Fundamentos de Funções: Teoria e Práticas

Funções Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Ms Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin Fundamentos de Matemática 5 Introdução Representação de função por meio de diagramas Definição de função Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Não deixe de assistir também a apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Abordaremos primeiramente a noção de função conhecendo algumas de suas aplicabilidades e sua representação por meio de diagramas A seguir conheceremos a definição de função estudaremos seu domínio seu contradomínio e sua imagem para em seguida estudarmos os casos particulares do domínio de uma função Na sequência serão apresentadas as funções injetiva ou injetora sobrejetiva ou sobrejetora e bijetiva ou bijetora e encerraremos esta Unidade com o estudo das funções composta e inversa Funções Domínio contradomínio e imagem Estudo do domínio de uma função Função injetiva sobrejetiva e bijetiva Função composta Função inversa 6 Unidade Funções Contextualização Deixamos para você um artigo da Folha de São Paulo 24 de junho de 2010 para que você leia e reflita sobre o tema que vamos abordar nesta unidade Podemos associar essa notícia ao momento que estamos vivendo em nosso país ao sediar novamente a Copa do Mundo de Futebol Boa leitura Lendo Notícias1 O estudo de funções e gráficos é útil para entender fenômenos físicos e sociais Veja o exemplo em que a análise de um gráfico possibilita que se façam hipóteses sobre os hábitos e comportamento da população em certo período As companhias de energia registram e analisam dados de consumo de energia elétrica em função de muitas variáveis como a região geográfica e o horário para poder prever e evitar panes no sistema de distribuição de energia Consumo de energia no país deve cair durante o jogo do Brasil amanhã O consumo de energia no país deve cair cerca de 20 amanhã durante a transmissão do jogo da seleção brasileira contra Portugal A carga esperada pelo sistema de transmissão da CTEEP no Estado de São Paulo é similar à verificada na estreia do Brasil na África do Sul no último dia 15 O comportamento se repete no restante do país de acordo com a concessionária privada de transmissão de energia elétrica que também atua em outras regiões Durante o jogo o nível se aproxima do patamar mínimo diário registrado nas madrugadas segundo Celso Cerchiari diretor de operações da CTEEP Companhia de Transmissão de Energia Elétrica Paulista O movimento ocorre porque muitas empresas param de funcionar Há uma pausa na produção e os trabalhadores se reúnem em um único lugar para assistir à partida afirma Cerchiari No intervalo acontece o pico de consumo quando os torcedores ligam microondas abrem geladeiras e usam outros eletrônicos Nesse momento a elevação equivale ao abastecimento da carga de energia de Jundiaí SP a cada minuto No início do segundo tempo da partida o baixo nível de consumo registrado na primeira parte é retomado Após o término do jogo o crescimento atinge 37 com variação gradativa até alcançar a carga normal enquanto a população retoma suas atividades Quando o término do jogo coincide com o final do dia a rampa de subida do consumo é maior pois coincide também com a iluminação pública afirma 1 Fonte BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 7 Introdução Nem sempre percebemos mas as funções estão presentes em muitas atividades do nosso cotidiano Veja os exemplos Exemplo 1 Lucas foi almoçar em um restaurante que vende comida por quilo Neste restaurante cada 100g de comida custa R 400 A tabela seguinte mostra o peso em gramas de uma refeição e o valor pago pela refeição Peso Em gramas Custo da refeição Em reais 100g 400 200g 800 400g 1600 500g 2000 600g 2400 800g 3200 1000g 4000 Observe que o preço a pagar é dado em função do peso da refeição ou seja o valor a pagar depende do peso da refeição O preço a pagar será de R 004 preço de 1g de comida vezes a quantidade de comida comprada ou seja se chamarmos de P o preço a pagar e x o peso em gramas temos que P004 x lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função A palavra peso é popularmente usada em lugar de massa Mas em linguagem científica existe diferença entre peso e massa Peso de um corpo é a força com que o corpo é atraído pelo centro da Terra gravidade e massa de um corpo é a quantidade de matéria que esse corpo possui Exemplo 2 No quadro seguinte está indicado o perímetro de um triângulo equilátero em função da medida do seu lado Medida do lado cm Perímetro cm 3 9 4 12 55 165 8 24 x 3 x 8 Unidade Funções Glossário Triângulo equilátero é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes Observe que o perímetro do triângulo depende da medida do lado do triângulo ou seja o perímetro está em função da medida do lado do triângulo Neste caso o perímetro é três vezes a medida do lado do triângulo Esta relação pode ser representada pela seguinte fórmula Exemplo 3 Em certa cidade os taxistas cobram R 450 a bandeirada mais R 300 por quilômetro rodado Escreva a lei de formação Neste problema é fácil perceber que o valor da corrida depende do número de quilômetros rodados Para resolvêlo é necessário determinar a partir dos dados apresentados a relação existente entre o preço P e o número x de quilômetros rodados que são as variáveis do problema Vamos construir uma tabela em que calculamos o valor de P para alguns valores particulares de x x Km rodados P Preço pago em reais 0 450 3 450 300 3 450900 1350 65 450 300 65 450 1950 2400 8 450 300 8 450 2400 2850 12 450 300 12 450 3600 4050 155 450 300 155 450 4650 5100 x 450 300 x A partir desta tabela é possível deduzir que a relação que fornece o preço da corrida qualquer que seja o número de quilômetros rodados é y453 x 9 Representação de função por meio de diagramas Além dos casos citados anteriormente uma função também pode ser representada por um diagrama de setas ou por uma tabela Vamos considerar os exemplos a seguir 1 Dados dois conjuntos A e B vamos associar cada elemento de A a seu triplo em B x A y3 x y B 3 y3 3 9 9 1 y3 1 3 3 0 y3 00 0 1 y3 13 3 2 y3 26 6 Todos os elementos de A têm correspondente em B Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B Neste caso temos uma função de A em B expressa pela fórmula y3 x 2 No diagrama abaixo o conjunto C está relacionado ao conjunto D por meio da fórmula y x21 x C y x21 y D 2 y 22 13 3 1 y 12 10 0 0 y 0 21 1 1 2 y 22 13 3 3 y 32 18 8 Todos os elementos de C têm correspondente em D Cada elemento de C corresponde a um único elemento de D Neste caso temos uma função de C em D expressa pela fórmula y x21 10 Unidade Funções 3 Dados E 1 4 e F 1 2 3 4 5 relacionamos E e F de modo que cada elemento de E é menor do que um elemento de F Veja que neste caso ao elemento 1 correspondem quatro elementos de F 2 3 4 e 5 e não apenas um único elemento de F Portanto não temos uma função de E em F 4 Dados G 3 1 0 2 4 e H 0 2 4 associamos aos elementos de G os elementos de igual valor em H Observe que há elementos em G os números 3 1 que não têm correspondente em H Neste caso não temos uma função de G em H Defi nição de função Dados dois conjuntos não vazios A e B a relação f de A em B é uma função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um único elemento y do conjunto B Usamos a seguinte notação f f A B ou A B lêse f é uma função de A em B 11 A fórmula y x2 x4 é uma função que também pode ser escrita como fx x2 x4 Se quisermos encontrar o valor de y basta atribuir valores para x e efetuar os cálculos Assim x2 temos que f 2 22244246 Exemplo 1 Seja a função fx x1 calcule a f2 Substituir x por 2 f2 21 1 b f1 Substituir x por 1 fx 110 c f0 Substituir x por 0 fx 011 d f3 Substituir x por 3 f3 314 e f 1 2 Substituir x por 1 2 f 1 2 1 2 1 3 2 f f 3 2 Substituir x por 3 2 f 3 2 3 2 1 5 2 12 Unidade Funções Exemplo 2 Os diagramas de flechas dados representam uma relação binária Em cada um deles diga se é ou não uma função Resolução f não é função pois sobram elementos no conjunto A g não é função pois a um mesmo elemento de A correspondem dois elementos em B e não apenas um único elemento de B h é função i é função j é função l não é função pois a um mesmo elemento de A correspondem três elementos em B e não apenas um único elemento de B 13 Domínio contradomínio e imagem Seja uma função f de A em B o conjunto A chamase domínio da função e o conjunto B contradomínio da função A cada elemento y de B associado ao elemento x de A denominamos imagem Ao conjunto de todos os valores de y que são imagem chamamos de imagem da função Exemplo A função f A B é formada pelos conjuntos A 2 1 0 1 2 e B 4 2 0 2 4 e pela fórmula fx 2 x Em toda função f A B Imf B está contido Observe que para caracterizar uma função é preciso conhecer seus três elementos o domínio A o contradomínio B e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento de B Neste exemplo temos Df 21012 o CD f 4210124 e Im f 42024 Exemplo Considere os conjuntos A 2101234 e B 10123456 e a relação yx1 Escreva o domínio o contradomínio e calcule a imagem desta função Resolução Df 2101234 CDf 10123456 14 Unidade Funções Para encontrar a imagem calculamos f2 21 1 f1 11 0 f0 01 1 f1 11 2 f2 21 3 f3 31 4 f4 41 5 Portanto a imagem de yx1 é o conjunto Im f 1012345 Estudo do domínio de uma função Já sabemos que uma função definida por f A B deve ter domínio contradomínio e uma regra lei de correspondência Neste caso o domínio é formado pelos elementos do conjunto A e o contradomínio pelos elementos do conjunto B Porém existem alguns casos em que o domínio não está evidente Exemplo 1 Qual o domínio da função fx 1 2x 2 x 0 x 0 Nesta função o domínio é o conjunto dos números reais com exceção do zero não existe divisão por zero Em notação matemática escrevemos Df 0 ou Df x 0 ou Df 15 Exemplo 2 Explicite o domínio da função fx3x12 Atenção Em não há raiz quadrada de um número negativo 3x12 só é possível em se 3x12 0 3x12 0 Soma 12 nos dois membros da equação 3x1212 012 3x 12 Dividese os dois membros da equação por 3 3x 3 12 3 x 4 Logo o domínio de f é Df x R x 4 Exemplo 3 Calcule o domínio da função fx 2x x1 Nesse caso temos restrições tanto no numerador quanto no denominador As restrições podem ser calculadas da seguinte maneira I 2x 0 x 02 x 2 x 2 Quando multiplicamos uma desigualdade por 1 não podemos nos esquecer de inverter o sinal dessa desigualdade Neste caso temos que 2 x 0 pois no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo II x1 0 x 1 Neste caso temos duas restrições para x1 a de ser diferente de zero por estar no denominador e maior que zero por estar dentro de uma raiz quadrada Portanto x1 0 16 Unidade Funções Executando a intersecção entre I e II obtemos Portanto Df x R 1 x 2 Função injetiva sobrejetiva e bijetiva Função injetiva ou injetora Uma função é injetiva ou injetora se diferentes elementos do domínio tiverem imagens diferentes ou seja Uma função f A B é injetiva se e somente se para todo x1 x2 pertencente a A temos x1 x2 f x1 f x2 Para pensar fx1 fx2 em B x1 x2 em A expressa uma função injetiva Usando o diagrama de flechas temos Nestes dois diagramas podemos perceber que não há elementos no contradomínio que seja imagem de mais de um elemento do domínio Já o diagrama seguinte não representa uma função injetiva pois há um elemento em B que é imagem de dois elementos distintos em A 17 Função sobrejetiva ou sobrejetora Uma função é sobrejetiva ou sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao contradomínio ImCD ou seja uma função f A B é sobrejetiva se e somente se para todo y pertencente a B existe um x pertencente a A tal que fx y Usando o diagrama de setas temos Esses diagramas representam funções sobrejetiva pois não há elemento do contradomínio que não tenha correspondente no domínio O mesmo não ocorre no diagrama seguinte em que há elementos em B sem correspondente em A Função bijetiva ou bijetora A função bijetiva também chamada de correspondência biunívoca é aquela