Máquinas de Fluxo: Aula 3 - Equações Fundamentais

Máquinas de Fluxo Aula 3 Horário Sextafeira 6869 Professor Dr Giovani Dambros Telli Email gdtelliucsbr Equação fundamental Máquina ideal Partese da suposição de uma máquina geradora ideal onde o escoamento é Unidimensional Sem atrito Com fluxo de massa constante regime permanente 2 Equação fundamental A energia que o fluido recebe ao interagir com as pás do rotor pode ser traduzida em Aumento da sua energia de pressão Aumento da sua energia de velocidade energia cinética Aumento da sua energia de posição energia potencial 3 Equação fundamental A energia potencial pode ser desconsiderada e o aumento de energia no fluido será decorrente da energia de pressão e da energia de velocidade A energia de pressão estática pode ser expressa por Yest p5 p4 ρ u5 2 u4 2 2 w4 2 w5 2 2 4 Aumento da pressão decorrente da força centrífuga Transformação de energia de velocidade em energia de pressão Equação fundamental A energia de pressão estática pode ser expressa por Yest p5 p4 ρ u5 2 u4 2 2 w4 2 w5 2 2 Yest energia de pressão estática em Jkg p5 pressão na saída do rotor em Pa p4 pressão na entrada do rotor em Pa ρ massa específica do fluido em kgm³ u5 velocidade tangencial na saída do rotor em ms u4 velocidade tangencial na entrada do rotor em ms w5 velocidade relativa na saída do rotor em ms w4 velocidade relativa na entrada do rotor em ms 5 Equação fundamental E a energia sob forma de velocidade ou energia específica de pressão dinâmica é Ydin c5 2 c4 2 2 Ydin energia específica de pressão dinâmica ou de velocidade em Jkg c5 velocidade absoluta na saída do rotor em ms c4 velocidade absoluta na entrada do rotor em ms 6 Equação fundamental Portanto a energia total entregue ao fluido ao passar pelo rotor será a soma destas duas energias ou seja Ypá Yest Ydin u5 2 u4 2 2 w4 2 w5 2 2 c5 2 c4 2 2 Ypá energia específica intercambiado nas pás do rotor suposto com número infinito de pás em Jkg 7 Equação fundamental Seguindo um raciocínio análogo chegase à equação fundamental para as máquinas de fluxo motoras Ou seja a energia que o fluido fornece às pás do rotor será onde Ypá Yest Ydin u4 2 u5 2 2 w5 2 w4 2 2 c4 2 c5 2 2 Yest p4 p5 ρ u4 2 u5 2 2 w5 2 w4 2 2 Ydin c4 2 c5 2 2 e 8 Equação fundamental Considerando os triângulos de velocidade na entrada e na saída do rotor e as relações trigonométricas existentes entre suas componentes temse que w4 2 c4 2 2 u4 cu4 u4 2 w5 2 c5 2 2 u5 cu5 u5 2 9 Equação fundamental Substituindo estas relações trigonométricas na equação anterior determinamos a equação fundamental para as máquinas de fluxo geradoras Ypá u5 cu5 u4 cu4 10 Equação fundamental Substituindo estas relações trigonométricas na equação anterior determinamos a equação fundamental para as máquinas de fluxo geradoras Equação de Euler p MF Ypá u5 cu5 u4 cu4 Ypá