Matriz de Mudanca de Base em Rn - EBook Apostila

EBook Apostila Tema 09 Matriz de mudança de Base em ℝn EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa EBook Apostila OBJETIVO Definir bases de um subespaço Palavraschave Vetor identidade transformação linear inversa Mudança de Base EM ℝn Um espaço vetorial pode estar contido em outro espaço vetorial onde por definição um subconjunto W de um espaço vetorial Z é denominado subespaço de V se Z for um espaço vetorial por si só com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em Z Neste espaço vetorial Z temos uma base S de dimensão finita e vS um vetor de coordenadas de v em relação a S ou seja podemos dizer que é a aplicação de coordenadas de v em ℝn S v1 v2 vn v S c1 c2 cn v v S Há várias aplicações em que é necessário trabalhar com mais de um sistema de coordenadas uma vez que uma base pode ser conveniente para um problema e não ser para outro A mudança de base é uma relação da mudança de eixos coordenados em ℝ2 e ℝ3 Por isso é imprescindível sabermos relacionar as coordenadas de um vetor em relação a cada sistema utilizado no problema Dentro deste contexto há a transformação linear denominada Transformação identidade Id onde TVV tal que TVV ou seja o resultado da transformação linear é o próprio elemento que entrou Por exemplo Id12 12 Idx24x x24x É possível ver que o domínio é igual ao contradomínio Matriz de transformação linear Seja TUV Esta transformação linear é representada por Tuβ Tαβ uα 2 11 EBook Apostila A transformação representada por Tαβ simboliza a matriz que levará os elementos do domínio escrito na base α para os elementos do contradomínio escritos na base β Se utilizarmos a transformação linear identidade temos Iduβ Idαβ uα Temos a matriz de transformação linear multiplicando um elemento do domínio escrito na base α resultando na transformação do elemento para a representação na base β Se Iduβ é uma transformação identidade então por definição a transformação u é o próprio u Iduβ Idαβ uα uβ Idαβ uα O que diferencia o elemento u são as bases com as quais estão representados neste caso com a base β e o outro com a base α E a matriz identidade Idαβ é denominada de matriz de mudança de base é utilizada para a conversão do vetor para diferentes bases resultando em diferentes perspectivas na representação do mesmo vetor Ocorre com o vetor o mesmo que está demostrado na figura Diferentes percepções dependendo da base o vetor é representado de uma maneira diferente como ocorre com o desenho na percepção do boneco da esquerda ele vê número 6 e o boneco da direita o número 9 Figura 1 Diferentes percepções 3 11 Ou seja para encontrar o vetor u na base β multiplica a matriz de mudança de base de α para β pelo vetor u escrito na base α Sendo assim temos o seguinte teorema Seja u um espaço vetorial e α e β duas bases de mesmo espaço vetorial u Seja Iduu a transformação identidade Temos que Idᵦᵝ é a matriz de mudança de base de α para β ou Idαᵝ é a matriz de mudança de base de β para α uβ Idαᵦ uα uα Idβα uβ Encontrar matriz de mudança de base Para encontrarmos a matriz de mudança de base vamos utilizar o exemplo a seguir Exemplo 1 Seja Id ℝ² ℝ² e as bases α0110 e β3120 Encontre a matriz de mudança de base de α para β O primeiro passo para resolver este problema é escrever os elementos da base α para a base β Para isso vamos encontrar as coordenadas de todos os elementos da base α de acordo com os elementos da base β Começando pelo primeiro elemento da base α 01 temos 01β ab 01 a31 b20 01 3aa 2b0 01 3a 2b a 3a 2b 0 31 2b 0 2b 3 b 32 a 1 Portanto 01β 1 32 ou seja o vetor 01 representado na base α é representado pelo vetor 1 32 na base β Vamos encontrar as coordenadas do segundo elemento da base α o vetor 10 de acordo com os elementos da base β temos 10β ab 10 a31 b20 10 3a 2b a 3a 2b 1 30 2b 1 2b 12 a 0 Portanto 10β 0 12 ou seja o vetor 10 representado na base α é representado pelo vetor 0 12 na base β Agora vamos escrever a matriz de mudança da base α para a base β Idαᵦ 0 1β 1 0β Idβα Exemplo 2 Seja Id ℝ² ℝ² e as bases α0110 e β3120 Encontre a matriz de mudança de base de β para α Podemos calcular a matriz de mudança de base da mesma forma que calculamos no exemplo 1 porém como temos a matriz de mudança de base Idαᵦ de uma espaço vetorial ℝ² então Idβα é invertível e a matriz de mudança de base de β para α poderá ser encontrada através do cálculo da matriz inversa de Idαᵦ xmlnshttpwwww3org1998MathMathML I d α β I d β α ¹ Há vários métodos de calcular a matriz inversa vamos utilizar o método de escalonamento Primeiramente vamos montar a matriz Idαᵦ com a matriz identidade 2x2 Idαᵦ¹ Idᵦα I Agora vamos escalonar até que a matriz da esquerda se torne a matriz identidade e a matriz do lado