistribuição De uma maneira geral é desejável que não haja redistribuição de esforços nas verificações em serviço 33 Análise Plástica item 1454 A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser consideradas admitindose materiais de comportamento rígidoplástico perfeito ou elastoplástico perfeito Este tipo de análise deve ser usado apenas para verificações de ELU A Figura 1 e a Figura 2 ilustram os diagramas tensãodeformação dos dois materiais y y y y Figura 1 Material rígidoplástico perfeito Figura 2 Material elastoplástico perfeito A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando a se consideram os efeitos de segunda ordem global b não houver suficiente dutilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga devese evitar o cálculo plástico observandose as prescrições contidas na Seção 23 34 Análise Não Linear item 1455 Na análise não linear considerase o comportamento não linear dos materiais Toda a geometria da estrutura bem como todas as suas armaduras precisam ser conhecidas para que a análise não linear possa ser efetuada pois a resposta da estrutura depende de como ela foi armada Condições de equilíbrio de compatibilidade e de dutilidade devem ser necessariamente satisfeitas Análises não lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estadoslimites últimos como para verificações de estadoslimites de serviço Para análise de esforços solicitantes no estadolimite último os procedimentos aproximados definidos na Seção 15 podem ser aplicados UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 3 35 Análise por Meio de Elementos Físicos item 1456 Na análise através de modelos físicos o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de concreto considerando os critérios de semelhança mecânica A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a correta interpretação dos resultados Neste caso a interpretação dos resultados deve ser justificada por modelo teórico de equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados podese adotar as margens de segurança prescritas nesta Norma conforme as Seções 11 e 12 Caso contrário quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados deve ser ampliada a margem de segurança referida nesta Norma cobrindo a favor da segurança as variabilidades avaliadas por outros meios Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estadoslimites últimos e de serviço a serem empregados na análise da estrutura Todas as ações condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão fora do escopo desta Norma Para o caso de provas de carga devem ser atendidas as prescrições da Seção 25 36 Hipóteses Básicas No item 146 a NBR 6118 apresenta as hipóteses básicas para estruturas de elementos lineares Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares vigas pilares tirantes arcos pórticos grelhas treliças podem ser analisadas admitindose as seguintes hipóteses a manutenção da seção plana após a deformação b representação dos elementos por seus eixos longitudinais c comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elemento estrutural 4 VÃO EFETIVO O vão efetivo NBR 6118 14624 é calculado pela expressão ef 0 a1 a2 Eq 1 com a1 h 30 t1 2 e a2 h 30 t2 2 As dimensões 0 t1 t2 e h estão indicadas na Figura 3 h 0 t t 1 2 Figura 3 Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo de vigas UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 4 5 ALTURA E LARGURA De modo geral a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem embutidas nas paredes de vedação de tal forma que não possam ser percebidas visualmente Para que isso ocorra a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede a qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria tijolo maciço bloco furado bloco de concreto etc e da espessura da argamassa de revestimento reboco nos dois lados da parede O revestimento com argamassa tem usualmente a espessura de 15 cm a 20 cm e o com gesso em torno de 5 a 6 mm Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria com as dimensões as mais variadas tanto para os blocos cerâmicos de seis como para os de oito furos como também para os tijolos maciços cerâmicos Antes de se definir a largura da viga é necessário portanto definir o tipo e as dimensões da unidade de alvenaria levandose em consideração a posição em que a unidade será assentada No caso de construções de pequeno porte como casas sobrados barracões etc onde é usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria para em seguida serem construídos os pilares as vigas e as lajes é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem os revestimentos ou seja igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede A altura das vigas depende de diversos fatores sendo os mais importantes o vão o carregamento e a resistência do concreto A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência mecânica e baixa deformabilidade flecha Considerando por exemplo o esquema de uma viga como mostrado na Figura 4 para concretos do tipo C20 e C25 e construções de pequeno porte uma indicação prática para a estimativa da altura das vigas de Concreto Armado é dividir o vão efetivo por doze isto é 12 12 e h h 2 ef 2 1 ef 1 Eq 2 Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser considerados valores maiores que doze na Eq 2 Vigas para edifícios de vários pavimentos onde as ações horizontais do vento impliquem esforços solicitantes consideráveis sobre a estrutura devem ter a altura definida em função dos esforços a que estarão submetidas h 1 h 2 ef 1 ef 2 Figura 4 Valores práticos para estimativa da altura das vigas A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm ou de 10 em 10 cm A altura mínima indicada é de 25 cm Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma certa padronização a fim de evitar várias alturas diferentes 6 INSTABILIDADE LATERAL Segundo a NBR 6118 item 1510 A segurança à instabilidade lateral de vigas deve ser garantida através de procedimentos apropriados Como procedimento aproximado podese adotar para vigas de concreto com armaduras passivas ou ativas sujeitas à flambagem lateral as seguintes condições b 0 50 Eq 3 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 5 b fl h Eq 4 onde b largura da zona comprimida h altura total da viga 0 comprimento do flange comprimido medido entre suportes que garantam o contraventamento lateral fl coeficiente que depende da forma da viga conforme apresentado na Tabela 1 Tabela 1 Valores de fl Tabela 151 da NBR 6118 Tipologia da viga Valores de fl b b b b b 040 b b b b b 020 Onde o hachurado indica zona comprimida 7 ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃO No item 1464 Análise linear com ou sem redistribuição a NBR 6118 apresenta diversas informações que aplicamse a estruturas de elementos lineares onde se considera a análise linear com ou sem redistribuição dos efeitos das ações para a estrutura determinados para as combinações de carregamento do estadolimite último ELU O item contém informações importantes relativas às vigas e são aqui apresentadas 71 Rigidez Para o cálculo da rigidez dos elementos estruturais permitese como aproximação tomar o módulo de elasticidade secante Ecs ver 828 e o momento de inércia da seção bruta de concreto Para verificação das flechas devem obrigatoriamente ser consideradas a fissuração e a fluência usando por exemplo o critério de 17321 NBR 6118 14641 72 Restrições para a Redistribuição As redistribuições de momentos fletores e de torção em pilares elementos lineares com preponderância de compressão e consolos só podem ser adotadas quando forem decorrentes de redistribuições de momentos de vigas que a eles se liguem Quando forem utilizados procedimentos aproximados apenas uma pequena redistribuição é permitida em estruturas de nós móveis ver 14643 As redistribuições implícitas em uma análise de segunda ordem devem ser realizadas de acordo com a Seção 15 NBR 6118 14642 73 Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de Ductilidade Quando for feita redistribuição de momentos fletores nas vigas é importante garantir boas condições de ductilidade No item 14643 a NBR 6118 apresenta limites para redistribuição de UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 6 momentos fletores e condições de ductilidade afirmando que a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Eq 5 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fletores negativos nos apoios intermediários de vigas contínuas Isso possibilita uma aproximação nos valores dos momentos fletores negativos com os momentos fletores positivos nos vãos o que leva a seções transversais menores e projetos mais econômicos A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços solicitantes ao longo da viga o que deve ser levado em consideração no dimensionamento Conforme a norma Quando for efetuada uma redistribuição reduzindose um momento fletor de M para M em uma determinada seção transversal a profundidade da linha neutra nessa seção xd para o momento reduzido M deve ser limitada por a xd 044125 para concretos com fck 50 MPa b xd 056125 para concretos com 50 MPa fck 90 MPa Eq 6 O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer aos seguintes limites a 090 para estruturas de nós móveis b 075 para qualquer outro caso Eq 7 Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica com verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas A Figura 5 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno A diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante pois permite que se faça uma aproximação entre os momentos negativos e positivos