salto energético ou trabalho específico fornecido pelas pás do rotor ao fluido em Jkg u5 velocidade tangencial na saída do rotor em ms u4 velocidade tangencial na entrada do rotor em ms cu5 componente tangencial da velocidade absoluta na saída do rotor em ms cu4 componente tangencial da velocidade absoluta na entrada do rotor em ms 11 Equação fundamental A partir da equação do momento da quantidade de movimento desenvolvida na mecânica dos fluidos podemos calcular o torque exercido pelo rotor pela equação Mpá ρ Qrr5cu5 r4cu4 12 Etapas do desenvolvimento e manipulação matemática no Capítulo 3 do livro do Henn Torque Equação fundamental Onde a potência necessária para acionar este rotor é Ppá ω Mpá ρ Qrωr5cu5 r4cu4 Ppá potência fornecida pelo rotor suposto com número infinito de pás em W ω velocidade angular de rotação do rotor em rads 𝜌 massa específica do fluido em kgm³ Qr vazão que passa através do rotor em m³s r4 raio de saída do rotor em m r5 raio de entrada do rotor em m cu5 componente tangencial da velocidade absoluta na saída do rotor em ms cu4 componente tangencial da velocidade absoluta na entrada do rotor em ms 13 Equação fundamental De forma semelhante chegamos na equação fundamental para as máquinas de fluxo motoras Ypá salto energético ou trabalho específico fornecido pelo fluido a um rotor com número infinito de pás em Jkg Ypá u4 cu4 u5 cu5 14 Equação fundamental Fator de deficiência de potência Numa máquina de fluxo motora real com um número finito de pás a corrente fluida segue o contorno das pás sem desprendimentos notáveis e a teoria concorda com resultados experimentais Portanto nenhuma correção se faz necessária e podese sempre adotar Ypá energia ou trabalho específico intercambiados no rotor suposto com número finito de pás em Jkg Ypá Ypá Ppá Ppá e 15 Equação fundamental Fator de deficiência de potência Isto não acontece com as máquina de fluxo geradoras onde a energia que um rotor real entrega ao fluido é menor que a de um rotor ideal fazendose necessária a utilização de um fator de correção que leve em conta tal diferença Este fator adimensional denominado de fator de deficiência de potência representado por μ aumenta com o aumento do número de pás Para máquinas de fluxo geradoras temse Ypá μYpá Ppá μPpá e 16 Equação fundamental Grau de reação teórico O grau de reação é a relação entre a variação de energia de pressão estática e a variação total de energia no rotor Alguns parâmetros de projeto como por exemplo a forma das pás o grau de admissão e muitos outros estão intimamente relacionados com o grau de reação de uma máquina de fluxo 17 Equação fundamental Grau de reação teórico Quando o escoamento através do rotor é considerado ideal esta grandeza é chamada de grau de reação teórico e é assim expressa ρt Yest Ypá 1 Ydin Ypá ρt grau de reação teórico adimensional em