Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Relações trigonométricas no triângulo retângulo Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Me Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Técnica Profª Drª Cintia Aparecida Bento dos Santos Revisão Textual Prof Me Claudio Brites 5 Introdução Seno Cosseno e Tangente Relações entre seno cosseno e tangente Veremos nesta unidade alguns conceitos de trigonometria Nossos objetivos são reconhecer a importância do estudo dessa matéria para o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos aprofundar os estudos relativos à trigonometria no triângulo retângulo e depois em um triângulo qualquer identificar diferenciar e calcular diversas funções circulares Iniciaremos nossos estudos com as relações trigonométricas no triângulo retângulo para em seguida abordar essas relações em um triângulo qualquer Na sequência abordaremos os elementos de uma circunferência que servirão de base para nossos estudos sobre as funções trigonométricas Encerraremos a unidade com a relação fundamental da trigonometria e outras relações decorrentes das estudadas anteriormente Para se aprofundar nos conhecimentos aqui apresentados faça a leitura do conteúdo e das situações problema apresentadas para compreensão e interpretação Resolva os exercícios propostos antes de ver a resolução Refaça os exercícios para verificar se realmente aprendeu as respostas dos exercícios servem como uma forma de conferir seu raciocínio se não estiver conseguindo resolver um exercício uma situação problema procure esclarecimento antes de desistir Organize um horário de estudos para criar o hábito de estudar todos os dias Para seu sucesso realize as tarefas com organização clareza e pontualidade E participe das discussões das ideias matemáticas nos fóruns Nesta unidade veremos funções trigonométricas Iniciaremos falando sobre trigonometria que possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência sendo considerada uma importante aliada no mundo moderno por exemplo na determinação de ângulos e distâncias inacessíveis Relações trigonométricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas em um triângulo qualquer Trigonometria Circunferência Relações trigonométricas 6 Unidade Trigonometria Contextualização Uma abelha pode se lembrar da rota de voo a partir da posição do Sol no céu do odor e da cor das flores É capaz também de retornar à mesma fonte de alimento no mesmo horário do dia seguinte O pesquisador Von Frisch foi quem descobriu a forma de comunicação das abelhas que quando encontram uma boa fonte de néctar e pólen retornam para informar às demais a posição e o odor das flores A abelha toma como referência a posição do Sol isto é o ângulo entre sua própria rota de voo e uma linha horizontal da colmeia na direção do Sol Sua forma de comunicação é denominada dançado requebrado Quando as flores estão a menos de 100 metros de distância da colmeia a dança é circular Se o alimento está a mais de 100 a abelha corre para frente por uma pequena distância retornando ao ponto inicial por um semicírculo e volta descrevendo um outro semicírculo na direção oposta dando uma ideia de oito veja Figura 7 Se a dança é feita a 30 à direita da vertical significa que o alimento está a 30 à direita do sol Ao dançar na colmeia outras abelhas podem aprender a posição e o odor das flores embora não aprendam sua cor e sua forma O número de vezes por segundo que a abelha perfaz o circuito dançando indica a distância da florada em relação à colmeia Crane 1983 apresenta a duração de cada circuito da dança pela distância Distância m 200 500 1000 2000 3500 4500 Duração do circuito s 21 25 33 38 56 63 Como podemos localizar uma florada a partir da dança da abelha Para calcular a distância da florada da colmeia procederemos utilizando coordenadas polares exemplo se a fonte de alimento estiver a 98387m da colmeia e formando um ângulo de 60 no sentido horário em relação à direção do sol nascente leste podemos encontrar a distância em que a florada está da colmeia em relação aos pontos cardeais 7 Localização da florada em relação à colmeia em coordenadas polares As abelhas não usam coordenadas retangulares para comunicar a posição da fonte de alimentos As coordenadas polares têm um papel importante no comportamento animal principalmente na orientação de aves e peixes Temos que a hipotenusa do triângulo retângulo distância da colmeia à florada é 98387m e o ângulo em relação ao eixo x que aponta para o sul é 30 Assim temos que sen θ y r sen 30 y 98387 49193m cos θ x r cos 30 x 98387 85205m Em coordenadas retangulares podemos dizer que a fonte de alimento está aproximadamente a 49193m para leste e 85205m para o sul em relação à colmeia Adaptado de SANCHES PSB et al Mathematikós volume único ensino médio São Paulo Saraiva 2010 Explore O Estudo Matemático do Comportamento das Abelhas Disponível em httpgoogloZuwZB 8 Unidade Trigonometria Introdução A Trigonometria trigono triângulo e metria medidas é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo Podemos observar a aplicação da trigonometria na determinação da altura de um prédio ou de uma montanha e no cálculo da largura de um rio para se construir uma ponte A trigonometria é o ramo da matemática que trata das relações entre os lados e os ângulos de triângulos Na trigonometria plana trabalhamos com figuras geométricas que pertencem a um único plano e na trigonometria esférica trabalhamos com triângulos que são uma seção da superfície esférica Seno Cosseno e Tangente Primeiro vamos descrever quais são os elementos de um triângulo retângulo Em relação ao ângulo β o lado AB é o cateto oposto a esse ângulo e o lado AC é o cateto adjacente Em relação ao ângulo o lado AC é o cateto oposto a esse ângulo e o lado AB é o cateto adjacente O lado oposto ao ângulo reto CB é a hipotenusa Glossário Triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto 9 Definição das Razões Trigonométricas Em todo triângulo retângulo temos A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a da hipotenusa é chamada seno do ângulo agudo sen cateto oposto a α hipotenusa AB BC sen b a sen β cateto oposto a β hipotenusa AC BC sen sen β c a A razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a da hipotenusa é chamada cosseno do ângulo agudo cos cateto adjacente a α hipotenusa AC BC cos c a cos β cateto adjacente a β hipotenusa AB BC cos β b a A razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a do cateto adjacente a esse ângulo é chamada tangente do ângulo agudo tg cateto oposto a α cateto adjacente a α AB AC tg b c tg β cateto oposto a β cateto adjacente a β AC AB tg cos β c b Acompanhe o exercício resolvido 1 Considere o triângulo retângulo seguinte Agora calcule a a medida do ângulo α b a medida do lado AB c os valores de sen 60 cos 60 e tg 60 d os valores de sen α cos α e tg α 10 Unidade Trigonometria Resolução a Para calcular a medida do ângulo α vamos usar a relação a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 Assim α 60 90 180 α 180 60 90 α 30 Para saber sobre o assunto acesse o link abaixo Brincando com Geometria Soma dos ângulos de um triângulo Disponível em httpgooglOqubCh b Neste caso aplicamos o teorema de Pitágoras AB2 AC2 BC2 AB2 432 42 AB2 16316 AB2 48 16 AB2 64 AB 64 AB 8 Para saber sobre o assunto acesse os links abaixo Teoremadepitagoras httpgooglbcozlM Exercícios sobre Teorema de Pitágoras httpgooglzCgOH9 c sen 60 cateto oposto a 60º hipotenusa 43 8 3 2 cos 60 cateto adjacente a 60º hipotenusa 4 8 1 2 tg 60 cateto oposto a 60º cateto adjacente a 60º 43 4 3 d sen 30 cateto oposto a 30º hipotenusa 4 8 1 2 cos 30 cateto adjacente a 30º hipotenusa 43 8 3 2 11 tg 30 cateto oposto a 30º cateto adjacente a 30º 4 43 4 43 3 3 43 43 43 12 3 3 Relações entre seno cosseno e tangente Partindo das relações trigonométricas anteriores podemos obter relações entre o seno o cosseno e a tangente sen α b a sen β c a cos α c a cos β b a tg α b c tg β c b De acordo com o teorema de Pitágoras temos que a2 b2 c2 Em seguida vamos dividir os dois membros da equação por a2 a2 a2 b2 a2 c2 a2 1 b a 2 c a 2 sen2 α cos2 α 1 Relação fundamental entre seno e cosseno de um angulo agudo Exemplo sen α 1 5 5 5 5 5 cos α 2 5 5 5 25 5 sen2 α cos2 a 5 5 2 25 5 2 5 25 4 5 25 5 25 20 25 25 25 1 12 Unidade Trigonometria Podemos estabelecer mais uma relação entre as razões seno cosseno e tangente dividindo sen α e cos α sen b c b a a c b c tg α α α α α cos Exemplo No triângulo retângulo seguinte calcular a hipotenusa BC CB2 AC2 AB2 CB2 32 42 CB2 9 16 CB2 25 CB 25 CB 5 b sen B sen B cateto oposto hipotenusa 3 5 c cos B cos B cateto adjacente hipotenusa 4 5 d tg B tg B cateto oposto cateto adjacente 3 4 e sen C sen C cateto oposto hipotenusa 4 5 f cos C cos C cateto adjacente hipotenusa 3 5 13 g tg C tg C cateto oposto cateto adjacente 4 3 Valores do seno do cosseno e da tangente de ângulos Cada ângulo agudo tem um valor de seno cosseno e tangente Alguns ângulos são muito importantes 30º 45º e 60º ângulos notáveis mas a trigonometria não se limita a esses três ângulos notáveis Na maioria das situações cotidianas os ângulos não medem 30º 45º ou 60º Ângulos de 30º e 60º Consideremos inicialmente um triângulo equilátero de lado a Glossário Triângulo Equilátero é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes Utilizamos o teorema de Pitágoras para determinar a altura h em função de a a2 h2 a 2 2 h2 a2 a 2 2 h2 a2 a 2 2 1 h2 a2 a 2 2 h2 a2 a2 22 h2 a2 a2 4 h2 3a2 4 h 3a2 4 h a3 2 Agora vamos calcular sen 30º cos 30º e tg 30º sen 30 cateto oposto hipotenusa BH AB a 2 a a 2 1 a 1 2 14 Unidade Trigonometria Organizando os resultados obtidos em um quadro temos Exercícios resolvidos Determine a medida da hipotenusa e do cateto maior do triângulo retângulo seguinte Resolução sen 30 cateto oposto hipotenusa 4 x na tabela sen 30 1 2 4 x 1 2 1 x 2 4 x 8 cm hipotenusa Multiplicar em cruz tg 30 cateto oposto cateto adjacente 4 y na tabela tg 30 3 3 4 y 3 3 3y 3 4 3 y 12 y 12 3 3 3 y 12 3 3 43 cm 2 Vamos determinar x nos triângulos retângulos seguintes a tg 60 cateto oposto cateto adjacente 6 3 x na tabela tg 60 3 6 3 x 3 3 x 63 x 6 3 3 x6 Para Pensar Calcule você os valores para sen 60 cos 60 e tg 60 Em seguida calcule os valores para sen 45 cos 45 e tg 45 15 b sen 45 cateto oposto hipotenusa 32 x na tabela sen 45 2 2 32 x 2 2 2 x 2 32 x 62 2 x6 Para ângulos diferentes de 30 45 e 60 usaremos a tabela no link a seguir Explore Para melhor visualização dessa tabela consulte httpgooglSuL5hN Exercício resolvido 1 Uma rampa de 20 m de comprimento faz com o solo um ângulo de 30 Uma pessoa que sobe essa rampa inteira fica a que altura do solo Resolução sen 30 cateto oposto hipotenusa sen 30 1 2 1 2 h 20 2h 120 2h 20 h 20 2 h 10 Solução 10 metros 16 Unidade Trigonometria Relações trigonométricas em um triângulo qualquer Seno e cosseno de ângulos obtusos Como vimos as situações até o momento envolveram apenas ângulos agudos contudo existem situações em que é necessário obter os valores do seno e do cosseno de um ângulo obtuso com medida β tal que 90 β 180 Veja a imagem a seguir ela representa um ângulo de 180 e sua divisão em um ângulo obtuso de medida β e outro agudo de medida 180 β Como 180 β corresponde ao ângulo suplementar de β podemos estabelecer as seguintes relações O valor do seno de um ângulo obtuso β é igual ao valor do seno do seu suplementar 180 β sen β sen 180 β O valor do cosseno de um ângulo obtuso β é igual ao oposto do valor do cosseno do seu suplementar 180 β cos β cos 180 β Assim usando essas relações vamos determinar o valor do seno e do cosseno dos ângulos de 150 e 132 150 sen 150 sen 180 150 sen 30 1 2 cos 150 cos 180 150 cos 30 3 2 132 sen 132 sen 180 132 sen 48 07431 cos 132 cos 180 132 cos 48 06691 ATENÇÃO Quando a medida do ângulo é 90 temos sen 90 1 cos 90 0 17 Lei dos cossenos A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles Sua fórmula é representada da seguinte maneira A partir disso com a Lei dos Cossenos podemos calcular em qualquer tipo de triângulo não necessariamente o triângulo retângulo com ângulo interno de 90 o comprimento de seus lados desde que conheçamos a medida dos outros lados bem como dos ângulos oposto a eles Além disso se souber o comprimento dos lados a aplicação da Lei dos Cossenos também permite calcular todos os ângulos de um triângulo Dessa forma quando se trata de um triângulo diferente do triângulo retângulo com ângulo interno de 90º sejam os acutângulos ângulos menor que 90º ou obtusângulos ângulos maiores que 90º utilizamos Lei do Cosseno Veja o exemplo Determine o valor de x no triângulo seguinte Aplicando a lei dos cossenos temos a2 b2 c2 2bccos α x2 62 102 2610cos 120 x2 36 100 120cos 120 x2 36 100 120 05 x2 36 100 60 x2 196 x 196 x 14 O valor de x é 14 cm cos 120 cos 180 120 cos 60 cos 120 1 2 18 Unidade Trigonometria Lei dos senos A Lei ou o Teorema dos Senos determina que em um triângulo a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo Em outras palavras esse teorema demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante Assim para um triângulo ABC de lados a b c a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula Importante ressaltar que nos triângulos que não sejam retângulos com ângulo interno de 90º sejam os acutângulos ângulos menor que 90º ou obtusângulos ângulos maiores que 90º utilizamos também a Leis dos Senos Acompanhe o exemplo Calcule o valor de x na figura seguinte Aplicando a lei dos senos temos x sen 45º 5 sen 60º x 07071 5 08660 08660x 507071 x 35355 08660 x 4082 ou 20 Unidade Trigonometria Quando P e Q são extremidades de um diâmetro cada um dos dois arcos formados é chamado de semicircunferência Quando os extremos coincidem eles determinam na circunferência o arco nulo ou arco de uma volta PQ Ângulo central Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência Na figura o ângulo AÔB é um ângulo central da circunferência de centro O ATENÇÃO A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente Na imagem anterior temos a medida de AÔB medida de AB α 21 Medidas de arcos e ângulos A medida de um ângulo central α pode ser expressa em grau ou radiano Quando dividimos uma circunferência em 360 partes iguais cada uma dessas partes é um arco de um grau 1 ou seja uma circunferência tem 360 Os submúltiplos do grau são minuto e segundo 1 60 60 minutos 1 60 60 segundos Por exemplo um arco mede 145 graus 16 minutos e 35 segundos é indicado por 1451635 Quando a medida do arco de uma circunferência for igual a medida do raio dessa circunferência temos 1 radiano 22 Unidade Trigonometria Então o comprimento do arco correspondente a um ângulo de 2 radianos é igual a 2 vezes o raio Em uma circunferência de raio r a medida α em radianos de um arco AB pode ser obtida dividindo o comprimento l do arco pela medida do raio dessa circunferência α C r 2π r 2π rad Portanto o arco de uma volta mede 2π rad Podemos estabelecer uma relação entre graus e radianos veja Exercícios resolvidos Determine em radianos a medida de AB em uma circunferência sabendo que o raio dela tem 12 cm e o comprimento do arco tem 54 cm Resolução α C r 54 12 45 rad Converta 30 em radianos 23 Resolução Grau Radiano 180 π 30 x Explore Regra de três simples Sugestão httpwwwsomatematicacombrfundamregra3sphp 180 30 π x 180 x 30π x 30π 180 x π 6 rad Portanto 30 π 6 rad Escreva 3π 4 rad em graus Resolução grau radiano 180 π x 3π4 Portanto 3π 4 rad135 Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60 contido numa circunferência de 1 cm de raio Resolução Primeiro convertemos 60 em radianos Grau Radiano 180 π 60 x 180 60 π x 180x 60π x 60π 180 x π 3 rad 24 Unidade Trigonometria Temos que α π 3 e r 1 e como α C r π 3 C 1 3C 1π C π 3 O comprimento do arco é π 3 cm aproximadamente 105 cm Ciclo trigonométrico e arco trigonométrico O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a 1 sobre a qual é fixada um ponto A como origem e um sentido antihorário como positivo O ciclo trigonométrico é dividido em quatro partes chamadas quadrantes O arco trigonométrico é o conjunto dos infinitos arcos obtidos partindose do ponto de origem A até a próxima extremidade P Os arcos podem ser obtidos na primeira passagem ou após várias voltas completas no ciclo trigonométrico no sentido positivo ou negativo 25 Arcos côngruos Dizemos que dois arcos são côngruos quando os pontos que representam suas extremidades coincidem Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º isto é a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero Por exemplo Verifique se os arcos de medidas 6 230º e 8 390º são côngruos 8 390º 6 230º 2160 agora dividimos 2 160 por 360 2 160 360 3 e resto igual a zero Portanto 6 230º e 8 390º são côngruos Atenção Verifique você se os arcos de medidas 2 010º e 900º são côngruos Se um arco é medido em graus a expressão geral dos arcos côngruos é dada por Se um arco é medido em radianos a expressão geral dos arcos côngruos é dada por Acompanhe o exemplo Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a a 300 b 13π 6 Exercícios resolvidos 1 Em qual quadrante se localiza a extremidade do arco que mede a 2 950 Resolução Como a medida absoluta do arco é maior que 360 dividimos esse valor por 360 e o resto dessa divisão permite que encontremos o quadrante procurado 2 950 360 8 e resto 70 ou seja esse arco dá 8 voltas completas mais 70 no sentido horário 2 950 Assim a extremidade do arco encontrase no 4 quadrante 26 Unidade Trigonometria b 13π 4 Resolução Uma dica é transformar 13π 4 em graus Vamos lá Graus Radianos 180 π x 13π 4 E agora proceder da mesma maneira que o exercício anterior 585 360 1 e resto 225 225 no sentido positivo antihorário está no terceiro quadrante 2 Calcule a 1ª determinação positiva do arco de 1 835 e o número de voltas completas que esse arco dá na circunferência trigonométrica Resolução 1 835 360 5 e resto 35 Esse arco tem 5 voltas completas em sentido antihorário e sua 1ª determinação positiva é 35 Funções trigonométricas A função seno Marcamos um ponto B no qual determinamos um arco AB cuja medida é um número real O seno desse arco é definido como o valor da ordenada do ponto B 27 f R R x fxsen x Variação do sinal da função seno O seno será positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes O domínio da função seno é o conjunto dos números reais D R A imagem da função seno é dada por O valor do seno se repete a cada volta sendo uma função periódica Seu período é 2π rad Valores notáveis Gráfico da função seno A medida que variamos o arco x de 0 até 2 π no sentido antihorário observamos que a sen 0 0 b No 1º quadrante a função é sempre positiva e crescente c Para x π 2 a função assume seu valor máximo 1 ou seja sen π 2 1 28 Unidade Trigonometria d No 2º quadrante a função é sempre positiva porém decrescente e sen π 0 f No 3º quadrante a função é sempre negativa e permanece decrescente g Para x 3π 2 a função assume seu valor mínimo 1 ou seja sen 3π 2 1 h No 4º quadrante a função é ainda negativa mas passa ser crescente i sen 2 π sen 0 0 j O gráfico é simétrico em relação à origem 00 k A curva representada no gráfico da função fx sen x é chamada senóide l A partir do início de uma segunda volta no ciclo trigonométrico os valores de sen x irão repetir os resultados obtidos na primeira volta o que faz da função fx sen x uma função periódica de período 2 π uma volta Exercícios resolvidos 1 Esboce o gráfico da função trigonométrica fx sen 2x Resolução Construir a tabela a partir de alguns valores conhecidos do intervalo de 0 2 π para 2x 2x x sen 2x 0 0 0 π 2 π 4 1 π π 2 0 3π 2 3π 4 1 2π π 0 29 Esboce o gráfico da função trigonométrica fx 2 sen x 2x x sen 2x 0 0 0 π 2 π 4 2 π 0 0 3π 2 1 2 2π π 0 A função cosseno A função cosseno é a abscissa da extremidade do ponto B no ciclo trigonométrico f R R x fxcos x Variação do sinal da função cosseno O cosseno será positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais D R A imagem da função cosseno é dada por O valor do cosseno se repete a cada volta sendo uma função periódica Seu período é 3π k rad 30 Unidade Trigonometria Valores notáveis Gráfico da função cosseno A medida que variamos o arco x de 0 até 2 π no sentido antihorário observamos que a Em x 0 a função assume seu valor máximo cos 0 1 b No 1º quadrante a função é sempre positiva e decrescente c cos π 2 0 d No 2º quadrante a função é sempre positiva porém decrescente e Em x π a função assume seu valor mínimo cos π 1 f No 3º quadrante a função é sempre negativa e porém crescente g cos 3π 2 0 h No 4º quadrante a função é ainda positiva e permanece crescente i cos 2 π cos 0 1 j O gráfico é simétrico em relação à origem 00 k A curva representada no gráfico da função fx sen x é chamada cossenóide l A partir