Introdução ao Cálculo Diferencial: Limites e Velocidade Instantânea

Cálculo Diferencial Limites 1 Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profª Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Diferencial A proposta desta Unidade é o estudo de Limite seu significado sua linguagem e suas propriedades Com relação aos conteúdos dividimos em Velocidade Instantânea Definição de Limite Limites Laterais Leis dos Limites Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar um limite de uma função em um determinado valor do domínio pela análise do gráfico da função Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para sua realização Nesta Unidade será apresentado o conceito de Limite que é estudado entre outros assuntos para realizar medidas instantâneas da variabilidade de uma determinada grandeza Assim a proposta é o estudo de Limite seu significado sua linguagem e suas propriedades Limites 1 Introdução Velocidade Instantânea Limite Limites Laterais Leis dos Limites Cálculo de Limites 6 Unidade Limites 1 Contextualização Se fosse realizada uma corrida entre um homem e uma tartaruga quem venceria a corrida Vamos imaginar ainda que fosse dada uma vantagem à concorrente tartaruga Quem venceria Considerando o Paradoxo de Zenão o homem nunca alcançaria a tartaruga O Paradoxo de Zenão consiste em assumir como certas algumas hipóteses e partindo dessas hipóteses chegase a conclusões contraditórias e inaceitáveis Sabemos pouco sobre a vida de Zenão de Eléia mas alguns de seus pensamentos foram conservados nos diálogos platônicos de Parmênides no livro Vida dos Filósofos de Diógenes Laércio e nos escritos de Física de Aristóteles Ele é conhecido pelos paradoxos formulados sobre a tese da impossibilidade do movimento que hoje são conhecidos como Paradoxos de Zenão Explore Noções de Cálculo Limite de Funções e Paradoxo de Zenão Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvfDNAPkckL3g Acesso em 15 maio 2014 7 Introdução Nesta Unidade será apresentado o conceito de Limite que é estudado entre outros assuntos para realizar medidas instantâneas da variabilidade de uma determinada grandeza Nós iremos estimar a rapidez de determinados objetos ou seja sua velocidade instantânea Isso porque se observarmos o velocímetro de um carro em movimento iremos observar que o ponteiro se movimenta na maior parte do tempo em que aceleramos e brecamos o carro Velocidade Instantânea Vamos imaginar que um automóvel movese em uma estrada retilínea e que a distância percorrida em metros a partir de um determinado ponto inicial no instante t em segundos fosse dada por st t2 2t 0 v 0 Para determinarmos a velocidade instantânea deste automóvel em um instante t precisamos do conceito de velocidade média A velocidade média é uma grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca em um intervalo de tempo Se quisermos determinar a velocidade média deste automóvel entre dois instantes t1 e t2 utilizamos a seguinte expressão S1 0 Origem S2 S S2 S1 Fórmula da velocidade média variação da distância dividida pela variação de tempo m s v t D D 2 1 2 1 m s s v t t 8 Unidade Limites 1 Assim precisamos determinar as distâncias percorridas nos dois instantes t1 1s e t2 2s st t2 2t t 1s s1 s1 12 21 3m st t2 2t t 2s s2 s2 22 22 8m Assim temos que 2 1 2 1 m s s v t t 8 3 5 2 1 vm m s A velocidade mé dia entre dois instantes de tempo pode ser obtida também a partir do coeficiente angular da reta secante ao grá fico da distância em funç ã o do tempo Essa reta secante é obtida ligando os pontos A e B do gráfico pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2 O ponto A é obtido pela abscissa t11s e a ordenada st13m ou seja A13 E o ponto B é obtido pela abscissa t22s e a ordenada st28m ou seja B28 Calculemos o coeficiente angular desta reta que passa por A e B Consideremos que a equação desta reta seja y at b E determinemos o valor b Como a reta passa pelo ponto A13 e sabemos o valor do coeficiente angular então utilizamos estas informações para determinar o valor de b y at b 3 51 b b 2 Velocidade média do automóvel no intervalo t1 1s e t2 2s Coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B Utilizamos a expressão dada para a distância percorrida em função do tempo decorrido 2 1 2 1 8 3 5 2 1 s a t t a s 9 Logo a equação da reta secante ao gráfico da função st t2 2t passando pelos pontos A13 e B28 é dada por y 5t 2 Desenhemos o gráfico da função st t2 2t e da reta y 5t 2 8 d B A 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 t 1 1 2 3 Vejamos agora o conceito de velocidade instantânea que está associado a apenas um instante de tempo por exemplo t1 1s Considerando a fórmula da velocidade média vamos determinar esta velocidade média em um intervalo menor com t 1 1s e t2 15s st t2 2t t 1s s1 s1 12 21 3m st t2 2t t 15s s2 s15 152 215 525m 2 1 2 1 m s s v t t 525 3 45 15 1 vm m s Para facilitar nossas análises vamos montar uma tabela com estes valores de velocidade média considerando sempre t1 1s t2 segundos 2 15 12 11 105 101 velocidade média ms 5 45 42 41 405 401 Velocidade média do automóvel no intervalo t1 1s e t2 15s 10 Unidade Limites 1 Vejamos também algumas dessas retas secantes ao gráfico da distância em função do tempo considerando os instantes estabelecidos na tabela O gráfico da equação st t2 2t está na cor azul O gráfico da reta y 5t 2 secante ao gráfico de st nos pontos 13 e 28 está na cor vermelha O gráfico da reta y 45t 15 secante ao gráfico de st nos pontos 13 e 15525 está na cor verde O gráfico da reta y 405t 105 secante ao gráfico de st nos pontos 13 e 10532025 está na cor cinza 4 st 3 2 1 1 2 3 4 t 1 2 3 1 2 Podemos perceber que os coeficientes angulares das retas secantes apresentam os mesmos valores das velocidades médias Então o que podemos dizer da velocidade no instante t 1s Para pensarmos em responder essa pergunta precisamos pensar no limite em que o intervalo de tempo tende a zero t 0 para termos a velocidade instantânea vt O que temos Quando o intervalo de tempo tende a zero t 0 a velocidade média tende para a velocidade instantânea em um determinado instante t Quando o intervalo de tempo tende a zero t 0 o coeficiente angular das retas secantes tende para um coeficiente angular que é o da reta tangente à curva no instante t Na linguagem matemática temos que a velocidade instantânea é dada por 2 1 1 2 1 lim lim 0 2 1 s t s t s v t t t v v t t Desta forma ao observarmos a tabela elaborada com as velocidades médias em determinados instantes podemos dizer que a velocidade do automóvel no instante t 1s será igual a 4ms e esta pode ser chamada de velocidade instantânea no instante t 1s Limite 12 Unidade Limites 1 Desta forma como os limites laterais lim f x x 20 3 e lim f x x 20 3 são iguais podemos afirmar que lim f x x 20 3 Vejamos outro exemplo agora gráfico para ilustrar também esta situação Considere a função fx x2se x0 2x2se x0 2 3 4 x 4 y 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 0 Analisando o gráfico desta função percebemos que quando x se aproxima do valor 0 por números menores que 0 fx respeita a expressão dada por x 2 Neste caso é possível perceber que fx se aproxima de 2 E escrevemos lim f x x 2 0 E quando x se aproxima do valor 0 por números maiores que 0 fx respeita a expressão dada por 2x 2 Neste caso é possível perceber também que fx se aproxima de 2 E escrevemos lim f x x 2 0 Assim como os limites laterais lim f x x 2 0 e são iguais podemos dizer que lim f x x 2 0 13 Limites Laterais Quando utilizamos valores menores ou maiores que o valor de x a estamos verificando se existem os limites laterais Assim quando nos aproximamos do valor a com valores menores que a estamos calculando o limite lateral esquerdo da função e escrevemos lim f x x a E se nos aproximamos do valor de x a com valores maiores que a estamos calculando o limite lateral direito da função e escrevemos lim L f x x a Assim a definição de limite implica que quando x tende ao valor a o limite da função f existe e é L se e somente se os limites laterais existem e têm o mesmo valor L Ou seja lim L f x x a se e somente se lim L f x x a e lim L f x x a Podemos agora propor a definição precisa de limite Seja f uma função que está definida em um intervalo aberto I exceto possivelmente para o número a Dizemos que o limite de fx quando x tende ao valor x a é L se para todo ε 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então fx L ε E escrevemos lim L f x x a y L a δ δ ε x ε 14 Unidade Limites 1 Leis dos Limites Suponha que existam os limites lim f x x a e lim g x x a E sejam a e c números reais e n um número natural Então temos que 1 lim fx gx lim fx lim gx x a x a x a 2 limfx gx lim fx lim gx x a x x a a 3 lim fx lim c c fx x a x a 4 limfxgx lim fxlim gx x a x a x a 5 lim lim f x g x g x lim f x x a se lim gx 0 1 x a x a x a 6 lim lim f f x a x x n n x a 7 lim lim f x f x x a x a n n 8 lim c c x a 9 lim x a x a 10 lim x a n n x a Cálculo de Limites Podemos calcular alguns limites utilizando as Leis dos limites juntamente com outras estratégias Vejamos inicialmente como utilizar as Leis para determinar um limite de uma função lim 5 7 2 x 2 lim lim lim 3 5 7 3 3 3 2 x x x x x 2 x 3 5 7 3 2 limx lim x lim x 2 x 2 x x 3 2 5 2 7 21 3 Leis 2 e 1 Lei 3 Leis 10 9 e 8 Este foi o caso mais simples Vejamos outro exemplo Vamos considerar o seguinte limite limx3 fracx²5x19x 16 Unidade Limites 1 Então podemos determinar o limite lim lim lim lim x x x x x 2 3 9 3 3 3 x x x 3 3 3 3 3 6 Lei 1 Leis 9 e 8 Vejamos outro exemplo que utiliza um produto notável lim 4 2 4 x x x Não podemos utilizar a Lei 5 pois o limite da expressão do denominador é igual a zero lim2 4 x lim2 lim x 2 220 x 4 x 4 x 4 E temos também que lim 4 4 4 0 4 x x Desta forma o domínio da função gx 4 2 x x é Df IR 4 Então vamos utilizar uma estratégia que consiste em multiplicar pelo conjugado pois iremos utilizar um produto notável a ba b a2 b2 Neste caso multiplicaremos tanto o numerador quanto o denominador pela expressão 2 E como o valor 4 não pertence ao domínio da função podemos simplificar a expressão cancelando o termo em comum ao denominador e ao numerador 4 x e a expressão ficará 4 2 x x 2 x Vamos agora calcular o limite lim lim lim 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 4 x x x x x x x x4 x 4 Exemplos 1 Considere que limfx 4lim gx 2 e lim hx0 x a x a x a Calcule se existir o limite a limfx gx x a b lim h x g x x a lim 2 4 2 4 2 4 4 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x 4 17 c lim f x g x x a d lim 1 h x x a e lim f x g x x a f lim h x g x x a g lim 2 g x f x x a h lim f x h x g x f x x a 2 i lim f x x a 3 j lim f x x a 2 Resolução a lim lim lim 4 2 2 x a x a x a f x g x f x g x b c lim lim fxlim gx x a f x g x 4 2 8 x a x a d não existe lim 1 h x x a pois lim h x x a 0 e lim lim f x g x g x a lim x a f x 4 2 2 f lim 0 lim 0 lim 2 x a x a x a h x h x g x g x g 1 lim lim 2 2 2 4 g x f x f x x a x a lim x a 2 g x h i lim limfx f x 3 3 43 64 x a x a lim lim lim 0 2 2 x a x a x a h x g x h x g x lim lim lim 4 0 4 2 lim 2 lim 2 lim 2lim 2 24 6 3 x a x a x a x a x a x a x a f x h x f x h x f x h x g x f x g x f x g x f x 18 Unidade Limites 1 j lim lim f x f x x a x a 2 2 2 4 2 2 São fornecidos os gráficos das funções f e g Determine o limite solicitado caso exista a lim f x g x x 1 b lim f x g x x2 c lim f x x 2 1 d lim g x x 2 2 e lim g x f x x2 1 0 2 3 4 1 2 3 4 x f 3 2 1 1 2 3 28 24 16 16 2 12 12 08 08 04 04 0 2 x y g 25 2 15 05 1 1 Resolução a Não existe lim f x g x x 1 pois não existe lim g x x1 b Não existe lim f x g x x2 pois lim g x x 0 2 0 c lim f x x 2 1 não existe pois f1 1 d 2 2 2 2 2 lim lim 0 0 x x g x g x e lim lim lim lim g x f x g x f x x x x 2 2 2 0 2 0 x 2 19 3 Considere a função definida por intervalos g x 2x2 se x 2 x se 2 x 2 x2 2 se x 2 4 2 a Esboce o gráfico da função g b Determine caso existirem os seguintes limites I lim g x x 2 II lim g x x2 III lim x g x 2 IV lim g x x 2 V lim g x x0 Resolução a Segue o gráfico da função g 1 2 3 4 x y 1 2 3 4 4 3 2 1 1 b Observando o gráfico determinamos os limites I lim g x x 0 2 II lim g x x 0 2 III lim g x x 0 2 IV lim g x x 0 2 V lim g x x 4 0 2x2 20 Unidade Limites 1 4 Considere a função definida por intervalos h x 1xse x 1 x se 1 x 1 x1se x 1 2 1 Determine caso existirem os seguintes limites I lim h x x II lim h x x 1 III lim h x x1 IV lim h x x 1 V lim h x x 1 VI lim h x x1 VII lim h x x0 Resolução I Para determinarmos o lim h x x 1 necessitamos verificar qual das três expressões dadas para hx será utilizada Como queremos determinar o limite para x 1 então queremos os valores de x se aproximando de 1 com x 1 logo queremos a expressão x 1 0 lim lim lim lim h x x x x x 1 1 1 1 1 1 x x 1 1 II Para determinar o lim x x h 1 verificamos que queremos nos aproximar de 1 mas com x 1 logo queremos a expressão 1 x2 lim lim lim lim h x x x x 1 1 1 1 0 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 III lim h x x 0 1 pois os limites laterais existem e são iguais a 0 IV Para determinarmos o lim h x x 0 1 necessitamos verificar qual das três expressões dadas para hx será utilizada Como queremos determinar o limite para x 1 então queremos os valores de x se aproximando de 1 com x 1 logo queremos a expressão 1 x2 lim lim lim lim h x x x x 1 1 1 1 0 2 2 2 1 x x x 1 1 1 V Para determinar o lim h x x 1 verificamos que queremos nos aproximar de 1 mas com x 1 logo queremos a expressão 1 x lim lim lim lim h x