Lista de Exercicios Resolucao de Problemas de Vibracao Mecanica

ATIVIDADE Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Figura 1 Figura 2 Figura 3 Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Questão 5 Um tanque é transportado por três cabos idênticos figura 4 e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre na direção z Para uma massa de 2800 kg decremento logarítmico de 45 e cabos de aço com diâmetro de 123 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 5 Figura 4 1 A equação de movimento do sistema massamola pode ser descrita pela segunda lei de Newton que relaciona a aceleração a de um corpo à força F atuando sobre ele e à sua massa m No caso do sistema descrito a força é a soma das forças de atrito magnético e da força exercida pela mola A força de atrito magnético pode ser calculada usando as propriedades magnéticas do sistema Dado que a massa atraída é de 20 kg podemos multiplicála pelo valor da aceleração da gravidade g para obter a força magnética Fmag atuando sobre o sistema 𝐹𝑚𝑎𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑎𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐹𝑚𝑎𝑔 20 𝑘𝑔 10 𝑚𝑠2 𝐹𝑚𝑎𝑔 200 𝑁 A equação de movimento do sistema após a massa se desprender pode ser escrita como 𝑚 𝑎𝑡 𝑘 𝑥𝑡 𝐹𝑚𝑎𝑔 0 onde m é a massa do sistema 300 kg at é a aceleração do sistema em função do tempo k é a constante de rigidez da mola 200 kNm que pode ser convertida para Nm multiplicando por 1000 para obter unidades consistentes xt é a posição do sistema em função do tempo Fmag é a força magnética calculada anteriormente 200 N Rearranjando a equação temos 𝑚 𝑎𝑡 𝑘 𝑥𝑡 𝐹𝑚𝑎𝑔 Agora podemos substituir a aceleração pela derivada segunda da posição em relação ao tempo xt e a constante de rigidez pela sua conversão em Nm 𝑚 𝑥𝑡 200000 𝑥𝑡 200 Essa é a equação de movimento do sistema massamola com propriedades magnéticas após a massa atraída se desprender A solução dessa equação diferencial permitirá obter a posição do sistema em função do tempo após o evento de desprenderse da massa atraída 2 a Analisando o gráfico dado podemos afirmar que o período de oscilação T é de aproximadamente 01s Substituindo os valores na fórmula abaixo conseguimos encontrar o valor da frequência natural 𝑇 2𝜋 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2𝜋 01 6283 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Para encontrar o fator de amortecimento podemos escolher um ponto arbitrário do gráfico e substituir os valores na equação para a posição 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 Φ Primeira vamos encontrar o ângulo de fase para xt0 0 0010𝑒𝜉62830𝑠𝑒𝑛6283 ϕ 0 001𝑠𝑒𝑛6283 𝜙 𝜙 6283 𝑟𝑎𝑑 Para encontrar o fator de amortecimento teremos 002 0019𝑒𝜉6283002𝑠𝑒𝑛6283 1053 𝑒12566𝜉 1853 103 56827 𝑒12566𝜉 𝜁 505 b Para calcular o valor do tempo para que amplitude não exceda 003mm temos o seguinte 003 𝑒5056283𝑡𝑠𝑒𝑛6283 𝑡 0058 𝑠 c Para t 07s podemos determinar o deslocamento analisando o gráfico de oscilação ou substituindo t07 na equação do deslocamento Analisando o gráfico temos que o deslocamento será de 𝑋 4 𝑚𝑚 3 A partir da equação de movimento harmônico dada 𝑥𝑡 08 04 𝑠𝑒𝑛227𝑡 𝜋 4 𝑒𝑚 𝑚𝑚 Podemos identificar as seguintes informações Amplitude A A amplitude é o valor máximo do deslocamento em relação à posição de equilíbrio No caso dado a amplitude é 04 mm Máximo deslocamento O máximo deslocamento ocorre quando o seno é igual a 1 ou seja quando o argumento da função seno é igual a π2 Portanto o máximo deslocamento é a soma da amplitude com o valor médio que é 08 mm 04 mm 12 mm Ângulo de fase φ O ângulo de fase é o valor do argumento da função seno na equação de movimento No caso dado o ângulo de fase é π4 Frequência angular ω A frequência angular é o coeficiente do tempo na equação de movimento No caso dado a frequência angular é 227 Tempo e posição da velocidade máxima A velocidade é máxima quando o seno é igual a 1 ou seja quando o argumento da função seno é igual a π2 Portanto para encontrar o tempo e a posição em que a velocidade é máxima precisamos resolver a equação 𝑐𝑜𝑠227𝑡 𝜋4 1 Isolando t nessa equação temos 227𝑡 𝜋 4 0 227𝑡 𝜋 4 𝑡 𝜋 4 227 346 103𝑠 E substituindo esse valor de t na equação de movimento encontramos a posição em que a velocidade é máxima 𝑥 𝜋 4 227 08 04 𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝜋 4 𝑥 08 𝑚𝑚 4 Para calcular a frequência natural e a constante de amortecimento do sistema de relé eletromagnético precisamos seguir os seguintes passos Passo 1 Calcular a rigidez da mola equivalente A rigidez da mola equivalente é a soma das rigidezes das lâminas