Na versão de 1978 da norma NB178 era permitido plastificar isto é diminuir em até 15 o momento fletor negativo nos apoios internos de vigas contínuas UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 7 Plastificação do momento negativo Acréscimo no momento positivo Acréscimo no momento positivo Figura 5 Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas Quando o momento é de equilíbrio como no caso de vigas em balanço por exemplo a plastificação não é permitida 8 APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFÍCIOS No item 14661 a NBR 6118 apresenta considerações relativas ao projeto de vigas contínuas Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua simplesmente apoiada nos pilares para o estudo das cargas verticais observandose a necessidade das seguintes correções adicionais a não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos Figura 6 MA M1c MB MC MD M M vão extremo 1i M 3i M 2i M A M MB MC MD M1c M1i 2i M M2c 3i M 3c M vão interno 3c 2c Figura 6 Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 8 b quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio medida na direção do eixo da viga for maior que a quarta parte da altura do pilar não pode ser considerado o momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio Figura 7 b int ef ef ef ef Figura 7 Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas c quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga deve ser considerado nos apoios extremos momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos ver Eq 8 Eq 9 e Eq 10 Este item referese à ligação das vigas com os apoios extremos Inicialmente consideramse os pilares extremos como apoios simples e os apoios intermediários internos seguem a regra do item b e assim definese o esquema estático ao longo de toda a viga Todos os momentos fletores são calculados para a viga assim esquematizada Figura 8 O momento fletor de ligação da viga com os pilares extremos é calculado fazendose o equilíbrio do momento fletor de engastamento perfeito no pilar extremo o que pode ser feito rapidamente aplicandose a Eq 8 Os momentos fletores que atuam nos lances inferior e superior do pilar extremo Figura 9 são obtidos segundo a Eq 9 e a Eq 10 Mlig eng M Figura 8 Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo Se bint e4 Se bint e4 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 9 1 2 M sup M lig M sup 1 2 M inf M inf tramo extremo pilar de extremidade nível i nível i 1 nível i 1 1 2 Miinf i 1sup M 1 2 M M isup i 1inf i 1sup M 1 2 M iinf isup M 1 2 M i 1inf tramo superior do pav i tramo inferior do pav i Figura 9 Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo Os momentos fletores são os seguintes na viga sup inf vig sup inf eng lig r r r r r M M Eq 8 no tramo superior do pilar sup inf vig sup eng sup r r r r M M Eq 9 no tramo inferior do pilar sup inf vig inf eng inf r r r r M M Eq 10 com rinf rigidez do lance inferior do pilar rsup rigidez do lance superior do pilar rvig rigidez do tramo extremo da viga Meng momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo considerando engastamento perfeito no pilar intermediário A rigidez é a razão entre o momento de inércia da seção transversal e o comprimento do elemento i i i I r Eq 11 onde ri rigidez do elemento i no nó considerado No caso da rigidez da viga i é o vão efetivo entre o apoio extremo e o apoio interno adjacente No caso da rigidez do pilar i é tomado como a metade do comprimento equivalente do lance do pilar como indicado na Figura 10 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 10 sup vig 2 inf 2 Figura 10 Aproximação em apoios extremos O método de cálculo com aplicação da Eq 8 Eq 9 e Eq 10 é simples de ser feito e não requer computadores e programas Segundo a NBR 6118 14661 Alternativamente o modelo de viga contínua pode ser melhorado considerandose a solidariedade dos pilares com a viga mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários E ainda A adequação do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa dos resultados obtidos Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos nós vigapilar especialmente nos modelos mais simples como o de vigas contínuas No caso de introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos a viga fica vinculada ao apoio extremo por meio de um engastamento elástico mola Esta solução é mais consistente que a opção anterior porém o cálculo manual fica dificultado A rigidez à flexão da mola é avaliada pela equação Kmola Kpsup Kpinf Eq 12 onde Kpsup rigidez do lance superior do pilar extremo Kpinf rigidez do lance inferior do pilar extremo sendo sup sup sup p 4 EI K e inf inf inf p 4 EI K Eq 13 com E Ecs módulo de elasticidade secante do concreto I momento de inércia do lance do pilar sup e inf comprimento equivalente dos lances superior e inferior do pilar respectivamente tomados com valor sup 2 e inf 2 ver Figura 10 conforme item 14661 da NBR 6118 O coeficiente quatro na Eq 13 é para o caso de uma barra com vínculos de apoio simples e engaste perfeito nas extremidades No caso de ambos os vínculos serem apoios simples barra biarticulada o coeficiente é três Nos pavimentos tipos de edifícios como os pilares têm as mesmas características seção transversal concreto altura etc temse Kpsup Kpinf e Kmola 8 EI Eq 14 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 11 9 GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS Os pavimentos dos edifícios podem ser modelados como grelhas para o estudo das cargas verticais considerandose a rigidez à flexão dos pilares de maneira análoga à que foi prescrita para as vigas contínuas De maneira aproximada nas grelhas e nos pórticos espaciais podese reduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração utilizandose 15 da rigidez elástica exceto para os elementos estruturais com protensão limitada ou completa classes 2 ou 3 Modelos de grelha e pórticos espaciais para verificação de estadoslimites últimos podem ser considerados com rigidez à torção das vigas nula de modo a eliminar a torção de compatibilidade da análise ressalvando o indicado em 17512 Perfis abertos de parede fina podem ser modelados considerando o disposto em 175 10 CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kNm2 e que seja no máximo igual a 50 da carga total a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância de cargas 11 ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES Conforme a NBR 6118 1463 O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado sobre os apoios e pontos de aplicação de forças consideradas concentradas e em nós de pórticos Esse arredondamento pode ser feito de maneira aproximada conforme indicado na Figura 11 e os valores seguintes t 4 R R M 1 2 Eq 15 4 R t M 1 1 Eq 16 4 t R M 2 2 Eq 17 8 R t M Eq 18 M M M 1 M M 2 2 2 2 R 1 R 2 M M R 1 Figura 11 Arredondamento do diagrama de momentos fletores UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 12 12 ARMADURA DE SUSPENSÃO Segundo a NBR 6118 item 1836 Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em parte de sua altura ou fiquem nela pendurados deve ser colocada armadura de suspensão Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio se direto ou indireto No apoio direto como mostrado na Figura 12 a carga da viga vai direto para o apoio como no caso de um pilar por exemplo No apoio indireto a carga caminha da viga que é suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte Figura 12 Apoios diretos e indiretos FUSCO 2000 Segundo FUSCO 2000 nos apoios indiretos o equilíbrio de esforços internos da viga suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão funcionando como um tirante interno que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da viga suporte até o seu banzo superior A força F no tirante interno está indicada na Figura 13 A armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a totalidade da reação de apoio da viga que é suportada Figura 13 Esquema de treliça em apoios indiretos FUSCO 2000 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 13 A Figura 14 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga As trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à armadura Figura 14 Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos FUSCO 2000 Na Figura 15 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios indiretos A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas Como isso normalmente é difícil de se executar na prática uma parte da armadura pode ser colocada na região vizinha ao cruzamento tão próxima quanto possível Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível a armadura de suspensão pode ser dimensionada para a força Rtt de valor 2 1 apoio tt h h R R Eq 19 com h1 h2 h1 altura da viga que apoia h2 altura da viga suporte UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 14 Figura 15 Detalhes da armadura de suspensão FUSCO 2000 13 EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA A Figura 16 Figura 17 e Figura 18 mostram a planta de fôrma um corte esquemático e a estrutura de concreto em três dimensões de uma edificação com dois pavimentos utilizáveis térreo e pavimento superior Pedese projetar e detalhar as armaduras da viga VS1 São conhecidos edificação em área urbana de cidade não litorânea e não industrial agressiva3 classe II de agressividade ambiental concreto C25 fck 25 MPa relação ac 060 cnom 25 cm para c 5 mm peso específico do Concreto Armado conc 25 kNm3 aço CA50 coeficientes de ponderação c f 14 s 115 conforme a NBR 6120 argrev 19 kNm3 peso específico da argamassa de revestimento argcontr 21 kNm3 