x x x 1 1 1 1 0 1 xx x x 1 1 1 VI lim x1 h x 0 pois os limites laterais existem e são iguais a 0 VII Como queremos valores de x próximos a zero então queremos a expressão 1 x² 22 Unidade Limites 1 Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Limites consulte o site e as referências a seguir Sites Explore httpwwwsomatematicacombrsuperiorphp httpwwwsomatematicacombrsuperiorlimiteslimitesphp httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculuslimitstopic httpwwwomatematicocomNovoNIVELSUPERIORLimiteslimiteshtml Referências Bibliográficas Explore Explore ANTON H Cálculo Um Novo Horizonte v 1 Porto Alegre Bookman 2000 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneira Thomson Learning 2009 THOMAS G Cálculo v 1 São Paulo Addison Wesley 2003 23 Referências Referências Básicas ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2002 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v 1 São Paulo McGrawHill 2006 STEWART J Cálculo v I 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 Referências Complementares FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A Funções limite derivada integração 5ed São Paulo Makron Books do Brasil 2004 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo Rio de Janeiro LTC 20012002 SIMMONS G F Cálculo com Geometria Analítica 2ed São Paulo Makron Books do Brasil 1995 SWOKOWSKI E W Cálculo com Geometria Analítica 2ed São Paulo Makron Books do Brasil 1995 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Cálculo Diferencial Anotações Limites 2 Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Diferencial A proposta desta Unidade é o estudo de Limite de uma função real de uma variável envolvendo o infinito Com relação aos conteúdos dividimos em Limites infinitos e no infinito Assíntotas Propriedades de limites infinitos Limites fundamentais Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar o limite de uma função real de uma variável quando sua variável independente tende ao infinito pela análise do gráfico da função e utilizando métodos específicos além de reconhecer alguns limites fundamentais Para ajudar realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Finalmente e o mais importante fique atento às atividades propostas e ao prazo para sua realização Nesta Unidade a discussão é sobre o Limite de uma função de uma variável envolvendo o infinito Nessa discussão daremos ênfase ao estudo do gráfico da função buscando estudar o comportamento da função quando sua variável independente tende ao infinito e quando sua variável dependente tende ao infinito Ainda nesta Unidade abordaremos o conceito de taxa de variação média e instantânea conceito muito importante para as demais unidades desta Disciplina Limites 2 Introdução Limites Infinitos e no Infinito Assíntotas Propriedades de Limites Infinitos Limites Fundamentais 6 Unidade Limites 2 Contextualização No estudo do Cálculo Diferencial o estudo de taxas de variação instantânea é fundamental Uma das taxas de variação instantânea importante é o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um determinado ponto Entretanto a palavra tangente tem diferentes significados na Matemática embora relacionados Primeiramente na geometria a reta tangente é aquela que passa por uma curva em um único ponto sem cortála como podemos ver nas figuras a seguir tangente tangente normal raio F F P a a Já na trigonometria a tangente é uma razão entre a medida do cateto oposto e a do cateto adjacente de um dos ângulos de um triângulo retângulo No triângulo retângulo a seguir os catetos são os lados AC e AB e a hipotenusa é o lado BC do triângulo Hipotenusa Cateto Cateto A B C α β Por exemplo seja o ângulo α formado entre os lados AB e BC Neste caso a tangente será tg med AC med AB α E se considerarmos o ângulo β formado pelos lados AC e BC a tangente será tg med AB β med AC 7 Além disso podemos estudar a função tangente na trigonometria Segue o gráfico da função fx tg x 3π 2 π 2 3π 2 x y π 2 0 E ainda considerando a geometria analítica podemos pensar na reta tangente ao gráfico de uma função f em um determinado ponto Neste caso estamos queremos estudar o coeficiente angular da reta tangente y y0y0 x0x0 x0 y0 P S Q r s y fx α y0 x0 x 0 β Considerando o gráfico da função y fx e o ponto P temos que a reta r é tangente a curva no ponto P E o coeficiente angular desta reta tangente é tg β E o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos P e Q é tg 0 0 y x α 8 Unidade Limites 2 É importante notar que uma reta que seja tangente a uma curva em um determinado ponto pode cruzar a curva em outros pontos y x P0 0 y fx O ponto P0 é considerado o ponto de tangência mas a reta tangente intercepta o gráfco noutro ponto 9 Introdução Na unidade anterior determinamos o valor do limite de uma função quando o valor da variável independente se aproxima de um número real sendo esse valor do limite um número real Vamos estudar nesta Unidade o que são os limites infinitos e os limites no infinito bem como assíntotas horizontais e verticais Limites Infinitos e no Infinito Consideremos o gráfico da função 1 f x x O que podemos dizer do valor de fx quando x se aproxima de 0 Vamos calcular alguns valores de fx para alguns valores de x e colocálos em uma tabela para podermos considerando o gráfico da função responder à questão proposta Primeiramente vamos escolher alguns valores maiores que 0 mas se aproximando de 0 10 Unidade Limites 2 x 1 f x x 1 1 05 2 01 10 001 100 0001 1000 00001 10000 0 Podemos observar ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f que os valores da função fx estão aumentando em valor bruto à medida que os valores de x estão se aproximando de 0 E quando temos uma situação como essa dizemos que os valores de fx tendem ao infinito representado pelo símbolo E como os valores que tendem ao infinito são positivos dizemos que os valores tendem a E escrevemos 0 limx f x Vale salientar que não é um número Além disso embora tenhamos indicado que 0 limx f x esta notação é uma maneira particular de expressar que este limite não existe e que os valores de fx crescem sem limitação superior Vamos agora escolher alguns valores menores que 0 mas se aproximando de 0 Calculemos alguns valores de fx para alguns valores de x e coloquemos estes valores em uma tabela x 1 f x x 1 1 05 2 01 10 001 100 0001 1000 00001 10000 0 Podemos observar ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f que os valores da função fx estão aumentando em valor absoluto à medida que os valores de x estão se aproximando de 0 E quando temos uma situação como essa dizemos que os valores de fx tendem ao infinito representado pelo símbolo E como os valores de fx que tendem ao infinito são negativos dizemos que os valores tendem a 11 E escrevemos 0 limx f x Vale salientar que não é um número Além disso embora tenhamos indicado que 0 limx f x esta notação é uma maneira particular de expressar que este limite não existe e que os valores de fx decrescem sem limitação E como estes limites laterais são diferentes escrevemos que não existe lim 0 x x f Vamos então apresentar a definição formal de um limite infinito Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número a podendo a função não ser definida para o valor a Então escrevemos que limx f x α quando para todo número positivo M existe um número positivo δ tal que se x a δ então fx M Analogamente escrevemos que limx f x α quando para todo número negativo N existe um número positivo δ tal que se x a δ então fx N Vamos analisar o gráfico desta função novamente 12 Unidade Limites 2 Mas vamos considerar agora os valores de x cada vez maiores O que será que acontece com o valor de fx Calculemos alguns valores de x e de fx e montemos uma tabela com estes valores x 1 f x x 1 1 10 01 100 001 1000 0001 1000 00001 10000 000001 0 Podemos observar ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f que os valores da função fx estão se aproximando de 0 à medida que os valores de x estão crescendo tendendo a E quando temos uma situação como essa dizemos que os valores de fx tendem a 0 quando os valores de x tendem a E escrevemos 0 limx f x Vamos agora analisar o gráfico desta função novamente mas vamos considerar os valores de x cada vez menores tendendo a O que será que acontece com o valor de fx Calculemos alguns valores de x e de fx e montemos uma tabela com estes valores x 1 f x x 1 1 10 01 100 001 1000 0001 10000 00001 100000 000001 0 Podemos observar ao analisarmos os dados da tabela e o gráfico da função f que os valores da função fx estão se aproximando de 0 à medida que os valores de x estão diminuindo tendendo a E quando temos uma situação como essa dizemos que os valores de fx tendem a 0 quando os valores de x tendem a 13 E escrevemos 0 limx f x Vamos definir formalmente um limite no infinito Definição Seja f uma função definida em um intervalo abertoa Então escrevemos que lim f x L quando os valores de fx podem ficar arbitrariamente próximos de L se tomarmos x suficientemente grande Analogamente seja f uma função definida em um intervalo aberto a Escrevemos que xlim f x L quando os valores de fx podem ficar arbitrariamente próximos de L se tomarmos x suficientemente grande em valor absoluto mas negativo Assíntotas Analisemos novamente o gráfico da função 1 f x x Podemos ainda observar ao analisarmos o gráfico da função que o eixo y ou x 0 serve de suporte para o gráfico da função f quando x se aproxima de 0 Neste caso dizemos que a reta x 0 é um assíntota vertical 14 Unidade Limites 2 Definimos como assíntota vertical de uma curva y fx a reta x a se um dos limites ocorrer lim lim lim x a x a x a f x f x f x lim lim lim x a x a x a f x f x f x Além disso podemos observar ao analisarmos o gráfico da função que o eixo x ou y 0 serve de suporte para o gráfico da função f quando x tende a ou Neste caso dizemos que a reta y 0 é um assíntota horizontal Definimos como assíntota horizontal de uma curva y fx a reta y L se um dos limites ocorrer Vejamos outro exemplo Analisemos o gráfico da seguinte função 2 2 fx 1 2 x x x Podemos verificar que esta função possui duas assíntotas verticais x 1 e x 1 e uma assíntota horizontal y 1 Exemplos 1 Para a função g cujo gráfico é dado a seguir determine a limx0 gx b limx0 gx c limx0 gx limx f x L limx f x L 15 d limx2 gx e limx2 gx f limx2 gx g limx 2 gx h limx 2 gx i limx 2 gx Resolução a limx0 gx b limx0 gx c limx0 gx não existe d limx2 gx e limx2 gx f limx2 gx não existe g limx2 gx h limx2 gx i limx2 gx 16 Unidade Limites 2 2 Determine as assíntotas horizontais e verticais da função hx dada pelo gráfico a seguir Resolução A assíntota horizontal é y 0 e as assíntotas verticais são x 0 x 2 e x 3 3 Para a função f cujo gráfico é dado a seguir determine a limx 9 fx b limx 9 fx c limx 9 fx d limx 3 fx e limx 3 fx f limx 3 fx g limx3 fx h limx3 fx i limx3 fx 17 Resolução a limx 9 fx b limx 9 fx c limx 9 fx não existe d limx 3 fx e limx 3 fx f limx 3 fx g limx3 fx h limx3 fx i limx3 fx Limites Infinitos no Infinito Vamos estudar agora alguns limites do tipo limx f x Consideremos a função fx x2 e calculemos os limites 2 limx x e 2 limx x Vejamos inicialmente o gráfico da função fx x2 18 Unidade Limites 2 Ao analisarmos o gráfico desta função percebemos que quando os valores de x tendem a os valores de fx tendem também a E quando os valores de x tendem a os valores de fx tendem a Montemos também uma tabela com os valores de x tendendo a x fx x2 10 100 1000 1000000 100000 10000000000 Assim percebemos que 2 limx x Montemos agora uma tabela com os valores de x tendendo a x fx x2 10 100 1000 1000000 100000 10000000000 Assim percebemos que 2 limx x 19 Vejamos outro exemplo Vamos calcular os limites no infinito para a seguinte função fx x2 2x 2 Para o 2 lim 2 2 x x x não podemos aplicar a Lei 1 e 2 e separar nos limites 2 lim 2 lim 2 x x x lim x x pois não podemos definir por não ser um número real Mas ao analisarmos o gráfico da função percebemos que Consideremos agora a função 2 1 2 x f x x e estudemos seu gráfico 2 2 2 limx x x 2 2 2 limx x x 20 Unidade Limites 2 Ao analisarmos este gráfico percebemos que 2 2 lim 1 x x x e que 2 2 lim 1 x x x Mas como podemos determinar estes limites sem fazer uso do gráfico da função Para calcularmos este tipo de limite limite no infinito de uma função racional utilizaremos os resultados dos limites da função 1 f x x e por isso vamos dividir o numerador e o denominador por x pois como o maior expoente de x do numerador é 2 x2 2 e o maior expoente do denominador é 1 x 1 escolhemos o menor expoente entre esses dois ou seja dividimos por x tanto o numerador quanto o denominador Vejamos primeiramente quando x 1 lim 0 x Pois x Agora vejamos o que acontece com o limite da função 2 1 2 x f x x quando x Adotemos o mesmo procedimento dividindo o numerador e o denominador por x 1 lim 0 x Pois x Uma segunda situação de limite infinito no infinito pode ser estudada para a seguinte função 3 3 2 2 3 5 7 5 3 x x f x x x 0 0 2 2 2 2 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x x x 0 0 2 2 2 2 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x x x 21 Neste caso como os maiores expoentes de x do denominador e do numerador são iguais então iremos dividir as expressões do numerador e do denominador por x elevado a este expoente comum ou seja dividir por x3 E estudemos um último caso quando os maiores expoentes do denominador e do numerador são diferentes e o maior expoente