Exemplos Resolvidos de Mudança de Base em Espaços Vetoriais - Álgebra Linear

Exemplos Mudança de Base Exemplo 1 Considere as bases B 1 0 0 1 e C 1 1 0 1 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C Vamos escrever os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B Temos que 1 1 11 0 10 1 e 0 1 01 0 10 1 Assim a matriz de mudança da base B para a base C é dada por MCB 1 0 1 1 Exemplo 2 Considere as bases B 1 0 0 1 e C 1 1 0 1 para R² Vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base B Vamos escrever os elementos da base B como combinação linear dos elementos da base C isto é 1 0 α₁1 1 α₂0 1 α₁ 1 α₁ α₂ 0 α₁ 1 α₂ 1 e 0 1 β₁1 1 β₂0 1 β₁ 0 β₁ β₂ 1 β₁ 0 β₂ 1 Assim temos que a matriz de mudança da base C para a base B é MBC 1 0 1 1 Exemplo 3 Considere a matriz de mudança da base C para a base B de R³ MBC 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Se o elemento v R³ tem matriz de coordenadas com relação a base B dada por vB 0 3 1 Determine a matriz de coordenadas de v com relação a base C Temos que vC MBC vB vC 1 1 1 1 0 0 1 1 10 3 1 vC 2 0 4 que é a matriz de coordenadas de v com relação a base C Exemplo 4 Considere as bases ordenadas B 1 1 1 1 1 0 1 0 1 e C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 para R³ O elemento v 6 3 9 R³ tem a seguinte matriz de coordenadas com relação a base C vC 6 3 9 Determine as coordenadas de v com relação a base B Vamos primeiro determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevendo os elementos da base C como combinação linear dos elementos da base B 1 0 0 a₁₁1 1 1 a₂₁1 1 0 a₃₁1 0 1 0 1 0 a₁₂1 1 1 a₂₂1 1 0 a₃₂1 0 1 0 0 1 a₁₃1 1 1 a₂₃1 1 0 a₃₃1 0 1 Obtemos três sistemas lineares que resolvendo obtemos MCB a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ 13 13 13 13 23 13 13 13 23 que é a matriz de mudança da base B para a base C Assim temos vB MCBvC vB 13 13 13 13 23 13 13 13 236 3 9 vB 6 3 3 que é a matriz de coordenadas de v com relação a base B Exemplo 5 Considere o espaço vetorial R² A matriz de mudança da base B 1 1 1 1 para a base C 3 1 1 3 é dada por MCB 1 2 2 1 Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B 3 1 a₁₁1 1 a₂₁1 1 a₁₁ a₂₁ 3 a₁₁ a₂₁ 1 a₁₁ 1 a₂₁ 2 1 3 a₁₂1 1 a₂₂1 1 a₁₂ a₂₂ 1 a₁₂ a₂₂ 3 a₁₂ 2 a₂₂ 1 Assim obtemos dois sistemas lineares cujas soluções são as coordenadas dos elementos de C com relação a base B escrevendo essas coordenadas como colunas de uma matriz temos MCB 1 2 2 1 que é a matriz de mudança da base B para a base C Exemplo 6 Considere as bases B u₁ u₂ u₃ e C w₁ w₂ w₃ relacionadas da seguinte forma w₁ u₁ u₃ w₂ u₁ u₂ w₃ u₂ u₃ Determine a matriz de mudança da base B para a base C A relação entre as bases nos dá as coordenadas de cada elemento da base C escritos como combinação linear dos elementos da base B Dessa forma basta tomar as coordenadas de cada elemento wi como a iésima coluna da matriz obtendo MCB 1 1 0 0 1 1 1 0 1 A inversa dessa matriz é a matriz de mudança da base C para a base B Exemplo 7 Considere as bases B 1 1 1 1 e C u₁ u₂ A matriz de mudança da base B para a base C é dada por MCB 1 2 3 2 Determine a base C Como MCB é a matriz de mudança da base B para a base C suas colunas são as coordenadas dos elementos de C como combinação linear dos elementos da base B ou seja a iésima coluna de MCB são as coordenadas do elemento ui da base C com relação a base B u₁ 11 1 31 1 2 4 u₂ 21 1 21 1 4 0 Assim temos que C 2 4 4 0 Exemplo 8 Considere as bases B 1 1 2 0 e C u₁ u₂ A matriz de mudança da base C para a base B é dada por MBC 1 1 1 2 Determine a base C Neste caso conhecemos a matriz de mudança da base C para a base B cuja iésima coluna são as coordenadas do elemento ui da base B com relação a base C ou seja escrevendo cada elemento da base B como combinação linear dos elementos da base C obtemos 1 1 1u₁ 1u₂ 20 1u1 2u2 Chamando u1 a1b1 e u2 a2b2 obtemos os seguintes sistemas lineares 11 a1b1 a2b2 a1a21 b1b21 20 a1b1 2a2b2 a1 2a22 b1 2b20 Obtemos dois sistemas lineares com duas equações e duas variáveis cada um deles nas variáveis a1 e a2 e o outro nas variáveis b1 e b2 que resolvendo temos a1 a21 a1 2a22 a1 a21 a23 a1 4 a2 3 b1 b21 b1 2b20 b1 b21 b21 b1 2 b2 1 Assim temos C 42 31 Exemplo 9 Determine a matriz de mudança da base B 2x para a base C 11x de P1R Para determinar a matriz de mudança da base B para a base C escrevemos cada elemento da base C como combinação linear dos elementos da base B 1 a11 2 a21 x 2a111 a210 a1112 a210 1 x a12 2 a22 x 2a121 a221 a12 12 a22 1 Logo a matriz de mudança da base B para a base C é dada por MBC 12 12 0 1 Exemplo 10 A matriz de mudança da base C para uma base B do R2 é dada por MCB 1 0 2 3 Se um elemento v R2 tem matriz de coordenadas com relação a base C dada por vC 2 3 determine as coordenadas de v com relação a base B Temos a relação vC MCB vB 2 3 1 0 2 3 α1 α2 α1 2 2α1 3α2 3 α1 2 α2 13 Assim temos a matriz de coordenadas do vetor v com relação a base B vB 2 13