peso específico da argamassa de contrapiso ou de regularização 3 Para todo o conjunto ou partes da estrutura deve ser definida a classe de agressividade ambiental em função da agressividade do ambiente a que o elemento ou estrutura estiver submetida de modo a fixar valores como a resistência à compressão do concreto fck relação águacimento máxima ac cobrimento do concreto c etc conforme a NBR 6118 Cuidado especial deve ser dado na definição da classe de agressividade ambiental especialmente nas regiões litorâneas sob influência de agressividade marítima UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 15 OBSERVAÇÕES a há uma parede de vedação apoiada sobre a viga em toda a sua extensão constituída por blocos cerâmicos de oito furos de dimensões de 9 x 19 x 19 cm com espessura final4 de 23 cm e altura5 de 240 m b a laje é do tipo préfabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 243 kNm2 c ação variável nas lajes de 20 kNm2 carga acidental q NBR 6120 d revestimento piso final em porcelanato6 sobre a laje com piso 020 kNm2 e a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados por se tratar de uma edificação de baixa altura apenas dois pavimentos em região não sujeita a ventos de alta intensidade7 RESOLUÇÃO A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da estrutura apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos Outras formas de análise podem ser feitas considerandose por exemplo a viga VS1 como sendo parte de um pórtico plano como aquele mostrado na Figura 17 ou compondo uma grelha com as lajes e vigas do pavimento Neste caso haveria uma melhor interação com as demais vigas VB1 e VC1 e com os pilares de apoio Uma outra forma possível de cálculo seria considerar toda a estrutura como um pórtico tridimensional ou espacial ver item 9 como pode ser feito com a aplicação de alguns programas computacionais comerciais de cálculo de estruturas de concreto 131 Estimativa da Altura da Viga Para estimar a altura da viga é necessário considerar inicialmente um vão para a viga no caso a distância entre os centros dos pilares de apoio 719 cm Assim a altura da viga para concreto C25 pode ser adotada pela Eq 2 como 59 9 12 719 12 h ef cm h 60 cm Supõese que a parede sob a viga posicionada no pavimento térreo na qual a viga VS1 ficará embutida será confeccionada com blocos cerâmicos furados 9 x 19 x 19 cm posicionados deitados na dimensão de 19 cm de modo que a viga deverá ter também a largura de 19 cm a fim de facilitar a execução8 Assim a viga será calculada inicialmente com seção transversal 19x60 cm 132 Vão Efetivo Os vãos efetivos dos tramos 1 e 2 da viga são iguais Considerando as medidas mostradas na Figura 16 de acordo com a Eq 1 são 4 A espessura final real da parede pode não coincidir com a espessura da parede especificada no projeto arquitetônico da edificação sendo comum as larguras de 15 e 25 cm nesses projetos A espessura final depende da largura da unidade de alvenaria bloco tijolo maciço etc e das espessuras dos revestimentos reboco de argamassa gesso etc 5 A altura da parede está mostrada na Figura 17 sendo a distância da face superior da viga VS1 até a face inferior da viga da cobertura VC1 6 Os pisos de porcelanato têm espessuras diferentes em função do fabricante e principalmente das dimensões das peças de modo que o peso específico pode variar muito devendo ser consultado com o fabricante 7 Segundo a NBR 6118 item 11421 Os esforços solicitantes relativos à ação do vento devem ser considerados e recomendase que sejam determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123 permitindose o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas 8 Em construções de pequeno porte geralmente as paredes de alvenaria são construídas antes da estrutura de concreto e para facilitar a execução é interessante que vigas e pilares tenham espessuras iguais às das paredes pois assim as tábuas da fôrma podem ser montadas apenas encostadas na alvenaria UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 16 18 cm 60 30 h 30 cm 59 192 t 2 t 2 a a 2 1 2 1 a1 a2 95 cm ef 0 a1 a2 700 95 95 719 cm Quando as dimensões dos pilares na direção do eixo longitudinal da viga são pequenas geralmente o vão efetivo é igual à distância entre os centros dos apoios como ocorreu neste caso VS1 19 x 60 VS2 19 x 70 1919 P1 VS3 19 x 60 VS4 19 x 45 VS5 19 x 45 VS6 19 x 45 1930 P4 1919 P7 1930 P2 P3 1919 P5 1930 1930 P8 P6 1930 P9 1919 719 719 523 523 Planta de Fôrma do Pavimento Superior Esc 150 45 16 L1 L2 L3 L4 Figura 16 Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 17 300 255 VB1 19 x 30 30 700 19 300 tramo 2 60 VS1 19 x 60 tramo 1 1919 P1 240 60 19 1930 P2 VC1 19 x 60 1919 P3 700 19 cobertura pav superior pav térreo viga baldrame Figura 17 Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 18 Figura 18 Vistas da estrutura em três dimensões 133 Instabilidade Lateral da Viga Como existe laje apoiada na região superior da viga na extensão onde ocorrem tensões normais de compressão provocadas pelo momento fletor positivo a estabilidade lateral da viga está garantida pela laje Na extensão dos momentos fletores negativos onde a compressão ocorre na região inferior da viga e não existe laje inferior travando a viga não deverá ocorrer problema porque o banzo comprimido tem pequena extensão9 134 Cargas na Laje e na Viga Como se pode observar na Figura 16 as lajes L1 e L2 do piso do pavimento superior apoiamse somente sobre as vigas VS1 e VS2 pois as lajes são do tipo préfabricada treliçada onde os trilhos ou vigotas são unidirecionais O primeiro tramo da VS1 recebe parte da carga da laje L1 e o segundo tramo parte da laje L2 Para as lajes será considerada a altura de 16 cm com peso próprio10 de 243 kNm2 As argamassas de revestimento nos lados inferior e superior11 tem respectivamente a espessura média de 15 e 30 cm O revestimento de piso final porcelanato tem carga estimada em 20 kgfm2 Considerando os pesos específicos dados e a carga acidental a carga total por m2 de área da laje é peso próprio gpp 243 kNm2 argamassa de revestimento inferior grev 19 0015 029 kNm2 argamassa de regularização contrapiso gcontr 21 003 063 kNm2 piso final gpiso 020 kNm2 ação variável q 200 kNm2 CARGA TOTAL Laje p 555 kNm2 As nervuras vigotas das lajes unidirecionais podem ser consideradas simplesmente apoiadas ou engastadas nos apoios quando não existir ou existir continuidade com lajes adjacentes 9 No caso de vigas invertidas é importante verificar com cuidado a questão da instabilidade lateral 10 O peso próprio das lajes préfabricadas são fornecidos pelos fabricantes podendo ser conferido pelo engenheiro 11 Também chamado contrapiso ou argamassa de regularização UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 19 respectivamente A carga da laje sobre a viga de apoio depende desta consideração Neste exemplo será considerado que as lajes têm as vigotas simplesmente apoiadas nas vigas VS1 VS2 e VS3 conforme as setas mostradas nos centros das lajes na Figura 16 Para efeito de cálculo da carga o vão das lajes L1 e L2 será tomado de centro a centro das vigas VS1 e VS2 laje 523 cm12 Considerando que os carregamentos que atuam na viga consistem de uma parede apoiada sobre a viga em toda a extensão composta por blocos furados de peso específico 13 kNm3 com espessura final de 23 cm e altura de 240 m com carga por metro quadrado de área de 320 kNm2 valor esse que considera os diferentes pesos específicos do bloco cerâmico e das argamassas de assentamento 1 cm e de revestimento 15 cm13 de uma laje préfabricada com carga total de 555 kNm2 com comprimento de 523 m e o peso próprio da viga de seção transversal de 19 x 60 cm o carregamento total atuante nos tramos 1 e 2 da VS1 é peso próprio gpp 25 019 06 285 kNm parede gpar 32 240 768 kNm laje glaje 555 5232 1451 kNm CARGA TOTAL Viga p 2504 kNm 135 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 O apoio intermediário da viga pilar P2 pode ser considerado como um apoio simples pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 7 o pilar deve ser assim classificado como demonstrado a seguir O comprimento equivalente do lance inferior do pilar é e 255 602 302 300 cm A largura do pilar P2 na direção do eixo longitudinal da viga bint é 19 cm menor que um quarto do comprimento equivalente do pilar e4 3004 75 cm isto é bint 19 cm 75 cm Portanto devese considerar o pilar interno P2 como apoio simples A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que e4 De acordo com a norma isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga bint fosse grande o suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades ou seja a viga seria considerada engastada no pilar P2 A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares extremos seja obrigatoriamente considerada Neste exemplo a viga será considerada vinculada aos pilares extremos P1 e P3 por meio de molas ou seja considerando os pilares como engastes elásticos Os carregamentos totais calculados para os tramos 1 e 2 da viga são iguais 2504 kNm e uniformemente distribuídos em toda a extensão do tramo Figura 19 p 2504 kNm 719 cm 719 tramo 1 tramo 2 Figura 19 Esquema estático e carregamento na viga 12 Tomar o vão da laje de centro a centro das vigas de apoio fica a favor da segurança considerando que as lajes serão construídas com as vigotas adentrando as vigas na região superior e não apoiadas sobre as bordas superiores das vigas 13 Valores encontrados em GIONGO JS Concreto armado projeto estrutural de edifícios São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos Usp Dep de Estruturas 