está no denominador Vamos calcular o seguinte limite e dividir o denominador e o numerador por x4 ou seja o menor dos expoentes do numerador e do denominador 4 2 4 2 4 4 4 4 2 3 4 5 2 5 2 2 4 4 4 4 3 2 7 2 1 7 3 3 2 7 3 lim lim lim lim 0 3 19 6 3 19 6 3 19 6 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Desta forma podemos concluir que quando temos um limite no infinito de uma função racional para calcular dividimos o numerador e o denominador pelo menor dos expoentes dos polinômios do denominador e do numerador E principalmente se os maiores expoentes forem iguais o valor do limite será a razão entre os coeficientes destes maiores expoentes Se o maior expoente estiver no numerador o limite será infinito podendo ser ou que deverá ser calculado E finalmente se o maior expoente estiver no polinômio do denominador o limite no infinito será zero Estudemos mais um caso 0 0 0 0 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 5 3 5 2 2 3 5 2 2 lim lim lim lim 5 3 7 5 3 7 5 3 7 7 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 lim 0 x Pois x 0 0 0 0 0 1 lim 0 x Pois x 22 Unidade Limites 2 Vamos calcular o limite no infinito da função 2 1 f x x x Vamos multiplicar e dividir esta expressão pelo conjugado ou seja 2 1 f x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim 1 lim 1 lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x Agora dividimos o denominador e o numerador por 2x x 2 2 2 2 2 1 1 1 0 lim lim lim lim 0 1 1 0 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x Propriedades de Limites Infinitos Sejam c e L números reais e f e g funções reais de uma variável tais que limxc fx limxc hx e limxc gx L a limxc fxgx b limxc fxgx c limxc hxgx d limxc hx gx e limxc fxgx se L 0 f limxc fxgx se L 0 g limxc hxgx se L 0 h limxc hxgx se L 0 i lim 0 x c g x f x j lim 0 x c g x h x 0 0 1 lim 0 x Pois x 23 Limites Fundamentais Abordaremos dois limites fundamentais a 0 lim 1 x sen x x Não tínhamos ainda abordado nenhum limite envolvendo uma das funções trigonométricas e não iremos apresentar a demonstração deste limite que pode ser encontrada em diversos livros didáticos Mas vamos apresentar uma aplicação Calculemos o limite 0 lim1 cos 1 x x x multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado 1 cos x 2 2 lim cos x Pois x sen x b 1 lim 1 x x x e Não tínhamos ainda abordado nenhum limite envolvendo uma função exponencial e nem o número real e 271828182 Vale ressaltar que este limite é verdadeiro para x tendendo a e E não iremos apresentar a demonstração deste limite que pode ser encontrada em diversos livros didáticos Mas vamos apresentar uma aplicação Calculemos o limite 0 1 lim x x a x Vamos utilizar uma estratégia para resolver este limite fazendo uma troca de variáveis u ax 1 ax u 1 lnax ln u 1 xlna ln u 1 ln 1 ln u a x 2 0 0 0 0 0 0 0 1 cos 1 cos 1 cos lim lim lim 1 cos 1 cos 0 0 lim lim lim 1lim 0 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos0 1 1 x x x x x x x x x x sen x x x x x x sen x sen x sen x sen x sen x sen x x x x x Apliquemos o logaritmo nos dois membros da equação e lembremos que lnax x lna 24 Unidade Limites 2 Além disso como x tende a 0 então u tende a 0 pois considerando u ax 1 e x 0 a0 1 1 1 0 Fazendo estas trocas no limite apresentado temos que 1 0 0 0 0 1 ln ln lim lim lim lim 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln x x u u u u a u a a u x u u u a Agora façamos outra troca de variáveis 1 1 u ou t u t Neste caso como u tende a 0 temos que t tende a Assim realizando estas trocas na última expressão de limite 1 0 ln ln ln lim lim lim ln pois ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 t u t t u a a a a e e u t 1 lim 1 t t Pois e t Portanto 0 1 lim ln x x a a x com a uma constante positiva E quando tomamos a e este limite pode ser escrito como 0 1 lim ln 1 x x e e x 25 Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Limites consulte o site e as referências a seguir Sites httpwwwsomatematicacombrsuperiorlimiteslimites4php httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativessecantline slopetangentvslopeofalinesecanttoacurve httpwwwomatematicocomNovoNIVELSUPERIORLimiteslimiteshtml 26 Unidade Limites 2 Referências STEWART J Cálculo v I 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v1 São Paulo McGrawHill 2006 27 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de França UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Cálculo Diferencial Continuidade e Derivadas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Estamos iniciando nossos estudos sobre Continuidade e Derivadas A proposta desta Unidade é o estudo da Continuidade de uma função real de uma variável e a Derivação de funções reais de uma variável Com relação aos conteúdos dividimos em Continuidade Derivada Interpretação geométrica da Derivada Regras de Derivação Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar a derivada de uma função real de uma variável utilizando a definição e as regras de derivação Além disso desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar a continuidade de uma função real de uma variável pela definição e pela análise do gráfico da função Para ajudar realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para sua realização Nesta Unidade a discussão é sobre Continuidade e Derivação de funções de uma variável real Em relação à Continuidade daremos ênfase ao estudo do gráfico da função e a sua definição E para a Derivação apresentaremos as demonstrações das derivadas das funções polinomiais Continuidade e Derivadas Introdução Continuidade Derivada Interpretação Geométrica da Derivada Regras de Derivação 6 Unidade Continuidade e Derivadas Contextualização As ideias de taxa de variação média e instantânea são amplamente utilizadas em diferentes ramos das ciências Se x muda seu valor de x1 para x2 então temos que a variação em relação à x foi x x2 x1 Se x e y estão relacionadas por meio de uma função ou seja y fx então quando x sofre uma variação de x1 para x2 ou seja x x2 x1 temos que y também sofrerá uma variação y fx2 fx1 E o quociente destas duas variações é denominado taxa de variação média de y em relação à x em um determinado intervalo x1x2 Esta taxa de variação média é conhecida como coeficiente angular da reta que passa pelos pontos x1fx1 e x2fx2 2 1 2 1 f x f x y x x x Quando fazemos x tender a zero estamos calculando a taxa de variação instantânea ou como estudaremos nesta Unidade a derivada da função f em x1 1 0 y lim x x f x Na Física estes conceitos são conhecidos como velocidade média e velocidade instantânea Se temos a função posição de uma partícula em relação ao tempo decorrido dada por st t2 2t 1 Então a velocidade desta partícula é dada por vt 2t 2 s t Ou seja a velocidade é obtida derivando a função posição em relação ao tempo Na Economia suponha que o custo total C de uma empresa para produzir determinada quantidade x de um produto seja dada pela função Cx 1500 2x 01x2 7 Se pretendemos determinar o custo marginal que fornece a taxa de crescimento do custo em relação à quantidade produzida do produto então queremos calcular a taxa de variação instantânea da variação do custo 0 lim x C C x x Desta forma o custo marginal é obtido calculando a derivada da função custo total C Estas aplicações ilustram como conceitos matemáticos podem ter interpretações diferentes em cada uma das ciências 8 Unidade Continuidade e Derivadas Introdução Nesta Unidade estudaremos a Continuidade e a Diferenciação de uma função de uma variável real Procuraremos fazer estes estudos analisando o gráfico da função e sua expressão algébrica Com a expressão algébrica da função buscaremos estabelecer algumas estratégias para determinarmos a derivada da função primeiramente calculando a derivada em um único ponto e posteriormente determinaremos outra função que será designada como a derivada da primeira função Continuidade Nas unidades anteriores estudamos limites de uma função de uma variável real e verificamos que o limite de algumas funções em determinados pontos correspondem ao valor da função naqueles pontos Por exemplo consideremos a função fx x2 1 e calculemos o valor do 2 2 lim 1 x x Para calcular este limite utilizamos as Leis dos Limites 1 10 e 8 e temos que 2 2 2 2 2 2 lim 1 lim lim1 2 1 5 2 x x x x x f Entretanto estudamos outras funções em que os limites laterais da função em determinados pontos eram diferentes ou não existiam Vejamos mais dois exemplos Seja a função gx x4 2x3 x 1 e seu gráfico desenhado a seguir 9 Ao analisarmos este gráfico percebemos que ele não apresenta interrupções saltos ou desníveis Ao contrário desta função vejamos o que acontece com o gráfico da função 2 3 3 1 2 1 x x x h x x x Percebemos que este gráfico tem um salto uma interrupção quando x 1 diferentemente do gráfico da função g apresentado anteriormente que possui um traçado contínuo Definição Uma função f é contínua em aIR se lim x a f x f a E quando a função f não for contínua em a dizemos que a função é descontínua em a De acordo com esta definição devemos primeiramente verificar se a função está definida para x a ou seja aDf Depois determinar a existência do lim x a f x f a e por último caso o limite exista verificar se este valor do limite é igual ao valor da função no ponto a Além disso se uma função for contínua em todos os valores de seu domínio então dizemos que esta função é contínua Voltemos aos nossos dois exemplos A função g é contínua em todos os pontos de seu domínio pois a função g está definida para todos os valores reais ou seja Dg IR Depois como a função g é uma função polinomial então podemos utilizar sempre as Leis do Limite ou seja podemos determinar o limite desta função em todos os valores de seu domínio e este é sempre igual ao valor da função no ponto Agora a função h não apresenta o mesmo comportamento da função g Embora a função h esteja definida em todos os valores reais ou seja Dh IR os limites laterais da função h para x tendendo a 1 são diferentes 10 Unidade Continuidade e Derivadas 3 3 1 1 2 2 1 1 lim lim 2 1 2 1 lim lim 3 1 3 1 2 x x x x h x x h x x x Desta forma a função h não é contínua em x 1 Podemos também dizer que a função h apresenta descontinuidade em x 1 ou ainda dizer que a função h é contínua para x IR 1 Exemplos 1 Dado o gráfico da função 2 1 1 2 1 x t x x x x queremos determinar para quais valores esta função t não é contínua Ao analisarmos o gráfico verificamos que a função t não é contínua em x 1 pois o gráfico da função apresenta um salto uma interrupção Vejamos algebricamente como podemos determinar esta descontinuidade Como a função está definida por intervalos necessitamos determinar primeiramente qual deve ser o possível ponto de descontinuidade Neste caso será x 1 pois é o valor que a função apresenta uma alteração na expressão algébrica Além disso precisamos escolher a expressão para calcular os limites laterais Para x se aproximando de 1 com x 1 escolhemos a expressão x 1 e para x se aproximando de 1 com x 1 escolhemos a expressão x2 2 1 1 2 2 1 1 lim lim 1 1 1 2 lim lim 2 1 2 1 x x x x t x x t x x 11 2 Consideremos o gráfico da função 2 2 1 3 1 x x f x x A função f esta definida para todos os valores reais Df IR Embora observando o gráfico da função f percebamos uma junção de traços de uma parábola e de uma reta horizontal O gráfico não apresenta interrupção ou salto Então dizemos que esta função é contínua em seu domínio Vejamos o que acontece quando verificamos a continuidade por meio da definição Queremos determinar se a função f é contínua em x 1 pois esta função está definida por intervalos 1 1 2 2 1 1 lim lim 3 3 lim lim 2 1 2 3 x x x x f x f x x Como os limites laterais existem e são iguais ao valor 3 então dizemos que 1 lim 3 x f x E comparando o valor deste limite com o valor da função em x 1 temos que 1 lim 1 3 x f x f Desta forma dizemos que a função f é contínua em todo valor de seu domínio ou simplesmente dizemos que f é contínua Vejamos o gráfico da função tangente fx tg x 12 Unidade Continuidade e Derivadas Sabemos que a função tangente não está definida para os valores 3 5 7 2 2 2 2 π π π π e assim por diante E podemos perceber analisando este gráfico da função que estes pontos são descontinuidades da função ou seja existem infinitos pontos de descontinuidade Como a função cos sen x f x tg x x então esta função não está definida quando cos x 0 para os valores positivos e negativos múltiplos ímpares de 2 π ou seja para 2 1 2 n x π para n Z Assim verificamos que uma função pode ser descontínua em um determinado ponto ou em um conjunto infinito de pontos Teoremas Teorema 1 Sejam f e g funções contínuas em x a e c uma constante Então podemos dizer que a f g é contínua em x a b f g é contínua em x a c cf é contínua em x a d fg é contínua em x a e f g é contínua em x a se ga 0 Teorema 2 Toda função polinomial é contínua em todo seu domínio Teorema 3 Toda função racional é contínua todo domínio Teorema 4 As funções trigonométricas as funções exponenciais e as funções logarítmicas são contínuas em seus domínios Teorema 5 Seja f uma função contínua em e lim x a x b g x b então lim lim x a x a f g x f g x f b Teorema 6 Se g é contínua em a e f é contínua em ga então a função composta fg dada por fgx fgx é contínua em a Vamos pensar na demonstração deste último teorema 13 Primeiramente temos de identificar quais são os fatos as hipóteses que possuímos para começar uma demonstração Pelo enunciado do teorema 