Ebook Apostila Tipos de Matrizes Equações Lineares e Sistemas

EBook Apostila Tema 1 Tipos de Matrizes EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa EBook Apostila OBJETIVO Identificar os principais tipos de matrizes Palavraschave Equações lineares sistemas de equações matrizes equações matriciais álgebra matricial Introdução A matemática é uma ciência que está presente nas ações diárias da sociedade Quando você acorda e vai à padaria comprar seu pãozinho para tomar café da manhã quando você está traçando a rota da sua casa ao seu trabalho quando você verifica se a meta do dia em seu trabalho foi alcançada quando você chega em casa e vai preparar aquela janta deliciosa para encerrar o dia e descansar dentre tantas outras atividades cotidianas é possível observar a matemática coexistindo com as nossas ações do diaadia Figura 1 Cada uma dessas ações pode ser traduzida matematicamente em uma simples equação linear porém quando há necessidade de analisar todas elas em conjunto temos um sistema de equações e solucionálo é provavelmente o problema mais importante na matemática A grande maioria dos problemas de matemática encontrados em aplicações científicas e industriais envolve a resolução de um sistema de equações lineares Figura 1 A beleza da matemática e suas fórmulas EBook Apostila Fontehttpswwwshutterstockcomimagevectormathchalkboardvectorillustrationphysicssolving1398586361 Observe o seguinte problema e a sua resolução João iniciou uma dieta restritiva alimentar à base de proteínas Seu nutricionista recomendou que ele prepare apenas frango e carne em suas refeições principais Para isso João foi até ao açougue mais próximo de sua casa e verificou que o quilograma do frango custa R600 e o de filémignon R1500 Assim sendo João comprou x quilos de frango e y quilos de filémignon gastando R9900 Sabese que x e y são números inteiros Uma equação linear é representada matematicamente da seguinte forma a₁x₁ a₂x₂ a₃x₃ aₙxₙ b onde a₁ a₂ a₃ aₙ e b são números reais e x₁ x₂ x₃ xₙ são variáveis A partir da problemática citada acima vamos escrever uma equação linear relacionando as incógnitas x e y Se x é relacionado ao frango e o quilograma custa R600 o y é relacionado ao filémignon e custa R1500 e comprando uma quantidade específica dos dois João pagou R9900 temos 6x 15y 99 Será que é possível ao João ter comprado nessa situação 6Kg de filémignon Para verificar essa questão vamos substituir a incógnita referente ao filémignon por 6Kg Fazendo essa substituição observamos que só para o filémignon ficará um custo de R9000 uma vez que 6x15 90 Foi informado que a quantidade comprada por João corresponde à números inteiros portanto se ele comprar 1Kg de frango o total da compra será R9600 e se ele comprar 2Kg de frango o total será R10200 Dessa forma podemos concluir que o João não comprou 6Ks de filémignon Será que é possível ao João ter comprado nessa situação 5Kg de filémignon Seguindo o mesmo raciocínio anterior podemos verificar que ao comprar 5Kg de filémignon o João poderá comprar 4Kg de frango Então é possível que ele tenha comprado 5Kg de filémignon Se for somada à esta problemática outras situações poderemos encontrar novas equações lineares para ela Dessa forma chegaremos a um sistema de equações lineares que se trata de um conjunto de equações lineares de m equações e n incógnitas Por exemplo a1 1x1 a1 2x2 a1 nxn b1 a2 1x1 a2 2x2 a2 nxn b2 am 1x1 am 2x2 am nxn bm Para que um sistema linear possa ser facilmente resolvido é importante que a quantidade de equações seja a mesma de incógnitas por exemplo x1 2x2 5 2x1 3x2 8 Este sistema pode ser facilmente resolvido quando identificado um par ordenado que satisfaça todas as equações Neste caso o par 12 satisfaz ambas as equações Agora veja um sistema em que a quantidade de equações não é a mesma de incógnitas x1 x2 x3 2 2x1 x2 x3 4 Neste caso pode haver diversas soluções onde o terno ordenado 2 alpha alpha é capaz de satisfazer esse sistema Agora observe um sistema que não tem nenhuma solução viável x1 x2 2 x1 x2 1 x1 4 Pela terceira equação seguese que a ordenada x1 tem valor igual à 4 Porém utilizando este valor nas outras equações é possível perceber que este sistema não trará uma solução viável Quando um sistema linear não tem solução é dito que este é um sistema inconsistente Já nos dois casos anteriores em que há solução temos um sistema consistente À medida que o número de equações e incógnitas aumenta em um sistema linear a complexidade algébrica também se eleva Com isso uma forma de simplificar a escrita desse sistema é por meio de uma matriz que consiste na denotação de uma coleção retangular de números Temos um sistema 3x3 3 equações e 3 incógnitas observe x1 2x2 x3 3 3x1 x2 3x3 1 2x1 3x2 x3 4 Este sistema pode ser reescrito em formato matricial onde temos uma matriz com m colunas e n linhas Neste caso é uma matriz quadrada pois m é igual à n 1 2 1 3 1 3 2 3 1 E a matriz aumentada deste exemplo é 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 1 4 Existem três formatos especiais e principais de matrizes que serão apresentados aqui são matrizes diagonais triangulares e simétricas As matrizes diagonais são matrizes quadradas em que todas as entradas