2007 Disponível em 10915 httpwwwgdaceuembrromelMDidaticoEstruturasConcretoIIProjetoEstruturaldeEdificiosJ20SGingoEESCTurma2 2007pdf UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 20 136 Rigidez da Mola A rigidez da mola nos engastes elásticos representativos dos pilares extremos P1 e P3 é avaliada pela Eq 12 Kmola Kpsup Kpinf Considerando os pilares como articulados na base e no topo temse que o comprimento equivalente dos lances inferior e superior à VS1 são iguais 300 cm e como a seção transversal dos pilares não varia nos pavimentos as rigidezes dos lances inferior e superior são também iguais A rigidez K do pilar superior e inferior é Kpsup Kpinf 4 EI Com 2 conforme a NBR 6118 a rigidez da mola vale portanto 2 8 EI Kmola O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão NBR 6118 item 828 ck E ci f 5600 E 25 5600 21 33600 MPa 3360 kNcm2 com E 12 para brita de basalto também para diabásio Supondo que a viga vai estar microfissurada trabalhando em serviço Estádio II o módulo de elasticidade que deve ser considerado é o secante Ecs avaliado por Ecs i Eci com 01 80 f 20 80 ck i 01 0 8625 80 25 20 80 i ok Ecs 08625 3360 2898 kNcm2 Como a seção transversal do pilar é constante o momento de inércia dos lances inferior e superior são iguais e valem Ipsup Ipinf 10860 12 19 19 12 b h 3 3 cm4 onde Ip é o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos de uma seção retangular cuja dimensão h é aquela que corresponde na seção ao lado perpendicular ao eixo de flexão do pilar Ou em outras palavras o momento de inércia que interessa neste caso é aquele onde a dimensão elevada ao cubo é aquela coincidente com a direção do eixo longitudinal da viga Rigidez da mola 2 8 EI Kmola 678522 1 2 300 8 2898 10860 kNcm 137 Esforços Solicitantes UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 21 Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN414 CORRÊA et al 1992 que resolve pórticos planos e vigas fornecendo os esforços solicitantes e os deslocamentos no nós15 A Figura 20 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a viga em análise y 2504 kNm 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x 3595 3595 719 cm 719 3595 3595 Figura 20 Numeração dos nós e barras da viga O arquivo de dados de entrada tem o aspecto OPTE22222 UNESP BAURU DISC CONCRETO II VIGA EXEMPLO VS1 19 x 60 NOGL 1510014380 RES 1112001678522 5112001678522 311 BARG 141112111 PROP 11114034200060 MATL 12898 FIMG CARR1 CBRG 1411025041 FIMC FIME A Figura 21 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores valores característicos máximos obtidos no programa PPLAN4 A listagem dos resultados calculados pelo programa encontrase no Anexo II A flecha calculada pelo programa para o nó 2 031 cm é muito próxima à flecha máxima que ocorre no vão e serve como indicativo da deslocabilidade vertical da viga16 Considerando que por efeito da fluência do concreto a flecha aumentará em um fator próximo a 2 a flecha final na viga pode ser estimada como 031 2 06 cm 6 mm Na Tabela 133 da NBR 6118 item 133 consta que a flecha limite para Aceitabilidade sensorial visual como deslocamentos visíveis é 250 isto é 719250 29 cm muito maior portanto que a flecha da viga 06 cm Num outro quesito preconizado pela norma Efeitos em 14 O programa computacional e o manual encontramse disponíveis no endereço httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 15 Outros programas computacionais podem ser utilizados como por exemplo o Ftool 16 Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocandose outros nós à esquerda do nó 2 indicado na Figura 20 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 22 elementos não estruturais compostos por paredes de alvenaria caixilhos e revestimentos por exemplo os valoreslimites para a flecha são 500 719500 14 cm17 ou 10 mm ou 00017 rad Verificase que a flecha de 6 mm é menor que o deslocamentolimite de 10 mm preconizado pela norma18 A rotação máxima nos apoios do tramo foi de 00015 rad nós 1 e 5 no esquema da Figura 20 também menor que o valor limite Da análise concluise que é possível executar a viga com a seção transversal inicialmente proposta sem esperarse problema com flecha ao longo do tempo19 2517 728 180 8054 8054 14922 288 1073 1073 kNcm k M 2517 728 V kN k 288 40 Figura 21 Diagramas de esforços solicitantes característicos No caso dos momentos fletores máximos positivos devese comparar o valor mostrado na Figura 21 com o máximo momento fletor positivo obtido considerandose o vão engastado no apoio intermediário pilar P2 Figura 22 719 cm p 2504 kNm P1 P2 Figura 22 Esquema estático para obtenção do momento positivo considerando engate no apoio interno O arquivo de dados de entrada tem o aspecto OPTE22222 UNESP BAURU DISC CONCRETO II MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 17 Onde é o comprimento da parede 18 Vigas que servem de apoio para paredes devem ter os deslocamentoslimites avaliados cuidadosamente para evitar o surgimento de fissuras indesejáveis na parede por flecha excessiva Geralmente a solução mais comum para resolver problemas de flecha elevada é aumentar a altura da viga 19 Para uma análise mais precisa e cálculo elaborado da flecha pode ser consultado CARVALHO RC FIGUEIREDO FILHO JR Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado segundo a NBR 61182014 São Carlos v1 Ed EDUFSCar 2014 416p UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 23 VS1 19 x 60 NOGL 131007190 RES 1112001678522 3111 BARG 121112111 PROP 11114034200060 MATL 12898 FIMG CARR1 CBRG 1211025041 FIMC FIME O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 22 conforme o arquivo de dados acima resulta 8054 kNcm igual ao momento máximo positivo obtido para a viga contínua mostrada na Figura 21 A listagem dos resultados obtidos pelo programa PPLAN4 encontrase no final da apostila Anexo II 138 Dimensionamento das Armaduras Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal Para a armadura longitudinal serão adotados diferentes valores para a altura útil d em função do valor do momento fletor 1381 Armadura Mínima de Flexão A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo20 Mdmín 08 W0 fctksup 3 33 25 30 31 f 30 31 31 f f 3 2 3 2 ck ctm ctksup MPa 342000 12 60 19 12 b h I 3 3 cm3 11400 30 342000 y I W0 cm3 no estádio I y é tomado na meia altura da viga Mdmín 08 11400 0333 3037 kNcm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo tomando d 55 cm d 2 w c M d K b 18 9 3037 19 55 2 da Tabela A1 ver anexo temse Ks 0023 20 Apresentada em BASTOS PSS Flexão normal simples Vigas Disciplina 2117 Estruturas de Concreto I BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP fev2015 78p Disponível em 10915 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 24 d K M A d s s 1 27 55 0 023 3037 cm2 Para seção retangular e concreto C25 a taxa mínima de armadura mín ver Tabela A2 é de 015 Ac portanto Asmín 00015 19 60 171 cm2 127 cm2 Asmín 171 cm2 1382 Armadura de Pele A armadura de pele não é necessária dado que a viga não tem altura superior a 60 cm No entanto a fim de evitar fissuras de retração que surgem mesmo em vigas com altura de 50 cm será colocada uma armadura de pele com área de 005 Ac em cada face da viga que era a área de armadura de pele recomendada para vigas com alturas superiores a 60 cm na versão NB1 de 1978 Aspele 00005 19 60 057 cm2 4 42 mm 056 cm2 em cada face ver Tabela A3 ou Tabela A4 distribuídas ao longo da altura ver Figura 30 1383 Armadura Longitudinal de Flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos positivos e negativos que ocorrem ao longo da viga 13831 Momento Fletor Negativo a Apoio interno P2 O momento fletor atuante M na viga na seção sobre o pilar P2 é negativo e de valor 14922 kNcm Este momento é 185 vez maior que o máximo momento fletor positivo no vão de 8054 kNcm Uma forma de diminuir essa diferença é fazer uma redistribuição de esforços solicitantes como apresentado no item 73 Eq 6 e Eq 7 Isso é feito reduzindo o momento negativo de M para δM com δ 075 para estruturas de nós indeslocáveis A fim de exemplificar a redistribuição o momento fletor será reduzido em 10 com δ 09 e Mk 14922 kNcm δMk 09 14922 13430 kNcm Md f Mk 14 13430 18802 kNcm A redução do momento fletor negativo acarretará alterações nos demais valores dos esforços solicitantes M e V na viga bem como nos elementos estruturais a ela ligados o que deve ser considerado como mostrado adiante Figura 23 Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil d de 55 cm A capa da laje pré fabricada apoiada na região superior da viga está tracionada pelo momento fletor negativo e não pode ser considerada para contribuir na resistência às tensões normais de compressão de modo que a viga deve ser dimensionada como seção retangular 19 x 60 d 2 w c M d K b 13 18802 19 55 2 Da Tabela A1 temse 7125 ah UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 25 x xd 030 Ks 0026 e domínio 3 Conforme a Eq 5 x xd 045 e x xd 030 045 ok E também devido à redistribuição de esforços feita Eq 6 x xd δ 044125 09 044125 0368 037 x xd 030 037 ok Neste caso com x xd 030 os limites estão satisfeitos o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção d K M A d s s 8 89 55 0 026 18802 cm2 Asmín 171 cm2 algumas opções são ver Tabela A4 4 16 mm 1 125 mm 925 cm2 escolha adequada para construções de médiogrande porte21 6 125 mm 2 10 mm 910 cm2 escolha indicada para construções de pequeno porte 7 125 mm 875 cm2 escolha indicada para construções de pequeno porte Considerando que no adensamento do concreto da viga será aplicado um vibrador com diâmetro da agulha de 25 mm a distância