6 temos que g é contínua em a é uma das minhas hipóteses Sabendo disso podemos dizer que lim x a g x g a Outra hipótese que temos dada no enunciado do teorema 6 é que f é contínua em ga Vamos denominar ga b Desta forma temos que lim lim x b x a f x f b f g a f g x g é contínua em x a E como queremos provar que a função composta fg é contínua em a temos de provar que lim x a f g x f g a Mas pelo teorema 5 temos que lim lim x a x a f g x f g x f g a Portanto provamos que o teorema 6 é verdadeiro Derivada Estudamos nas unidades anteriores que a taxa de variação instantânea de duas grandezas x e y em um determinado valor x0 que se relacionam por y fx é dada por 0 0 0 lim x x f x f x x x Este limite corresponde também ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto x0 conforme estudado nas unidades anteriores Podemos obter este limite em outras situações e por isso ele será estudado de maneira especial 14 Unidade Continuidade e Derivadas Definição A derivada de uma função f em um número a denotada por fa é igual a lim x a f x f a x a É comum este limite ser escrito de uma maneira diferente Se escrevemos x a h então h x a E se x tende ao valor a então h tende ao valor 0 Ao substituirmos no limite temos 0 0 lim lim lim x a h h f x f a f a h f a f a h f a x a a h a h Se este limite for verdadeiro para outros valores do domínio da função e se por exemplo pudermos substituir a por x de tal modo que este limite seja verdadeiro podemos considerar a função derivada da função f Desta forma dada uma função f temos que a função derivada de f será dada por 0 lim h f x h f x f x h E o domínio desta nova função será o conjunto x tal que fx existe Isto significa que o domínio da função derivada pode ser menor que o domínio da função É comum alguns livros adotarem outras notações alternativas para a derivada Se consideramos y fx a derivada pode ser denotada por x dy df d f x y f x Df x D f x dx dx dx Teorema 7 Se a função f possui derivada em x a então a função f é contínua em x a Vamos provar este teorema Para isso precisamos identificar quais são as hipóteses que temos dadas no enunciado do teorema É dado que a função f possui derivada em x a Então temos que existe lim x a f x f a f a x a Mas queremos provar que f é contínua em x a ou seja que lim x a f a f x Vamos então utilizar uma estratégia Como x a temos que f x f a f x f a x a x a 15 E vamos aplicar o limite nos dois membros desta igualdade lim lim lim lim x a x a x a x a f x f a f x f a f x f a x a x a x a x a f possui derivada em x a Então temos que lim 0 x a f x f a f a a a Ou seja lim 0 lim lim x a x a x a f x f a f x f a f a Provamos que a função f é contínua em x a É importante salientar que se a função é contínua em x a não é verdade que a função possui derivada em x a Exemplos 1 Vamos determinar a derivada da função fx x2 em a Df Podemos utilizar um dos dois limites dados na definição de derivada 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim 2 2 lim lim lim 2 lim 2 2 h h h h h h f a h f a a h a f a h h a ah h a ah h f a h h h a h a h a h Desta forma concluímos que se fx x2 então fx 2x 2 Consideremos agora a função fx c c é uma constante fixa e o valor a pertencente ao domínio da função f fa 0 0 0 0 lim lim lim 0 h h h f a h f a c c h h h Desta forma concluímos que se fx c então fx 0 Consideramos fx x2 Consideramos fx c 16 Unidade Continuidade e Derivadas 3 Seja fx x e determinemos a função derivada 0 0 0 0 lim lim lim li m1 1 h h h h f x h f x x h x h f h h h x Desta forma concluímos que se fx x então fx 1 4 Seja fx x2 2x 1 e determinemos a função derivada 2 2 0 0 2 2 2 0 2 0 0 0 2 1 2 1 lim lim 2 2 2 1 2 1 lim 2 2 2 2 lim lim lim 2 2 2 2 h h h h h h x h x h x x f x h f x f x h h x xh h x h x x h h x h xh h h x h x h h Desta forma concluímos que se fx x2 2x 1 então fx 2x 2 Como vimos anteriormente o limite que define a função derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto E como a equação de uma reta é dada por y y0 mx x0 onde m é o coeficiente angular e x0 y0 é um ponto do gráfico da função podemos escrever que A reta tangente a y fx em afa é a reta que passa pelo ponto afa e tem inclinação igual a fa E sua equação é dada por y fa fax a 5 Determine a equação da reta tangente à parábola fx x2 2x 1 no ponto 12 No exemplo 4 determinamos a derivada da função fx x2 2x 1 que é dada por fx 2x 2 Como queremos determinar a equação da reta tangente à curva no ponto a1 e fa 2 precisamos determinar o valor da derivada em x 1 Substituindo x 1 em fx temos f1 21 2 4 E a equação de uma reta tangente é dada por y fa fax a y 2 4x 1 y 4x 4 2 y 4x 2 Vejamos os gráficos da função f e da reta tangente ao ponto 1 2 17 6 Consideremos a função 1 f x x e determinemos sua derivada Primeiramente determinemos o domínio da função f Para que a raiz quadrada de x 1 exista é necessário que tenhamos x 1 0 x 1 Desta forma temos que o domínio da função f é x ϵ IR x 1 Vamos determinar agora a função derivada 0 0 0 0 0 0 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 2 1 1 1 h h h h h h f x h f x x h x f x h h x h x x h x x h x h x h x h x h x h x h x x x x h x h x 0 0 0 0 0 0 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 2 1 1 1 h h h h h h f x h f x x h x f x h h x h x x h x x h x h x h x h x h x h x h x x x x h x h x 0 0 0 0 0 0 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 2 1 1 1 h h h h h h f x h f x x h x f x h h x h x x h x x h x h x h x h x h x h x h x x x x h x h x Assim se 1 f x x então sua derivada é 1 1 2 f x x Determinemos agora o domínio da função derivada Como a 1 f x x está no denominador da função derivada então devemos ter x 1 0 x 1 18 Unidade Continuidade e Derivadas Desta forma o domínio da derivada da função f é x ϵ IR x 1 que é diferente do domínio da função 7 Vamos considerar o gráfico da seguinte função 2 2 x 2 4 x 2 x g x x Primeiramente verificamos que o domínio da função g é IR pois esta função está definida para todo valor de x ϵ IR Depois é possível perceber analisando o gráfico da função g que esta função é contínua em seu domínio Mas vamos verificar os limites laterais para x se aproximando de 2 que é valor em que ocorre a junção do gráfico de uma parábola e de uma reta 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 2 lim lim 2 2 2 6 lim lim 4 lim lim 4 2 4 6 x x x x x x x x g x x x g x x x Concluímos então que a função g é contínua em x 2 pois os limites laterais são iguais e 2 2 lim 2 2 2 6 x g x g Mas vamos agora verificar se a função g possui derivada em x 2 Assim queremos verificar o seguinte limite 0 2 2 2 lim h g h g g h Porém esta função está definida por intervalos e para determinar este limite precisamos calcular os limites laterais 19 Se a variável se aproxima de 2 por números menores que 2 então h se aproxima de zero por números negativos e teremos 2 h 2 h 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 lim lim lim 4 lim 4 lim lim 4 4 0 4 h h h h h h g h g h h h h h h h h h h h h h Agora se a variável se aproxima de 2 por números maiores que 2 então h se aproxima de zero por números positivos e teremos 2 h 2 ou seja h 0 0 0 0 0 2 2 2 4 2 4 lim lim lim lim1 1 h h h h g h g h h h h h Verificamos que os limites laterais são diferentes então a função g não possui derivada em x 2 Desta forma exemplificamos que embora a função seja contínua em todo seu domínio esta função não possui derivada em todo o seu domínio Lembrese de que pelo teorema 7 se a função possui derivada em um determinado ponto então a função é contínua neste ponto Mas a recíproca não é verdadeira como verificamos neste exemplo Interpretação Geométrica da Derivada Determinamos até este momento a derivada de uma função pela definição de derivada Mas também verificamos que podemos generalizar alguns destes resultados Por exemplo seja fx c c uma constante fixada Verificamos que a derivada desta função é nula ou seja fx 0 para qualquer valor de x Vejamos graficamente o que isso significa consideremos fx 2 20 Unidade Continuidade e Derivadas Neste caso para qualquer valor de x temos sempre que fx 2 ou seja o gráfico desta função é uma reta horizontal Em uma reta horizontal temos que a inclinação é nula E o que significa a derivada desta função ser nula Estudamos que a derivada de uma função em um determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto determinado Neste caso ao determinar que a derivada em qualquer ponto desta função é nula significa que a função derivada é também uma reta horizontal Agora fx 0 pode ser escrita como y 0 que é a equação que representa o eixo x Salientamos que como a reta tangente a curva deve passar pelo ponto Então a reta tangente ao gráfico desta função é a próxima reta fx 2 y fa fax a y 2 0x a y 2 fx Analisemos outro caso seja a função fx x e sua derivada fx 1 Vamos desenhar o gráfico destas duas funções A derivada de uma função em um determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto determinado Consideremos x a como fx x então fa a Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto aa é necessário calcular a derivada de f em x a e como fx 1 temos que fa 1 y fa fax a y a 1x a y x fx 21 Ou seja verificamos que a equação da reta tangente ao gráfico da função f em um ponto aa é igual à expressão da função f Então a reta tangente coincide com o gráfico da função f Mas preste atenção Desenhamos anteriormente o gráfico da função f e da derivada de f não o gráfico da reta tangente O gráfico da derivada da função fx x indica que em cada valor x a temos fa 1 qualquer que seja o valor de a do domínio da derivada da função f Ou seja a derivada da função f é uma função constante e igual a 1 Vejamos mais um exemplo seja fx x2 e sua derivada é fx 2x também determinada anteriormente Sabemos que a derivada de uma função em um determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto determinado Consideremos então x 1 como fx x2 então f1 1 Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto 1 1 é necessário calcular a derivada de f em x 1 e como fx 2x temos que f1 2 y fa fax a y 1 2x 1 y 2x 2 1 y 2x 1 Ou seja determinamos que a equação da reta tangente ao gráfico da função f em um ponto 11 é y 2x 1 Desenhemos o gráfico da função f da função derivada de f e da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 11 22 Unidade Continuidade e Derivadas Vejamos mais um exemplo Seja 2 1 x 2 3 x 2 x f x uma função definida por intervalos Esta função é contínua em todo seu domínio mas não é derivável em x 2 Vejamos o gráfico desta função Vejamos que a função não é derivável em x 2 calculando os limites laterais Se os valores de x se aproximam de 2 por valores maiores que 2 então queremos h 0 E a expressão a ser utilizada no limite lateral é fx3 para x 2 0 0 0 2 2 3 3 0 lim lim lim 0 h h h f h f h h h E ao analisarmos o gráfico da função percebemos que a reta tangente ao gráfico de f para x 2 é uma reta horizontal logo fx0 para x2 Agora se os valores de x se aproximam de 2 por valores menores que 2 então queremos h 0 E a expressão a ser utilizada no limite lateral é fxx2 1 para x 2 2 2 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 1 2 1 lim lim 4 4 1 4 1 lim 3 4 3 4 lim lim 4 lim lim 4 4 h h h h h h h f h f h h h h h h h h h h h h h h h h Como os limites laterais são diferentes em x 2 então a função f não é derivável em x 2 Podemos também saber que não existe a derivada na função em x 2 ao analisarmos o gráfico da função pois em x 0 percebemos que o gráfico apresenta um bico uma ponta 23 Regras de Derivação Apresentamos agora uma lista das derivadas das funções elementares Algumas das demonstrações destas regras de derivação foram realizadas ao longo desta Unidade e outras estão no tópico Aprofundando o Tema y c y 0 y x y 1 y x2 y 2x y x3 y 3x2 y xn y nxn1 y cfx y cfx y fx gx y fx gx y fx gx y fx gx 24 Unidade Continuidade e Derivadas Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Limites consulte o site e as referências a seguir Sites httpwwwsomatematicacombrsuperiorderivadaphp httpwwwsomatematicacombrhistoriaderivadasphp httpwwwsomatematicacombrsuperiorlimiteslimites3php httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesintro differentialcalcvnewtonleibnizandusainbolt httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesderivative introvcalculusderivatives1newhdversion httpomatematicocomNovoNIVELSUPERIORderivadasderivadashtml Referências Bibliográficas ANTON H Cálculo Um Novo Horizonte v 1 Porto Alegre Bookman 2000 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneira Thomson Learning 2009 THOMAS G Cálculo v 1 São Paulo Addison Wesley 2003 25 Referências STEWART J Cálculo v1 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v1 São Paulo McGrawHill 2006 26 Unidade Continuidade e Derivadas Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Calculo Diferencial Regras de Derivação 1 Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Estamos iniciando nossos estudos sobre Regras de Derivação A proposta desta Unidade é o estudo de algumas regras de derivação para o produto de funções e para o quociente de funções bem como as derivadas de algumas funções trigonométricas Com relação aos conteúdos dividimos em Regras de Derivação Derivada das funções trigonométricas Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar a derivada de uma função de uma variável real utilizando regras de derivação Para ajudar realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para realização Nesta unidade a discussão