direito se torne a matriz inversa 1º escalonamento Linha 02 32 tem que ser igual a 0 L2 L2 32L1 2º escalonamento 1 e 12 tem que ser igual a 1 L1 L1 L2 2L2 Portanto Idᵦₐ Relação da Matriz de Mudança de Base e Vetores Vamos analisar a percepção de determinado vetor através da mudança de bases para isto vamos calcular o próximo exemplo Exemplo 3 Seja a base α1312 e a base β3512 e o vetor Vα32 encontre Vβ Temos as seguintes relações para relacionar percepções de um vetor com a matriz de mudança de base Vβ Mᵦₐ Vα Mᵦₐ β ¹ α α 1 1 3 2 β 3 1 5 2 Vα 3 2 Primeiro vamos calcular a matriz inversa de β No exemplo 2 utilizamos o método de escalonamento neste exemplo vamos utilizar algumas regras para encontrar a matriz inversa Encontrar o detβ Figura 2 Cálculo do determinando do vetor Fonte Shutterstock ID 1742359640 β 3 1 5 2 detβ 3 2 1 5 detβ 1 Inverter a diagonal principal 3 1 5 2 2 1 5 3 Trocar o sinal da diagonal secundária 2 1 5 3 2 1 5 3 Multiplicar por 1detβ 2 1 5 3 11 β1 2 1 5 3 Vamos calcular Mαβ Mαβ β1 α Mαβ 2 1 5 31 1 3 2 Mαβ 21 31 21 21 51 33 51 3 2 Mαβ 1 4 4 11 Vamos calcular Vβ Vβ MαβVα Vβ 1 4 4 113 2 Vβ 3 8 12 22 Exemplo 04 Considere a matriz de mudança da base M de α para β de um espaço vetorial ℝ3 e um elemento v ℝ3 possui matriz de coordenada com relação a base α Determine a matriz de coordenada de v com relação à base β Mαβ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 vα 0 3 1 Vβ MαβVα n nVβ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 3 1 Vβ 2 0 4 A matriz de coordenada de v com relação a base β é Vβ 2 0 4 Relação da Matriz de Mudança de Base Vetores e Polinômios Vamos analisar a matriz de mudança de base quando relacionada a vetores e polinômios Para isso temse uma base β 1x x2 1x no espaço P2 isto significa que os três elementos que formam esta base podem gerar todos os polinômios no espaço P2 polinômios de grau 2 desde que submetidos a uma combinação linear Sabendo disto vamos calcular o exemplo a seguir Exemplo 4 Seja uma base β 1x x2 1x e α no espaço P2 tal que Iαβ 1 1 0 0 1 1 2 1 2 Determine o polinômio px tal que pxα 3 4 0 Temos as seguintes relações para relacionar polinômios com a matriz de mudança de base Iαβ pxα pxβ Primeiro vamos calcular o polinômio representado na base β pxβ 1 1 0 0 1 1 2 1 23 4 0 pxβ 3 4 0 0 4 0 6 4 0 pxβ 1 4 10 Vamos calcular o px px 11x 4x2 101x px 4x2 9x 11 E assim é possível encontrar o polinômio através da matriz de mudança de base SAIBA MAIS É importante que você saiba os principais conceitos e cálculos de matrizes Por isso vale relembrálos Assista o vídeo a seguir que mostra alguns cálculos de matriz inversa Acessar em httpswwwyoutubecomwatchvebzZho7tITo DICA DE LEITURA Para que você possa relembrar alguns conceitos e aprofundar mais sobre o assunto é importante que você leia os subcapítulos 42 Subespaços 43 Independência linear Da referência a seguir ANTON H RORRES C Álgebra Linear com aplicações 10a ed Porto Alegre Bookman 2012 FINALIZANDO A representação de vetores pode ser feita em diferentes bases resultando em valores diferentes Isto ocorre pois a percepção dos vetores em bases distintas ocorre alterações Sendo assim para que se possa calcular as diferentes percepções dos vetores e caracterizar polinômios em bases é importante obter a matriz de mudança de base que possibilite a alteração das bases Para isso é imprescindível saber as definições e principais cálculos de matrizes REFERÊNCIAS ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10ª ED Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L Álgebra linear 3ª ed São Paulo Harbra 1986 BRITO F R M ALMEIDA W R Geometria Analítica e Álgebra Linear para engenharias Rio de Janeiro Editora Ciência Moderna 2020 CALLIOLI C A COSTA R C F DOMINGUES H H Álgebra linear e aplicações 6ª ed São Paulo atual 1990 DÚVIDAS FREQUENTES 1 Há uma transformação linear denominada Transformação Identidade Quais são as principais características que defini esta transformação Na transformação identidade ocorre uma transformação linear onde o resultado é o próprio elemento que entrou para a transformação O domínio e o contradomínio são iguais TVV 2 Explique a representação da matriz Esta matriz simboliza que levará os elementos do domínio da base indica em cima neste caso α para os elementos do contradomínio escritos na base inferior neste caso β 3 Na expressão uβIdαβuα o que diferencia o elemento u que são iguais em ambos os membros O que diferencia os dois elementos presentes na expressão são as bases Um está representado pela base α e o outro pela base β ou seja em cada um o vetor terá uma representação 4 Temse É possível calcular a matriz Ou serão iguais As matrizes serão diferentes Para calcular a matriz é possível calculando a matriz inversa de