livre horizontal entre as barras das camadas da armadura negativa deve ser superior a 25 mm Para cobrimento de 25 cm estribo com diâmetro de 5 mm e armadura composta por 7 125 mm conforme o detalhamento mostrado a distância livre resulta 72 3 4 1 25 50 52 2 19 ah cm distância livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador A posição do centro de gravidade da armadura é acg 25 05 125 10 525 cm 5 cm adotado no cálculo Com o momento fletor negativo diminuído em δ 09 M 13430 kNcm os valores dos esforços solicitantes na viga são alterados conforme mostrado na Figura 2322 isto é devese fazer a redistribuição de esforços solicitantes a serem considerados no cálculo das demais armaduras da viga e nos outros elementos estruturais ligados à viga como os pilares por exemplo P1 P2 e P3 21 Está se supondo que edificações de médio e grande porte tenham uma pessoa experiente o armador para cortar amarrar e montar as armaduras com equipamentos adequados onde a barra de 16 mm não oferece dificuldades Em obras de pequeno porte é indicado utilizar barras de diâmetro até 125 mm 22 O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 e o relatório de resultados encontramse no Anexo II ao final do texto UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 26 40 180 13430 8522 2733 M k kNcm 1049 1049 751 V kN k 2733 751 300 8522 300 Figura 23 Diagramas de esforços solicitantes característicos considerando a redistribuição em função da diminuição de M para δM na seção sobre o pilar P2 Com a redistribuição de esforços e o momento fletor negativo menor no apoio intermediário a flecha no vão aumenta para 035 cm Esse valor multiplicado por 20 para considerar o efeito da fluência no concreto sobre a flecha resulta 035 20 07 cm 7 mm um valor menor que o deslocamentolimite de 10 mm conforme já apresentado b Apoios extremos P1 e P3 Mk 2733 kNcm Md f Mk 14 2733 3826 kNcm Com d 56 cm d 2 w c M d K b 15 6 3826 19 56 2 Da Tabela A1 temse x xd 006 Ks 0024 e domínio 2 x xd 006 045 ok d K M A d s s 164 56 0 024 3826 cm2 Asmín 171 cm2 210 portanto As 171 cm2 2 10 mm 160 cm2 ver Tabela A4 que é uma área apenas um pouco menor que a área mínima 13832 Momento Fletor Positivo O momento fletor máximo positivo no vão após a redistribuição de esforços Figura 23 é Mk 8522 kNcm Md f Mk 14 8522 11931 kNcm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 27 A capa mesa da laje préfabricada com 4 cm de espessura está comprimida pelo momento fletor positivo e contribui com a viga em proporcionar resistência às tensões normais de compressão que ocorrem na parte superior da viga No entanto a contribuição não será considerada porque a espessura da mesa é pequena além de que em construções de pequeno porte sem fiscalização rigorosa não há certeza quanto à uniformidade da espessura da mesa Com d 56 cm d 2 w c M d K b 05 11931 19 56 2 Da Tabela A1 temse x xd 018 Ks 0025 e domínio 2 x xd 018 045 ok d K M A d s s 5 33 56 0 025 11931 cm2 Asmín 171 cm2 210 3125 algumas opções são ver Tabela A4 3 16 600 cm2 escolha adequada para construções de médiogrande porte 2 16 1 125 525 cm2 escolha indicada para construções de médiogrande porte 4 125 1 10 mm 580 cm2 escolha indicada para construções de pequeno porte 3 125 2 10 mm 535 cm2 escolha indicada para construções de pequeno porte Os cálculos seguintes serão feitos considerando a quarta opção 3 125 2 10 mm 535 cm2 1384 Armadura Longitudinal Máxima A soma das armaduras de tração e de compressão As As não deve ter valor maior que 4 Ac Asmáx Asmáx 004 19 60 4560 cm2 muito superior à qualquer combinação de As com As ao longo da viga As resultou nula em todas as seções ou seja nenhuma seção com armadura dupla 139 Armadura Transversal para Força Cortante Como a seção transversal da viga é retangular a indicação de Leonhardt e Mönnig 1982 é de que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão aproximase de 30 Portanto a armadura transversal pode ser dimensionada com o Modelo de Cálculo II com 30 No entanto por simplicidade e a favor da segurança será adotado o Modelo de Cálculo I fixo em 45 pois a armadura resultante será maior do que aquela do Modelo de Cálculo II com 30 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 28 A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas na apostila de BASTOS 201523 As forças cortantes máximas atuantes na viga após a redistribuição de esforços estão mostradas na Figura 23 A redução da força cortante nos apoios possível de ser feita nos cálculos da armadura transversal como indicada na NBR 6118 não será adotada por simplicidade 1391 Pilar Intermediário P2 A força cortante que atua na viga no apoio correspondente ao pilar P2 é Vk 1049 kN VSd f Vk 14 1049 1469 kN a Verificação das diagonais de compressão Com d 55 e da Tabela A5 anexa para concreto C25 determinase a força cortante máxima que a viga pode resistir 449 4 0 431955 d 0 43 b V w Rd2 kN 449 4 kN V 146 9 V Rd2 Sd ok não ocorrerá esmagamento do concreto nas bielas comprimidas b Cálculo da armadura transversal Da Tabela A5 C25 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é 122 3 0117 19 55 d 0117 b V w Sdmín kN 122 3 kN V 146 9 V Sdmín Sd portanto devese calcular a armadura transversal pois será maior que Aswmín Da equação para Asw na Tabela A5 concreto C25 temse 3 01 0 2019 55 2 55 146 9 0 20 b d 2 55 V A w Sd sw cm2m A armadura mínima a ser aplicada nos trechos da viga onde a força cortante solicitante é menor que a força cortante correspondente à armadura mínima é w ywk m ct swmín b f 20 f A cm2m com 2 56 25 30 f 30 f 3 2 3 2 ck ctm MPa e com o aço CA50 195 19 50 20 0 256 A swmín cm2m 23 BASTOS PSS Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP abr2015 74p Disponível em 10915 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 29 E como esperado Asw 301 cm2m Aswmín 195 cm2m armadura que deve ser disposta no trecho ou região da viga próxima ao apoio pilar 1392 Pilares Extremos P1 e P3 A força cortante que atua na viga nos apoios correspondentes aos pilares P1 e P3 é Vk 751 kN VSd f Vk 14 751 1051 kN Alterando a altura útil para 56 cm utilizada no cálculo da armadura de flexão nos pilares extremos e na armadura positiva do vão temse os valores de VRd2 4576 kN e VSdmín 1245 kN do cálculo relativo ao pilar P2 e VSd 1051 kN VRd2 4576 kN não ocorrerá o esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas VSd 1051 kN VSdmín 1245 kN portanto devese dispor a armadura mínima Aswmín 195 cm2m 1393 Detalhamento da Armadura Transversal a diâmetro do estribo 5 mm t bw10 t 19010 19 mm b espaçamento máximo 067 VRd2 067 4494 3011 kN VSdP2 1469 3011 kN s 06 d 30 cm VSdP1P3 1051 3011 kN s 06 d 30 cm 06 d 06 55 33 cm Portanto s 30 cm c espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo 020 VRd2 020 4494 899 kN VSdP2 1469 899 kN st 06 d 35 cm VSdP1P3 1051 899 kN st 06 d 35 cm 06 d 06 55 33 cm Portanto st 33 cm d escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos d1 pilar P2 Asw 301 cm2m Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm 1 5 mm 020 cm2 temse 0 0301 s Asw cm2cm 0 0301 s 0 40 s 133 cm 30 cm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 30 portanto estribo com dois ramos 5 mm c13 cm d2 pilares P1 e P3 Asw Aswmín 195 cm2m Para a armadura mínima de 195 cm2m considerando o mesmo diâmetro do estribo temse 0 0195 s Asw cm2cm 0 0195 s 0 40 s 205 cm 30 cm portanto estribo com dois ramos 5 mm c20 cm A Figura 24 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga 1051 300 1469 1469 V kN 1051 Sd 702 1223 419 V Sdmín 700 19 19 N1 76 5 mm C148 cm 55 14 104 104 N18 c13 N18 c13 N130 c20 N130 c20 Figura 24 Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga 1310 Ancoragem das Armaduras Longitudinais 13101 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 A viga VS1 tem simetria de carregamento e geometria de modo que a ancoragem nos pilares extremos P1 e P3 são exatamente iguais Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a segundo o Modelo de Cálculo I para estribos verticais24 d V V V 2 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Na flexão simples e para o Modelo de Cálculo I adotado no cálculo da armadura transversal temse Vc Vc0 06fctd bw d 06 0128 19 56 817 kN 24 BASTOS PSS Ancoragem e emenda de armaduras Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP maio2015 40p Disponível em 10915 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 31 3 2 ck c c m ct c inf ctk ctd f 30 70 f 70 f f 1 28 25 41 30 70 3 2 MPa 0128 kNcm2 125 8 817 1051 1 105 2 56 a cm 56 cm portanto a d 56 cm A armadura a ancorar no apoio é yd Sd s anc f V d a A 42 2 115 50 1 105 56 56 cm2 A armadura calculada para o apoio deve atender à armadura mínima 2 M negativo e de valor M se M 4 A 1 2 M 0 ou negativo de valor M se M 3 A 1 A vão apoio apoio vão s vão apoio apoio vão s s anc M d apoio 3826 kNcm Mdvão2 119312 59655 kNcm Portanto Asanc 13 Asvão 5333 178 cm2 Asanc 242 cm2 13 Asvão 178 cm2 ok Se resultar Asanc menor que o valor mínimo devese seguir nos cálculos com Asanc igual ao valor mínimo 13 ou 14 do Asvão Para a ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos P1 e P3 da viga é necessária a área de 242 cm2 no comprimento de ancoragem básico b Figura 25 Como as armaduras positivas dos tramos adjacentes aos pilares P1 e P3 são compostas por 3 125 mm 2 10 ver item 13832 e as duas barras de 125 mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidas até os apoios a armadura efetiva Asef a ancorar no apoio será composta por 2 125 mm 250 cm2 que atende à área calculada de 242 cm2 Asanc sanc A b VIGA DE APOIO sanc A b b b c bef Figura 25 Ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos da viga UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 32 O comprimento de ancoragem básico pode ser determinado na Tabela A7 anexa Na coluna sem gancho considerando concreto C25 aço CA50 diâmetro da barra de 125 mm e região de boa aderência encontrase o comprimento de ancoragem básico b de 47 cm Como a área de armadura escolhida para a ancoragem no apoio Asef não é exatamente igual à área da armadura calculada Asanc o comprimento de ancoragem básico pode ser corrigido para bcorr como ver Figura 26 45 5 2 50 47 2 42 A A ef s anc s b b corr cm b Asef c bef bcorr Figura 26 Ancoragem da armadura efetiva no comprimento de ancoragem corrigido O comprimento de ancoragem corrigido deve atender ao comprimento de ancoragem mínimo bmín 6 cm r b mín r D2 52 5 1252 31 cm com D sendo o diâmetro do pino de dobramento Tabela A9 r 55 31 55 125 100 cm maior que 6 cm bmín 100 cm Temse que bcorr 455 cm bmín 100 cm ok O comprimento de ancoragem efetivo que corresponde ao máximo comprimento possível de ancorar no apoio conforme a Figura 26 é bef b c 19 25 165 cm Numa primeira análise verificase que o comprimento de ancoragem corrigido sem gancho é superior ao comprimento de ancoragem efetivo do apoio bcorr 455 cm bef 165 cm Isto significa que não é possível fazer a ancoragem reta com apenas 125 mm pois as barras ficariam com um trecho fora da seção transversal do pilar O passo seguinte para resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades das barras o que permite diminuir o comprimento reto em 30 O comprimento de ancoragem com gancho é 319 45 5 70 b gancho cm Verificase que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem pois o comprimento de ancoragem com gancho resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 33 bgancho 319 cm bef 165 cm A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio para Ascorr anc s ef b b s corr A 70 A 4 83 2 42 5 16 47 70 cm2 Portanto mesmo que se estenda até o apoio as três barras da primeira camada da armadura positiva do vão 3 125 mm a área de 375 cm2 não é suficiente para atender Ascorr Uma solução é estender todas as barras da armadura do vão até o apoio pois a área total Asvão de 535 cm2 atende à Ascorr Outra solução mais econômica é estender duas ou três barras 125 mm da primeira camada e acrescentar grampos com a área de grampos sendo a diferença entre a área de armadura a ancorar Ascorr e a área de armadura do vão estendida até o apoio No caso de estender 2 125 250 cm2 a área de grampo é Asgr Ascorr Asef 483 250 233 cm2 A armadura a ancorar neste caso pode ser 2 125 4 10 mm 2 grampos25 570 cm2 que atende com folga a Ascorr de 483 cm2 O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 27 Outra solução pode ser estender 3 125 375 cm2 com área de grampo de Asgr Ascorr Asef 483 375 108 cm2 A armadura a ancorar pode ser 3 125 2 8 mm 1 grampo 475 cm2 que é suficiente para Ascorr de 483 cm2 100 100 cm 155 19 10 25 2 grampos 2 cm gr 2 125 10 mm Asef Figura 27 Detalhe da ancoragem com grampo nos pilares extremos P1 e P3 13102 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 Estendendo 2 125 dos vértices dos estribos da armadura longitudinal positiva do vão até o pilar intermediário Asanc Asef 250 cm2 esta armadura deve ser superior à mínima M d apoio 18802 kNcm Mdvão2 119312 59655 kNcm Portanto Asanc 14 Asvão 5334 133 cm2 Asef 250 cm2 14 Asvão 133 cm2 ok As duas barras de 125 mm devem se estender 10 além da face do apoio26 25 1 8 mm 050 cm2 1 10 080 cm2 1 125 125 cm2 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 34 O valor da decalagem do diagrama de momentos fletores a relativo ao pilar P2 será necessário no cobrimento do diagrama Segundo o Modelo de Cálculo I para estribos verticais d V V V 2 d a c máx Sd Sdmáx com a 05d Como já determinado Vc Vc0 817 kN e com d 55 cm27 62 0 817 146 9 9 146 2 55 a cm 55 cm portanto a d 55 cm 13103 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face externa do pilar respeitandose a espessura do cobrimento e possuir um gancho direcionado para baixo com comprimento de pelo menos 35 O diâmetro do pino de dobramento deve ser de 15 para barra CA50 como indicado na Figura 28 35 5 35 cm 2 10 Figura 28 Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos 1311 Detalhamento da Armadura Longitudinal A Figura 29 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores feito para conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais positiva e negativa O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores de cálculo decalado no valor de a 55 cm Por simplicidade a armadura negativa no apoio intermediário P2 foi separada em dois grupos sendo 4 125 na primeira camada com comprimento idêntico para as barras e 3 125 na segunda camada Outros arranjos ou agrupamentos diferentes podem ser feitos resultando comprimentos diferentes para as barras A armadura positiva foi separada em três grupos o primeiro referente às barras que serão estendidas até os apoios do tramo 2 125 o segundo com 1 125 e o terceiro com 2 10 sendo as barras dos dois últimos grupos cortadas antes dos apoios conforme o cobrimento do diagrama de momentos fletores Figura 29 Os comprimentos de ancoragem básicos b para barras 125 mm CA50 concreto C25 em situações de má aderência e de boa aderência conforme a Tabela A7 são respectivamente 67 cm e 47 cm coluna sem gancho Para barra 10 mm CA50 o comprimento de ancoragem 26 No caso de vigas que não apresentem simetria esta verificação deve ser feita para os dois tramos adjacentes ao pilar intermediário 27 Para a altura útil d foi aplicado o valor utilizado no cálculo da armadura de flexão negativa no pilar interno P2 D 15 para CA50 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 35 básico em região de boa aderência é de 38 cm coluna sem gancho Para 10 mm o comprimento de ancoragem básico em região de boa aderência é de 38 cm 125 10 175 a a a a a a 2 2 1 b 67 b B1 67 125 10 a 125 10 248 135 210 A A 38 38 b b 10 10 B 125 110 47 b 1 1 60 2 1 A 2 125 10 B1 A 2 10 10 220 47 b 2 10 B face externa do pilar B 2125 1125 2 centro do pilar a 4125 2 3125 1 A B A 210 1 Figura 29 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo A Figura 30 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga Este desenho é feito normalmente na escala 150 O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente nas escalas de 125 ou 120 Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento final pois geralmente é apenas com ele que a armação da viga será executada Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem ser executados os ganchos os pinos de dobramento etc UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 36 N4 3125 C 270 2 cam N3 4125 C 496 N18c13 135 N2 210 C 553 N130c20 35 10 P1 N8 2125 C 749 N7 1125 C 494 N5 2 x 442 CORR 175 135 N18c13 104 248 P2 N2 210 C 553 N130c20 N8 2125 C 749 N7 1125 C 494 175 A 40 A 248 104 35 N1 76 5 mm C148 10 55 4 N3 2 x 4 N5 P3 14 1 N7 2 N8 3 N4 VS1 VS3 19 x 60 13 100 100 13 40 N6 210 C 400 2 N6 220 220 N6 210 C 400 N9 210 C 213 N9 210 C 213 Figura 30 Detalhamento final das armaduras da viga O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na Figura 30 é o mais comum na prática No entanto outros posicionamentos diferentes para as armaduras longitudinais e para os estribos podem ser adotados Por exemplo a armadura longitudinal negativa pode ser mostrada acima do desenho da viga a linha de cotas dos estribos pode ser indicada na parte inferior da viga e a armadura positiva como mostrada na Figura 30 Esta forma de indicar as armaduras embora não seja a mais comum tem a vantagem de bem separar as armaduras negativa e positiva restringindo possíveis confusões REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2014 238p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Concreto para fins estruturais Classificação pela massa específica por grupos de resistência e consistência NBR 8953 ABNT 2009 4p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Concreto Determinação da resistência à tração na flexão de corpos de prova prismáticos NBR 12142 ABNT 2010 5p BASTOS PSS Flexão normal simples Vigas Disciplina 2117 Estruturas de Concreto I BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP fev2015 78p httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto1htm BASTOS PSS Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP abr2015 74p httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm BASTOS PSS Ancoragem e emenda de armaduras Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP maio2015 40p httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 37 CARVALHO RC FIGUEIREDO FILHO JR Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado segundo a NBR 61182014 São Carlos v1 Ed EDUFSCar 2014 416p CORRÊA MRS RAMALHO MA CEOTTO LH Sistema PPLAN4GPLAN4 Manual de utilização São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP Departamento de Engenharia de Estruturas 1992 80p FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 38 ANEXO I Tabela A1 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1378 1034 827 689 591 517 459 413 0023 2 002 692 519 415 346 296 259 231 208 0023 003 463 347 278 232 198 174 154 139 0023 004 349 262 209 174 149 131 116 105 0023 005 280 210 168 140 120 105 93 84 0023 006 234 176 141 117 100 88 78 70 0024 007 202 151 121 101 86 76 67 61 0024 008 177 133 106 89 76 66 59 53 0024 009 158 119 95 79 68 59 53 47 0024 010 143 107 86 71 61 54 48 43 0024 011 131 98 78 65 56 49 44 39 0024 012 120 90 72 60 51 45 40 36 0024 013 111 84 67 56 48 42 37 33 0024 