é sobre Regras de Derivação Demonstraremos duas regras de derivação regra do produto e regra do quociente E ainda em Derivação apresentaremos as demonstrações das derivadas de algumas das funções trigonométricas Regras de Derivação 1 Introdução Regras de Derivação Derivada das Funções Trigonométricas 6 Unidade Regras de Derivação 1 Contextualização Já estudamos a posição de uma partícula em função do tempo quando derivamos obtemos a velocidade instantânea da partícula em função do tempo Vamos considerar a função posição dada por st 2t210t8 onde t é medido em segundos e s é medido em metros Se derivarmos a função s obtemos a velocidade instantânea em função do tempo vtst4t10 onde v é medida em ms E o que será que acontece se buscarmos a taxa de variação da velocidade da partícula em relação ao tempo Vamos perguntar primeiramente se a velocidade muda quando o tempo passa Se passou 2s qual a velocidade instantânea v2421018ms Se passou 3s calculemos a velocidade instantânea v3431022ms E se passar 4s qual será a velocidade v4441026ms E se derivarmos a velocidade em função do tempo Obtemos a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo decorrido ou seja a aceleração da partícula em função do tempo atvtst4 onde a aceleração é medida em ms2 Percebemos que a aceleração nos instantes 2s 3s e 4s é sempre a mesma e igual a 4ms2 Desta forma estudamos uma situação em que ilustramos o significado da segunda derivada de uma função 7 Introdução Na unidade anterior vimos como obter a derivada de uma função polinomial Nesta Unidade estudaremos as derivadas das funções trigonométricas e apresentaremos também mais duas regras de derivação a Regra do Produto e a Regra do Quociente Regras de Derivação Estudamos que se temos uma função do tipo y fx gx com f e g possuindo derivada em x a então y f x gx possui derivada em x a O mesmo teorema vale para a subtração de duas ou mais funções Mas será que esta regra vale para o produto de duas funções Por exemplo seja fx x2 e gx x 1 Sabemos que f x 2x e gx 1 Também sabemos que y fxgx x2x 1 x3 x2 Podemos determinar y 3x2 2x Mas f xgx 2x 3x2 2x y fxgx Com isso queremos chamar a atenção para utilizarem as regras de Derivação de acordo com o tipo de operação entre as funções Importante Para o produto de funções e para o quociente entre funções temos regras específicas Regra do Produto Se fx e gx são deriváveis e temos que Fxfxgx então F x fx gx fx gx Vamos agora demonstrar a regra do produto 0 0 lim lim h h F x f x g x F x h F x F x h f x h g x h f x g x F x h 8 Unidade Regras de Derivação 1 Utilizaremos uma estratégia para realizar esta demonstração iremos somar e subtrair no numerador o seguinte termo fxhgx 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim lim lim h h h h h h h f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x F x h f x h f x g x h g x F x g x f x h h h f x h f x g x h g x F x g x f x h h h Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocaremos os resultados nesta expressão a 0 lim h g x g x b 0 lim h f x h f x f x h c 0 lim h f x h f x d 0 lim h g x h g x g x h Voltando à demonstração temos que 0 0 0 0 lim lim lim lim h h h h f x h f x g x h g x F x g x f x h h h F x f x g x f x g x É comum utilizarmos uma representação simplificada para a regra do produto Se considerarmos fxu e gxv e Fxuv então a regra do produto pode ser reescrita como uv u v u v Vejamos um exemplo Se Fx x10 22x7 6x 5 determinemos a derivada desta função Utilizaremos a regra do produto para isso determinemos as duas funções f e g Vamos denominar fx x10 2 gx 2x7 6x 5 9 Para utilizarmos a regra do produto Fx fx gx fx gx necessitamos calcular as derivadas das duas funções 10 7 9 6 2 2 6 5 10 14 6 f x x g x x x f x x g x x E aplicamos estes resultados na regra do produto F x f x gx fx gx F x 10x9 2x7 6x 5 x10 2 14x6 6 Não é o intuito neste momento realizar estes produtos para determinar a derivada de uma função Mas dependendo do tipo de problema proposto pode ser que seja necessário realizar os produtos entre os polinômios para obter a expressão da função derivada Regra do Quociente Se fx e gxsão deriváveis e temos f x F x g x com gx0 então 2 f x g x f x g x F x g x Para demonstrar esta regra vamos reescrever a expressão de Fx f x F x f x F x g x g x E apliquemos a regra do produto para a função fx 2 f x F x g x F x g x F x g x f x F x g x f x F x g x F x g x f x f x g x g x F x g x f x f x g x g x g x g x F x g x f x g x f x g x g x g x F x g x f x g x f x g x F x g x 10 Unidade Regras de Derivação 1 2 f x F x g x F x g x F x g x f x F x g x f x F x g x F x g x f x f x g x g x F x g x f x f x g x g x g x g x F x g x f x g x f x g x g x g x F x g x f x g x f x g x F x g x É comum utilizarmos uma representação simplificada para a regra do quociente Se considerarmos u f x ue g x veF x v então a regra do quociente pode ser reescrita como 2 u u v u v v v Vejamos um exemplo Se 5 2 8 4 3 1 2 5 x x F x x x x determinemos a derivada desta função Para utilizarmos a regra do quociente precisamos determinar as funções f e g Sejam fx x5 3x2 1 e gx x8 2x4 5x e determinemos suas derivadas fx x5 3x2 1 gx x8 2x4 5x fx 5x4 6x gx 8x7 8x3 5 Agora colocamos estes resultados na regra do quociente 2 4 8 4 5 2 7 3 2 8 4 5 6 2 5 3 1 8 8 5 2 5 f x g x f x g x F x g x x x x x x x x x x F x x x x Não é o intuito neste momento realizar estes produtos e quociente para determinar a derivada de uma função Mas dependendo do tipo de problema proposto pode ser que seja necessário realizar os produtos e o quociente entre os polinômios para obter a expressão da função derivada 11 Derivada das Funções Trigonométricas Apresentamos as derivadas das principais funções trigonométricas e demonstramos algumas destas derivadas outras podem ser encontradas em livros didáticos de Cálculo fx sen x f x cos x fx cos x f x sen x fx tg x f x sec2 x fx cotg x f x cossec2 x fx sec x f x sec xtg x fx cossec x f x cossec x cotg x Vejamos as demonstrações de derivadas de algumas funções trigonométricas 1 Seja fx sen x então fx cosx 0 0 0 lim lim li s os m co c h h h f x h f x sen x f x h s h en x h sen x f x h sen x f xsenh x h Lembrar que sen x h sen x cos h cos x sen h 0 0 0 0 0 0 cos cos lim cos 1 lim cos cos 1 lim lim limcos lim h h h h h h sen x h sen x xsenh h h sen x h x senh h h h senh sen x x h h Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocamos os resultados nesta expressão Como sen x e cosx não apresentam a variável h então o cálculo do limite destas duas funções é direto a 0 lim h sen x sen x 12 Unidade Regras de Derivação 1 b limcos cos x x E temos um limite fundamental na expressão já apresentado em unidades anteriores c 0 lim 1 h senh h Falta então determinar um dos limites d 0 0 cos 1 cos 1 cos 1 lim lim cos 1 h h h h h h h h 2 0 cos lim cos 1 1 h h h h Lembrar que sen2h cos2h 1 2 0 0 0 0 lim lim lim cos 1 cos 1 0 0 1lim 1 1 0 cos 1 cos0 1 1 1 h h h h sen h senh senh h h h h senh sen h Logo 0 cos 1 lim 0 h h h Voltemos agora ao cálculo do limite que estávamos resolvendo 0 0 0 0 cos 1 lim lim limcos lim 0 cos 1 cos h h h h h senh f x sen x x h h f x sen x x x Portanto se fx sen x então fxcos x 2 Consideremos agora a função trigonométrica fxcosx e demonstremos que fx sen x 0 0 0 cos cos lim lim cos cos cos lim h h h f x h f x x h x f x h h x h sen x senh x h Lembrar que con xh cos x cos h sen x sen h 13 0 0 0 0 0 0 cos cos cos lim cos 1 lim cos cos 1 limcos lim lim lim h h h h h h x h x sen x senh h h h senh x sen x h h h senh x sen x h h Vejamos cada um dos limites separadamente e depois colocamos os resultados nesta expressão Como sen x e cos x não apresentam a variável h então o cálculo do limite destas duas funções é direto a 0 lim h sen x sen x b 0 limcos cos h x x Temos um limite fundamental já apresentado em Unidades anteriores c 0 lim 1 h senh h E já calculamos o outro limite d 0 cos 1 lim 0 h h h Logo temos que 0 0 0 0 cos 1 limcos lim lim lim cos 0 1 h h h h h senh f x x sen x h h f x x sen x sen x Portanto se fx cos x então fx sen x 3 Vejamos agora a demonstração da derivada da função tangente 2 f x tg x f x sec x 2 f x tg x f x sec x Primeiramente devemos escrever a função tangente como um quociente da função seno e da função cosseno 14 Unidade Regras de Derivação 1 cos sen x f x tg x x E utilizaremos a regra do quociente considerando as derivadas das funções seno e cosseno anteriormente demonstradas Vamos utilizar a notação simplificada da regra do quociente 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen cos cos cos cos cos 1 sec cos u v u v f x v u sen x u x v x v x x x sen x sen x f x x x sen x f x x f x x x Exemplos 1 Diferencie as seguintes funções 2 9 4 x a x g x x Para encontrar a derivada desta função podemos utilizar tanto a regra do produto quanto a regra do quociente Vejamos primeiramente a regra do quociente Consideremos 2 9 u x x e v 4x e determinemos as derivadas destas funções u e v E façamos inicialmente uma manipulação algébrica em u 1 2 2 2 1 2 9 9 9 2 2 4 4 u x x x x u x x v x v Lembrando que 1 2 x x 15 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 9 2 4 9 4 2 4 9 2 4 9 4 2 16 9 2 9 2 4 9 2 9 2 4 u v uv g x v x x x x x g x x x x x x x g x x x x x x x g x x x x x x g x x g x 1 2 2 2 3 2 3 9 2 4 9 1 2 1 9 4 4 8 x x x x x g x 3 2 3 9 1 2 1 9 4 4 8 x g x x Determinemos agora a derivada da função g de outra maneira utilizando a regra do produto Mas para utilizar esta regra temos de reescrever a função g como produto de dois termos 2 1 2 9 1 9 4 4 x g x x x x x x Lembre que 1 1 x x 16 Unidade Regras de Derivação 1 Neste caso temos u e v e suas derivadas 2 1 2 9 9 2 2 u x x u x x Lembre que a derivada de 1 2 x x é pela regra da potência igual a 1 2 1 2 x 1 2 1 4 1 4 v x v x Lembre que subtraímos uma unidade do expoente na regra da potência E aplicando estes resultados na regra do produto temos 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 9 1 1 2 9 2 4 4 1 9 1 9 2 8 4 4 1 9 4 8 1 9 4 8 g x u v uv g x x x x x x x g x x x g x x g x x Repare que a derivada obtida pela regra do quociente e pela regra do produto são idênticas Ainda podemos utilizar a regra da potência para determinar a derivada desta função g Vejamos como calcular a derivada com a regra da potência Mas para isso é necessário realizar algumas manipulações algébricas para escrever a função g como uma função polinomial 1 2 2 1 2 1 2 9 1 9 4 4 1 9 4 4 x x g x x x x x g x x x 17 E agora aplicamos a regra da potência à função g 3 2 3 2 3 1 9 1 4 4 2 1 9 4 8 1 9 4 8 g x x g x x g x x Perceba que também obtemos a mesma função derivada Desta forma notamos que podemos utilizar dependendo da função que queremos derivar diferentes regras de derivação 3 3 3 2 x b g x x Para encontrar a derivada desta função podemos utilizar a regra do produto a regra do quociente e a regra da potência Vejamos primeiramente a regra do quociente Consideremos u x3 3 e v 2x3 e determinemos as derivadas destas funções u e v u x33 u 3x2 v 2x3 v 6x2 E agora aplicamos a regra do quociente à função g 2 2 3 3 2 2 3 5 5 2 6 2 6 4 3 2 3 6 2 6 6 18 4 18 9 4 2 u v uv g x v x x x x g x x x x x g x x x g x x x Determinemos agora a derivada da função g utilizando a regra do produto Mas para utilizar esta regra temos de reescrever a função g como produto de dois termos Observe que 3 2 3 3 6 2 2 2 4 x x x x 18 Unidade Regras de Derivação 1 3 3 3 3 3 3 1 2 2 x g x x x x Neste caso 3 3 1 3 2 u x e v x e suas derivadas são 2 4 3 3 2 u x v x Apliquemos agora a regra do produto 2 3 3 4 1 1 4 4 4 1 3 3 3 2 2 3 3 9 2 2 2 9 9 2 2 g x u v uv g x x x x x g x x x x g x x x Repare que a derivada obtida pela regra do quociente e pela regra do produto são idênticas Ainda podemos utilizar a regra da potência para determinar a derivada desta função g Vejamos como calcular a derivada com a regra da potência 3 3 3 3 3 1 3 2 2 x g x x x x Lembra que 3 3 3 3 0 1 x x x x 3 1 3 2 2 g x x E utilizando a regra da potência temos 4 4 9 9 2 2 g x x x 19 Perceba que também obtemos a mesma função derivada Desta forma notamos que podemos utilizar dependendo da função que queremos derivar diferentes regras de derivação c cos y senx x Vamos utilizar a regra do produto 2 2 cos cos cos cos cos u sen x v x u x v sen x y u v uv y x x sen x sen x y x sen x Considerando que cosx2 sen x2 1 podemos ainda escrever 2 2 2 1 1 2 y sen x sen x y sen x 2 Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função 1 x y x para x 1 Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função y fx temos de primeiramente derivar a função para obtermos o coeficiente angular da reta tangente 1 x y x Para derivarmos esta função vamos utilizar a regra do quociente 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u v uv y v u x u v x v x x y x y x 20 Unidade Regras de Derivação 1 Com a função derivada calculamos o coeficiente angular da reta tangente no valor de x 1 2 1 1 1 4 1 1 f E como a equação da reta tangente ao gráfico de uma função y fx quando temos o valor do coeficiente angular em um ponto a é dada por y f a f a x a Calculemos o valor da função em a 1 que é o ponto dado no enunciado do problema 1 1 1 1 1 2 f Logo o ponto do gráfico da função 1 x y x em que queremos determinar a equação da reta tangente é 1 1 2 E a equação da reta tangente que procuramos é 1 1 1 2 4 1 1 1 4 4 2 1 1 4 4 y f a f a x a y x y x y x Vejamos os gráficos da função f e da reta tangente ao gráfico no ponto x 1 21 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função 