Jkg Ypá energia específica intercambiada no rotor considerado com número finito de pás em Jkg Yest energia específica de pressão estática em Jkg Ydin energia específica de pressão dinâmica ou de velocidade em Jkg 18 Equação fundamental Grau de reação teórico Desta forma podemos classificar as máquinas de fluxo da seguinte forma ρt 0 Máquinas de ação ρt 0 Máquinas de reação 19 Equação fundamental Grau de reação teórico Nas máquinas de fluxo que trabalham com fluido compressível turbinas a vapor ou a gás é mais frequente definir o grau de reação teórico como a relação entre o salto entálpico no rotor e a variação total de entalpia na máquina ou seja ρt h4s h5s ha h5s ha entalpia do fluido na admissão da máquina ou de um estágio da máquina correspondente a uma pressão pa e a uma temperatura Ta em Jkg h4s entalpia na entrada do rotor correspondente à pressão p4 e a uma transformação isentrópica em Jkg h5s entalpia na saída do rotor correspondente à pressão p5 e a uma transformação isentrópica em Jkg 20 Equação fundamental Exemplo 1 Um ventilador axial projetado para fornecer uma vazão de 3 m³s de ar com massa específica de 12 kgm³ com uma diferença de pressão total de 6303 Pa girando com uma velocidade de rotação de 2850 rpm possui o rotor com as seguintes características De05 m Di025 m α490 e cm4cm5cm Considerando infinito o número de pás do rotor calcular a A inclinação das pás na entrada do rotor para seu diâmetro externo b A inclinação das pás na saída do rotor também para o diâmetro externo c Seu grau de reação teórico 21 Equação fundamental Exemplo 1 resolução a Inclinação das pás na entrada do rotor para diâmetro externo Sabemos que 𝑢4𝑒 𝜋 𝐷𝑒 𝑛 60 𝑢4𝑒 𝜋 05 2850 60 𝑢4𝑒 746 𝑚𝑠 Além disso cm4𝑒 𝑄 𝜋 4 𝐷𝑒2 𝐷𝑖 2 cm4𝑒 3 𝜋 4 05² 0252 cm4𝑒 2037 𝑚𝑠 22 Equação fundamental Exemplo 1 resolução a Inclinação das pás na entrada do rotor para diâmetro externo como 𝛼4 90 𝑐𝑢4𝑒 0 Portanto tan𝛽4𝑒 𝑐𝑚4𝑒 𝑢4𝑒 𝛽4𝑒 tan1 𝑐𝑚4𝑒 𝑢4𝑒 𝛽4𝑒 tan1 2037 746 𝛽4𝑒 1527 23 Equação fundamental Exemplo 1 resolução b Inclinação das pás na saída do rotor para diâmetro externo como Portanto 𝑢5𝑒 𝜋 𝐷𝑒 𝑛 60 𝑢5𝑒 𝑢4𝑒 746 𝑚𝑠 Além disso 𝑐𝑚5𝑒 𝑐𝑚4𝑒 2037 𝑚𝑠 Lembrando que Ypá u5e cu5e u4e cu4e como 𝛼4 90 𝑐𝑢4𝑒 0 Além disso μ 1 Y𝑝á Y Y u5e cu5e 24 Equação fundamental Exemplo 1 resolução b Inclinação das pás na saída do rotor para diâmetro externo Sabese que Y 𝑝𝑡 𝜌 Y 6303 12 Y 52525 Jkg Portanto cu5e 𝑌 u5e cu5e 52525 746 cu5e 704 𝑚𝑠 25 Equação fundamental Exemplo 1 resolução b Inclinação das pás na saída do rotor para diâmetro externo 𝑢5𝑒 𝑤5𝑒 𝑐5𝑒 𝑐𝑢5𝑒 𝑐𝑚5𝑒 𝛽5𝑒 𝛼5𝑒 𝑢5𝑒 𝑐𝑢5𝑒 tan 𝛽5𝑒 𝑐𝑚5𝑒 𝑢5𝑒 𝑐𝑢5𝑒 𝛽5𝑒 tan1 𝑐𝑚5𝑒 𝑢5𝑒 𝑐𝑢5𝑒 26 Equação fundamental Exemplo 1 resolução b Inclinação das pás na saída do rotor para diâmetro externo 𝛽5𝑒 tan1 2037 746 704 𝛽5𝑒 168 27 Equação fundamental Exemplo 1 resolução c Grau de reação Lembrando que ρt Yest Ypá 1 Ydin Ypá