Transformacoes Matriciais - Conceitos e Aplicacoes em Computacao Grafica e Engenharia

EBook Apostila Tema 13 Transformações Matriciais EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa EBook Apostila OBJETIVO Definir transformação matricial Palavraschave Matriz espaço dimensão função transformação Funções e transformações Prezado estudante receba as boasvindas a esta aula na qual você poderá dar início a uma série de reflexões a respeito dos processos de transformação linear que são comuns às operações com matrizes e funções na verdade buscase complementar o seu conhecimento a respeito das características das matrizes operandoas a partir de procedimentos de cálculo que permitem desenvolver relações algébricas e geométricas entre vetores de diferentes dimensões Ou seja a partir do momento em que se concebe a existência de vetores é possível descrevêlos matricialmente e relacionálos com outros vetores dentro de um mesmo espaço desenvolvendo coordenadas e posições que geram funções e transformações Vale dizer que o estudo destes processos de transformação matricial é particularmente relevante para o segmento de Computação Gráfica e para os sistemas de engenharia que envolvem o estudo de ondas acústicas e de filtragem de ruídos eletromagnéticos ANTON BUSBY 2006 p265 Como um ponto de partida desta discussão é importante resgatar alguns conceitos básicos a respeito das funções Certamente você terá aprendido anteriormente que se ocorre uma variável Y qualquer que dependa de uma variável X de modo que um valor x determina exatamente um valor y então sabese que Y é uma função de X por exemplo se um número x é real então ocorre apenas um número real y que satisfaz a equação y x² Uma função portanto corresponde a um operador de relações Isto é um sistema no qual ocorre uma entrada de um valor x e uma saída de um valor y este operador poderá ser definido como f que gera valores reais vetores matrizes etc IEZZI et al 2019 p21 Uma função que opera vetores é comumente definida como uma transformação com notação em letras maiúsculas como F ou T por exemplo Neste caso uma transformação pode operar um vetor x em um vetor w de modo que temos a equação w Tx ou ainda xT w EBook Apostila Por exemplo considere a existência de uma transformação T que opera o vetor x x1 x2 no vetor 3x 3x1 3x2 em um espaço R² Neste caso é possível expressar esta transformação como Tx 3x ou como xT 3x ou ainda como Tx1 x2 3x1 3x2 ou x₁ x₂T 3x₁ 3x₂ Neste caso se ocorre o vetor x 26 então a transformação Tx 3x 618 poderá ser expressa como 2 6T 6 18T Da mesma forma se ocorre uma transformação T que converte um vetor x x1 x2 x3 em um espaço R³ em um vetor R³ cujos componentes correspondem ao valor das coordenadas ao cubo do vetor x temse Tx₁ x₂ x₃ x₁² x₂² x₃² Agora vamos considerar uma transformação que envolve matrizes Neste caso suponha a existência da matriz A que se segue ANTON BUSBY 2006 p265 A 1 2 2 10 3 8 Na sequência suponha a existência de uma transformação TA que opera esta transformação de uma matriz 3x2 isto é com três linhas e duas colunas por meio de uma matriz 2x1 que exibe os seguintes valores correspondentes a coordenadas de um vetor x x₁ x₂ Neste caso o produto entre matrizes irá gerar uma matriz 3x1 em R³ que corresponde à operação Ax isto é uma transformação TAx Ax da seguinte forma xT Ax 1 2 2 10 3 8 x₁ x₂ 1x₁ 2x₂ 2x₁ 10x₂ 3x₁ 8x₂ Ou seja uma transformação T pode operar pontos ou vetores de um espaço com dimensão Rn que são associados a outros pontos ou vetores em um espaço com dimensão Rm correspondendo assim à equação T RnRm SANTANA QUEIRÓ 2010 p68 Figura 1 Relações de domínio e imagem em uma função EBook Apostila Rn Rm X Tx Fonte ANTON BUSBY 2006 p266 O exemplo que destaca a transformação Ax é um caso específico que destaca um conjunto de operações conhecidas como transformações matriciais as quais serão melhor destacas no próximo tópico Transformações matriciais Ao considerar o caso anteriormente mencionado de uma matriz A de dimensões m x n e se existir um vetor x que forma uma matriz coluna de dimensão Rn logo o produto Ax corresponde a um vetor incluso em um espaço de dimensão Rm Desse modo ao realizar a multiplicação de x por A desenvolvese uma transformação que opera ou transfere os vetores de Rn para o espaço Rm a imagem da transformação da seguinte forma TA RnRm No exemplo destacado temse portanto a transformação TAx Ax Contudo se houver uma situação em que a matriz A é quadrada isto é apresenta o mesmo número de linhas e colunas n x n então temse a transformação expressa por TA RnRm de modo que TA se torna um operador em Rn Para compreender melhor o procedimento de