2 2 3 1 x x y x no ponto x 1 Para obtermos o coeficiente angular da reta tangente necessitamos obter a derivada da função y Vamos manipular inicialmente a expressão da função para podermos utilizar a regra da potência 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 x x y x x x x Lembre que a 1 2 1 x x 3 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 y x x x y x x x E agora calculamos a derivada em x 1 1 1 3 2 2 2 3 1 3 1 1 3 1 1 1 3 3 2 5 2 2 2 2 y Portanto o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y fx no ponto x 1 tem valor igual a 5 E o valor da função em x 1 é determinado na expressão de y fx 2 2 2 3 1 2 1 3 1 1 1 2 3 1 4 1 x x y x y Determinemos a equação da reta tangente que procuramos 4 5 1 5 5 4 5 1 y f a f a x a y x y x y x 3 Se 2 5 2 2 2 4 2 1 f e f e g e g Determine 2 e 2 f f g g 22 Unidade Regras de Derivação 1 Para determinar fg2 utilizaremos a regra do produto 2 2 2 2 2 2 24 51 8 1 5 3 f g f g f g f g E para determinar 2 f g utilizaremos a regra do quociente 2 2 2 2 2 2 2 2 24 51 8 5 3 2 16 16 1 f g f g f g g f g 23 Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Derivadas consulte o site e as referências a seguir Sites httpwwwsomatematicacombrsuperiorderivada2php httpwwwsomatematicacombrsuperiorlogexplogexp8php httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesderivative propertiesvderivativepropertiesexample httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativespowerrule tutorialvpowerrule httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativeschainrulev derivativesofsinxcosxtanxexandlnx httpomatematicocomNovoNIVELSUPERIORderivadasderivadashtml Referências Bibliográficas ANTON H Cálculo Um Novo Horizonte v 1 Porto Alegre Bookman 2000 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneira Thomson Learning 2009 THOMAS G Cálculo v 1 São Paulo Addison Wesley 2003 24 Unidade Regras de Derivação 1 Referências STEWART J Cálculo v1 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v1 São Paulo McGrawHill 2006 Anotações wwwcruzei rodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Cálculo Diferencial Regras de Derivação 2 Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin 5 A proposta desta Unidade é o estudo da regra de derivação para a função composta e da regra para derivar funções na forma implícita dadas em forma de uma equação Além disso faremos uma discussão sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor médio É importante que você acesse o link Materiais Didáticos pois lá se encontram o conteúdo e as atividades propostas No caso de dúvidas coloqueas no fórum de discussão estaremos em contato permanente com você por meio do ambiente de aprendizagem virtual Blackboard Nesta unidade a discussão ainda é sobre Regras de Derivação Apresentamos a regra da cadeia também denominada regra da função composta e a regra para derivar equações de curvas nas quais a função não é dada de forma explícita Regras de Derivação 2 Introdução Teorema de Rolle Teorema do Valor Médio Regra da Cadeia Derivação Implícita 6 Unidade Regras de Derivação 2 Contextualização Muitos matemáticos se dedicaram a estudar curvas Uma delas é o Folium de Descartes definida pela equação x3 y3 3axy 0 sendo a um parâmetro A curva obtida por meio desta equação faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota obtida pela equação x y a 0 E ela apresenta simetria em relação à reta y x O nome desta curva vem do latim folium que significa folha e ela foi representada juntamente com um retrato de Descartes em um selo da Albânia em 1966 Podemos notar que esta curva não é dada por meio de uma função explícita entre duas variáveis x e y E se queremos determinar a reta tangente a um ponto temos a dificuldade para encontrar a derivada Vamos estudar uma curva conhecida como Lemniscata de Bernoulli Sua equação é do tipo x2 y22 2a2 x2 y2 sendo a2 d1 d2 sendo d1 a distância do ponto P do gráfico ao foco F1 a0 e d2 a distância do ponto P do gráfico ao foco F2 a 0 Quando se altera o valor de a ou seja alteramse os valores de d1 e d2 a curva Lemniscata de Bernoulli altera seu tamanho e mantém sua forma 7 Vamos considerar a seguinte equação da curva Lemniscata de Bernoulli quando 2 25 a 4 ou seja 25 5 4 2 a 2 2 2 2 2 2 5 2 x y x y A equação pode ser reescrita retirando a fração apenas para facilitar o cálculo da derivada 2 2 2 2 2 2 25 x y x y Vamos determinar uma equação de reta tangente a esta curva no ponto 31 considerando y fx e utilizando para derivar a regra das funções implícitas 2 2 2 2 2 25 2 2 2 x y y x x y y y 2 2 4 2 2 25 2 2 x y x y y x y y Como queremos determinar a derivada no ponto 31 basta substituir estes valores em x e y para determinarmos y 2 2 4 3 1 23 21 25 23 21 4 10 6 2 25 6 2 240 80 150 50 80 50 150 240 130 90 90 9 130 13 y y y y y y y y y y Multiplicamos pela derivada da função interna lembrando que y fx Utilizamos a regra da função composta derivando primeiro a função potência 8 Unidade Regras de Derivação 2 Portanto uma equação de reta tangente a curva em 31 é 9 1 3 13 9 9 3 1 13 13 9 40 13 13 y x y x y x 9 Introdução Nesta Unidade iniciaremos com a Regra da Cadeia regra utilizada para a derivação de funções compostas Depois enunciaremos o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio e comentaremos suas interpretações gráficas As demonstrações destes teoremas estão presentes em todos os livros didáticos de Cálculo Teorema de Rolle Seja f uma função que satisfaça as seguintes condições f é contínua em um intervalo fechado ab f possui derivada no intervalo aberto ab fa fb Então existe um número c pertencente ao intervalo ab tal que fc 0 Comentários Primeiramente precisamos entender o que significa cada uma das três condições apontadas nas hipóteses deste teorema Ter uma função contínua que tenha fa fb significa que primeiramente a função f está definida em todo o intervalo fechado ab e que a função calculada nos dois extremos do intervalo fechado ab possui o mesmo valor de imagem fa fb Vejamos alguns exemplos de funções que satisfaçam e que não satisfaçam esta condição Considere o gráfico da função constante fx2 10 Unidade Regras de Derivação 2 A função constante fx 2 satisfaz as três condições colocadas no Teorema de Rolle pois consideremos um intervalo fechado por exemplo 14 Ao calcularmos a função nos extremos deste intervalo temos que f1 2 e f4 2 pois é uma função constante Além disso esta função é contínua no intervalo fechado 14 e é derivável no intervalo aberto 14 sendo a fx 0 então qualquer valor de c teremos fc 0 Vejamos outro exemplo Seja a função 1 f x x para x 0 Para esta função se escolhermos o intervalo 22 não teremos a função contínua neste intervalo pois a função não está definida para x 0 que pertence a este intervalo fechado Além disso calculando a função nos extremos do intervalo 1 1 2 2 e 2 2 f f temos que f2 f2 Então esta função com este intervalo não satisfaz as condições do teorema Na verdade para esta função não existe intervalo que satisfaça o Teorema de Rolle Outro exemplo seja fx x e vejamos seu gráfico 11 Ao analisarmos o gráfico da função fx x podemos escolher um intervalo fechado por exemplo 22 Temos que f2 2 2 f2 E ainda perceber que esta função é contínua em todo seu domínio Entretanto quando analisar se esta função é derivável em todo seu domínio podemos verificar que a função fx x não é derivável em x 0 Verifiquemos isso calculando os limites laterais Para uma função ser derivável é necessário existir o limite 0 0 0 lim x x f x f x x x Considerando o x0 fx0 00 temos que 0 0 0 0 0 lim lim lim 0 0 x x x x x f x f x x x Como a função é a função módulo e o intervalo possui valores positivos e negativos precisamos calcular os limites laterais Se x se aproxima de 0 por números positivos então utilizaremos no lugar de x apenas x Se x se aproxima de 0 por números negativos então utilizaremos no lugar de x a expressão x 0 0 0 0 lim lim 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x Logo os limites laterais apresentam valores diferentes e portanto a função fx x não possui derivada em x 0 Sempre que o gráfico de uma função apresentar este tipo de junção de gráficos formando um bico a função não terá derivada neste ponto pois as derivadas laterais serão diferentes Não existe reta tangente Não existe reta tangente Não existe reta tangente Não existe reta tangente a f a a f a a f a a f a 12 Unidade Regras de Derivação 2 Não existe reta tangente Não existe reta tangente Não existe reta tangente Não existe reta tangente a f a a f a a f a a f a Ao possuir limites laterais diferentes o gráfico apresentaria retas laterais diferentes dependendo do lado que a variável se aproxima do ponto ou teria uma reta vertical que também não é considerada tangente pela definição dada Vejamos mais um exemplo seja fx x2 2 e consideremos também o intervalo fechado 22 Podemos verificar que esta função é contínua em todo seu domínio e também no intervalo fechado 22 E a função fx x2 2 também é derivável em todo seu domínio e também no intervalo aberto 22 E sabemos que fx 2x E por último f2 6 f2 Desta forma esta função satisfaz todas as três condições do Teorema de Rolle Assim amparados no Teorema de Rolle podemos dizer que existe um número c do intervalo 22 tal que fc 0 Ter um número tal que a derivada da função seja igual a zero significa que a reta tangente da função no ponto cfc tem inclinação nula ou seja a reta tangente é horizontal em x c Então podemos perceber que se uma função satisfaz as três condições apresentadas no Teorema de Rolle sabemos que a função possui pelo menos uma reta tangente horizontal no intervalo determinado Agora enunciaremos o Teorema do Valor Médio e comentaremos sua interpretação gráfica A demonstração deste teorema está presente em todos os livros didáticos de Cálculo 13 Teorema do Valor Médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes condições f é contínua no intervalo fechado ab f é derivável no intervalo aberto ab Então existe um número c pertencente ao intervalo aberto ab tal que f b f a f c b a ou de maneira equivalente f b f a f c x a Comentários Façamos uma interpretação gráfica deste teorema Temos como hipóteses do teorema que a função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto Vejamos alguns exemplos de funções que satisfaçam estas hipóteses Consideremos a função fx x2 2 definida no intervalor 2 2 Temos que esta função é contínua neste intervalo e derivável no intervalo aberto 22 E os valores f2 22 2 2 e f2 22 2 2 Então 2 2 2 2 0 2 2 2 2 f b f a f f b a E pelo Teorema do Valor Médio temos que existe c pertencente ao intervalo 22 tal que 0 f b f a f c b a Pensemos na reta secante que passa pelos pontos 2 2 22 2 2 22 f e f Para isso calculemos o coeficiente angular desta reta 14 Unidade Regras de Derivação 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 4 f f m Então a equação desta reta é dada por 2 0 2 2 y f a m x a y x y Ao observarmos os gráficos apresentados a seguir percebemos que a reta secante passando pelos pontos 22 e 22 é paralela à reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 Como as retas são paralelas temos que os coeficientes das duas retas são iguais 2 2 0 2 2 f f f Ou seja o Teorema do Valor Médio afirma que existe um valor c pertencente ao intervalo aberto ab tal que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto x c é paralela a reta secante passando pelos pontos afa e bfb Regra da Cadeia Ainda temos mais uma regra de derivação para apresentar Ela é denominada regra da cadeia ou da função composta e é utilizada quando a função que queremos derivar é composta por duas ou mais funções Vejamos alguns exemplos de função composta 15 cos 2 1 f x x A função f é composta pelas funções cosx e 2x1 Se x 1 para obtermos f1 calculamos primeiramente 2x 1 2 1 1 3 e depois calculamos este valor na função cosseno cos3 1 cos 21 1 cos3 f Para derivarmos uma função composta é necessário entendermos qual função é interna e qual é a externa pois para derivarmos aplicaremos a regra de derivação primeiramente na função mais externa ou a última a ser utilizada para calcular a função em um determinado valor E depois derivamos a função mais interna Para determinarmos a derivada da função fx cos2x1 1 2 2 1 2 2 f x se sen x n x Vejamos outro exemplo seja gxlnx21 Para calcularmos o valor da função g em x 1 fazemos 21 1 ln ln 2 1 g A função interna é x2 1 e a função externa é ln x Vamos determinar a derivada desta função g 2 2 2 2 1 1 1 x g x x x x Deriva primeiramente a função seno a função mais externa conservando a função mais interna Depois multiplica pela derivada da função mais interna 2x1 Deriva primeiramente a função ln x que é mais externa conservando a função interna x2 1 Deriva a função interna x2 1 16 Unidade Regras de Derivação 2 Vejamos um terceiro exemplo agora envolvendo três funções compostas Seja dada a função 1 sen x h x e Vamos calcular a função em x 1 1 1 1 sen h e Para calcular o valor de h em x 1 primeiramente devemos calcular sen 1 depois calculamos o valor de esen 1 e por último calculamos 1 1 esen Vamos determinar a derivada da função h Primeiramente determinamos qual a função mais externa neste caso é a função 1 1 x x e derivamos utilizando a regra da potência x2 conservando as funções internas esen x 2 cos sen sen x x h x e x e Depois derivamos a função mais externa da função que foi conservada na derivação anterior A derivada de ex é a própria função ex