simultaneamente injetiva e sobrejetiva ou seja Uma função fA B é bijetiva x1 x2 Df fx1 fx2 e Imf CDf O símbolo lêse para todo ou qualquer que seja Veja a seguir a representação de uma função bijetiva em um diagrama de setas 18 Unidade Funções Você Sabia Quem descobriu essa curiosa correspondência biunívoca foi o físico italiano Galileu Galilei há mais de 400 anos Exemplo Verifique se as funções são injetoras ou injetivas sobrejetora ou sobrejetiva ou bijetora bijetiva Justifique sua resposta A A A A a c b d B B B B Resolução a Injetora pois elementos distintos do conjunto A estão em correspondência com elementos distintos do conjunto B b Bijetora pois para elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos do conjunto B e Imf B c Sobrejetora pois o conjunto imagem da função é o próprio conjunto B d Não é injetora pois pelo menos um elemento de B é imagem de mais de um elemento de A Não é sobrejetora pois o conjunto imagem da função não é o próprio conjunto B 19 Função composta Vamos considerar duas funções f e g de maneira que o contradomínio de f seja o domínio de g f A B e g B C Para definirmos uma função composta vamos estabelecer uma função h A C que faz a correspondência entre as funções f e g Indicamos essa função por g f x g f x lêse g círculo f ou g composta com f Podemos representar a função g f em um diagrama de setas f A B e h A C g f x gfx tal que x g B C A Parece complicado Mas não é não Acompanhe os exemplos a seguir Exemplo 1 Dadas as funções fxx 5 e gx2 x2 1 determine a f g x Veja o passo a passo f g x f 2 x2 1 Substitui gx por 2 x2 1 f 2 x2 12 x2 1 5 O x de fx passa a ser agora 2 x2 1 então no lugar do x de fx substituímos por 2 x2 1 f g x 2 x2 1 5 f g x 2 x2 6 20 Unidade Funções b g f x De maneira análoga ao exemplo anterior temos g f x g x5 Substitui fx por x 5 g x5 2 x52 1 No lugar do x de gx substituímos x 5 e resolvemos a equação Relembrando Você se lembra como se resolve a expressão x52 Vamos rever aqui duas maneiras para resolvermos esse problema A primeira delas é aplicando uma propriedade que chamamos de Propriedade Distributiva Veja x 52 x 5 x 5 x x 5 5 x 5 x2 5x 5x 25 x2 10x 25 A outra maneira é usando os Produtos Notáveis Veja Quadrado da diferença de dois termos No caso de x 52 x2 10x 25 Voltando a nossa gfx 2x 52 1 temos gfx 2 x2 10x 25 1 Aplica a propriedade distributiva gfx 2x2 2 x 10 2 25 1 gfx 2x2 20x50 1 gf x 2x2 20x 49 Trocando ideias Além do quadrado da diferença de dois termos temos 21 o quadrado da soma de dois termos E também o produto da soma pela diferença de dois termos Explore httpwwwmatematicadidaticacombrProdutosNotaveisaspx httpwwwinfoescolacommatematicaprodutosnotaveis c g g x g g x 2 2x2 12 1 g g x 2 4x4 4x2 1 1 g g x 8x4 8x2 21 g g x 8x4 8x2 1 d o valor de x para o qual f g x g f x Neste caso vamos usar os resultados dos exemplos a e b f g x 2 x2 6 g f x 2 x2 20 x49 Então se f g x g f x temos que 2x2 6 2x2 20x49 Isolar a variável x 22 Unidade Funções 2x2 2x2 20x 49 6 Cancelase 2x2 e 2x2 somase 49 com 6 20x55 O 20 que multiplica o x passa do outro lado da igualdade dividindo o 55 x 55 20 11 4 Simplificamos o 55 e o 20 por 5 x 11 4 Exemplo 2 Dadas as funções fx x1 e gx y2 Calcular a g f 1 Para calcular g f 1 primeiro calculamos f 1 f1 112 Agora calculamos gf1 que é o mesmo que calcular g2 g2 224 b g f 2 g f x g f 2 g 21 g 3 329 c g f 3 g f x g f 3 g 31 g 4 4216 Exemplo 3 Dada a função fx x2 1 calcule f f 2 f 2 221 415 f f 2 f 552 1 251 26 Exemplo 4 Determine a função g segundo as funções f x 5 x 3 e f g x 5 x7 Primeiro vamos substituir x por gx em fx fx 5 x 3 fg x 5 g x 3 I 23 Mas como foi dado que f g x 5 x7 vamos substituir essa expressão em I 5 7 5 3 5 5 7 3 5 5 10 5 10 5 5 2 5 2 x g x g x x g x x x g x x g x g x x Exemplo 5 Dadas as funções fx 3x 2 e g x 4x1 calcule g f x Como g x 4x1 vamos substituir no lugar de x o valor de f x g f x 4 3x 2 1 4 3 x4 2 propriedade distributiva g f x 12x 81 g f x 12x 7 Perceba a diferença quando calculamos f g x f g x 3 4x1 2 3 4 x3 1 propriedade distributiva f g x 12x3 2 f g x 12x1 Exemplo 6 Sejam f x x2 1 e g x x2 Determine a f g f g f g x f x2 x22 1x2 4x 4 1 x2 4x 4 1 x2 4x 3 b g f g f xg x2 1 x2 12 x2 1 24 Unidade Funções Função inversa Vamos iniciar o estudo das funções inversas com o seguinte exemplo Dadas as fx 2x e 2 g x x vamos atribuir alguns valores para x e determinar a imagem correspondente para obter os pares ordenados xy Importante Só existe função inversa de uma função bijetora x fx 2 x xy 5 f5 25 10 5 10 2 f2 2 2 4 2 4 3 f3 2 36 36 7 f7 2714 714 10 f10 2 1020 1020 Na função gx vamos atribuir para x os valores correspondentes a imagem de f x gx x 2 xy 10 g10 10 2 5 10 5 4 g4 4 2 2 4 2 6 g6 6 2 3 63 14 g14 14 2 7 147 20 g2020 2 10 2010 25 Observe que podemos obter os pares ordenados de uma invertendo os pares ordenados da outra Neste caso podemos dizer que a função g é a função inversa da função f Representamos essa função por f 1 Definição Dada uma função f A B bijetiva chamase função inversa de f a função g B A tal que se fa b então g b a com a A e b B Como obter uma função inversa Dada a função bijetora fx 4x para encontrar a sua inversa vamos proceder da seguinte maneira Primeiro escrevemos a função f da seguinte maneira y 4x Agora substituímos a variável y por x e a variável x por y na função y 4x x 4y Finalmente isolamos a variável y e obtemos a função inversa de f 1 4 4 4 x x x y y f x Exemplo 1 Determine a função inversa de fx 3x 5 Trocar fx por y y 3x5 Trocar x por y e y por x x 3y5 Isolar a variável y 3 5 5 3 5 3 1 y x y x f x x 26 Unidade Funções Podemos tirar a prova testando os valores Atribuímos um valor qualquer para x x 2por exemplo e calculamos f2 f 2 3 25 6 5 1 Agora calculamos f 1 1 5 1 3 5 1 3 6 3 2 Exemplo 2 Determine a função inversa da função definida por y 2x 3 Permutamos x por y e y por x x 2y 3 Explicitamos y em função de x isolando y da equação 2 3 2 3 3 2 y x y x y x Portanto f 1 x x 3 2 27 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre as Noções de Funções consulte os sites e as referências a seguir httpmagiadamatematicacomuerjcap01introfuncaopdf httpwwwbrasilescolacommatematicaintroducaofuncaohtm httpwww1folhauolcombrfolhaeducacaoult305u366327shtml Outras indicações Capítulo 3 e 4 do livro A Matemática do Ensino Médio volume 1 de Elon Lages Lima Paulo César P Carvalho Eduardo Wagner e Augusto César Morgado Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática Sobre o desenvolvimento histórico do Conceito de Função Educação Matemática em Revista SBEM ano 8 nº 910 abr2001 p10 28 Unidade Funções Referências DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Fundamentos de Matemática Função Afim ou Função Polinomial do 1º Grau Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Ms Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Textual Prof Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Introdução Casos Particulares da Função Afim Gráfico de uma Função Afim Atenção Atenção Para um bom aproveitamento do curso leia o material teórico atentamente antes de realizar as atividades É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma Nesta unidade estudaremos a representação de uma função afim sua forma e coeficientes Surgirão alguns casos particulares da função afim como a função linear a função identidade e a função constante Calcularemos o valor de uma função afim por meio de exercícios e problemas Encerraremos esta etapa construindo o gráfico de uma função afim e de alguns casos particulares Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Função Definida por mais de uma Sentença Função Afim Crescente ou Decrescente Zero da Função Afim Inequações do 1º Grau InequaçõesProduto e Inequações Quociente 6 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Contextualização Veja algumas situaçõesproblema em que usamos as funções afim 1 O preço a pagar em função da quantidade de feijão comprado Dona Cidinha vai ao supermercado para comprar feijão o preço do quilograma de feijão é R 685 Quantidade de Kg de feijão Preço a pagar em reais 1 685 2 1370 3 2055 4 2740 5 3425 x 685 x Reflita a Existe uma relação entre o preço a pagar e a quantidade de quilos de feijão comprada b O preço do quilo do feijão depende de quanto vou pagar c O preço que vou pagar depende da quantidade de feijão que eu comprarei d Existe uma expressão matemática que me permite relacionar o preço do feijão à quantidade comprada 2 A área a ser pintada em função dos dias de trabalho Um pintor foi contratado para pintar uma parede cuja área é 240m² A tabela mostra o quanto ainda falta para ser pintado no final de cada dia Dia Área a ser pintada m2 0 240 1 210 2 180 3 150 4 120 5 90 6 60 7 30 8 0 7 Reflita a A área da parede a ser pintada tem relação com o número de dias b Quando os dias passam o que acontece com a quantidade de área a ser pintada c Quantos dias o pintor levou para terminar o serviço Supondose que o pintor pinte a mesma quantidade de parede em todos os dias 3 O valor da corrida de táxi em função da quantidade de quilômetros rodados Em certa cidade o preço de um corrida de táxi é calculado do seguinte modo A bandeirada é de R 650 A cada km percorrido o preço é de R 180 Reflita a Qual seria a fórmula matemática que represente essa situação b Para uma corrida de 60 km quanto se gastará c Um passageiro que pagou R 11810 por uma corrida percorreu quantos quilômetros 4 O valor pago pela escola em função do número de meses Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R 8000 mais uma mensalidade de R 5000 Reflita a Qual a função que representa o gasto de um aluno em relação aos meses de aula b Quanto gastará um aluno nos seis primeiros meses de aula Reflita e formule problemas com as seguintes situações O valor pago ao estacionamento de carros em função de sua permanência no estabelecimento O custo total da produção de uma fábrica de parafusos 8 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Introdução Em nosso dia a dia estamos sempre comparando e relacionando números grandezas e formas Vamos pensar na seguinte situação Raul é funcionário de uma loja que vende skates Ele recebe mensamente um salário composto de uma parte fixa no valor R 80000 mais uma parte variável que corresponde a uma comissão de 5 005 sobre o total de vendas que ele faz durante o mês O salário mensal de Raul pode ser escrito da seguinte maneira Salário mensal 80000 005 total de vendas no mês Observamos que o salário mensal de Raul é dado em função do total de vendas que ele fez durante o mês ou seja Se chamarmos de Sx o salário mensal de Raul e x a quantidade de skates que ele vende por mês temos Sx 005 x 800 Aqui temos um exemplo de função afim Veja outros exemplos Exemplo 2 Lucas e sua família vão sair de férias e Lucas resolveu alugar um apartamento na praia O dono do apartamento informou que o valor do aluguel corresponde a uma taxa fixa de limpeza no valor de R 15000 mais o valor de R 18000 por dia Um dia R 18000 R 15000 R 33000 Dois dias R 18000 x 2 R 15000 R 51000 Podemos escrever uma fórmula para calcular o valor do aluguel Basta chamar de y ou fx o valor total do aluguel e de x o número de dias de hospedagem fx180 x150 esta é a lei de formação da função que expressa o valor do aluguel de acordo com o número de dias Esta função é a que chamamos de função afim Para sabermos quanto Lucas gastará de aluguel se ele e sua família se hospedarem lá por 8 dias podemos por meio desta função calcular o valor total que ele pagará calculando f8 f8180 81501 4401501 590 9 Assim o valor a ser pago por 8 dias de hospedagem será de R1 59000 Muitos são os contextos que podem ser representados por meio de uma função afim ou função polinomial do 1º grau Chamase de função afim uma função f de R R quando existem dois números reais a e b tal que fxa xb para todo x R Exemplo 1 fx2 x1 sendo a 2 e b 1 fx x3 sendo a 1 e b 3 fx3 x2 sendo a 3 e b 2 fx5 x sendo a 5 e b 0 fx 2 3 x4 sendo a 2 3 e b 4 Exemplo 2 Identifique quais das funções f R R são afins a fx 5x5 b