014 104 78 62 52 45 39 35 31 0024 015 97 73 58 49 42 37 32 29 0024 016 92 69 55 46 39 34 31 27 0025 017 87 65 52 43 37 32 29 26 0025 018 82 62 49 41 35 31 27 25 0025 019 78 59 47 39 34 29 26 23 0025 020 75 56 45 37 32 28 25 22 0025 021 71 54 43 36 31 27 24 21 0025 022 68 51 41 34 29 26 23 21 0025 023 66 49 39 33 28 25 22 20 0025 024 63 47 38 32 27 24 21 19 0025 025 61 46 37 31 26 23 20 18 0026 026 59 44 35 29 25 22 20 18 0026 027 57 43 34 28 24 21 19 17 0026 3 028 55 41 33 28 24 21 18 17 0026 029 54 40 32 27 23 20 18 16 0026 030 52 39 31 26 22 19 17 16 0026 031 51 38 30 25 22 19 17 15 0026 032 49 37 30 25 21 18 16 15 0026 033 48 36 29 24 21 18 16 14 0026 034 47 35 28 23 20 18 16 14 0027 035 46 34 27 23 20 17 15 14 0027 036 45 33 27 22 19 17 15 13 0027 037 44 33 26 22 19 16 15 13 0027 038 43 32 26 21 18 16 14 13 0027 040 41 31 25 20 18 15 14 12 0027 042 39 29 24 20 17 15 13 12 0028 044 38 28 23 19 16 14 13 11 0028 045 37 28 22 19 16 14 12 11 0028 046 37 27 22 18 16 14 12 11 0028 048 35 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 34 26 21 17 15 13 11 10 0029 052 33 25 20 17 14 12 11 10 0029 054 32 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 32 24 19 16 14 12 11 09 0030 058 31 23 18 15 13 12 10 09 0030 060 30 23 18 15 13 11 10 09 0030 062 29 22 18 15 13 11 10 09 0031 063 29 22 17 15 12 11 10 09 0031 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 39 Tabela A2 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Tabela 173 da NBR 6118 Forma da seção Valores de mín a 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retan gular 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 a Os valores de mín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA50 dh 08 c 14 e s 115 Caso esses fatores sejam diferentes mín deve ser recalculado mín AsmínAc Tabela A3 Área e massa linear de fios e barras de aço NBR 7480 Diâmetro mm Massa kgm Área mm2 Perímetro mm Fios Barras 24 0036 45 75 34 0071 91 107 38 0089 113 119 42 0109 139 132 46 0130 166 145 5 5 0154 196 175 55 0187 238 173 6 0222 283 188 63 0245 312 198 64 0253 322 201 7 0302 385 220 8 8 0395 503 251 95 0558 709 298 10 10 0617 785 314 125 0963 1227 393 16 1578 2011 503 20 2466 3142 628 22 2984 3801 691 25 3853 4909 785 32 6313 8042 1005 40 9865 12566 1257 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 40 Tabela A4 Área de aço e largura bw mínima Diâm As cm2 Número de barras mm bw cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 As 014 028 042 056 070 084 098 112 126 140 bw Br 1 8 11 14 16 19 22 25 27 30 Br 2 9 13 16 19 23 26 30 33 36 5 As 020 040 060 080 100 120 140 160 180 200 bw Br 1 9 11 14 17 20 22 25 28 31 Br 2 9 13 16 20 23 27 30 34 37 63 As 031 062 093 124 155 186 217 248 279 310 bw Br 1 9 12 15 18 20 23 26 29 32 Br 2 10 13 17 20 24 28 31 35 39 8 As 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 bw Br 1 9 12 15 18 21 25 28 31 34 Br 2 10 14 17 21 25 29 33 36 40 10 As 080 160 240 320 400 480 560 640 720 800 bw Br 1 10 13 16 19 23 26 29 33 36 Br 2 10 14 18 22 26 30 34 38 42 125 As 125 250 375 500 625 750 875 1000 1125 1250 bw Br 1 10 14 17 21 24 28 31 35 38 Br 2 11 15 19 24 28 32 36 41 45 16 As 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 bw Br 1 11 15 19 22 26 30 34 38 42 Br 2 11 16 21 25 30 34 39 44 48 20 As 315 630 945 1260 1575 1890 2205 2520 2835 3150 bw Br 1 12 16 20 24 29 33 37 42 46 Br 2 12 17 22 27 32 37 42 47 52 22 As 380 760 1140 1520 1900 2280 2660 3040 3420 3800 bw Br 1 12 16 21 25 30 34 39 43 48 Br 2 13 18 23 28 33 39 44 49 54 25 As 490 980 1470 1960 2450 2940 3430 3920 4410 4900 bw Br 1 13 18 23 28 33 38 43 48 53 Br 2 13 19 24 30 35 41 46 52 57 32 As 805 1610 2415 3220 4025 4830 5635 6440 7245 8050 bw Br 1 15 21 28 34 40 47 53 60 66 Br 2 15 21 28 34 40 47 53 60 66 40 As 1260 2520 3780 5040 6300 7560 8820 10080 11340 12600 bw Br 1 17 25 33 41 49 57 65 73 81 Br 2 17 25 33 41 49 57 65 73 81 largura bw mínima bwmín 2 c t no barras ahmín no barras 1 Br 1 brita 1 dmáx 19 mm Br 2 brita 2 dmáx 25 mm Valores adotados t 63 mm cnom 20 cm Para cnom 20 cm aumentar bwmín conforme cnom 25 cm 10 cm cnom 30 cm 20 cm cnom 35 cm 30 cm cnom 40 cm 40 cm agr máx mín h 12d cm 2 a w h v Øt Ø c b a a UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 41 Tabela A5 Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo I estribo vertical c 14 s 115 aços CA50 e CA60 flexão simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 d 0 35 b w d 0101b w w Sd 017 b d 2 55 V C25 d 0 43 b w d 0117 b w w Sd 0 20 b d 2 55 V C30 d 0 51b w d 0132 b w w Sd 0 22 b d 2 55 V C35 d 0 58 b w d 0147 b w w Sd 0 25 b d 2 55 V C40 d 0 65 b w d 0160 b w w Sd 0 27 b d 2 55 V C45 d 0 71b w d 0173 b w w Sd 0 29 b d 2 55 V C50 d 0 77 b w d 0186 b w w Sd 0 31b d 2 55 V bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm Tabela A6 Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I Modelo de Cálculo II estribo vertical c 14 s 115 aços CA50 e CA60 flexão simples Concreto VRd2 kN VSdmín kN Asw cm2m C20 cos 0 71b d sen w c1 w V d cotg 0 035b d V V 2 55 tg c1 Sd C25 cos 0 87 b d sen w c1 w V dcotg 0 040b C30 cos 102 b d sen w c1 w V d cotg 0 045b C35 cos 116 b d sen w c1 w V dcotg 0 050b C40 cos 130 b d sen w c1 w V d cotg 0 055b C45 cos 142 b d sen w c1 w V dcotg 0 059b C50 cos 154 b d sen w c1 w V dcotg 0 064b bw largura da viga cm VSd força cortante de cálculo kN d altura útil cm ângulo de inclinação das bielas de compressão VC1 força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça kN UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 42 Tabela A7 Comprimento de ancoragem cm para o aço CA50 nervurado COMPRIMENTO DE ANCORAGEM cm PARA Asef Ascalc CA50 nervurado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 63 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 8 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 10 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 125 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 16 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 20 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 225 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 25 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 32 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 40 329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo mm 100 10 30 b mín b c 14 s 115 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 43 Tabela A8 Comprimento de ancoragem cm para o aço CA60 entalhado COMPRIMENTO DE ANCORAGEM cm PARA Asef Ascalc CA60 entalhado mm Concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 34 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 42 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 5 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 6 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 7 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 8 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 95 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Valores de acordo com a NBR 6118 No Superior Má Aderência No Inferior Boa Aderência Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra Asef área de armadura efetiva Ascalc área de armadura calculada O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo mm 100 10 30 b mín b c 14 s 115 Tabela A9 Diâmetro dos pinos de dobramento D Tabela 91 da NBR 6118 Bitola mm Tipo de aço CA25 CA50 CA60 20 4 5 6 20 5 8 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 44 ANEXO II RELATÓRIOS DE RESULTADOS PROGRAMA PPLAN4 a Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 19 x 60 Processamento inicial ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE Apostila Vigas CA EXEMPLO GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT 1 000 000 NOGL 2 359500 000 NOGL 3 719000 000 NOGL 4 1078500 000 NOGL 5 1438000 000 NOGL GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 1 10000E38 10000E38 16785E07 RES 5 10000E38 10000E38 16785E07 RES 3 1 1 0 RES GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 1 1 2 1 359500 10000 1 BARG 2 2 3 1 359500 10000 1 BARG 3 3 4 1 359500 10000 1 BARG 4 4 5 1 359500 10000 1 BARG UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 45 GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROP GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 1 289800E04 00000E00 00000E00 MATL PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO VS1 19 X 60 NUMERO DE NOS 5 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES 3 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS 6 NUMERO DE BARRAS 4 NUMERO DE BARRAS COM ROTULAS 0 NUMERO DE ROTULAS 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 1 NUMERO DE MATERIAIS 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE 9 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ 54 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE Apostila Vigas CA EXEMPLO PORTICO VS1 19 X 60 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1 000 000 10000E38 10000E38 16785E07 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 46 2 359500 000 0 0 0 3 719000 000 1 1 0 4 1078500 000 0 0 0 5 1438000 000 10000E38 10000E38 16785E07 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 359500 10000 2 2 0 3 0 1 359500 10000 3 3 0 4 0 1 359500 10000 4 4 0 5 0 1 359500 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1 289800E04 00000E00 00000E00 GERACAO DO CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL CL REL IL IDENT 1 1 2504 1000 000 CBRG 2 1 2504 1000 000 CBRG 3 1 2504 1000 000 CBRG 4 1 2504 1000 000 CBRG ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 5 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 