conservando a função mais interna sen x E terminamos com a derivada da função mais interna sen x 1 cos cos sen x sen x h x e x x h x e Regra da Cadeia Suponhamos que temos duas funções f e g diferenciáveis e Ffog a função composta definida por Fxfgx então F é diferenciável e F é dada por F x f g x g x 17 Derivação Implícita As funções apresentadas até este momento estão na forma explícita yfx Entretanto existem algumas situações em que a curva é apresentada de forma implícita como por exemplo a equação da elipse x2 2y2 1 É importante notar que esta expressão não representa uma função Podemos escrever esta equação procurando isolar o termo y 2 2 1 2 x y Mas neste momento para escrever a equação em função de y e não de y2 temos de escrever duas igualdades 2 2 1 1 2 2 x x y y 18 Unidade Regras de Derivação 2 E para determinarmos a derivada da equação da elipse não é necessário separar em duas equações escritas de maneira a termos y em função de x Podemos fazer a diferenciação implícita que consiste em derivar em relação à x ambos os lados da equação da curva dada de forma implícita E depois isolar y Faremos como exemplo a diferenciação implícita para a curva da elipse x2 2y2 1 Vamos derivar a equação da elipse em relação à variável x 2 2 2 0 y y x Usamos a regra da potência em y2 e obtemos 2y mas pela regra da cadeira tenho que multiplicar por y pois y fx E isolando y nesta expressão temos 2 22 0 2 4 2 x y y x y y x y y E se queremos determinar por exemplo a equação da reta tangente à elipse em x 05 basta substituir o valor de x nas expressões Se x 05 então 2 2 2 2 2 05 2 1 025 2 1 2 1 025 075 075 0375 2 0375 0375 y y y y y ou y Se considerarmos o ponto x 05 e 0375 y temos que o coeficiente angular da reta tangente à elipse neste ponto será dado por 2 05 05 2 0375 05 0408 x y x y y y 19 E a equação da reta tangente à elipse no ponto 0 5 0375 será 05 05 05 0375 0408 05 0408 0408 05 0375 0408 0816 y f f x y x y x y x Exemplos 1 Encontre todos as retas tangentes horizontais ao gráfico da seguinte função gx x4 5x2 4 Como estamos interessados em retas tangentes horizontais então queremos retas que não possuem inclinação ou seja o coeficiente angular destas retas tangentes é igual a zero Logo para obtermos estas retas horizontais vamos derivar a função e verificar para quais valores de x a derivada é igual a zero 20 Unidade Regras de Derivação 2 Para derivar esta função usamos a regra da potência 3 4 10 g x x x E agora igualamos a zero esta derivada 3 2 0 4 10 0 2 2 5 0 g x x x x x Como tenho um produto de dois termos com resultado igual a zero então ou o primeiro termo é zero ou o segundo termo é zero 2 2 2 0 0 ou 5 5 2 5 0 2 2 x x x x x Portanto temos três valores de x em que a derivada é igual a zero 5 5 0 2 2 x x x Como as retas tangentes nestes pontos são horizontais então estas retas são do tipo y gx quando x0 g0 0 5 0 4 4 quando 5 2 x 4 2 2 5 5 5 5 5 25 25 5 4 5 4 4 2 2 2 2 2 4 2 5 9 2 4 g g quando 5 x 2 4 2 2 5 5 5 5 5 25 25 5 4 5 4 4 2 2 2 2 2 4 2 5 9 2 4 g g 21 Portanto notamos que existem três valores de x para os quais a função g possui reta tangente horizontal mas são duas as retas horizontais uma das retas passa por dois dos três pontos determinados 2 Determine a derivada da função hx x3 2x 13 2x 1 Para determinarmos a derivada desta função h precisaremos utilizar a regra do produto pois x3 2x 13 está multiplicado por 2x 1 E a regra da cadeia pois x3 2x 13 é uma função composta de duas funções x3 e x3 2x 1 sendo x3 a função mais externa v h x u v u 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 2 1 2 1 2 2 x x u x x u x x x x v x x x x v h x 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 2 2 1 h x x x x x x x 3 Determine a derivada da função 2 p tg θ θ Para determinarmos a derivada da função p temos que usar a regra da cadeia Neste caso temos três funções compostas Identificamos que a função mais externa é a função tgθ depois temos a função q e como mais interna a função θ 2 2 p tg θ θ Primeiramente derivamos a função tangente e conservamos a função interna 2 θ Regra da Cadeira 22 Unidade Regras de Derivação 2 2 2 2 1 2 2 p sec θ θ θ θ Derivamos a função interna raiz quadrada e conservamos a função mais interna θ2 E derivamos esta função por ulitimo Perceba que derivamos cada uma das funções de sua posição mais externa para a mais interna conservando sempre a função que esteja interna da derivada 4 Determine a derivada de 6x3 2y4 9 considerando y fx Como a função y está definida implicitamente utilizaremos a derivação implícita 2 4 3 63 2 0 y x y A derivada y4 é 4y3 utilizando a regra da potência Mas como y fx temos que derivar também y aparecendo y 2 3 18 8 0 x y y Agora temos que isolar y 3 2 3 2 2 3 8 18 4 9 9 4 y y x y y x x y y Nem sempre será possível escrever a derivada de uma função implícita de maneira explícita ou seja sem utilizar y na expressão da derivada 23 Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Derivadas consulte o site e as referências a seguir Sites httpwwwsomatematicacombrsuperiorderivada3php httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesvisualizing derivativestutorialvderivativeintuitionmodule httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativeschainrulevchain ruleintroduction httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesimplicit differentiationvimplicitdifferentiation1 httpomatematicocomNovoNIVELSUPERIORderivadasderivadashtml Referências Bibliográficas ANTON H Cálculo Um Novo Horizonte v 1 Porto Alegre Bookman 2000 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneira Thomson Learning 2009 THOMAS G Cálculo v 1 São Paulo Addison Wesley 2003 24 Unidade Regras de Derivação 2 Referências STEWART J Cálculo v1 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v1 São Paulo McGrawHill 2006 STEWART J Cálculo v I 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A Funções limite derivada integração 5ed São Paulo Makron Books do Brasil 2004 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo Rio de Janeiro LTC 20012002 SIMMONS G F Cálculo com Geometria Analítica 2ed São Paulo Makron Books do Brasil 1995 SWOKOWSKI E W Cálculo com Geometria Analítica 2ed São Paulo Makron Books do Brasil 1995 Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário Cálculo Diferencial Aplicações de Derivadas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Manrique Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin 5 Nesta Unidade estudaremos como utilizar os conceitos de limites e de derivadas para fazermos uma análise geral do comportamento de uma função de uma variável real identificando seus pontos de máximo e de mínimo as inflexões os intervalos de crescimento e de decrescimento e de concavidade do gráfico da função bem como possíveis assíntotas Com relação aos conteúdos dividimos em Máximo e Mínimo Crescimento e Decrescimento Inflexão Concavidade Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de esboçar o gráfico de uma função de uma variável real utilizando a primeira e a segunda derivadas Para ajudar realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para realização Nesta unidade a discussão é sobre a análise do comportamento de uma função de uma variável real Nesta análise estudaremos os pontos críticos mais especificamente os pontos de máximo e de mínimo e os intervalos de crescimento e de decrescimento da função Continuaremos nessa análise com a identificação dos intervalos de concavidade para cima e de concavidade para baixo bem como dos pontos de inflexão Aplicações de Derivadas Introdução Análise do Comportamento de uma Função Teorema de Fermat 6 Unidade Aplicações de Derivadas Contextualização Fazemos uso de derivadas em diferentes campos do saber e em problemas do dia a dia Um dos problemas que ocorre em diversas situações práticas referese à otimização de recursos por exemplo em determinar quais são os recursos a serem comprados ou usados de maneira a obter o máximo lucro ou o mínimo custo Dado um problema em que se quer maximizar ou minimizar um objetivo que depende de algumas variáveis tornase necessário primeiramente determinar quais são as variáveis que afetam este objetivo Vejamos um problema Considere que temos um terreno para lotear e cada lote terá dimensões retangulares com 100 m de perímetro Queremos determinar as dimensões do lote retangular de forma a obter a maior área Resolução Como o lote terá a forma retangular então podemos pensar que este lote terá uma medida x de comprimento e uma medida y de largura X y Foi dado no enunciado do problema que o lote terá 100 m de perímetro então podemos escrever que 2 2 100 x y Alem disso se quer que a área do lote seja a máxima possível considerando este perímetro máximizar Área máx x y 7 Como as medidas de comprimento e largura estão relacionados pelo perímetro podemos escrever que 2 2 100 50 x y y x Substituindo y na expressão da área do lote retangular temos que 2 50 50 Área A x y x x A x x x Como queremos saber em que valores de x a área do lote será máxima podemos derivar esta função área e igualar a zero para verificar se existe um valor de x em que a área seja máxima Então derivando esta função e igualando a zero temos Desta forma podemos concluir que em x25 a função área terá seu valor máximo E para determinar o valor de y voltamos para a equação do perímetro que relaciona as duas variáveis x e y 2 2 100 225 2 100 25 x y y y Assim obtemos as dimensões do lote 25 m de largura e 25 m de comprimento Este é um exemplo da utilização de derivadas para resolver problemas 50 2 0 25 0 50 20 50 0 30 50 230 10 0 A x x A A x A 8 Unidade Aplicações de Derivadas Introdução Nesta Unidade estudaremos como utilizar os conceitos de limites e de derivadas para fazermos uma análise geral do comportamento de uma função de uma variável real identificando seus pontos de máximo e de mínimo as inflexões os intervalos de crescimento e de decrescimento e de concavidade do gráfico da função Análise do Comportamento de uma Função Consideremos o gráfico da função fx x4 2x2 1 Podemos dizer que esta é uma função contínua e diferenciável em todo o seu domínio Vamos detalhar um pouco mais estas análises identificando alguns pontos no gráfico Consideremos primeiramente valores negativos para x Isto significa que estamos analisando a parte do gráfico da função que está no 2o e 3o quadrantes Se tomamos o valor de x1 1 7 então o que posso dizer do valor da função em x1 1 7 ou seja do valor de f 1 7 Podemos identificar o ponto 1 7 f 1 7 no gráfico e verificar que f1 7 0 E se x313 o que podemos dizer de f13 Podemos também identificar esse ponto 13f13 no gráfico e verificar que f13 0 9 Como f 1 7 0 e f 1 3 0 e f é contínua temos que o gráfico da função f cruza o eixo das abscissas o eixo x Também podemos dizer que existe um valor x2 tal que o gráfico corta o eixo x ou seja que fx2 0 e que o valor que zera a função pertence ao intervalo 1 615 Consideremos outro intervalo fechado 1 8 1 2 e peguemos alguns valores de x deste intervalo Percebemos que quando os valores de x aumentam os valores de fx diminuem Além de identificarmos que o gráfico da função corta o eixo x podemos também verificar que o gráfico da função está decrescendo neste intervalo Vamos considerar agora o valor de x508 Então o que posso dizer do valor da função em x5 0 8 ou seja do valor de f 0 8 Podemos identificar o ponto 0 8 f 0 8 no gráfico e verificar que f 0 8 0 E se x6 0 4 o que podemos dizer de f 0 4 Podemos também identificar esse ponto 0 4 f 0 4 no gráfico e verificar que f 0 4 0 Consideramos o intervalo fechado 0 9 0 2 e pegamos alguns valores de x deste intervalo Percebemos que quando os valores de x aumentam os valores de fx também aumentam ou seja podemos verificar que o gráfico da função está crescendo neste intervalo Façamos uma análise do que acontece com o gráfico da função quando consideramos apenas valores negativos para x Percebemos que o gráfico da função que estava decrescendo começa a crescer Então existe um ponto no qual o gráfico muda de decrescimento para crescimento Vamos pensar em retas tangentes ao gráfico desta função Pensemos em um caso bastante especial no qual temos retas tangentes horizontais ou seja em que valores de x tem coeficientes angulares nulos ou mais especificamente para quais valores do domínio temos derivada da função igual a zero Percebemos que para x4 1 temos uma reta tangente horizontal Além disso é nesse ponto que o gráfico da função deixa de apresentar um decrescimento para apresentar um crescimento Neste caso dizemos que no ponto x4 fx4 a função apresenta um ponto de mínimo local sendo fx4 esse valor mínimo Vejamos a derivada da função 4 2 3 2 1 4 4 f x x x f x x x Se identificamos no gráfico um ponto em que a tangente é horizontal então é possível determinar este valor utilizando a expressão algébrica da função derivada Deste modo queremos saber os valores de x tais que fx0 Então vamos igualar a expressão da derivada a zero 3 4 4 0 f x x x Percebemos que temos o termo 4x em comum e o colocamos em evidência na expressão 10 Unidade Aplicações de Derivadas 4 2 1 0 x x Se temos o produto de dois números com resultado zero é porque um dos dois números é zero ou os dois são zero Assim podemos separar este produto em duas sentenças 2 4 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 x x x x ou x x ou x Temos agora outras informações existem três pontos do gráfico nos quais a função possui uma reta tangente