do início de uma segunda volta no ciclo trigonométrico os valores de cos x irão repetir os resultados obtidos na primeira volta o que faz da função fx cos x uma função periódica de período 2 π uma volta Exercício resolvido Esboce o gráfico da função trigonométrica fx 3 cos 2x 2x x cos 2x 3 cos 2x 0 0 1 3 π 2 π 4 0 0 π π 2 1 3 3π 2 3π 4 0 0 2 π π 1 3 31 A função Tangente O eixo das tangentes é a reta t paralela ao eixo y traçada pelo ponto M Relacionando tg x sen x cos x f R R x fxtg x 32 Unidade Trigonometria O domínio da função tangente é A imagem é dada por O período da função tangente é π Variação do sinal da função tangente A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes Valores notáveis Gráfico da função tangente A medida que variamos o arco x de 0 até 2 π no sentido antihorário observamos que a tg 0 0 a função é sempre positiva e crescente b Para x π2 a função não é definida c No 2º quadrante a função é sempre negativa e crescente d tg π0 33 e No 3º quadrante a função é sempre positiva porém crescente f Para x 3π2 a função não é definida g No 4º quadrante a função é negativa e crescente h tg 2 π 0 i À medida que x tende aos valores para os quais a função tangente não é definida a tangente tende a assumir valores positivos infinitamente grandes ou valores negativos infinitamente pequenos As funções cotangente secante e cossecante Função cotangente Podemos relacionar cot x cateto adjacente cateto adjacente No ciclo trigonométrico o eixo das cotangentes é o eixo paralelo ao eixo das abscissas e perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto A 34 Unidade Trigonometria Variação do sinal da função cotangente A cotangente é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes Valores notáveis Podemos definir cotangente sendo o inverso da tangente 1 cotg x tg x ou cos x cotg x sen x sendo sem x 0 Gráfico da função cotangente 35 Função Secante é definida como a abscissa OA do ponto A A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa no 2º e 3º quadrantes Valores notáveis A função secante é o inverso do cosseno 1 sec cos x x e 2 x k π π com k Z 36 Unidade Trigonometria Gráfico da função secante Função Cossecante é definido como a ordenada OB do ponto B Variação do sinal da função cossecante A cossecante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º e 4º quadrante Valores notáveis 37 A função cossecante é o inverso da função seno 1 cossec x sen x em que x kπ com k Z Gráfico da função cossecante Relações trigonométricas Relação fundamental De acordo com o ciclo trigonométrico temos que 38 Unidade Trigonometria Aplicando o teorema de Pitágoras temos 12 sen x2 cos x2 A relação fundamental da trigonometria é sen2x cos2x 1 Outras relações trigonométricas tg x sen x cos x 1 cos x cotg x ou cotg x sen x tg x 1 sec x cos x 1 cossec x sen x 2 2 1 sec x tg x 2 2 2 2 1 1 cotg cossec x ou cossec x cotg Exercício resolvido Sendo 1 cos 3 α com 3 2 π π α determine sen cossec etg α α α Resolução sen α 2 2 1 cos sen α α 2 2 1 1 3 sen α 2 1 1 9 sen α 2 sen α 1 1 9 2 9 1 9 sen α 2 sen α 8 9 8 9 senα 2 2 3 senα 39 Como 3 2 π π α 2 2 3 senα cossec α 1 cossec sen α α 1 2 2 3 cossecα 3 1 2 2 cossecα 3 2 2 2 2 cossecα 3 2 cossecα 22 3 2 4 cossecα tg α 2 2 3 2 2 1 3 sen x tg x cos x 40 Unidade Trigonometria Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre trigonometria consulte as indicações a seguir httpsrepositorioufscbrbitstreamhandle12345678997049GersonLuis UbertiPDFsequence1 httpwwwsomatematicacombrsoexerciciosrazoesTrigphp httpptwikibooksorgwikiMatemC3A1ticaelementarTrigonometria TrigonometriadoTriC3A2nguloRetC3A2nguloExercC3ADcios httpwwwanossaescolacomcrwebquestidaspquestID1415 LASKY K O bibliotecário que mediu a terra Rio de Janeiro Salamandra 2001 GUELLI O Contando a História da Matemática dando corda na Trigonometria SP Ática 1997 41 Referências BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 IEZZI G Fundamentos de Matemática Elementar 8 ed v 3 Editora Atual 2004 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 42 Unidade Trigonometria Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Rua Galvão Bueno 868 Tel 55 11 33853000