transformação suponha o procedimento expresso por TA R2R3 que retoma inicialmente a matriz A como se segue A 1 1 2 5 3 4 Desejase localizar um vetor x em um espaço de dimensão R2 cuja imagem sob a transformação TA será expressa pelo vetor com as coordenadas dispostas na seguinte matriz 5 EBook Apostila b 7 0 7 Neste caso devese localizar um vetor x que permite desenvolver o seguinte sistema 1 1 2 5 3 4 x1 x2 7 0 7 A equação apresentada permite desenvolver o sistema de equações como se segue x1 x2 7 2x1 5x2 0 Observe que x1 x2 7 assim observase que 2 x2 7 5x2 0 7x2 14 x2 2 Assim temse que x1 72 5 Portanto temse a única solução para o vetor x x x1 x2 5 2 Deste modo a transformação TAx está gerando o vetor b Há ainda alguns casos particulares que devem ser observados em relação à transformação matricial ANTON BUSBY 2006 p267 O primeiro deles destaca as transformações que são comuns a vetores nulos Neste caso supondo a existência de uma matriz 0 de dimensões m x n e que é nula com seus elementos sendo iguais a zero é preciso observar que as multiplicaçõees por 0 geram vetores nulos inscritos em espaços de dimensão Rm de modo que é válida a equação T0x 0x 0 O segundo caso particular gera o que se convenciona chamar de um operador identidade este operador relacionase como seu nome destaca com a matriz identidade uma matriz qudrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero Neste caso se I corresponde a uma matriz identidade de dimensões n x n temse que para todo vetor x inscrito em espaços de dimensão Rn temse a equação TIx Ix x Deste modo a multiplicação pelo operador identidade gera reflexões diretas do vetor transformado no espaço imagem SAIBA MAIS Para dar continuidade à sua aprendizagem em relação aos conceitos e discussões propostas nesta aula você poderá consultar o vídeo Transformações matriciais no canal da seção portuguesa do IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos Neste vídeo a profa Ana Moura Santos destaca as relações entre variáveis e matrizes sobre vetores para a produção de transformações matriciais com exemplos que enriquecem o conteúdo Acesse httpswwwyoutubecomwatchvfdLhQHEYs DICA DE LEITURA 6 EBook Apostila Para seguir aprimorando o seu conhecimento acerca das transformações matriciais e dos seus métodos de cálculo você poderá consultar o site Álgebra Linear e Aplicações de autoria da Profa Márcia Ruggiero e de Alfredo Vitorino Unicamp especificamente observando a página denominada Sistemas Lineares Nesta página você poderá recuperar conceitos e temáticas relativas às funções e sua representação matricial por meio de exemplos que consolidam as referências que serão discutidas ao longo desta Unidade AcessehttpswwwimeunicampbrmarciaAlgebraLinearsistemaslineareshtml FINALIZANDO Prezado estudante neste momento você pôde observar aspectos que ressaltam as representações matriciais de um vetor a fim de desenvolver estas representações em processos conhecidos como transformações matriciais Deste modo foi possível perceber que estas matrizes podem apresentar formas de relacionamento em espaços de diferentes dimensões Estas relações são operadas por meio das transformações matriciais que são realizadas em espaços vetoriais de maneira semelhante à operacionalização das funções REFERÊNCIAS HOWARD Anton BUSBY Roberto Álgebra linear contemporânea Tradução Claus Ivo Doering Porto Alegre Bookman 2006 SANTOS Ana Moura Transformações matriciais Disponível no canal IEEEAcademicPortugal 8 Jun 2014 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvfdLhQHEYs Acesso em 31 Dez 2022 IEZZI Gelson et al Matemática Volume Único 6 Ed São Paulo Atual 2019 RUGGIERO Márcia Aparecida Gomes VITORINO Alfredo Sistemas Lineares Disponível em httpswwwimeunicampbrmarciaAlgebraLinearsistemaslineareshtml Acesso em 31 Dez 2022 SANTANA Ana Paula QUEIRÓ João Filipe Introdução à Álgebra Linear Lisboa Gradiva 2010 DÚVIDAS FREQUENTES EBook Apostila 1 O que é uma função Uma função é um dispositivo matemático que gera um procedimento de associação relação entre variáveis formando dependência entre as mesmas 2 O que é uma transformação Uma transformação corresponde ao processo de associação entre elementos análogo à uma função porém adotando o uso de vetores para a formação das combinações entre estes elementos 3 O que é um operador identidade O operador identidade relaciona um vetor consigo mesmo ao ser multiplicado por uma matriz identidade que é quadrada e de ordem n 4 O que é o vetor nulo Um vetor nulo apresenta todas as suas coordenadas na forma algébrica ou matricial iguais a zero de modo que a transformação operada sobre este vetor também gera vetores nulos