fx x23x c fx10 x d fx 43 x3 e fx x35 f fx 1 x 3 Resolução São funções afim os itens a c e e Exemplo 3 Identifique os coeficientes a e b das funções a seguir a y 4x 2 b y 5x 9 c y 10 3x d y 3x e y 4 x Resolução a y 4x 2 a 4 e b 2 b y 5x 9 a 5 e b 9 c y 10 3x a 3 e b 10 d y 3x a 3 e b 0 e y 4 x a 1 e b 4 10 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Exemplo 4 Para cada item escreva uma função afim na forma fx axb de acordo com os valores dos coeficientes a e b a a 1 e b 3 b a 2 e b 1 c a 5 e b 8 d a 1 3 e b 2 e a 5 e b 0 Resolução a 3 b 2 1 c 5 8 1 d 2 3 e 5 f x x f x x f x x f x x f x x Casos Particulares da Função Afi m 1 Função identidade Uma função identidade dá como imagem do elemento o próprio elemento ou seja fxx para todo x R Nesse caso a 1 e b 0 2 Função Linear Uma função linear é aquela definida por fxa x para todo x R Nesse caso b 0 Exemplos a fx 8x sendo a 8 b fx3x sendo a 3 c fx 1 5 x sendo a 1 5 d fx2 x sendo a 2 11 3º Função constante Uma função constante é aquela definida por fxb para todo x R Nesse caso a 0 fx 4 sendo a 0 e b 4 fx 3 sendo a 0 e b 3 fx 2 3 sendo a 0 e b 2 3 fx3 sendo a 0 e b 3 VALOR DA FUNÇÃO AFIM Exemplo 1 Seja a função f RR definida por fx2 x 6 calcule a f2 f2 2 2 6 4 6 2 b f3 f3 2 3 6 6 6 12 c f0 f0 2 0 6 0 6 6 d f 1 2 f 1 2 2 1 2 6 1 6 5 e f15 f152 15 6 3 6 3 Exemplo 2 Seja a função f R R definida por fx 3x 5 calcule a 7 3 5 7 3 7 5 3 12 12 3 4 f x x x x x x 12 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau b 13 3 5 13 3 13 5 3 8 8 3 8 3 f x x x x x x c 3 3 5 3 3 3 5 3 8 8 3 f x x x x x d 2 3 2 3 5 3 2 3 5 3 2 15 3 3 9 2 15 9 17 17 9 f x x x x x x x Trocando Ideias Caso você precise rever como se resolve uma equação do 1º grau consulte o site httpwwwbrasilescolacommatematicaequacao1ograucomumaincognitahtm Lá você vai encontrar algumas dicas de como resolver as equações de maneira simples e objetiva Exemplo 3 Uma companhia de energia elétrica cobra pela fatura mensal uma taxa fixa de R 1500 mais R 045 por kWh consumido 13 a Escreva uma função afim que permita calcular o valor pago mensalmente em função da quantidade de kwh consumidos b De acordo com a função escrita calcule a quantia a ser paga pelo consumo de 85 kwh 117 kwh 100 kwh c Quantos kwh uma pessoa consumiu em um mês cujo valor pago foi de R 5100 Glossário kWh quilowatthora unidade de medida de energia consumida ou produzida em uma hora Resolução a Vamos chamar de y a quantia a ser paga mensalmente e x a quantidade de kWh consumida y 045x 15 b Para 85 kwh temos y 045 85 15 3825 15 5325 R R 5325 Para 117 kwh temos y 045 117 15 5265 15 6765 R R 6765 Para 100 kwh temos y 045 100 15 4500 15 60 R R 6000 c y 045 x 15 Se o valor pago y foi de R 5100 temos que y 045x 15 045x 15 51 045 x 51 15 045 x 36 x 36 045 80 R 80 kwh 14 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Gráfi co de uma Função Afi m Antes de iniciarmos a construção do gráfico de uma função afim vamos provar que ele é uma reta Para isso basta mostrar que três pontos quaisquer do gráfico são colineares ou seja pertencem a uma mesma reta Você Sabia Foi por volta de 1360 dC que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento brilhante por que não traçar uma figura que representasse a maneira pela qual as coisas variam Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções Este processo era conhecido então como a latitude das formas Oresme usava os termos latitude e longitude de modo equivalente à ordenada e à abscissa que usamos hoje e sua representação gráfca assemelhavase à nossa geometria analítica Podemos verificar que dados três pontos distintos do gráfico da função afim esses pontos são colineares ou seja o gráfico é uma reta Prova Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta ou seja existem três pontos AB e C distintos dois a dois do gráfico de f que não estão alinhados conforme a figura seguinte Sejam x1 y1 x2 y2 e x3 y3 respectivamente as coordenadas cartesianas desses pontos Daí temos 15 Subtraindo membro a membro teremos 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y y ax b ax b x x x x x x y y ax b ax b x x x x x x y y a x x y y a x x y y a x x y y a x x a b a b a a a I a b a b a a a II I II Então 3 2 2 1 3 2 2 1 y y y y x x x x e 3 2 2 1 3 2 2 1 CE y y BD y y tg e tg x x x x BE AD β α Atenção CE é o cateto oposto ao ângulo β e BE é o cateto adjacente ao ângulo β que é a tangente de β E BD é o cateto oposto ao ângulo α e AD é o cateto adjacente ao ângulo α que é a tangente de α Importante é saber que se o valor de duas tangentes é igual é porque a medida de seus ângulos também é igual Explore Trigonometria 1 Relações no triângulo retângulo httpgoogllU6DXe Então se tg β tg α devemos ter que α β portanto os pontos A B e C estão obrigatoriamente alinhados Conforme queríamos demonstrar 16 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Estudo do Gráfico da Função Afim Inicialmente construímos uma tabela e atribuímos valores para x e encontramos os valores correspondentes para y determinando os pares ordenados xy Exemplo 1 Função afim com a 0 e b 0 fx 2x 1 α 0 x y fx 2 x1 xy 2 y f2 2 2 1 4 1 3 2 3 1 y f1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 y f0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 y f1 2 1 1 2 1 3 1 3 2 y f2 2 2 1 4 1 5 2 5 Cada par ordenado indicado na Tabela corresponde a um ponto no plano cartesiano Atribuímos apenas alguns valores para x na tabela Porém existem infinitos valores para x Df R e consequentemente infinitos pares ordenados Em seguida unimos esses pontos obtendo uma reta que é o gráfico da função fx2 x1 Os coeficientes da função fx2 x1 são a2 e b1 e o ponto que a reta intercepta o eixo y é exatamente o ponto b 17 Exemplo 2 Função afim com a 0 e b 0 fx 2x 1 α 0 x y fx 2x 1 xy 2 y f2 2 2 1 4 1 5 2 5 1 y f1 2 1 1 2 1 3 1 3 0 y f0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 y f1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 y f2 2 2 1 4 1 3 2 3 b 1 ponto em que a reta intercepta o eixo y 18 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Exemplo 3 Função linear com a 0 e b 0 fx 2x α 0 x y fx 2x xy 2 y f2 2 2 4 2 4 1 y f1 2 1 2 1 2 0 y f0 2 0 0 0 0 1 y f1 2 1 2 1 2 2 y f2 2 2 4 2 4 b 0 ponto em que a reta intercepta o eixo y Exemplo 4 Função linear com a 0 e b 0 fx 3x α 0 x y fx 3x xy 2 y f2 3 2 6 2 6 1 y f1 3 1 3 1 3 0 y f0 3 0 0 0 0 1 y f1 3 1 3 1 3 2 y f2 3 2 6 2 6 19 Exemplo 5 Função identidade com a 1 e b 0 fx x x y fx x xy 2 y f2 2 2 2 2 1 y f1 1 1 1 1 0 y f0 0 0 0 1 y f1 1 1 1 2 y f2 2 2 2 Observe que o gráfico da função identidade é a bissetriz do 1º e 3º quadrantes 20 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Para Pensar O que é bissetriz de um ângulo Exemplo 6 Função constante a 0 fx 3 x y fx 3 xy 2 y f2 3 2 3 1 y f1 3 1 3 0 y f0 3 0 3 1 y f1 3 1 3 2 y f2 3 2 3 O gráfico de uma função constante fxb é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto 0 b Sendo assim a imagem de f é o próprio conjunto b Im f b Para Pensar Como dois pontos determinam uma reta basta considerarmos dois pontos no plano cartesiano para construirmos o gráfico de uma função afim 21 Função Defi nida por mais de uma Sentença Pense na seguinte situação em janeiro de 2014 uma escola tinha 200 alunos matriculados em março devido a uma reforma no prédio de uma escola próxima foram matriculados mais 150 alunos Em outubro apenas 100 alunos retornaram para sua escola de origem Este é um exemplo de função definida por mais de uma sentença f A N chamamos de A os meses do ano Veja como fica o gráfico desta função Exemplo1 Construa o gráfico da função definida por Primeiro representamos essa função por meio de duas outras funções Para obtermos o gráfico de fx devemos construir os gráficos das funções gx x5 para x 3 e hx 2x5 para x 3 22 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau x gx x 5 gx 6 g6 6 5 6 5 1 6 1 4 g4 4 5 4 5 1 4 1 3 g3 3 5 3 5 2 3 2 x hx 2x 5 hx 2 h2 2 2 5 4 5 1 2 1 1 h1 2 1 5 2 5 3 1 3 0 h0 2 0 5 0 5 5 0 5 Pense Qual o significado dos símbolos e no gráfico 23 Função Afi m Crescente ou Decrescente Em Síntese Até o momento já vimos que uma função afim fx ax b tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo y ou seja não vertical e que a ordenada onde a reta intercepta o eixo y é sempre b No caso de a 0 o valor de fx permanece constante e o gráfico de f é a reta paralela ao eixo x que passa por 0 b Em uma função em que a 0 existem duas possibilidades a 0 ou a 0 Observe o gráf co de fx x 1 com a 0 Observe que na função f à medida que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de y também aumentam Dizemos que fx x 1 é crescente 24 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Agora observe o gráfico de outra função afim fx x2 com a 0 Observe que na função f à medida que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de y diminuem Dizemos que fx x 2 é decrescente Exemplo 1 Classifique em crescente ou decrescente cada uma das funções f R R a fx 2 4x 5 R a 0 função decrescente b fx 13 x 1 R a 0 função crescente c fx 7 x R a 0 função decrescente d fx 1 3x R a 0 função crescente 25 Exemplo 2 Em cada um dos gráficos a seguir que representam funções afins diga se a e b são positivos negativos ou nulos e se as funções são crescente ou decrescente Zero da Função Afi m Encontrar o zero de uma função é determinar o valor de x para o qual a função fx ax b a 0 se anula ou seja encontra o valor para fx 0 Para encontrar esse valor basta resolver a equação a x b 0 Exemplo Calcular o zero das seguintes funções a fx 2x 4 26 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Fazemos 2x 4 0 e resolvemos a equação 2 4 0 2 0 4 2 4 4 2 2 x x x x x b 3 2 3 2 0 3 2 2 3 f x x x x x c 3 7 1 3 7 1 0 3 7 1 0 4 x 1 1 x 4 f x x x x x x x Geometricamente o zero da função afim fx ax b a 0 é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo x Por exemplo Dada a função afim fx 2x 6 temos que 2 6 0 2 6 6 2 3 zero da função x x x x Assim o gráfico dessa função intercepta o eixo x no ponto 3 0 Estudo do Sinal de uma Função Afim O estudo do sinal de uma função afim consiste em determinar os valores reais de x para os quais y é zero menor do que zero ou maior do que zero fx 0 fx 0 fx 0 27 Exemplo 1 Veja a função fx 2x 4 Podemos encontrar os valores de x para os quais a função é maior do que zero menor do que zero ou igual a zero Primeiro calculamos o zero da função ou seja fazemos fx 0 2x 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 zero da função Em seguida vamos construir o gráfico dessa função para em seguida estudar o sinal dessa função x fx 0 4 1 2 3 2 Neste caso temos que a função fx 2x 4 α 0 é crescente Percebemos também que para qualquer valor que atribuirmos para x que seja maior do que 2 x 2 temos fx 0 e para qualquer valor que atribuirmos para x que seja menor do que 2 x 2 temos fx 0 Resumindo A função fx 2x 4 se anula quando x 2 A função fx 2x 4 é positiva para x 2 A função fx 2x 4 é negativa quando x 2 0 para 2 0 para 2 0 para 2 f x x f x x f x x 28 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Exemplo 2 Estude o sinal da função fx 4x 2 Primeiro vamos encontrar o zero dessa função 4x 2 0 4x 2 x 2 4 x 1 2 raiz da função ou onde a reta intercepta o eixo x Segundo vamos construir o gráfico Começamos pela tabela e depois traçamos a reta x fx 0 2 1 2 2 6 Pense É conveniente que se atribua valores para x menores e maiores que a raiz da função 29 Gráfico da função fx 4x 2 1 1 1 0 para 0 para 0 para 2 2 2 f x x f x x f x x Exemplo 3 Lucas gastou R 75000 na compra de certa quantidade de camisetas para revender a R 1500 cada uma Ele deseja saber quantas camisetas deve vender para que haja lucro no final da venda Primeiro escrevemos a lei de formação dessa função Fazendo fx0 temos 15x 750 0 15x 750 x 750 15 x 50 Ou seja se ele vender 50 camisetas não haverá lucro nem prejuízo Se fx 0 x 50 ou seja se ele vender mais de 50 camisetas terá lucro Analogamente se ele vender menos de 50 camisetas terá prejuízo fx0 Resumindo Vendendo 50 camisetas não haverá nem