4 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X 000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y 360075 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 47 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 1 0000000 0000000 0014998 2 0000000 3106265 0003750 3 0000000 0000000 0000000 4 0000000 3106265 0003750 5 0000000 0000000 0014998 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 1 000 72766 2517475 2 000 17253 7461070 2 2 000 17253 7461070 3 000 107271 14922140 3 3 000 107271 14922140 4 000 17253 7461070 4 4 000 17253 7461071 5 000 72766 2517475 RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1 000 72766 2517475 2 000 000 000 3 000 214543 000 4 000 000 000 5 000 72766 2517475 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y 360075 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y 360075 ERRO PERCENTUAL 0000000 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 48 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 010 000 72766 2517475 1 110 000 63764 63342 1 210 000 54762 2067175 1 310 000 45760 3874073 1 410 000 36759 5357354 1 510 000 27757 6517017 1 610 000 18755 7353063 1 710 000 9753 7865492 1 810 000 751 8054302 1 910 000 8251 7919496 1 1010 000 17253 7461071 2 010 000 17253 7461070 2 110 000 26255 6679028 2 210 000 35256 5573369 2 310 000 44258 4144091 2 410 000 53260 2391196 2 510 000 62262 314684 2 610 000 71264 2085447 2 710 000 80266 4809194 2 810 000 89268 7856561 2 910 000 98270 11227540 2 1010 000 107271 14922140 3 010 000 107271 14922140 3 110 000 98270 11227540 3 210 000 89268 7856559 3 310 000 80266 4809193 3 410 000 71264 2085446 3 510 000 62262 314684 3 610 000 53260 2391197 3 710 000 44258 4144092 3 810 000 35256 5573370 3 910 000 26255 6679031 3 1010 000 17253 7461073 4 010 000 17253 7461071 4 110 000 8251 7919496 4 210 000 751 8054303 4 310 000 9753 7865492 4 410 000 18755 7353063 4 510 000 27757 6517018 4 610 000 36759 5357354 4 710 000 45760 3874073 4 810 000 54762 2067174 4 910 000 63764 63342 4 1010 000 72766 2517477 Analise completa fim do processamento UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 49 b Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 19 x 60 Conferência do momento fletor positivo máximo ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE VIGA EXEMPLO Confer Momento positivo GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT 1 000 000 NOGL 2 359500 000 NOGL 3 719000 000 NOGL GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 1 10000E38 10000E38 16785E07 RES 3 1 1 1 RES GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 1 1 2 1 359500 10000 1 BARG 2 2 3 1 359500 10000 1 BARG GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROP UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 50 GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 1 289800E04 00000E00 00000E00 MATL PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO VS1 19 X 60 NUMERO DE NOS 3 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES 2 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS 5 NUMERO DE BARRAS 2 NUMERO DE BARRAS COM ROTULAS 0 NUMERO DE ROTULAS 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 1 NUMERO DE MATERIAIS 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE 4 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ 24 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE VIGA EXEMPLO Confer Momento positivo PORTICO VS1 19 X 60 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1 000 000 10000E38 10000E38 16785E07 2 359500 000 0 0 0 3 719000 000 1 1 1 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 51 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 359500 10000 2 2 0 3 0 1 359500 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1 289800E04 00000E00 00000E00 GERACAO DO CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL CL REL IL IDENT 1 1 2504 1000 000 CBRG 2 1 2504 1000 000 CBRG ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 3 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 2 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X 000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y 180038 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 52 CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 1 0000000 0000000 0014998 2 0000000 3106265 0003750 3 0000000 0000000 0000000 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 1 000 72766 2517475 2 000 17253 7461070 2 2 000 17253 7461070 3 000 107271 14922140 RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1 000 72766 2517475 2 000 000 000 3 000 107271 14922140 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y 180038 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y 180038 ERRO PERCENTUAL 0000000 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 010 000 72766 2517475 1 110 000 63764 63342 1 210 000 54762 2067175 1 310 000 45760 3874073 1 410 000 36759 5357354 1 510 000 27757 6517017 1 610 000 18755 7353063 1 710 000 9753 7865492 1 810 000 751 8054302 1 910 000 8251 7919496 1 1010 000 17253 7461071 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 53 2 010 000 17253 7461070 2 110 000 26255 6679028 2 210 000 35256 5573369 2 310 000 44258 4144091 2 410 000 53260 2391196 2 510 000 62262 314684 2 610 000 71264 2085447 2 710 000 80266 4809194 2 810 000 89268 7856561 2 910 000 98270 11227540 2 1010 000 107271 14922140 Analise completa fim do processamento c Arquivo de dados de entrada da viga com redistribuição de esforços OPTE22222 UNESP BAURU DISC CONCRETO II VIGA EXEMPLO Redistribuição devido à Plastificação VS1 19 X 60 NOGL 131007190 RES 1112001678522 311 BARG 121112111 PROP 11114034200060 MATL 12898 FIMG CARR1 CNO 30013430 CBRG 1211025041 FIMC FIME d Relatório de resultados da viga com redistribuição de esforços ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE VIGA EXEMPLO Redistribuição devido à Plastificação UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 54 GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT 1 000 000 NOGL 2 359500 000 NOGL 3 719000 000 NOGL GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT 1 10000E38 10000E38 16785E07 RES 3 1 1 0 RES GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT 1 1 2 1 359500 10000 1 BARG 2 2 3 1 359500 10000 1 BARG GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 PROP GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT 1 289800E04 00000E00 00000E00 MATL PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO VS1 19 X 60 NUMERO DE NOS 3 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES 2 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS 4 NUMERO DE BARRAS 2 NUMERO DE BARRAS COM ROTULAS 0 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 55 NUMERO DE ROTULAS 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS 1 NUMERO DE MATERIAIS 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE 5 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ 30 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 ANALISE DE PORTICOS PLANOS VERSAO FEV92 PROJETO UNESP BAURU DISC CONCRETO II CLIENTE VIGA EXEMPLO Redistribuição devido à Plastificação PORTICO VS1 19 X 60 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 1 000 000 10000E38 10000E38 16785E07 2 359500 000 0 0 0 3 719000 000 1 1 0 CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 1 1 0 2 0 1 359500 10000 2 2 0 3 0 1 359500 10000 PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 1 1 11400E04 34200E06 6000 00 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 56 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 1 289800E04 00000E00 00000E00 GERACAO DO CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 GERACAO DE CARGAS NODAIS NO FORCA X FORCA Y MOMENTO IDENT 3 000 000 13430000 CNO GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL CL REL IL IDENT 1 1 2504 1000 000 CBRG 2 1 2504 1000 000 CBRG ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO NUMERO DE NOS CARREGADOS 1 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS 2 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 2 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS EXCETO PESO PROPRIO 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X 000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y 180038 I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I CARREGAMENTO CARR1 PORTICO VS1 19 X 60 DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 1 0000000 0000000 0016281 2 0000000 3522480 0003233 UNESP BauruSP Vigas de Concreto Armado 57 3 0000000 0000000 0003348 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 1 000 75141 2732872 2 000 14878 8099443 2 2 000 14878 8099442 3 000 104897 13430000 RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 1 000 75141 2732872 2 000 000 000 3 000 104897 000 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y 180038 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y 180038 ERRO PERCENTUAL 0000000 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL XL NORMAL CORTANTE M FLETOR 1 010 000 75141 2732872 1 110 000 66139 193362 1 210 000 57137 2022531 1 310 000 48135 3914807 1 410 000 39133 5483465 1 510 000 30132 6728505 1 610 000 21130 7649928 1 710 000 12128 8247733 1 810 000 3126 8521922 1 910 000 5876 8472492 1 1010 000 14878 8099445 2 010 000 14878 8099442 2 110 000 23880 7402777 2 210 000 32882 6382495 2 310 000 41883 5038594 2 410 000 50885 3371077 2 510 000 59887 1379941 2 610 000 68889 934812 2 710 000 77891 3573183 2 810 000 86893 6535172 2 910 000 95895 9820777 2 1010 000 104897 13430000 Analise completa fim do processamento