horizontal ou seja nos quais a derivada é nula quais sejam x 1 e x 0 e x 1 E ao analisarmos o gráfico da função nestes pontos percebemos que nestes pontos existe a mudança de crescimento para decrescimento ou viceversa No ponto x70 percebemos que a função apresenta um crescimento e a partir deste ponto a função apresenta um decrescimento Neste caso dizemos que no ponto x7 fx7 a função apresenta um ponto de máximo local sendo fx7 esse valor máximo E ao verificarmos o que ocorre no gráfico próximo ao último valor encontrado em que temos a derivada igual a zero x 1 percebemos que a função apresenta um valor mínimo neste ponto pois a função apresenta um decrescimento em valores menores que x 1 e um crescimento em valores maiores que x1 Coloquemos algumas destas informações no quadro x1 x2 x3 x4 1 x5 x6 x7 0 fx10 fx20 fx30 fx40 fx50 fx60 fx7 0 Gráfico corta o eito x Decrescimento da função Crescimento da função Reta tangente horizontal Mínimo Reta tangente horizontal máximo Vejam quantas informações já temos da função fxx42x21 ao analisarmos seu gráfico e sua expressão algébrica Iremos sintetizar estas informações Definição Uma função f tem máximo absoluto em x c se fc fx para todo x pertencente ao domínio da função E o número fc é chamado de valor máximo da função f em seu domínio Definição Uma função f tem mínimo absoluto em x c se fc fx para todo x pertencente ao domínio da função E o número fc é chamado de valor mínimo da função f em seu domínio 11 Entretanto quando a função apresentar estas condições nas proximidades de x c ou seja em um intervalo aberto contendo c chamamos estes valores de máximo local e mínimo local E chamamos estes valores máximos e mínimos da função de valores extremos da função Retomando a análise que estamos realizando da função fx x4 2x2 1 percebemos que em x 1 a função apresenta um valor mínimo absoluto pois não existe outro valor do domínio da função que tenha fx fc em x 0 a função apresenta um valor máximo local pois nas proximidades deste valor temos fx fc e em x 1 a função apresenta um valor mínimo absoluto pois não existe outro valor do domínio da função que tenha fx fc Percebemos que em x 0 temos um máximo local mas este valor não é absoluto pois existem valores de x tais que fx f0 por exemplo para x 2 temos f2 f0 Podemos também apontar outra característica destes valores extremos da função eles ocorreram nos pontos em que a derivada da função é zero Este é um teorema Teorema de Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e f c existir então f c 0 Este teorema sugere como devemos proceder para que encontremos os valores extremos da função derivar a função e igualar a zero Voltamos a fazer um estudo da derivada da função fxx42x21 Qual será o sinal da derivada para x 1 Consideremos x 2 3 3 4 4 2 4 2 4 2 32 8 24 0 f x x x f Já vimos que para x 1 a função é decrescente Vejamos o sinal da derivada para um valor no intervalo 1 x 0 Consideremos x 05 3 3 4 4 05 4 05 4 05 05 2 15 0 f x x x f 12 Unidade Aplicações de Derivadas Já vimos que para 1 x 0 a função é crescente E qual o sinal da derivada para um valor no intervalo 0 x 1 Consideremos x 05 3 3 4 4 05 4 05 4 05 05 2 15 0 f x x x f Para 0 x 1 a função é decrescente E para um valor no intervalo x 1 qual será o sinal da derivada Consideremos x 2 3 3 4 4 2 4 2 4 2 32 8 24 0 f x x x f Para x 1 a função é crescente Coloquemos todas essas informações em um esquema Assim podemos concluir que se f x 0 em um intervalo então f é crescente neste intervalo se f x 0 em um intervalo então f é decrescente neste intervalo f apresenta valor mínimo local em c quando f c 0 ou não existe e se a derivada mudar do sinal negativo para o positivo f apresenta valor máximo local em c quando f c 0 ou não existe e se a derivada mudar do sinal positivo para o negativo Além dessas análises podemos realizar um estudo sobre a concavidade da curva do gráfico da função por meio da segunda derivada f 13 Vamos analisar novamente o gráfico da função fx x4 2x2 1 É possível perceber que a função apresenta decrescimento em dois intervalos para x 1 e para 0 x 1 Entretanto as concavidades das curvas nestes dois intervalos são diferentes no primeiro intervalo a concavidade é para cima e no segundo intervalo a concavidade é para baixo Estudemos a segunda derivada da função 4 2 3 2 2 1 4 4 12 4 f x x x f x x x f x x Para quais valores a segunda derivada é zero 2 2 12 4 0 4 1 12 3 1 3 3 3 3 3 3 3 f x x x x x ou x E vamos estudar o sinal da segunda derivada para 3 x 3 seja x 1 2 2 12 4 1 12 1 4 8 0 f x x f 14 Unidade Aplicações de Derivadas para 3 3 3 3 x seja x 0 2 2 12 4 0 12 0 4 4 0 f x x f para 3 x 3 seja x 1 2 2 12 4 1 12 1 4 12 4 8 0 f x x f E coloquemos estas informações sobre a segunda derivada em um esquema Podemos perceber que os valores encontrados como raízes da segunda derivada da função correspondem aos pontos do gráfico da função f em que existe a mudança de concavidade Em 3 x 3 o gráfico da função f muda de uma concavidade para cima para uma concavidade para baixo E em 3 x 3 o gráfico da função f muda de uma concavidade para baixo para uma concavidade para cima E estes pontos são chamados de pontos de inflexão Definição Um ponto P sobre uma curva é chamado de ponto de inflexão se a curva mudar de concavidade para cima para concavidade para baixo ou viceversa em P Então podemos concluir que se a segunda derivada de uma função possuir sinal positivo em um intervalo a concavidade da função será para cima E se a segunda derivada de uma função possuir sinal negativo em um intervalo então a concavidade da função será para baixo Ainda podemos fazer um estudo sobre a existência de assíntotas ao gráfico da função Como a função é contínua no conjunto dos números reais por ser uma função polinomial então não existe assíntota vertical f 15 E para saber se o gráfico da função possui uma assíntota horizontal precisamos verificar os seguintes limites 4 2 4 2 lim lim 2 1 lim lim 2 1 x x x x f x x x f x x x Portanto o gráfico da função não possui assíntota horizontal nem assíntota vertical Vamos propor um Roteiro para esboçar o gráfico de uma função f de uma variável real 1 Como primeira ação começamos determinando o domínio da função f 2 Dependendo da expressão algébrica dada para a função é possível determinar os valores de x que zeram a função ou seja tal que fx0 determinamos os pontos do gráfico que cortam o eixo x 3 Determinamos também o ponto do gráfico que corta o eixo y ou seja qual é o valor de f0 4 Começamos a estudar o sinal da derivada da função com a determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento E nos valores que zeram a derivada da função identificamos os possíveis pontos de máximo e de mínimo locais 5 Depois passamos a estudar o sinal da segunda derivada da função com a determinação dos intervalos de concavidade para cima e de concavidade para baixo identificando os possíveis pontos de inflexão 6 E por último verificamos se a função possui assíntotas horizontais e verticais Com estas informações podemos esboçar o gráfico da função Exemplos 1 Seja fx x3 2x2 1 Como a função é polinomial Df Primeiramente vamos analisar o comportamento desta função por meio de sua derivada 2 2 3 4 3 4 0 3 4 0 4 0 ou 3 f x x x x x x x x x Por meio da derivada encontramos dois valores de x que podem ser extremos da função 16 Unidade Aplicações de Derivadas Vamos realizar um estudo do sinal da derivada Queremos saber se a função apresenta um crescimento ou um decrescimento nas proximidades destes pontos para identificarmos se a função apresenta máximo ou mínimo local Sabemos que nestes pontos encontrados a derivada é nula E o que ocorre antes e após estes valores Se encontrarmos o sinal da derivada positivo significa que temos um crescimento da função E se encontrarmos o sinal da derivada negativo significa que temos um decrescimento da função Para estudar o sinal da derivada f x 3x2 4x necessitamos saber do sinal da função derivada para qualquer valor de x nos seguintes intervalos 2 2 0 2 2 3 2 4 2 12 8 20 0 0 0 0 4 0 1 1 31 41 3 4 1 0 3 4 4 0 3 3 x seja x então f x f x seja x então f x f 2 4 2 2 32 42 12 8 4 0 3 x seja x então f Coloquemos estes sinais da derivada da função em um esquema que facilitará a identificação do crescimento e decrescimento e os valores de máximo e de mínimo locais Desta forma podemos afirmar que a função fx x3 2x2 1 apresenta crescimento no intervalo 0 decrescimento no intervalo 4 0 3 crescimento no intervalo 4 3 valor máximo local em f01 valor mínimo local em 3 2 4 4 4 5 2 1 3 3 3 27 f f 17 Estudemos agora a segunda derivada da função fx x3 2x21 3 2 2 2 1 3 4 6 4 f x x x f x x x f x x Igualando a zero a segunda derivada teremos os possíveis pontos de inflexão do gráfico que mostram a mudança de concavidade do gráfico da função 6 4 0 4 2 6 3 x x E estudemos o sinal da segunda derivada nos dois intervalos que este ponto nos fornece 2 2 3 ou 3 x x para 2 x 3 seja x 0 então f0 6 0 4 4 0 f tem concavidade para baixo para 2 x 3 para 2 x 3 seja x1 então f1 6 1 4 2 0 f tem concavidade para cima para Desta forma como existe a mudança de concavidade do gráfico da função em x23 podemos concluir que este é o ponto de inflexão do gráfico da função Vejamos o gráfico da função fx x3 2x2 1 18 Unidade Aplicações de Derivadas 2 Seja fx x3 e estudemos o comportamento desta função Como a função é polinomial Df Primeiramente vamos estudar a primeira derivada da função 3 2 3 f x x f x x Igualamos a zero a derivada da função e determinamos os possíveis candidatos a extremos da função máximos e mínimos 3 2 0 0 x x Estudemos o sinal da derivada em pontos dos seguintes intervalos 2 2 0 0 0 1 1 3 1 3 0 0 0 0 0 1 1 31 3 0 x x x seja x então f x f x seja x então f Estas informações nos mostram que o sinal de derivada é sempre positivo para x0 Desta forma a função só cresce e não possui nem máximo e nem mínimo Estudemos a segunda derivada para determinarmos a concavidade do gráfico da função 3 2 3 6 f x x f x x f x x Igualando a zero a segunda derivada obtemos os candidatos a pontos de inflexão 6 0 0 x x Estudemos o sinal da segunda derivada em pontos dos seguintes intervalos 0 1 1 6 1 6 0 x seja x então f a função tem concavidade para baixo em x0 0 0 0 x f 0 1 1 61 6 0 x seja x então f a função tem concavidade para cima em x0 19 Vejamos o gráfico da função fx x3 3 Seja fx 2 3x x3 Df Primeiramente vamos analisar o comportamento desta função por meio de sua derivada 2 2 2 3 3 3 3 0 1 1 ou 1 f x x x x x x Encontramos por meio da derivada dois valores de x que podem ser extremos da função Vamos realizar um estudo do sinal da derivada Queremos saber se a função apresenta um crescimento ou um decrescimento nas proximidades destes pontos para identificarmos se a função apresenta máximo ou mínimo local Sabemos que nestes pontos encontrados a derivada é nula e o que ocorre antes e após estes valores Se encontrarmos o sinal da derivada positivo significa que temos um crescimento da função E se encontrarmos o sinal da derivada negativo significa que temos um decrescimento da função Para estudar o sinal da derivada f x 3 3x2 necessitamos saber do sinal da função derivada para qualquer valor de x nos seguintes intervalos 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 12 9 0 1 1 0 1 1 0 0 3 30 3 0 1 1 0 1 2 2 3 32 3 12 9 0 ã x seja x então f x f x seja x então f x f x seja x ent o f 20 Unidade Aplicações de Derivadas Coloquemos estes sinais da derivada da função em um esquema que facilitará a identificação do crescimento e decrescimento e os valores de máximo e de mínimo locais Desta forma podemos afirmar que a função fx 2 3x x3 apresenta decrescimento no intervalo 1 crescimento no intervalo 11 decrescimento no intervalo 1 valor máximo local em f1 2 3 1 4 valor mínimo local em f1 2 3 1 13 0 Estudemos agora a segunda derivada da função fx 2 3x x3 3 2 2 3 3 3 6 f x x x f x x f x x Igualando a zero a segunda derivada teremos os possíveis pontos de inflexão do gráfico que mostra a mudança de concavidade do gráfico da função 6 0 0 x x E estudemos o sinal da segunda derivada nos dois intervalos que este ponto nos fornece para x 0 seja x 1 então f1 6 1 6 0 f tem concavidade para cima para x0 para x 0 seja x 1 então f1 6 1 6 0 f tem concavidade para baixo para x 0 Desta forma como existe a mudança de concavidade do gráfico da função em x 0 podemos concluir que este é o ponto de inflexão do gráfico da função Vejamos o gráfico da função fx 2 3x x3 f y 22 Unidade Aplicações de Derivadas Material Complementar Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Derivadas consulte o site e as referências a seguir Sites httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesvisualizing derivativestutorialvgraphsoffunctionsandtheirderivativesexample1 httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculustakingderivativesvisualizing derivativestutorialvwhereafunctionisnotdifferentiable httpomatematicocomNovoNIVELSUPERIORderivadasderivadashtml Referências Bibliográficas ANTON H Cálculo Um Novo Horizonte v 1 Porto Alegre Bookman 2000 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneira Thomson Learning 2009 THOMAS G Cálculo v 1 São Paulo Addison Wesley 2003 23 Referências STEWART J Cálculo v1 4ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2001 LARSON R HOSTETLER R P EDWARDS B H Cálculo v1 São Paulo McGrawHill 2006 24 Unidade Aplicações de Derivadas Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário