Espaço Vetorial - Definição, Axiomas e Identificação

Tema 5 Espaço Vetorial Dado EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa OBJETIVO Identificar o espaço de um vetorial dado Palavraschave Espaço Vetorial adição multiplicação escalar axiomas Introdução Vamos iniciar o capítulo revendo a importância do estudo dos vetores De acordo com Anton e Horres 2012 os engenheiros e físicos fazem distinção de dois tipos de quantidades físicas as escalares que podem ser descritas apenas com um valor numérico e os vetores que requerem não só um valor numérico mas também uma direção e o sentido para sua descrição física completa Por exemplo quando se fala uma temperatura de 40ºC um comprimento de 20m é possível uma compreensão dessas grandezas mas ao mencionar que um navio segue numa direção de 45º no sentido nordeste essas informações se tornam insuficientes para descrever essa grandeza No estudo das Ciências da Engenharia e da Matemática surge a noção de Espaço Vetorial Este conceito consiste simplesmente em uma generalização do Rn construída de maneira cuidadosa Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial podemos estudar não somente o Rn mas vários outros espaços vetoriais importantes Kolman e Hill 2013 p 250 Nesta Unidade além de definir a noção de espaço vetorial aprenderemos a identificar um espaço vetorial dado Definindo Espaço Vetorial Para darmos início ao nosso estudo apresentaremos a definição de Anton e Horres 2012 sobre Espaço Vetorial seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos no qual estejam definidas duas operações a adição e a multiplicação por escalares Por adição entendemos uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um objeto u v denominado soma de u com v A figura 1 apresenta a representação geométrica da adição em V Figura 1 Representação Geométrica da Adição em V Fonte Adaptada de Caliolli et al 1990 Em referência a multiplicação por escalar entendemos uma regra que associa a cada escalar a e a cada objeto u em v um objeto au denominado múltiplo escalar de u por a A figura 2 demonstra a representação geométrica da multiplicação de um escalar em v Figura 2 Representação Geométrica da Multiplicação por um escalar EBook Apostila Fonte Adaptada de Caliolli et al1990 Apresentadas as definições acima precisamos compreender que existe um espaço vetorial V e que nesse espaço existem objetos u v e w Há também escalares a e b que satisfeitos por todos os objetos em V e quaisquer desses escalares diremos que V é um espaço vetorial e os objetos de V são vetores Dados então os elementos mencionados acima Been e Kozakevich 2011 apresentam os axiomas verdades evidentes por si mesmas e comuns a todos os campos de estudos e sua demonstração não é necessária que devem ser satisfeitos para identificar um espaço vetorial Se u e v são objetos em V então u v é um objeto em V u v v u u v w u v w Existe um 0 em V denominado vetor nulo de V ou vetor zero tal que 0 u u 0 0 com qualquer u em V Dado qualquer u em V existe algum objeto u denominado negativo de u tal que u u u u 0 Se a for qualquer escalar e u um objeto em V então au é um objeto em V au v au av a bu au bu abu abu 1u u EBook Apostila Sabemos então até o momento que os elementos de V são chamados de vetores os números reais são chamados de escalares A operação da adição é chamada soma de vetores e a operação da multiplicação são chamadas de multiplicação por escalar O vetor 0 do axioma 4 é chamado vetor nulo Já o vetor u do axioma 5 é chamado de negativo de u Ainda de acordo com Anton e Rorres 2012 p172 a definição de um espaço vetorial não especifica nem a natureza dos vetores nem das operações Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor e as operações de adição e multiplicação por um escalar podem não ter relação alguma com as operações usuais em Rn A única exigência é que os dez axiomas do espaço vetorial sejam satisfeitos Para determinar se um conjunto com duas operações é um espaço vetorial seguiremos o passo a passo determinado por Anton e Rorres 2012 p172 que apresentamos a seguir Passo 1 Identifique o conjunto V de objetos que serão os vetores Passo 2 Identifique as operações de adição e multiplicação por um escalar Passo 3 Verifique a validade dos axiomas 1 e 6 ou seja que a soma de dois vetores em V produz um vetor em V e que a multiplicação de um vetor em V por um escalar também produz um vetor em V O axioma 1 é denominado fechamento na adição e o axioma 6 fechamento no produto escalar Passo 4 Confirme que vale os axiomas 2 3 4 5 7 8 9 e 10 Da geometria analítica se sabe que um par ordenado x1 x2 de números reais representa um ponto ou um vetor do plano R2 assim como