lucro nem prejuízo Para x 50 temos fx 0 Vendendo mais de 50 camisetas haverá lucro Para x 50 temos fx 0 Vendendo menos de 50 camisetas haverá prejuízo Para x 50 temos fx 0 30 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Em situações como esta dizemos que foi feito o estudo do sinal da função que consiste em determinar os valores de x do domínio para os quais fx 0 fx 0 e fx 0 Exemplo 3 De acordo com o gráfico da função afim abaixo responda às questões seguintes Qual é o zero dessa função Escreva a função afim f correspondente a esse gráfico Essa função é crescente ou decrescente Para quais valores de x temos Em que a e b R fx 0 fx 0 fx 0 Resolução a O zero da função é o ponto onde a reta intercepta o eixo x Neste caso x 2 b Para escrever a função afim fazemos o seguinte Localizamos dois pontos no gráfico 04 e 2 0 31 Temos que y a x b e as coordenadas xy de dois pontos A 0 4 4 a 0 b b 4 B 2 0 0 a 2 b 0 2a 4 2a 4 a 2 Determinados a2 e b4 escrevemos a função fx2 x4 c Como a20 temos que a função é crescente d Estudo do sinal da função fx2 x4 fx 0 2x 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 fx 0 2x 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 fx 0 2x 4 0 2x 4 x 4 2 x 2 Inequações do 1º Grau Seja f R R uma função de variável x Chamamos de inequação toda desigualdade que possa ser deduzida a uma das seguintes formas f 0 f 0 f 0 f 0 Uma inequação do 1º grau é toda inequação que pode ser deduzida a uma das seguintes formas ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 Em que a e b R com a 0 Alguns exemplos de inequações do 1º grau a 2x 1 0 b 4x 10 x c x 8 0 d 2x 5 7 Na resolução de inequações devemos usar adequadamente as propriedades das desigualdades entre números reais e das desigualdades envolvendo adição e multiplicação de números reais Algumas dessas propriedades são 1 Dados x y R vale uma e somente uma das possibilidades x y x y ou y x 2 Se x y e y z então x z transitiva 3 Se x y então para qualquer z R temse x z y z ou de outra forma se x y e x y então x x y ysoma membro a membro 32 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau 4 Se x y e z é positivo então x z y z ou de outra forma dados x y x y positivos se x y então x x y y então x x y y produto membro a membro 5 Se xy e z é negativo então x z y z quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um número negativo o sentido dessa desigualdade se inverte 6 Se x 0 então x2 0 exceto zero todo quadrado é positivo Se 0 x y então podemos dividir todos os membros por x y assim quanto maior for um número positivo menor será seu inverso Pense Qual o significado dos símbolos e Explore Para saber um pouco mais sobre as propriedades das desigualdades consulte os seguintes sites Conjunto numéricos httpgooglHUzx5t Propriedades algébricas e interpretações 2 httpgooglTlMNg8 Como Resolver uma Inequação do 1º Grau Resolver uma inequação é encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira Exemplo 1 33 Exemplo 2 Outra maneira de resolver uma inequação do 1º grau é por meio do estudo do sinal da função Veja o exemplo seguinte Exemplo 3 Resolva a inequação 3 2x x 12 Primeiro escrevemos a função fx 3 2x x 12 2x x 3 12 0 3x 15 0 fx 3x 15 Para estudarmos o sinal dessa função encontramos o seu zero 3x 15 0 3x 15 x 5 zero da função Ou seja O gráfico que representa essa função intercepta o eixo x no ponto 5 e a 0 temos a seguinte representação 34 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Observe no esquema que para valores de x menores ou iguais que 5 temos fx0 para valores de x maiores ou iguais que 5 temos fx 0 No caso do exemplo queremos fx0 portanto x 5 Portanto Sx R x 5 Exemplo 4 Resolva a inequação 4x 7 9 Vamos resolver das duas maneiras 1º 4x 7 9 4x 9 7 4x 16 4x 16 x 4 Portanto Sx R x 4 2º Escrever fx 4x 7 9 0 fx 4x 16 0 Agora encontramos o zero da função 4 x160 4 x16 x 4 a0 função crescente Como queremos fx0 temos que Sx R x 4 Sistemas de Inequações do 1º Grau Um sistema de inequações é composto por duas ou mais inequações as quais devem ser resolvidas ao mesmo tempo Usamos o estudo do sinal das funções para resolver sistemas de inequações do 1º grau Veja os exemplos seguintes Exemplo 1 A solução do sistema será dada pela intersecção das soluções das duas inequações 35 Primeiro vamos resolver cada uma das inequações separadamente I 5x 3 7 5x 7 3 5x 10 x 2 SIx R x 2 II x 6 2x 1 x 2 x 1 6 x 7 x 7 SIIx R x 7 Fazendo a interseção dos conjuntos soluções das duas inequações temos SI SIIx R 2 x 7 Exemplo 2 I 3x 0 4 3x 4 x 4 3 II x 5 0 x 5 x 5 SI SII 36 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau SI SII x R 4 3 x 5 Exemplo 3 SI SII x R 5 x 3 37 InequaçõesProduto e Inequações Quociente Sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções Essas inequações em geral têm sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1º grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais Exemplo 1 Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau x 4x20 Resolvendo Cada um dos fatores x 4x 2 representa uma função do 1º grau Assim iniciaremos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamaremos de y e z respectivamente Para y x 4 e z x 2 temos 1 Se y x 4 então sua raiz é obtida fazendo x 4 0 x 4 2 Se z x 2 então sua raiz é obtida fazendo x 2 0 x 2 Para construir esses esquemas lembrese de uma regra básica a 0 função é decrescente a 0 função crescente A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais de y e z representadas acima Após aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado 38 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Para encontrar a solução procurada fazemos a multiplicação dos sinais de y e z e Como procuramos fx0 a solução está no intervalo em que o sinal é positivo De acordo com o esquema podemos verificar que os valores de x para os quais y z 0 são x 2 e x 4 Portanto Sx R x 2 e x 4 Exemplo 2 Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1º grau Resolvendo A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos números reais a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais Assim cada termo do quociente representa uma expressão do 1º grau Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamamos de a e b respectivamente Para ax1 e bx5 temos 1 Se ax 1 a raiz obtida é x 1 0 x 1 2 Se bx 5 a raiz obtida é x 5 0 x 5 A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das expressões a e b representadas acima 39 Após aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado De acordo com o esquema podemos verificar que os valores de x para os quais y z 0 são 5 x 1 Portanto Sx R 5 x 1 Exemplo 3 De acordo com o conjunto dos números Reais determine o valor de x na seguinte inequação produto 2x 1x 2 0 Temos que fx 2x 1 e gx x 2 Podemos chamar uma função de y z ou w letras minúsculas do alfabeto como nos exemplos 1 e 2 e também de fx gx ou hx como no exemplo 3 fx 2x1 fx0 2x 1 0 2x 1 x 1 2 gxx2 gx0 x 2 0 x 2 40 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Portanto Sx R 2 x 1 2 Exemplo 4 A inequação a seguir envolve produto e quociente entre termos x1 x4 x2 0 Construa o quadro de sinais e os possíveis valores de x Por que em hx o esquema tem uma para x 2 Sx R x 4 ou 2 x 1 hx x 2 hx 0 x 2 0 x 2 gx x 4 gx 0 x4 0 x 4 fxx1 fx0 x1 0 x 1 41 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre Função Afim consulte as indicações a seguir A função afim e suas aplicações de Mariza Ferraz da Silva Monografia apresentada como requisito para obtenção de título de Especialista em Matemática Mídias Digitais e Didática ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Sul sob a orientação da professora doutora Maria Cristina Varriale Função Afim httpwwwinfoescolacommatematicafuncaoafim Função de 1º httpwwwsomatematicacombremediofuncao1funcao1php Função Afim httpwwwmatematicadidaticacombrFuncaoAfimaspx Capítulo 5 do livro A Matemática do Ensino Médio volume 1 de Elon Lages Lima Paulo César P Carvalho Eduardo Wagner e Augusto César Morgado Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 42 Unidade Função Afi m ou Função Polinomial do 1º Grau Referências DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de França UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Fundamentos de Matemática Função Quadrática Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Me Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Técnica Profª Drª Cintia Aparecida Bento dos Santos Revisão Textual Profa EspVera Lídia de Sá Cicarone 5 Introdução Definição de Função Quadrática Gráfico da Função Quadrática Outros objetivos que serão buscados nesta unidade consolidar conhecimentos obtidos na resolução de equações do 2 grau conceituar função polinomial do 2 grau determinar a lei de formação de uma função polinomial do 2 grau determinar a imagem de elementos do domínio de uma função polinomial do 2 grau construir ler e analisar os gráficos de funções polinomiais do 2 grau identificar a concavidade e outros elementos da parábola identificar o crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 2 grau resolver problemas de máximos e mínimos associados à função polinomial do 2 grau compreender os significados dos coeficientes da função do 2 grau utilizar a função polinomial do 2 grau para resolver problemas As inequações do 2º grau encerram esta unidade com atividades que incluem inequações simples sistemas de inequações inequaçõesproduto e inequações quociente Nesta unidade vamos fazer o estudo da função quadrática ou função polinomial do 2º grau As funções quadráticas são fundamentais por exemplo no estudo do movimento de projéteis balística e de modelos econômicos entre outros Além disso podemos encontrar arcos de parábolas em variadas estruturas arquitetônicas Função Quadrática Estudo do sinal da função quadrática Inequações do 2º grau 6 Unidade Função Quadrática Contextualização Nesta Unidade vamos assistir ao vídeo O mundo da matemática Episódio 7 Uma parábola para Júlia No audiovisual Uma parábola para Júlia episódio 7 do programa O Mundo da Matemática Júlia vai aprender que a perda de calorias durante uma caminhada está relacionada com a velocidade que se imprime aos passos Neste episódio você vai descobrir com Rafael e Júlia o que é uma parábola e como a função de 2º grau pode ser útil para auxiliar na resolução de alguns problemas httpswwwyoutubecomwatchv7VUTembITQ 7 Introdução A figura abaixo representa uma região retangular onde foi construído um canil O dono do canil pretende ampliar essa região aumentando a mesma medida para o lado e para o comprimento Como podemos expressar a área fx do canil após a ampliação dos lados em função da medida x Trocando Ideias A área do retângulo é dada pela multiplicação da medida dos seus lados 8 Unidade Função Quadrática fx 5x 4x fx 5 4x x4x fx 205x 4x x2 fx 20 9 x x2 ou fx x2 9 x 20 é a lei da função que expressa a área do canil após a ampliação em função da medida x Chamamos essa função de função quadrática ou função polinomial do 2º grau Se o dono do canil resolver aumentar o lado em 1 m na largura e 1 m no comprimento podemos calcular a área do canil usando a função fx x2 9 x 20 fazendo f1 f1 12 91 20 1920 30 Portanto para x 1 a área do canil após a ampliação é 30 m2 Se considerarmos x 2 estamos considerando que a medida dos lados seja aumentada de 2 m na largura e no comprimento f2 2292 20 41820 42 Portanto para x 2 a área do canil após a ampliação é de 42 m2 Defi nição de Função Quadrática Uma função f R R chamase quadrática quando existem números reais a b c com a 0 tal que fx a x2bxc para todo x Є R f R R x a x2bxc a é o coeficiente real de x2 com a 0 b é o coeficiente real de x c é um coeficiente real também chamado de termo independente 9 Vamos identificar a função quadrática com o trinômio do 2º grau a ela associado e escrevemos como fx a x2 b x c Exemplo 1 fx 3x2 5x 1 a 3 b 5 c 1 fx 2x2 x a 2 b 1 c 0 fx x2 6 a 1 b 0 c 6 fx 20x2 a 20 b 0 c 0 fx 2 3x x2 a 1 b 3 c 2 Observe que não são funções quadráticas fx 2x fx 3x fx x3 2 x2 1 Refl ita Por que as