flexíveis e da mola do relé A rigidez de uma lâmina flexível pode ser calculada usando a fórmula 𝑘𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐸𝐴 𝐿 onde E é o módulo de elasticidade do material das lâminas 210 GNm2 A é a área da lâmina e L é o comprimento da lâmina 15 mm Portanto a rigidez das duas lâminas flexíveis é 𝑘𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 210 109 00008 0006 0015 672 106 𝑁𝑚 A rigidez da mola do relé é dada como k 30 kNm A rigidez da mola equivalente quando o relé está aberto é a soma das rigidezes das lâminas flexíveis e da mola do relé 𝑘𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑘𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠 𝑘 67203 106 𝑁𝑚 Quando o relé está fechado a rigidez da mola equivalente é apenas a rigidez da mola do relé pois as lâminas flexíveis não estão mais atuando 𝑘𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 𝑘 𝑘𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 3 𝐾𝑁𝑚 Passo 2 Calcular a frequência natural A frequência natural do sistema é dada pela fórmula 𝑓 𝑘 𝑚 onde k é a rigidez da mola equivalente e m é a massa do núcleo móvel do relé Quando o relé está aberto 𝑓𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 67203 106 0012 𝑓𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 7483 103 𝐻𝑧 Quando o relé está fechado 𝑓𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 3 103 0012 500 𝐻𝑧 Passo 3 Calcular a constante de amortecimento A razão entre duas amplitudes sucessivas é dada como 201 o que indica um fator de amortecimento crítico ξ igual a 1 Portanto o sistema está criticamente amortecido A constante de amortecimento crítico ξ é dada pela fórmula 𝜉 1 2𝑘𝑚 onde k é a rigidez da mola equivalente e m é a massa do núcleo móvel do relé Quando o relé está aberto 𝜉𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 1 267203 106 0012 1 179603 557 104 Quando o relé está fechado 𝜉𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 1 23 103 0012 1 12 0083 5 Para determinar os valores máximos de deslocamento velocidade e aceleração do tanque em sua direção z precisamos usar as equações de movimento harmônico simples e considerar a resposta em frequência do sistema Primeiro vamos calcular a frequência natural do sistema que é dada por 𝑓0 1 2𝜋 𝑘 𝑚 onde k é a constante de mola equivalente dos três cabos e m é a massa do tanque A constante de mola equivalente dos cabos pode ser calculada usando o decremento logarítmico ξ dado 𝜉 1 3 𝑙𝑛 𝐴1 𝐴2 1 onde A1 é a amplitude do primeiro pico do deslocamento primeiro zero do cosseno e A2 é a amplitude do segundo pico do deslocamento segundo zero do cosseno A amplitude 1 pode ser aproximada como 12 do diâmetro dos cabos e a amplitude2 como 12 do diâmetro dos cabos multiplicado pelo decremento logarítmico Vamos calcular amplitude 1 e amplitude 2 𝐴1 05 123 𝑚𝑚 615 𝑚𝑚 𝐴2 05 123 𝑚𝑚 45 27675 𝑚𝑚 Agora podemos calcular a constante de mola equivalente k 𝜉 1 3 𝑙𝑛 615 27675 1 𝜉 0222 Agora podemos calcular a frequência natural f0 𝑓0 1 2𝜋 0222 2800 𝑓0 142 103 𝐻𝑧 Agora podemos usar a frequência natural f0 para determinar os valores máximos de deslocamento velocidade e aceleração do tanque usando as seguintes equações Deslocamento máximo Xmáx 𝑋𝑚á𝑥 𝐴1 1 𝜉2 𝑋𝑚á𝑥 615 103 1 02222 615 103 0975 63 𝑚𝑚 Velocidade máxima Vmáx 𝑉𝑚á𝑥 𝑓0 𝐴1 1 𝜉2 𝑉𝑚á𝑥 142 103 615 103 1 02222 𝑉𝑚á𝑥 851 106 𝑚𝑠 Aceleração máxima Amáx 𝐴𝑚á𝑥 𝑓02 𝐴1 1 𝜉2 𝐴𝑚á𝑥 142 1032 615 103 1 02222 𝐴𝑚á𝑥 121 108 𝑚 𝑠2 6 Para determinar o diâmetro mínimo do cabo para que a deflexão máxima seja de δ precisamos utilizar os parâmetros analíticos do sistema incluindo a rigidez do cabo kcabo o módulo de elasticidade do material E a área da seção transversal do cabo A o momento de inércia da seção transversal da viga I a rigidez da mola k o comprimento do cabo l e a deflexão máxima desejada δ A deflexão máxima de uma viga em balanço pode ser calculada pela fórmula 𝛿 𝑚𝑙3 48𝐸𝐼 A rigidez do cabo é dada por 𝑘𝑐𝑎𝑏𝑜 𝐸𝐴 𝑙 Para minimizar o diâmetro do cabo precisamos maximizar a rigidez do cabo kcabo Portanto vamos substituir kcabo na fórmula da deflexão máxima e derivar em relação a D para encontrar o valor mínimo Vamos seguir os passos a seguir Substitua kcabo na fórmula da deflexão máxima 𝛿 𝑚𝑙3 48𝐸𝐼 𝑘𝑙3 48𝐸𝐼 𝑚𝑙 48𝐴𝐸 Derive em relação a D 𝑑𝛿 𝑑𝐷 0 Resolva para D 𝐷 𝑚𝑙 𝐴𝐸 Portanto o diâmetro mínimo do cabo para que a deflexão máxima seja de δ é dado por 𝐷 𝑚𝑙 𝐴𝐸 Note que essa é uma solução aproximada uma vez que não levamos em consideração outros fatores como a geometria específica do cabo e da viga a distribuição de carga e possíveis efeitos nãolineares