Onde Ydin c5𝑒 2 c4𝑒 2 2 Sabendo que 𝑐4𝑒 cm4𝑒 2037 𝑚𝑠 Por Pitágoras 𝑐5𝑒 𝑐𝑚5𝑒 2 𝑐𝑢5𝑒 2 𝑐5𝑒 2037² 704² 𝑐5𝑒 2155 𝑚𝑠 então Ydin 2155² 2037² 2 Ydin 2473 𝐽𝑘𝑔 28 Equação fundamental Exemplo 1 resolução c Grau de reação Portanto ρt 1 Ydin Ypá ρt 1 2473 52525 ρt 0953 29 Equação fundamental Exemplo 2 O projeto original da Usina Hidrelétrica de Dona Francisca no rio Jacuí previa 1282 MW de potência instalada com duas unidades de turbinas do tipo Kaplan de 641 MW cada uma A altura de cada disponível é de 39 metros Supondo que as características construtivas das turbinas apresentem os seguintes valores n 1636 rpm De 424 m Τ Di De 043 cm4 cm5 c5 para todos os diâmetros do rotor e considerando a massa específica da água ρ 1000 kgm³ calcular A a vazão nominal de projeto de cada turbina B o ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor para o diâmetro exterior C o ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor para o diâmetro interior 30 Equação fundamental Exemplo 2 resolução a Sabemos que 𝑃𝑒 𝜌 𝑄 𝑌 onde 𝑌 𝐻 𝑔 então 𝑃𝑒 𝜌 𝑄 𝐻 𝑔 𝑄 𝑃𝑒 𝜌 𝐻 𝑔 consequentemente 𝑄 64100000 1000 39 981 𝑄 1675 𝑚3𝑠 31 Equação fundamental Exemplo 2 resolução b Ângulo das pás na entrada Triângulo de velocidades na entrada no diâmetro externo Sabemos que 𝑢4𝑒 𝜋 𝐷𝑒 𝑛 60 𝑢4𝑒 𝜋 424 1636 60 𝑢4𝑒 3632 𝑚𝑠 32 Equação fundamental Exemplo 2 resolução b Ângulo das pás na entrada Além disso cm4𝑒 𝑄 𝜋 4 𝐷𝑒2 𝐷𝑖 2 cm4𝑒 1675 𝜋 4 424² 043 424 2 cm4𝑒 1455 𝑚𝑠 Pela equação fundamental Ypá u4e cu4e u5e cu5e Como 𝑐𝑚5 𝑐5 α5 90 c𝑢5 0 Além disso μ 1 Y𝑝á Y Y u4e cu4e 33 Equação fundamental Exemplo 2 resolução b Ângulo das pás na entrada Y u4e cu4e cu4e 𝑌 𝑢4𝑒 cu4e 𝐻 𝑔 𝑢4𝑒 cu4e 39 981 3632 cu4e 105 𝑚𝑠 𝑢4𝑒 𝑤4𝑒 𝑐4𝑒 𝑐𝑢4𝑒 𝑐𝑚4𝑒 𝛽4𝑒 𝛼4𝑒 𝑢4𝑒 𝑐𝑢4𝑒 tan 𝛽4𝑒 𝑐𝑚4𝑒 𝑢4𝑒 𝑐𝑢4𝑒 34 Equação fundamental Exemplo 2 resolução b Ângulo das pás na entrada 𝛽4𝑒 tan1 𝑐𝑚4𝑒 𝑢4𝑒 𝑐𝑢4𝑒 𝛽4𝑒 tan1 1455 3632 105 𝛽4𝑒 294 35 Equação fundamental Exemplo 2 resolução c Ângulo das pás na entrada para o diâmetro interno 𝑢4𝑖 𝜋 𝐷𝑖 𝑛 60 𝑢4𝑖 𝜋 043 424 1636 60 𝑢4𝑖 1562 𝑚𝑠 cm4𝑒 cm4𝑖 1455 𝑚𝑠 Além disso 36 Equação fundamental Exemplo 2 resolução c Ângulo das pás na entrada para o diâmetro interno Pela equação fundamental Ypá u4i cu4i u5i cu5i Como 𝑐𝑚5 𝑐5 α5 90 c𝑢5 0 Além disso μ 1 Y𝑝á Y Y u4i cu4i cu4i 𝑌 𝑢4𝑖 cu4i 𝐻 𝑔 𝑢4𝑖 cu4i 39 981 1562 cu4i 245 𝑚𝑠 37 Equação fundamental Exemplo 2 resolução c Ângulo das pás na entrada para o diâmetro interno 𝑢4𝑖 𝑤4𝑖 𝑐4𝑖 𝑐𝑢4𝑖 𝑐𝑚4𝑖 𝛽4𝑖 𝛼4𝑖 𝑐𝑢4𝑖 𝑢4𝑖 tan180 𝛽4𝑖 𝑐𝑚4𝑖 𝑐𝑢4𝑖 𝑢4𝑖 𝛽4𝑖 180 tan1 𝑐𝑚4𝑖 𝑐𝑢4𝑖 𝑢4𝑖 𝛽4𝑖 180 tan1 1455 245 1562 𝛽4𝑖 1214 38 Equação fundamental Exemplo 3 Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água densidade 997 kgm³ Com vazão de 03m³s O diâmetro do rotor é de 250mm e as pás possuem 30mm de largura na saída Considerando as pás radiais na saída número infinito de pás Determinar a altura teórica e a potência quando a bomba opera com 1000 RPM 39