três funções acima não são funções quadráticas As funções quadráticas em que b 0 e c 0 por exemplo fx 20x2 ou nas com b 0 por exemplo fx x2 6 ou ainda naquelas que c 0 fx 2 x2 x são chamadas incompletas Já as funções quadráticas em que b 0 e c 0 são chamadas completas Exemplo 2 Quais das seguintes funções são funções quadráticas 10 Unidade Função Quadrática Exemplo 3 Calcule o valor de hx 4 x2 6 x 3 para A x 2 h2 4 22 6 2 3 h2 4 4 12 3 h2 16 12 3 h2 31 B x 3 h3 4 32 6 3 3 h3 4 9 18 3 h3 36 18 3 hx 21 Exemplo 4 as funções abaixo são equivalentes à função fx ax2 bx c Determine em cada uma delas os coeficientes a b e c A fx 2 x2 3 fx 2 x2 6 a 2 b 0 c 6 B fx 2 x 32 fx 2 x2 6 x 9 fx 2x2 12x 18 a 2 b 12 c 18 C fx x 2 x 3 fx xx 3 2 x 3 fx x2 3x 2x 6 fx x2 x 6 a 1 b 1 c 6 Exemplo 5 Dada a função quadrática f R R definida por fx x2 6x 8 determine A Os coeficientes a b e c a 1 b 6 c 8 B f1 f0 f2 f1 12 6 1 8 1 6 8 3 f0 02 6 0 8 0 0 8 8 f2 22 6 2 8 4 12 8 24 x 32 x2 2 x 3 32 x2 6x 9 2x2 6x9 2x2 26x 29 2x2 12x 18 xx 3 2x 3 x x x 3 2 x 2 3 x2 3x 2x 6 x2 x 6 11 C se existe x Є R tal que fx 3 Se existir calcule x fx 3 x2 6x 8 3 x2 6x 8 3 0 x2 6 x 5 0 Importante Para resolver essa equação será preciso rever o conteúdo de Equação do 2º grau Veja httpwwwbrasilescolacommatematicaequacao2grauhtm httpwwweducfculpticmicm99icm22frame7htm httpjmpmat5blogspotcombr Então vamos lá x2 6x 5 0 a 1 b 6 c 5 Primeiro começamos com o cálculo do valor de b2 4ac 62 4 1 5 36 20 16 12 Unidade Função Quadrática D se existe x Є R para que se tenha fx 3 Se existir calcule x fx 3 x2 6x 8 3 x2 6x 8 3 0 x2 6x 11 0 a 1 b 6 c 11 Primeiro começamos com o cálculo do valor de b2 4ac 62 4 1 11 36 44 8 Não existe x Є R tal que fx 3 Importante Neste caso não existe solução pois não existe no conjunto dos números reais a raiz quadrada de 8 E se existe x Є R para que se tenha fx 0 Se existir calcule x fx 0 x2 6x 8 0 a 1 b 6 c 8 Primeiro começamos com o cálculo do valor de b2 4ac 62 4 1 8 36 32 4 Calculamos o valor de x 2 6 4 21 6 2 8 4 2 2 6 2 2 6 2 4 2 2 2 42 b a x x x x S 13 Gráfi co da Função Quadrática O gráfico de uma função do 2º grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola A parábola possui um eixo de simetria que passa pelo seu vértice que é o ponto em que o eixo de simetria e a parábola se cruzam A parábola pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo de acordo com o coeficiente a Se o coeficiente a é positivo ou seja a 0 a concavidade da parábola é voltada para cima Se o coeficiente a é negativo ou seja a 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo A ponte Juscelino Kubitscheck inaugurada em dezembro de 2002 em Brasília DF apresenta três arcos que cruzam diagonalmente a ponte cujas formas lembram três parábolas 14 Unidade Função Quadrática O gráfico de uma função quadrática intercepta o eixo y eixo vertical em um único ponto Esse ponto de intersecção do gráfico com o eixo vertical tem abscissa x 0 Quando substituímos esse valor na função fx ax2 bx c obtemos f0 a02 b0 c 0 0 c c y c Assim o ponto de intersecção da parábola com o eixo vertical 0y é único e suas coordenadas são 0 c O gráfico de uma função quadrática também intercepta o eixo x eixo horizontal chamado de raízes da função Nesses pontos o valor da função é igual a zero Assim basta fazer fx 0 e a função quadrática transformase em uma equação do 2º grau 2 2 0 com 4 2 b ax bx c x b a c a Se 0 a equação terá duas raízes reais e distintas x e x o que significa que a parábola terá dois pontos de intersecção distintos com o eixo x x 0 e x 0 15 Se 0 a equação terá duas raízes reais e iguais x x o que significa que a parábola interceptará o eixo horizontal no ponto x 0 x 0 Se 0 a equação não terá raízes reais e a parábola não cortará o eixo horizontal Outro ponto que ajuda na construção do gráfico é a determinação do vértice da parábola Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola é simétrica em relação a um eixo vertical eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola Para determinarmos as coordenadas do vértice do gráfico de fx ax2 bx c usamos a seguinte fórmula v v Vx y X 2 e Y 4 v v b a a 16 Unidade Função Quadrática Por fim vamos determinar o ponto de máximo e o ponto de mínimo de uma função quadrática O vértice Vxv yv de uma parábola correspondente ao ponto de máximo da função quadrática quando sua concavidade é voltada para baixo ou seja quando o coeficiente a é menor que zero Dizemos ainda que yv é o valor máximo dessa função Quando a concavidade da parábola é voltada para cima ou seja quando o coeficiente a é maior que zero o vértice corresponde ao ponto de mínimo e yv ao valor mínimo da função Parece difícil Vamos aos exemplos a seguir Exemplo 1 Construir o gráfico da função fx 2x2 4x 3 1º passo Concavidade a 2 0 a 0 concavidade voltada para cima 2º passo Intersecção com o eixo y c 3 Ponto de intersecção com o eixo y 03 3º passo Intersecção com o eixo x zeros da função Fazer fx 0 2x2 4x 3 0 17 a 2 b 4 c 3 b2 4 a c 42 4 2 3 16 24 8 0 Portanto a parábola não intercepta o eixo x 4º passo Vértice da parábola 2 4 4 1 22 4 4 8 8 1 42 8 11 v v v v v v V x y b x a x e y a y V 5º passo Construir uma tabela e localizar esses pontos no eixo das coordenadas e traçar a parábola x y 1 0 3 1 1 2 3 fx 2x2 4x 3 f1 212 41 3 2 1 4 3 2 4 3 9 f2 2 22 4 2 3 2 4 8 3 8 8 3 3 f3 2 32 4 3 3 2 9 12 3 18 12 3 9 Primeiro coloque os valores do vértice no centro da tabela Agora coloque na tabela o ponto em que a parábola intercepta o eixo y 18 Unidade Função Quadrática x y 1 9 0 3 1 1 2 3 3 9 Agora basta localizar esses ponto no eixo cartesiano e traçar a parábola Exemplo 2 Construir o gráfico da função fx x2 2x 1 1º passo Concavidade a 1 0 a 0 concavidade voltada para cima 2º passo Intersecção com o eixo y c 1 Ponto de intersecção com o eixo y 01 3º passo Intersecção com o eixo x zeros da função Fazer fx 0 x2 2x 1 0 Perceba que os valores de y na tabela são simétricos em relação ao vértice 19 a 1 b 2 c 1 b2 4 a c 22 4 1 1 4 4 0 Portanto a parábola intercepta o eixo x em um ponto 4º passo Vértice da parábola 5º passo Construir uma tabela e localizar esses pontos no eixo das coordenadas e traçar a parábola Agora que você já entendeu a construção da tabela vamos simplificar Colocar os valores do vértice no centro da tabela e distribuir os outros intersecção com os eixos em intervalos iguais 20 Unidade Função Quadrática x y 1 4 0 1 1 0 2 1 3 4 fx x2 2x 1 f1 12 2 1 1 1 2 1 4 f2 22 2 2 1 4 4 1 1 f3 32 2 3 1 9 6 1 4 Exemplo 3 Construir o gráfico da função fx x² 2x 3 1º passo Concavidade a 1 0 a 0 concavidade voltada para baixo 2º passo Intersecção com o eixo y c 3 Ponto de intersecção com o eixo y 03 3º passo Intersecção com o eixo x zeros da função Fazer fx 0 x² 2x 3 a 1 b 2 c 3 b2 4 a c 22 4 1 3 4 12 16 21 Portanto a parábola intercepta o eixo x em um dos pontos distintos Os pontos que interceptam o eixo x são 10 e 30 4º passo Vértice da parábola 5º passo Localizar esses pontos no eixo das coordenadas e traçar a parábola 22 Unidade Função Quadrática Em Síntese Estudo do sinal da função quadrática Estudar o sinal de uma função quadrática fx ax2 bx c a 0 significa determinar os valores reais de x para os quais fx se anula fx 0 fx é positiva fx 0 fx é negativa fx 0 Vamos dividir este nosso estudo em três casos 1º caso 0 Neste caso a função admite dois zeros reais e diferentes x e x ou seja a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos 23 Em Síntese Quando 0 fx tem o sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes da equação e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes 2º caso 0 Neste caso a função admite um zero real duplo x x ou seja a parábola que representa a função tangencia o eixo x Veja fx 0 para x x x fx 0 para x x Em Síntese Quando 0 fx tem o sinal de a para x diferente da raiz dupla da equação fx 0 para x x ou x x fx 0 para x x x fx 0 para x x ou x x fx 0 para x x ou x x fx 0 para x x ou x x fx 0 para x x x fx 0 para x x x fx 0 para x x 24 Unidade Função Quadrática 3º caso 0 Neste caso a função não admite zeros reais ou seja a parábola que representa a função não intersecta o eixo x Em Síntese Quando 0 fx tem o sinal de a para qualquer valor real de x Vamos aos exemplos Exemplo 1 Estude o sinal da seguinte função quadrática A y x2 3x 2 Resolução a 1 a 0 concavidade voltada para cima Cálculo de b2 4 a c 32 4 1 2 9 8 1 0 admite duas raízes reais e distintas 3 1 4 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 21 2 x x x e x x 25 Então fx 0 para x 1 ou x 2 fx 0 para x 1 ou x 2 fx 0 para 1 x 2 B y x2 7x 12 Resolução a 1 a 0 concavidade voltada para baixo Cálculo de b2 4 a c 72 4 1 12 49 48 1 0 admite duas raízes reais e distintas Então fx 0 para x 3 ou x 4 fx 0 para 3 x 4 fx 0 para x 3 ou x 4 C y x2 6 x 9 Resolução a 1 a 0 concavidade voltada para cima Cálculo de b2 4 a c 62 4 1 9 36 36 0 0 admite duas raízes reais e iguais 26 Unidade Função Quadrática Então fx 0 para x 3 fx 0 para qualquer x 3 D fx 4x2 4 x 1 Resolução a 4 a 0 concavidade voltada para baixo Cálculo de b2 4 a c 42 4 4 1 16 16 0 0 admite duas raízes reais e iguais Então fx 0 para x 12 fx 0 para qualquer x 12 27 E fx 2x2 3 x 4 Resolução a 2 a 0 concavidade voltada para baixo Cálculo de b2 4 a c 32 4 2 4 9 32 23 0 a função não tem raízes reais Então fx 0 para todo x real ou seja fx é sempre negativa F fx x2 4 Resolução a 1 a 0 concavidade voltada para cima Cálculo de b2 4 a c 02 4 1 4 0 16 16 0 a função não tem raízes reais Então fx 0 para todo x real ou seja fx é sempre positiva Inequações do 2º grau Denominase inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das seguintes formas ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 28 Unidade Função Quadrática Veja alguns exemplos a x2 6x 4 0 b 3x2 0 c x2 1 x 3 d x 3 x 2 0 Exemplo Resolver as inequações A 2x2 4 x 6 0 Iniciamos com o estudo do sinal dessa função Resolução a 2 a 0 concavidade voltada para cima Cálculo de b2 4 a c 42 4 2 6 16 48 64 0 admite duas raízes reais e distintas 4 8 4 1 4 4 4 8 12 3 4 2 1 3 4 64 4 8 22 4 x x x e x x De acordo com a inequação dada devemos determinar os valores de x para os quais fx 0 Portanto S x R 3 x 1 B 3x2 6x 3 0 29 Resolução a 3 a 0 concavidade voltada para baixo Cálculo de b2 4 a c 62 4 3 3 36 36 0 0 admite duas raízes reais e iguais De acordo com a inequação dada devemos determinar os valores de x para os quais fx 0 Observando o esquema podemos verificar que não existe nenhum valor de x que torne fx 0 Portanto S ou S Ø C x2 4x 5 0 Resolução a 1 a 0 concavidade voltada para baixo Cálculo de b2 4 a c 42 4 1 5 16 20 4 0 a função não admite raízes reais De acordo com a inequação dada devemos determinar os valores de x para todos fx 0 Portanto S 30 Unidade Função Quadrática Inequações simultâneas Resolver uma inequação simultânea é o mesmo que resolver um sistema de inequações Exemplo1 Resolva 2 x2 3 6 Resolução 2 2 2 2 3 6 2 3 I 3 6 II x x x I 2 x2 3 x2 3 2 x2 3 2 0 x2 1 0 É possível resolver essa inequação do 2º grau incom pleta x2 1 0 usando a fórmula de Báskara Optamos neste caso isolar o termo independente x2 1 0 a 0 concavidade voltada para cima x2 1 x 1 x 1 e x 1 II x2 3 6 a 0 concavidade voltada para cima x2 6 3 x2 9 x 9 x 3 e x 3 31 Como temos duas condições necessárias que devem ser satisfeitas simultaneamente vamos determinar a intersecção de I e II no diagrama a seguir S x R tal que 3 x 1 e 1 x 3 Exemplo 2 Para que valores de x as duas inequações x2 x 6 0 e x2 3x 4 0 se verificam simultaneamente Resolução Chamamos de I x2 x 6 0 e de II x2 3x 4 0 e resolvemos separadamente o cálculo de suas raízes ou zeros da função I x2 x 6 0 a 0 concavidade voltada para cima x2 x 6 0 a 1 b 1 c 6 b2 4 a c 12 4 1 6 1 24 25 0 admite duas raízes reais e distintas 32 Unidade Função Quadrática SI 32 II x2 3x 4 0 x2 3x 4 0 a 1 b 3 c 4 b2 4 a c 32 4 1 4 9 16 25 0 admite duas raízes reais e distintas SII 41 Como temos duas condições necessárias que devem ser satisfeitas simultaneamente vamos determinar a intersecção de I e II no diagrama a seguir 33 S x R tal que 4 x 3 Exemplo 3 Resolva I 5 x2 4 II x2 4 3x Resolvemos separadamente o cálculo de suas raízes ou zeros da função I 5 x2 4 x2 4 5 x2 5 4 x2 9 a 0 concavidade voltada para cima x 9 x 3 S 33 II x2 4 3x x2 3x 4 0 x2 3x 4 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 3 c 4 b2 4 a c 32 4 1 4 9 16 25 0 admite duas raízes reais e distintas 34 Unidade Função Quadrática S II 14 Como temos duas condições necessárias que devem ser satisfeitas simultaneamente vamos determinar a intersecção de I e II no diagrama a seguir S x R tal que 3 x 4 Inequação produto Exemplo 1 Resolva a inequação produto 2x 4 x2 2 x 3 0 Resolução Primeiro vamos nomear de fx e gx as desigualdades 35 Resolvendo fx Resolvendo gx x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 2 c 3 b2 4 a c 22 4 1 3 4 12 16 0 admite duas raízes reais e distintas 2 4 2 1 2 2 2 4 6 3 2 2 2 2 16 2 4 21 2 x x b x a x SII 31 36 Unidade Função Quadrática Representando no quadro de sinais temos S x R tal que x 3 e 2 x 1 Exemplo 2 Resolva x2 4 x2 x 6 0 fx x2 4 0 a 0 concavidade voltada para cima x2 4 0 x2 4 x 4 x 2 S 22 gx x2 x 6 0 x2 x 6 0 a 0 concavidade voltada para baixo a 1 b 1 c 6 b2 4 a c 12 4 1 6 1 24 23 0 não admite raízes reais 37 No quadro de sinais temos S x R tal que x 2 e x 2 Inequação Quociente Exemplo 1 Encontrando as raízes de fx x2 x 2 x2 x 2 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 1 c 2 b2 4 a c 12 4 1 2 1 8 9 0 admite duas raízes reais e distintas 38 Unidade Função Quadrática S 12 Para gx x 0 temos que A representação no quadro de sinais fica S x R tal que x 1 e 0 x 2 Exemplo 2 fx x2 2 x 8 0 e gx x 3 0 Resolvendo fx x2 2 x 8 0 temos x2 2x 8 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 2 c 8 b2 4 a c 22 4 1 8 4 32 36 0 admite duas raízes reais e distintas Lembrando que x 0 pois está no denominador e a reta é crescente a 0 39 S 42 Resolvendo gx x 3 0 x 3 0 a 0 a reta é crescente x 3 No quadro de sinais temos S x R tal que 4 x 3 e x 2 Lembrando que não dividimos por zero 40 Unidade Função Quadrática Exemplo 3 gx x2 2x 8 0 x2 2 x 8 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 2 c 8 b2 4 a c 22 4 1 8 4 32 36 0 admite duas raízes reais e distintas S 42 hx x2 x 2 0 Não existe divisão por zero x2 x 2 0 a 0 concavidade voltada para cima a 1 b 1 c 2 b2 4 a c 12 4 1 2 1 8 9 0 admite duas raízes reais e distintas 41 hx x2 x 2 No quadro de sinais temos S x R tal que 4 x 2 e 1 x 1 e x 2 42 Unidade Função Quadrática Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre Função quadrática consulte as indicações seguintes 1 Livro PERELMAN Yakov Aprenda Álgebra Brincando São Paulo Hemus 2001 httpwwwmatematicadidaticacombrFuncaoQuadraticaaspx httpswwweducabrascomenemmateriamatematicaaulasfuncaoquadratica httpswwwyoutubecomwatchvZ5aVWZgifk 43 Referências BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 44 Unidade Função Quadrática Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Fundamentos de Matemática Função Exponencial Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Ms Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Textual Prof Ms Claudio Brites 5 Introdução O símbolo da Potência Função Exponencial Nesta Unidade você inicia mais um estudo sobre as funções exponenciais Este conteúdo lhe permitirá rever os conceitos de potenciação e radiciação bem como suas propriedades que servirão como embasamento para os estudos das equações exponenciais das funções exponenciais e dos gráficos das funções exponenciais Não se esqueça consulte o material teórico na íntegra Faça as atividades Fique atento às datas de entrega das tarefas avaliativas Enfim ao concluir seus estudos nesta Unidade você terá vencido mais uma importante etapa no seu curso Nesta unidade trataremos das funções exponenciais A função exponencial é uma das mais importantes para o estudo e explicação de inúmeros fenômenos naturais e também para o projeto de incontáveis máquinas tornandose assim uma das ferramentas indispensáveis para físicos químicos biólogos e também engenheiros Função Exponencial Equação Exponencial Inequação Exponencial 6 Unidade Função Exponencial Contextualização Nesta contextualização você estudará uma aplicação de funções exponenciais lendo o seguinte artigo extraído do jornal O Globo de 21 maio 2011 Pense neste trecho aumentou exponencialmente Em algum momento você já deve ter lido ou ouvido uma notícia em que se fala sobre aumento exponencial ou decréscimo exponencial Que tal dar uma olhada no que diz o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação Ex crescimento exponencial1 Suponha que neste município a cada ano o número de casos de dengue aumente aproximadamente dez vezes em relação ao ano anterior e esse padrão se mantenha nos anos seguintes Logo 2010 17 casos 2011 17 x 10 170 casos aproximadamente 2012 17 x 10 x 10 1 700 casos aproximadamente 2013 17 x 10 x 10 x 10 17 000 casos aproximadamente 2014 17 x 10 x 10 x 10 x 10 170000 casos aproximadamente E assim sucessivamente Agora vamos chamar de Qt a quantidade de casos de dengue a cada ano e t a quantidade de anos a fim de poder escrever da seguinte forma 1 Fonte httpwwwpriberamptdlpoexponencialmente 7 Considerando o ano de 2010 como t 0 2010 17 x 100 2011 17 x 10¹ 2012 17 x 10² 2013 17 x 10³ 2014 17 x 104 Ano t 17 x 10t Assim a função que expressa o número de casos de dengue de acordo com o ano t é Qt 17 10t Se nada for feito para controlar a dengue em 2016 teremos Qt 17 106 Qt 17 1 000 000 Qt 17 000 000 dezessete milhões de casos Um valor considerado absurdo certamente Lembrase do que dizia o dicionário Exponencialmente ou exponencial significa algo que é considerado acima ou abaixo do comum ou que tem grande variação grifos nossos Pense nisso Vejamos agora este outro exemplo Vunesp SP Duas funções ft e gt fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t em anos respectivamente num período de 0 a 5 anos Suponha que no tempo inicial t 0 existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano Encontre a As expressões matemáticas das funções ft e gt b O número de ratos que haverá por habitante após 5 anos Pense primeiro na quantidade de ratos Em t 0 temos f0 100 000 100 000 x 20 Em 1 ano temos f1 200 000 100 000 x 21 Em 2 anos temos f2 400 000 100 000 x 22 Em 3 anos temos f3 800 000 100 000 x 23 Em 4 anos temos f4 1 600 000 100 000 x 24 Em t anos temos ft 100 000 x 2t ft 100 000 2t 8 Unidade Função Exponencial E para a quantidade de pessoas Em g 0 temos g0 70 000 Em 1 ano temos g1 70 000 2 000 Em 2 anos temos g2 70 000 2 000 x 2 Em 3 anos temos g3 70 000 2 000 x 3 Em 4 anos temos g4 70 000 2 000 x 4 Em t anos temos gt 70 000 2 000 x t gt 70 000 2 000t Para resolver o item b calculamos o quociente entre o número de ratos e de pessoas daqui a cinco anos Logo após cinco anos existirão nessa cidade quarenta ratos por habitante 9 Introdução Primeiro faremos uma revisão de potenciação Você conhece a lenda do xadrez O xadrez é um dos jogos mais antigos do mundo Foi criado há séculos na Índia A história do jogo conta que um rei chamado Sheram ficou entusiasmado pela criação do jogo novo Sessa era professor e o inventor do jogo e foi recompensado pelo rei pelo invento realizado Como era uma pessoa humilde o pedido que fez ao rei foi de receber um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez dois grãos pela segunda casa quatro grãos pela terceira oito pela quarta e assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez O Rei Sheram ficou admirado pelo pedido tão modesto do inventor que imediatamente ordenou aos seus sábios o cálculo do número de grãos para que fossem entregues em um saco ao inventor Contudo o rei ficou espantado com o resultado fornecido pelos sábios pois esse número era tão grande que não caberia dentro de um saco nem dentro de todos os sacos existentes na Terra Como foi realizado o cálculo feito pelos sábios para se chegar ao número 18 446 744 073 709 551 615 Primeira casa 1 grão Segunda casa 1 2 2 grãos Terceira casa 2 2 4 grãos Quarta casa 2 2 2 8 grãos Quinta casa 2 2 2 2 16 grãos E assim por diante até completar as 64 casas do tabuleiro de xadrez chegando ao resultado gigantesco Trocando Ideias Para conhecer mais sobre o assunto acesse httpeducacaouolcombrplanosdeaulafundamentalmatematicapotenciacaonotabuleiro dexadrezhtm Assim Exemplo 53 5 5 5 125 3 fatores iguais Fonte ThinkstockGetty Images 10 Unidade Função Exponencial O símbolo da Potência Podemos dizer então que para indicarmos multiplicações com fatores iguais o homem criou a potenciação Assim para indicar 2 2 2 2 2 por exemplo usamos o símbolo 25 denominado potência de base 2 e expoente 5 Nomenclatura 25 2 2 2 2 2 32 Assim 2 é a base 5 é o expoente e 32 é a potência A base é o fator que se repete O expoente é o número de vezes que repetimos a base A potência é o resultado Potências de base real com expoente inteiro Exemplos 26 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 42 4 x 4 16 35 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243 63 6 x 6 x 6 216 Todo número diferente de zero e elevado a zero é um 20 1 30 1 100 1 Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número 151 15 201 20 121 12 11 Base zero e qualquer número no expoente o resultado é zero 05 0 012 0 025 0 Base negativa e expoente ímpar resultado negativo 45 4 x 4 x 4 x 4 x 4 1024 33 3 x 3 x 3 27 27 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 128 Base negativa e expoente par resultado positivo 24 2 x 2 x 2 x 2 16 62 6 x 6 36 82 8 x 8 64 Explicando algumas propriedades Potências de bases iguais Multiplicação conservase a base comum e somamos os expoentes aman am n Exemplos 37 x 35 375 312 58 x 53 583 511 24 x 22 242 242 22 53 x 3 x 58 x 35 538 x 315 511 x 36 Divisão conservase a base comum e subtraímos os expoentes Exemplos 28 25 285 23 512 55 5125 5125 517 63 27 6 23 631 273 62 273 62 210 Potências de Expoentes Iguais Multiplicação multiplicase as bases e conservamos o expoente comum am bm abm 12 Unidade Função Exponencial Exemplos 37 x 27 3 x 27 67 29 x 35 x 26 x 310 29 x 26 x 35 x 310 296 x 3510 215 x 315 2 x 315 615 Divisão dividese as bases e conservamos o expoente comum am bm a bm Exemplos 87 27 8 27 47 610 35 62 37 610 623537610 2 35 7 6102 357 612 312 6 312 212 Consequência todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um a0 1 a 0 Assim an an ann a0 1 Potências de potência para escrever a potência elevada a outro expoente mantémse a base e multiplicamse os expoentes amn amn Exemplos 223 22 22 22 2222 26 64 224 22 22 22 22 22222 28 256 Potências de expoente negativo invertese a base da potência e depois mudase o sinal do expoente para positivo e então é resolvida normalmente aplicando as propriedades vistas anteriormente amn amn Exemplos 13 Potências de base 0 quando a base do expoente é zero o resultado será sempre zero para qualquer valor que seja colocado no expoente com exceção do zero 0n 0 se n 0 00 indeterminação 0n impossível se n 0 Em síntese Outros exemplos ATENÇÃO amn amn Veja por exemplo 234 212 e 234281 Para saber mais acesse httpgoogl6vjQsR 14 Unidade Função Exponencial Agora uma revisão de radiciação Figura 2 Tirinha intitulada Guaraná e Pirrixa e a raiz quadrada Fonte httpguaranaeturmablogspotcombr201207guaranaepirrixaeraizquadradahtml Dado um número real a não negativo e um número natural n n 1 chamase raiz n ésima enésima de a o número real e não negativo b tal que bn a Importante Considere dois casos 1º caso sendo a um número real não negativo e n um número inteiro positivo temse que Exemplos 2º caso sendo a um número real negativo e n um número inteiro positivo temse que 15 Exemplos Propriedades dos radicais Considerando a e b reais não negativos m inteiro n aos naturais não nulos temos as seguintes propriedades 1ª propriedade Exemplos 2ª propriedade Exemplos 3 5 3 5 2 8 2 8 16 4 3ª propriedade Exemplos 16 Unidade Função Exponencial 4ª propriedade a a e a a m n m p n p m n n p m p Exemplos 56 56 56 10 10 10 2 3 2 4 3 4 8 12 6 10 10 2 3 5 6 2 