uma terna x1 x2 x3 representa um ponto ou um vetor no R3 Em geral uma quádrupla x1 x2 x3 x4 é um ponto ou um vetor de R4 e uma ênupla x1 x2 xn é um ponto ou vetor de Rn Vamos Testar Caro estudante conhecido os procedimentos necessários para identificar um espaço vetorial dado veremos agora a aplicabilidade em alguns exemplos apresentados por Anton e Rorres 2012 e Kolman e Hill 2013 1 Espaço vetorial nulo Seja V um conjunto que consiste em um único objeto que denotamos 0 e definese 000 e a00 Quaisquer que sejam os valores de a é fácil verificar que todos os axiomas necessários estão satisfeitos Dizemos então que o espaço vetorial é nulo 2 é um espaço vetorial Seja V Rn e defina as operações do espaço vetorial em V como as operações conhecidas de adição e multiplicação por um escalar por ênuplas sequencia finita de n números naturais da seguinte maneira u v u1 u2 un v1 v2 vn u1 v1 u2 v2 un vn Dessa forma V Rn é fechado na adição e na multiplicação por um escalar pois como demonstrado acima as operações apresentam ênuplas e essas operações satisfazem os demais axiomas EBook Apostila 3 Espaço Vetorial nas Matrizes 2 x 2 E dado V os conjuntos das matrizes 2 x 2 e tomemos por base as operações de adição e multiplicação por escalar u v u11 u12 v11 v12 u11 v11 u12 v12 u21 u22 v21 v22 u21 v21 u22 v22 au a u11 u12 au11 au12 u21 u22 au21 au22 Os axiomas 3 7 8 e 9 podem ser satisfeitos pelo Teorema das Propriedades de aritmética matricial Esse Teorema apresenta 12 regras de aritmética que apresentamos abaixo A B B A AB C A B C ABC ABC AB C AB AC A BC AC BC AB C AB AC B CA A BC aB C aB aC a bC aC bC a bC aC bC abC abC aBC aBC baC De acordo com Anton e Rorres 2012 para provar qualquer uma das igualdades devemos mostrar que a matriz do lado esquerdo tem o mesmo tamanho da matriz do lado direito e que as entradas correspondentes dos dois lados são iguais Iremos agora fazer apenas a demonstração do número iii com um exemplo e as demais seguem a mesma proposta Como exemplo da lei associatividade da multiplicação matricial considere A 1 2 3 4 0 1 B 4 3 2 1 C 1 0 2 3 Então AB 1 2 3 4 0 14 3 2 1 8 5 20 13 2 1 e BC 4 3 2 11 0 2 3 10 9 4 3 Assim ABC 8 5 20 13 2 11 0 2 3 18 15 46 39 4 3 e ABC 1 2 3 4 0 110 9 4 3 18 15 46 39 4 3 De forma que ABC ABC conforme garante o Teorema Agora vamos voltar a situação inicial onde falta agora os axiomas 4 5 e 10 Para confirmar o axioma 4 devemos encontrar uma matriz 0 de tamanho 2 x 2 com o qual u 0 0 u u Assim temos 0 u 0 0 0 0 u11 u12 u21 u22 u11 u12 u21 u22 u e de forma análoga é possível determinar u 0 u Pelo axioma 5 devemos mostrar que cada objeto u em V tem um negativo u e satisfaça a condição tal que u u 0 e u u 0 e sabemos que temos um negativo de u Para verificar que o Axioma 5 vale devemos mostrar que cada objeto u em V tem um negativo u em V tal que u u 0 e u u 0 Isso pode ser feito definindo o negativo de u como u u11 u12 u21 u22 Aplicando a definição u u u11 u12 u21 u22 u11 u12 u21 u22 0 0 0 0 0 De forma semelhante fazemos u u 0 e por fim o axioma 10 1 u 1 u11 u12 u21 u22 u11 u12 u21 u22 u 4 Exemplo de conjunto que não é espaço vetorial Seja V R2 e defina as operações de adição e multiplicação por escalar como segue se u u1 u2 e v v1 v2 defina u v u1 v1 u2 v2 e se a for um número real qualquer defina au au1 0 Para verificar se V é um espaço vetorial ou não vamos utilizar o seguinte exemplo u 2 4 v 3 5 e a 7 u v 2 3 4 5 1 9 au 7u2 4 72 70 14 0 Observase que a adição é operação padrão em R2 mas a multiplicação por um escalar não é No entanto existem certos vetores com os quais o Axioma 10 falha Porexemplo u u1 u2 for tal que u2 0 1u 1u1 u2 1u1 0 u1 0 0 Observase que qualquer valor que possa ocupar u2 não atenderá ao axioma e dessa forma concluise que V não é um espaço vetorial Ainda de acordo com Lima 2014 os elementos do espaço vetorial R são as sequências infinitas u α1 α2 αn v β1 β2 βn de números reais O elemento zero de R e a sequência 0 0 0 formada por infinitos zeros e o inverso aditivo da sequencia u α1 α2 αn é u α1 α2 αn As operações de adição e multiplicação são definidas por u v α1 β1 α2 β2 au au1 au2 a αn Por fim Kolmam e Hill 2013 apontam que podemos falar sobre as propriedades de todos os espaços vetoriais sem nos referir a qualquer um espaço vetorial em particular Assim um vetor é agora simplesmente um elemento de um espaço vetorial e não precisa estar associado a um segmento orientado de reta O teorema a seguir apresenta várias propriedades comuns úteis para todos os espaços vetoriais TEOREMA 1 Seja V um espaço vetorial u um vetor em V e a um escalar Então 0u 0 a0 0 1u u Se au 0 então a 0 ou u 0 Demonstrando 1 temos 0u 0u 0 0u 0u Ou 0u 0u 