fora da diagonal principal são representadas pelo número zero Veja os exemplos 2 0 0 0 5 2 0 0 0 1 0 0 0 7 Antes de darmos continuidade vamos entender do que se trata a diagonal principal de uma matriz A diagonal principal de uma matriz consiste nas entradas em que i é igual a j Veja o exemplo abaixo em que é apresentada uma matriz genérica indicando a diagonal principal em vermelho e a diagonal secundária em azul A diagonal secundária por sua vez corresponde à i j n 1 Na Figura 1 é possível observar esta relação Veja que a matriz A da Figura 1 possui 3 linhas portanto n 1 é igual à 4 Assim sendo os elementos a13 a22 e a31 pertencem a diagonal secundária pois i j em todos estas entradas são iguais à 4 As matrizes triangulares são matrizes quadradas que podem apresentar características de matrizes triangulares superiores ou inferiores As matrizes triangulares superiores são aquelas que têm todas entradas acima da diagonal principal representadas pelo número zero e o inverso para as matrizes triangulares inferiores Veja os exemplos 2 0 0 1 1 0 3 7 7 2 8 5 0 1 6 0 0 7 Por fim as matrizes simétricas são matrizes quadradas que podem satisfazer a seguinte condição A AT onde A é a matriz quadrada e AT é a sua matriz transposta A matriz transposta consiste na inversão das colunas e linhas da matriz original O que era coluna na matriz original vira linha na matriz transposta Veja o exemplo 1 5 9 3 7 2 1 9 7 5 3 2 Consequentemente uma matriz simétrica pode ser conforme demonstrada abaixo A 5 1 2 1 6 3 2 3 8 At 5 1 2 1 6 3 2 3 8 SAIBA MAIS Para entender melhor sobre os tipos de matrizes assista a um vídeo publicado no canal do Youtube Me Salva que trata sobre os principais tipos de matrizes incluindo os que foram apresentados nesta nossa aula O vídeo está disponibilizado em httpswwwyoutubecomwatchvhNp3e7w8YaY DICA DE LEITURA Para expandir seu conhecimento acerca do assunto leia a seção 11 Introdução aos Sistemas de equações lineares do livro Álgebra Linear com Aplicações dos autores Howard Anton e Chris Rorres A partir desta leitura você poderá aprender a resolver um sistema de equação linear pelo método denominado operações elementares com linhas de uma matriz Na página 7 do livro os autores descrevem passoapasso como realizar este método e na sequência apresentam a resolução de um sistema linear de forma detalhada FINALIZANDO Transformar os problemas do diaadia em equações matemáticas e buscar soluções viáveis é um dos principais alicerces da matemática na sociedade Saber formular matematicamente um problema e obter a melhor solução são recursos essenciais para diversas áreas profissionais como economia engenharia negócios demografia eletrônica física entre outras Por isso é crucial o conhecimento sobre as equações lineares e os sistemas lineares permitindo que a transformação de dados qualitativos seja traduzida em formulações matemáticas Além disso instruirse sobre as diversas técnicas que existem para a resolução das problemáticas de forma cada vez mais moderada e viável é substancial para o encontro de resultados paulatinamente mais aperfeiçoados À vista disso conhecer matrizes e seus tipos é basilar para o alcance do sucesso no processo de solução de problemas REFERÊNCIAS EBook Apostila ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 KOLMAN B HILL DR Introdução à Álgebra Linear com aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC 2018 LAY DC LAY SR McDONALD JJ Álgebra Linear e suas aplicações 5 ed Rio de Janeiro LTC 2018 LEON SJ Álgebra Linear com Aplicações 9 ed Rio de Janeiro LTC 2018 LIPSCHUTZ S LIPSON ML Álgebra Linear 4 ed Porto Alegre Bookman 2011 DÚVIDAS FREQUENTES EBook Apostila 1 Qual a diferença entre equações lineares e sistemas de equações lineares As equações lineares são equações simples compostas por números e incógnitas por exemplo ax by cz d onde a b e c são números pertencentes aos Reais e x y e z são incógnitas ou seja são desconhecidas na equação Já os sistemas de equações lineares se referem à um conjunto de várias equações lineares por exemplo ax by cz d fx gy hz i onde a b c d f g h i j k e m são números pertencentes aos Reais jy kz m e x y e z são as incógnitas Neste caso esse sistema é composto por três equações lineares diferentes 2 O que é uma matriz quadrada Matriz quadrada é um tipo de matriz e ela possui o número de linhas igual ao número de colunas Por exemplo a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 onde a11 significa que aquele local é referente à linha 1 e coluna 1 de modo geral aij onde i se refere à linha e j se refere à coluna 3 O que é a diagonal principal de uma matriz A diagonal principal de uma matriz consiste nas entradas números que estão na matriz em que i é igual a j ou seja é a diagonal da matriz formada pelas entradas a11 a22 a33 ann Por exemplo a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 4 O que é uma matriz simétrica As matrizes simétricas consistem nas matrizes que são iguais às suas matrizes transpostas Por exemplo Matriz A 1 2 4 2 2 0 4 0 3 transposta da Matriz A é obtida transformando a linha em coluna e viceversa At 1 2 4 2 2 0 4 0 3 Como pode observar elas são iguais então A At sendo assim a matriz A é uma matriz simétrica