5ª propriedade Exemplos Racionalização de denominadores São três casos 1 caso o radical do denominador possui índice 2 Exemplos O valor de uma fração não se altera quando multiplicamos seu numerador e seu denominador por um mesmo número pois isso equivale a multiplicar essa fração por 1 17 2 caso o radical do denominador possui índice diferente de 2 Exemplos a 5 2 5 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 3 3 3 b 6 3 6 3 3 3 6 3 3 6 27 3 6 27 3 2 27 4 4 3 4 3 4 3 4 1 3 4 4 4 4 4 4 3 caso o denominador é um binômio em que pelo menos um dos termos é um número irracional sob a forma de radical Exemplos Função Exponencial Vamos à função fx ax Dado um número real a a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a uma função f de R em R definida por fx ax ou y ax Exemplos Para Pensar Por que as restrições de a 0 e a 1 foram dadas na definição 18 Unidade Função Exponencial Exemplos Não são funções exponenciais fx 4x fx x2 fx 0x fx 1x Dada a função exponencial fx 2x calcule Figura 3 Gráfico da função exponencial Acompanhe a construção dos gráficos de duas funções exponenciais Atribuise alguns valores para x para encontrar os valores correspondentes de fx Tabela 1 Função Exponencial x fx 2x x fx 2 fx22 2 1 2 1 4 2 1 4 1 fx22 1 1 2 1 2 1 1 2 0 fx 20 1 0 1 1 fx 21 2 1 2 2 fx 22 4 2 4 19 Gráfico 1 Função Exponencial Uma função exponencial é crescente se a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No caso acima temos que a função f é crescente com a 2 Tabela 2 Função exponencial x fx x 1 2 x fx 2 fx 2 22 4 1 2 24 1 fx 1 21 2 1 2 12 0 fx 0 1 1 2 0 1 1 fx 1 1 2 1 2 1 1 2 2 fx 2 1 2 1 4 2 1 4 Gráfico 2 Função exponencial 20 Unidade Função Exponencial Uma função exponencial é decrescente se 0 a 1 pois sempre que aumentamos os valores de x os valores correspondentes de fx diminuem No caso acima temos que a função f é decrescente com a 1 2 Em Síntese Se a 1 a função é crescente Se 0 a 1 a função é decrescente Para Pensar O gráfico de uma função exponencial não toca o eixo x encontrandose todo acima desse eixo pois para todo x temos fx ax 0 O gráfico de uma função fx ax é chamado curva exponencial e corta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas 0 1 Na função exponencial fx ax o domínio contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Equação Exponencial Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes Exemplos Para resolver uma equação exponencial são reduzidos os dois membros da equação a potências de mesma base Para isso utilizamse as propriedades das potências vistas anteriormente Exemplo Resolva as equações abaixo 4x 8 3x 1 81 Transformase a equação dada em uma igualdade de potências de mesma base 21 4x1 42x2 x 1 2x2 x 1 2x 4 x 2x 4 1 3x 3 x 1 S 1 73x4 492x3 73x4 722x3 73x4 74x6 3x 4 4x 6 4x 3x 4 6 x 10 S 10 23x1 42x3 83x 23x1 222x3 233x 23x1 24x6 29x 23x14x6 29x 27x5 29x 7x5 9x 9x 7x 5 2x 5 x 5 2 S 5 2 Em algumas equações exponenciais não é possível reduzir ambos os membros da equação a uma potência de mesma base Nesses casos usamse alguns artifícios de cálculo Exemplo 1 Determinar a solução da equação 9x 103x 9 0 Inicialmente a equação é escrita de outra maneira 32x 103x 9 0 3x2 103x 9 0 Pense 32x 3x2 22 Unidade Função Exponencial Agora 3x é substituído por y y2 10y 9 0 Ao substituir é encontrada uma equação do segundo grau que é resolvida da seguinte forma y2 10y 9 0 a 1 b 10 c 9 b2 4ac 102 419 100 36 64 As raízes são 1 e 9 Agora voltase à igualdade para substituir os valores encontrados de y e determinar a solução da equação exponencial Para y 1 há 3x 1 3x 30 x 0 Para y 9 3x 9 3x 32 x 2 S 02 Exemplo 2 Determinar a solução da equação 2x2 2x 1 18 Aqui é utilizada a propriedade 2m 2n 2mn 22 2x 21 2x 18 Substituímos 2x por y 4y 1 2 y 18 mmc 2 8y1y 2 36 2 23 9y 36 y 4 Como 2x y 2x 4 2x 22 x 2 S 2 Trocando Ideias Você se lembra da restrição a 0 e a 1 Veja porque são necessárias para fx ax Se a 1 teríamos uma função constante e não exponencial pois 1 elevado a qualquer x real resultaria em 1 Neste caso fx 1x equivale a fx 1 que é uma função constante Para a 0 quando se estuda a potenciação constatase que 00 é indeterminado então fx 0x seria indeterminado quando x 0 No caso de a 0 não se esqueça de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par portanto se houver a 3 e x 1 4 o valor de fx não será um número real pois haverá Inequação Exponencial Inequação exponencial é toda desigualdade cuja incógnita está no expoente Exemplo 3x1 27 4x3 1 25x 5 Para resolver uma inequação exponencial você deve se lembrar que a função exponencial fx ax é crescente para a 1 e decrescente para 0 a 1 ou seja Se a 1 fx ax é crescente ax1 ax2 x1 x2 24 Unidade Função Exponencial Note que o sentido da desigualdade se mantém Gráfico 3 Inequação exponencial Se 0 a 1 fx ax é decrescente ax1 ax2 x1 x2 Note que o sentido da desigualdade é invertido Gráfico 4 Inequação exponencial Exemplo resolver as inequações a seguir 5x 25 5x 52 x 2 25 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 5 é maior que 1 Portanto S x R x5 3x1 9x2 3x1 32x2 3x1 32x4 x 1 2x 4 x 2x 4 1 x 5 inverte o sinal da desigualdade pois multiplicamos os dois lados da desigualdade por 1 x 5 Note que o sentido da desigualdade se manteve pois a base a 3 é maior que 1 Portanto S x R x5 Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 23 é menor que 1 Portanto S x R x 1 07xx3 049x2 26 Unidade Função Exponencial Resolvendo esta equação do segundo grau encontrase Note que o sentido da desigualdade se inverte pois a base a 07 é menor que 1 Portanto S x R x1 e x4 Separar em duas inequações Resolver separadamente Fazendo a intersecção há S x R 0 x 12 27 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre a função exponencial consulte as seguintes indicações httpeducacaouolcombrmatematicafuncaoexponencialjhtm httpeducacaouolcombrdisciplinasmatematicafuncaoexponencialaplicacoesembiologia quimicaematematicafinanceirahtm LIMA E L Crescimento Linear e crescimento exponencial Revista do Professor de Matemática RPM n 33 p 16 Quais as raízes da equação 2x x2 Revista do Professor de Matemática RPM n 3 p 18 et al A Matemática do Ensino Médio Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 1 Capítulo 8 28 Unidade Função Exponencial Referências BIGODE A J L Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Fundamentos da Matemática Função Logarítmica Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Me Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Técnica Profª Drª Cintia Aparecida Bento dos Santos Revisão Textual Prof Me Fatima Furlan 5 Introdução Condição de Existência do Logaritmo Consequências da Definição de Logaritmo Neste módulo veremos as funções logarítmicas Iniciamos nossos estudos com a definição de logaritmo e a sua condição de existência Estudaremos suas propriedades operatórias Construiremos o gráfico de uma função logarítmica e resolveremos equações logarítmicas Encerraremos a Unidade com as inequações logarítmicas Faça uma leitura atenciosa do conteúdo e das situações problemas propostas para compreensão e interpretação Nesta unidade trataremos das funções logarítmicas Em latim logaríthmus significa números que envolvem A função logarítmica é a inversa da função exponencial Os logaritmos surgiram como ferramenta de cálculo para realizar simplificações já que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração Função Logarítmica Propriedades Operatórias dos Logaritmos Mudança de base do logaritmo Função Logaritmica Equações Logarítmicas Inequações logarítmicas 6 Unidade Função Logarítmica Contextualização Silêncio A modernidade e consequentemente a urbanização não trouxeram apenas conforto e modernidade Com os benefícios diversos problemas antes incomuns passaram a fazer parte do nosso cotidiano Entre eles a poluição sonora Buzinas sirenes e motocicletas bem como carros rádios televisores aviões liquidificadores etc estão tornando o meio em que vivemos cada vez mais barulhento Estudos mostram que a poluição sonora pode causar além de perda auditiva estresse falta de concentração problemas neurológicos e digestivos entre outros O nível equivalente de ruído de um ambiente é medido em decibéis por meio da função logarítmica nl10 log l l0 em que l é a intensidade sonora em wattmetro quadrado wm2 e l0 é a intensidade sonora mínima de audibilidade humana podendose considerar l0 1012 wm2 Além da intensidade do ruído do ambiente fatores como o tempo de exposição e características específicas de cada pessoa têm influência nos danos causados à audição O nível de ruído recomendável pela Organização Mundial da Saúde OMS é de 50 dB Porém conforme o quadro seguinte é comum a exposição a ruídos acima desse nível Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Liquidificador 90 dB Secador de cabelo 90 dB Britadeira 100 dB Buzina de automóvel 110 dB Motor de motocicleta 120 dB Decolagem de avião a jato 150 dB Veja duas aplicações O nível de ruídos de um ambiente pode ser medido em decibéis dB e determinado pela função nx12010 log x em que x é a intensidade do ruído em wattsmetro quadrado wm2 Ao decolar um avião gerou um ruído com intensidade de 100 wm2 Calcule o nível de ruído em decibéis Ao se medir o nível de ruído de um liquidificador verificouse que este atingia cerca de 90 dB Determine a intensidade do ruído gerado pelo liquidificador em wattsmetro quadrado 7 Resolução A nx12010 log x substituímos em x o valor de 100 wm2 n10012010 log 100 n10012010 log 102 n100120102 log10 n10012020 1 n10012020 n100140 Resposta 140dB B nx12010 log x neste caso temos nx90 90 12010 log x 10 log x 90 120 10 log x 30 log x 30 10 log x 3 103 x Resposta 103 wm2 Fonte RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 8 Unidade Função Logarítmica Introdução Quando trabalhamos com potências três operações aparecem A primeira é a potenciação São dados a base e o expoente por exemplo 3² x onde x é a segunda potência de 3 A segunda é a radiciação Nesta são dados o expoente e a potência como no exemplo x³ 27 ou x 27 em que x é a raiz cúbica de 27 ou seja 3 A terceira operação é a logaritmação Nesta são conhecidas a base e a potência como no exemplo 2x 8 onde x é o logaritmo do número 8 na base 2 ou log28 x 2x x Podemos estabelecer a equivalência log28 x 2x 8 Assim concluímos que log28 é o número ao qual devemos elevar a base 2 para obtermos o número 8 no caso o número 3 Definição Para definirmos o que é o logaritmo vamos tomar como exemplo as equações exponenciais a seguir A 5x 25 5x 52 x 2 Esse valor 2 denominase logaritmo do número 25 na base 5 e é representado por log525 2 52 25 Assim log525 2 52 25 B 3x 1 81 3x 1 34 3x 34 x 4 O valor de 4 chamase logaritmo do número 1 81 na base 3 e é representado por log3 1 81 4 Dados os números reais positivos a e b com a 1 chamase logaritmo de b na base a o expoente c tal que ac b ou seja 9 No logaritmo a base pode ser qualquer número real positivo diferente de 1 Exemplo 1 a log381 4 3481 b log 1 2 32 5 1 12 5 32 c log55 2 52 5 Exemplo 2 Calcule os logaritmos a seguir aplicando a definição A log327 Resolução log3 27x 3x 27 3x 33 x 3 B log0225 Resolução log02 25 x 02x 25 2 10 x 52 1 5 x 52 51x 52 5x 52 x 2 x 2 C log 1 9 33 Resolução log 1 9 33 x 1 9 x 33 1 32 x 33 1 2 32x 31 1 2 32x 3 3 2 2x 3 2 x 3 4 Observações De acordo com as restrições impostas não são definidos por exemplo os logaritmos de log381 log100 log03 log28 e log16 Aplique a definição nesses casos e veja o que acontece Quando a base do logaritmo for 10 damos o nome de logaritmos decimais e podemos representálos assim log 8 que é o logaritmo de 8 na base 10 Exemplo 3 Determine o valor de b para que log 1 8 b 2 Fique atento O logaritmo é um expoente Conservase a base e somase os expoentes 10 Unidade Função Logarítmica Resolução Aplicando a definição temos 1 8 2 b 82 b b64 Exemplo 4 Determine o valor de a sabendose que loga 25 2 Resolução Aplicando a definição temos a2 25 a2 25 a 25 a 5 Como a deve ser um número positivo e diferente de 1 temos que a 5 o valor 5 não deve