0u 0u 0u 0u 0 0 0u 0 De forma semelhante podemos provar 2 Demonstrando 3 temos que para mostrar que 1 u u devemos mostrar que u 1 u 0 Para isso observe abaixo 1u u 1u 1u 1 1u 0u 0 Como u é único concluimos que 1u u E por fim demonstramos 4 Suponha au 0 e a 0 u 1u1a au 1a au 1a 0 0 SAIBA MAIS Para saber mais assista 1 Definição de Espaço Vetorial httpswwwyoutubecomwatchvDqmuWBKiE que apresenta a definição de espaço vetorial e suas propriedades 2 Álgebra Linear Aula 05 Vetores e Espaço Vetorial httpswwwyoutubecomwatchvFAJ5DFY6d0kt308s que trata da definição de vetores e de espaço vetorial DICA DE LEITURA Este trabalho busca analisar as compreensões de licenciados em Matemática sobre as noções de Espaço Vetorial httpsrepositorioufpebrhandle12345678943686 O autor apresenta ideias presente nas discussões de alguns componentes curriculares do curso de licenciatura em matemática ao qual se torna fundamental seu entendimento não só para o progresso em componentes como o de Álgebra Linear AL mas também para ideias futuras em outros domínios da matemática e até em outras áreas do conhecimento Neste trabalho o autor pontua as pesquisas realizadas em diversos trabalhos que discutiam o ensino e a aprendizagem de álgebra linear e identifica que as dúvidas são as mesmas em diversos lugares do mundo httpstedepucspbrhandlehandle11458 Outro ponto interessante apresentado pelo autor é que no estudo da álgebra linear os alunos relatam que se deparam com uma estrutura algébrica axiomática que gera muita dificuldade de compreensão e por fim apresenta o resultado de sua pesquisa em um curso de extensão com um grupo de alunos Para que você possa compreender mais sobre os espaços vetoriais e que os mesmos fazem parte do ramo da Matemática conhecido como Álgebra Linear faça a leitura do texto Os Espaços Vetoriais e sua abrangência na Matemática httpseventositpifspedubrindexphpVIICVIICpaperview1080 Além disso os autores mencionam que a álgebra linear além de estarem presentes nessa área da Matemática as matrizes os sistemas e transformações lineares entre outros também estão presentes em uma série de ferramentas que possuem diversas aplicações nas mais variadas áreas de conhecimento como Física Engenharia e Computação FINALIZANDO Olá Estudante Chegamos ao final desta unidade onde tínhamos como objetivo identificar um espaço vetorial No decorrer do capítulo vimos que ao nos depararmos com um conjunto V e esse conjunto não estando vazio podemos identificar objetos que podemos chamar de u e v Para que esse conjunto seja considerado espaço vetorial devemos satisfazer condições que são chamados de axiomas para afirmar ou não se este conjunto será ou não um espaço vetorial Vimos também que para o conjunto V ser um espaço vetorial é necessário satisfazer a adição e seus axiomas e que tal aplicação é conhecida como fechamento na adição bem como a multiplicação por escalar e seus axiomas sendo conhecida como fechamento na multiplicação Outro ponto é a possibilidade de exemplos que podem ser enumeradas de conjuntos que atendidas tais condições configuram como espaços vetoriais como o vetor nulo o Rn as matrizes entre outros Por fim chegamos ao final deste capítulo sabendo identificar o espaço vetorial dado e com as aptidões de determinar se determinado conjunto V é um espaço vetorial cumprindo as exigências de duas operações bem como identificar quando e onde um desses axiomas falhou REFERÊNCIAS ANTON Howard RORRES Chris Álgebra Linear com Aplicações 10ª Edição Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI José Luiz Álgebra Linear 3 Edição São Paulo Harbra 1986 DOMINGOS Hygino H Álgebra Linear e Aplicações 6ª Edição São Paulo Atual 1990 EBook Apostila KOLMAM Bernard HILL David R Introdução a Álgebra Linear com Aplicações tradução Alessandra Bosquilha revisão técnica Rafael José Lorio Júnior Reimpressão Rio de Janeiro LTC 2013 LIMA Elon Lages Álgebra Linear 7ª Edição Rio de Janeiro IMPA 2004 DÚVIDAS FREQUENTES 1 O que é Espaço Vetorial Dizemos que um conjunto V 0 é um espaço vetorial se e somente se existe uma adição que atende a algumas propriedades e a uma multiplicação que atende a algumas propriedades 2 O que são axiomas São verdades evidentes por si mesmas e comuns a todos os campos de estudos e sua demonstração não é necessária 3 Quais são as propriedades importantes para a definição de espaço vetorial Fechamento da adição que corresponde ao axioma 1 e o Fechamento da Multiplicação que corresponde ao axioma 6 4 Se V é um conjunto e os objetos u e v que pertencem a este conjunto é possível afirmar que V é um espaço vetorial Por quê Não É preciso atender os axiomas para verificar se será um espaço vetorial