ser considerado Portanto a 5 Além dos logaritmos decimais temos outro logaritmo importante cuja base é o número irracional e 2718281828 Obtido pelo matemático Leonhard Euler 1707 1783 o logaritmo de base e é chamado logaritimo neperiano ou logaritmo natural e é representado por logeb ou ln b Exemplo 5 Determine o valor de cada expressão A log2 log100 Resolução Primeiro calculamos log 100 log10100 x 10x 100 10x 102 x 2 Em seguida calculamos log2 2 log2 2 x 2x 2 2x 21 x 1 B log2 025 log 1 25 5 Vamos calcular separadamente log2 025 e log 1 25 5 log2 025 x 2x 025 2x 25 100 2x 1 4 2x 1 2 2 2x 22 x 2 log 1 25 5 x 1 25 x 5 1 52 x 5 52x 5 1 2 2x 1 2 x 1 4 11 Agora somamos 2 1 4 2 1 4 81 4 9 4 C Vamos calcular log2 8 log2 8 x 2x 8 2x 23 2x 2 3 2 x 3 2 Condição de Existência do Logaritmo Pela condição de logaritmo vimos que loga b c existe se a 0 e a 1 Assim é preciso definir em alguns casos quais os valores de a e b para que o logaritmo exista Exemplo Determine os valores reais de x para os quais existe A log3 x 5 Como a base é 3 positiva e diferente de 1 devemos impor que x 5 0 x 5 Logo x R x 5 B log 3 2 x2 7x10 Condição de existência x2 7x 10 0 x2 7x 10 0 3 2 Vamos encontrar as raízes da equação e fazer o estudo do sinal da equação do 2º grau 12 Unidade Função Logarítmica a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 9 0 duas raízes reais e distintas x x 2 e x 5 Logo a solução é dada por x R x 2 e x 5 C logx2 x2 4x 5 Pelas condições de existência temos I x 2 1 x 1 2 x 3 e x 2 0 x 2 II x2 4x 5 0 x2 4x 5 0 a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 36 0 duas raízes reais e distintas x x 1 e x 5 13 x R x 1 e x 5 Satisfazendo simultaneamente as duas condições temos Logo a solução é dada por x R x 5 Consequências da Defi nição de Logaritmo 1 loga 1 0 pois a0 1 qualquer que seja a 0 e a 1 2 loga a 1 pois a1 a para todo a 0 e a 1 3 loga an n pois an an para todo a 0 e a 1 e para todo n 4 alog a N N com N 0 a 0 e a 1 5 loga x loga y x y com x 0 y 0 a 0 e a 1 Exemplos 1 Calcule o valor dos logaritmos a log6 1 0 b log06 06 1 c log6 6 1 d log 1 6 1 0 2 Dê o valor de x nas igualdades a 1 log3 x x 3 b 1 logx 8 x 8 14 Unidade Função Logarítmica 3 Calcule o valor dos logaritmos seguinte a log5 54 4 b log3 36 6 c log2 24 4 d log5 5 log5 5 1 2 1 2 e log3 log5 53 log3 31 3 f 2 log10log 2 13 21log 2 13 2log 2 13 13 1 Propriedades Operatórias dos Logaritmos Vamos conhecer agora as propriedades operatórias dos logaritmos 1ª propriedade logaritmo do produto loga bc loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 Numa mesma base o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números Exemplos a log2 3 5 log2 3 log2 5 b log 300 log 3 100 log 3 log 100 log 3 log 102 log 3 2 2 Atenção log 3 2 não é o mesmo que log 3 2 2ª propriedade logaritmo do quociente loga b c loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 15 Numa mesma base o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números Exemplos a log2 16 4 log2 16 log2 4 log2 24 log2 22 4 2 2 b log 7 10 log 7 log 10 log 7 1 1 3ª propriedade logaritmo da potência loga bn n loga b Exemplos a log3 57 7 log3 5 b log102 2 log10 2 1 2 1 Exercício resolvido 1 Dados logb a 5 e logb 2 10 resolva a expressão logb 24a logb 3 Aplicando as propriedades temos logb 24a logb 3 logb 24a 3 logb 8a logb 8 logb a logb 23 logb a 3 logb 2 logb a Substituir os valores dados 3 10 5 30 5 35 2 Escreva as expressões na forma de um único logaritmo a 3 log 12 log 7 log123 log7 log123 7 b 3 log2 7 log2 6 6 log2 3 log2 73 log2 6 log2 36 propriedade de potência log2 73 6 log2 36 log2 736 36 Aplicar a propriedade do logaritmo do quociente Aplicar a propriedade do logaritmo do produto Aplicar a propriedade do logaritmo da potência 16 Unidade Função Logarítmica Mudança de base do logaritmo Observem log4 64 3 pois 43 64 log2 64 6 pois 26 64 log2 4 2 pois 22 4 Temos também que log4 64 3 podemos escrever log4 64 log2 64 log2 4 dizemos que houve uma mudança de base nos logaritmos de base 4 e 2 Assim loga b logc b logc a Exemplos A log5 8 log3 8 log3 5 neste caso o log5 8 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 3 B log3 12 log7 12 log7 3 neste caso o log3 12 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 7 ATENÇÃO A base deve ser escolhida de acordo com a conveniência de cada exercício Exercicios resolvidos 1 Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10 log2 8 log 8 log 2 2 Dado logb a 6 calcule loga b3 loga b3 logb b3 logb a 3 6 1 2 3 Calcule o valor da expressão log3 5 log25 81 Escrever na base 3 log3 5 log25 81 log3 5 log3 81 log3 25 17 1 log3 5 log3 34 log3 52 log3 5 4 log3 3 2 log3 5 log35 2 log3 3 log3 5 2 12 Função Logaritmica Vimos na Unidade anterior que a função definida por fx ax com a 0 e a 1 é uma função exponencial Lembrando que essa é uma função bijetora ou seja possui a função inversa A função inversa da função exponencial é a função logarítmica definida por f R R definida por fx loga x ou y loga x com a 0 e a 1 Exemplos a fx log2 x b y log x c fx log 1 2 x Exercício resolvido 1 Seja a função fx log2x3 determine Df CDf e Imf Pela definição de logaritmo temos 2x 3 0 x 3 2 Df x R x 3 2 Como a função logaritmica é bijetora temos que CDf Imf portanto podemos obter o CD de f calculando o D de f1 Para calcular f1 trocamos as variáveis x por y e y por x em seguida isolamos y y log2x3 x log2y3 aplicamos a definição de logarítmo loga b c acb 10x 2y 3 10x 3 2y y 10x 3 2 Portanto f1 x 10x 3 2 O domínio desta função são os Reais R consequentemente o CDf R e também Imf R 18 Unidade Função Logarítmica 2 Dada a função fx log3 x calcule A f9 f9 log3 9 log3 32 2 log3 3 2 12 B f 1 3 f 1 3 log3 1 3 log3 31 1 log3 3 1 1 1 C f1x y log3 x x log3 y 3x y f1x 3x D f11 f11 31 1 3 3 Determine o domínio da função fx logx5 112x Pela definição temos fx loga b temos que a 0 e a 1 e b 0 I x 5 0 x 5 e x 5 1 x 1 5 x 6 II 11 2x 0 11 2x 2x 11 x 11 2 S x R 5 x 11 2 Gráfico da função logarítmica Observe a construção de dois gráficos de funções logarítmicas fx log2 x e gx log 1 2 x Atribuímos alguns valores para x e encontramos os valores correspondentes de fx e gx x fx log2 x x fx 14 f 1 4 log2 1 4 log2 22 2 log2 2 2 1 2 1 4 2 12 f 1 2 log2 1 2 log2 21 1 log2 2 1 1 1 1 2 1 1 f1 log2 1 0 1 0 2 f2 log2 21 2 1 4 f4 log2 22 2 log2 2 2 12 4 2 19 Quando a 1 a função logarítmica é crescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No gráfico anterior temos a 2 1 portanto a função é crescente x gx log 1 2 x x fx 14 g 1 4 log 1 2 1 4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 1 2 1 4 2 12 g 1 2 log 1 2 1 2 1 1 2 1 1 g1 log 1 2 1 0 1 0 2 g2 log 1 2 21 2 1 4 g4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 12 4 2 20 Unidade Função Logarítmica Quando a 1 a função logarítmica é decrescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de gx diminuem No gráfico anterior temos a 12 1 portanto a função é decrescente Como consequência da análise dos gráficos e da definição concluímos que Se a 1 a função é crescente Se a 1 a função é decrescente O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto 1 0 ou seja f1 0 ou ainda loga 1 0 O gráfico não toca o eixo y e nem ocupa os quadrantes II e III Na função logarítmica o domínio o contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à reta y x Veja os gráficos das funções inversas fx ax e gx loga x 21 Observe que as duas funções são crescentes a 1 No entanto à medida que aumentamos os valores de x a função exponencial cresce rapidamente enquanto que a função logarítmica cresce muito lentamente Neste caso as duas funções são decrescentes ou seja 0 a 1 Equações Logarítmicas Acompanhe os exercícios resolvidos Resolva a equação log2 x2 3 Primeiro analisamos o logaritmando e a base No caso a base é um número real positivo e diferente de 1 mas é preciso verificar o logaritmando Condição de existência x 2 0 x 2 Em seguida aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb log2 x2 3 23 x 2 8 x 2 x 10 A solução da equação logarítmica tem que satisfazer a condição de existência x 2 e como 10 é maior que 2 a solução desta equação é S 10 2 Resolva log2 x3 log2 x 2 Condição de existência x 3 0 x 3 e x 0 portanto x 3 log2 x3 log2 x 2 log2 x3 x 2 22 x x 3 Aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb 22 Unidade Função Logarítmica 4 x2 3x x2 3x 4 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais de distintas x 4 e x 1 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 0 Neste caso x 4 pertence ao intervalo x 0 mas x 1 não pertence a esse intervalo portanto a solução é S 4 3 Resolva a equação log5 x2 x 6 log5 3x2 Condição de existência x2 x 6 0 x2 x 6 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais e distintas x 3 e x 2 3x 2 0 3x 2 x 23 Determinamos a condição de existência por meio da intersecção de I e II Portanto a condição de existência é x 2 Agora vamos resolver a equação logaritmica aplicando a propriedade loga b loga c b c Para resolver essa inequação resolvemos a equação do 2º grau e fazemos o estudo do sinal dessa função 23 log5x2 x 6 log53x2 x2 x 6 3x 2 x2 x 6 3x 2 0 x2 2x 8 0 a 1 0 concavidade para cima 36 0 duas raízes reais e diferentes x 2 e x 4 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 2 portanto apenas x 4 satistaz a condição de existência S 4 4 Resolver a equação log2 log3 x2 Condição de existência x 0 e log3 x 0 Aplicando a definição de logaritmo temos log2 log3 x2 22 log3 x 4 log3 x log3 x 4 aplicamos novamente a definição de logaritmo 34 x x 81 Verificando a condição de existência temos S 81 5 Resolva 2 log10 x log10 4 log10 3x Condição de existência x 0 e 3x 0 x 0 2 log10 x log10 4 log10 3x 2 log10 x log10 43x log10 x2 log10 43x x2 43x x2 12x x2 12x 0 Resolvendo a equação x2 12x 0 encontramos x 0 e x 12 Verificando a condição de existência que é x 0 a solução é apenas x 12 S 12 24 Unidade Função Logarítmica Inequações logarítmicas Vamos recordar algumas informações importantes que nos ajudarão a resolver uma inequação A função fx loga x é crescente quando a 1 Neste caso conservase o sinal da desigualdade A função fx loga x é decrescente quando 0 a 1 Neste caso trocase o sinal da desigualdade Para resolver uma inequação logarítmica reduzimos os dois membros a logaritmos de mesma base a a 0 e a 1 Acompanhe os exercícios resolvidos 1 Resolva a inequação log5 5x10 log5 45 Condição de existência 5x 10 0 x 2 I Neste caso já temos as bases dos logaritmos iguais Como a base é 5 a 1 mantemos o sinal da desigualdade e resolvemos a inequação log5 5x10 log5 45 5x 10 45 5x 45 10 5x 35 x 7 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 2x 7 2 Resolva a inequação log 1 3 4x1 2 Condição de existência 4x 1 0 x 1 4 I Como a base é 1 3 0 x 1 invertemos o sinal da desigualdade log 1 3 4x1 2 log 1 3 4x1 log 1 3 1 3 2 Cancelamos os log e invertemos o sinal da desigualdade 4x 1 1 3 2 4x 1 1 9 4x 1 9 1 4x 1 9 9 9 4x 10 9 x 10 36 x 5 18 II 25 A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R x 5 18 3 Resolva a inequação log3 x log3 x82 Condição de existência x 0 e x 8 0 x 8 basta x 8 I log3 x log3 x8 log3 32 log3 x log3 x8 log3 9 log3 x x8 log3 9 Como a base é igual a 3 a 1 mantemos o sinal da desigualdade x x 8 9 x2 8x 9 0 x2 8x 9 0 a 1 0 concavidade voltada para cima 100 0 duas raízes reais e distintas x 1 e x 9 1 x 9 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 8x9 26 Unidade Função Logarítmica Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre função exponencial consulte as indicações a seguir Sites Propriedades Operatórias dos Logaritimos httpgooglzCC5cN Exponencial e Logaritimos httpgoogl4ebiwS Logaritmos httpinternacoceducacaocombrebookpages7673htm Livro Capítulo 8 do livro A Matemática do Ensino Médio volume 1 de Elon Lages Lima Paulo César P Carvalho Eduardo Wagner e Augusto César Morgado Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 27 Referências BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 28 Unidade Função Logarítmica Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário