Lista de Exercicios - Dinamica e Vibracao - Calculo de Resonancia e Desbalanceamento

LISTA DE EXERCÍCIO ADOTE ACELERAÇÃO LOCAL DE 10 ms2 Questão 1 Em um ensaio de resposta em frequência de uma suspensão veicular foi realizada uma varredura em frequência tendo sido o sistema excitado com uma força do tipo F Focost Para cada frequência com que se excitou a estrutura mediuse o deslocamento X resultando no gráfico de resposta de frequência mostrado a seguir Modelando a suspensão como um sistema massamola de um grau de liberdade a equação matemática para a resposta em frequência é em que k c e m são os parâmetros que caracterizam a estrutura a saber constante elástica amortecimento e massa respectivamente Analisandose o gráfico e usando a equação da resposta em frequência é possível identificar o valor da frequência de ressonância da estrutura n e calcular os parâmetros k c e m Nessa situação quais os valores corretos desses parâmetros Num instante ressonante qual seria sua amplitude da suspensão Questão 2 Um ventilador industrial com 40 kg tem um desbalanceamento m0e de 01 kgm Este ventilador é montado na extremidade livre de uma viga engastadalivre com comprimento de 12 m módulo de elasticidade 200 kNmm2 e momento de inércia de área de 13x106 m4 A viga foi confeccionada para adicionar amortecimento viscoso Como a rotação de trabalho do ventilador é variável foi notado que a máxima amplitude de vibração em regime permanente é dada por 203 mm Determine a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000 rpm Questão 3 O diagrama esquemático de uma turbina de água tipo Francis está mostrado ao lado Adaptado do exemplo 35 RAO 2009 na qual a água flui de A para as lâminas B e caem no conduto C O rotor tem uma massa de 250 kg e um fator de desbalanceamento de 5 kgmm A folga radial entre o rotor e o estator é de 5 mm A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm O eixo de aço que suporta o rotor pode ser assumido como engastado nos mancais livre para girar Determinar a faixa permitida para o diâmetro do eixo de forma que o rotor não entre em contato com o estator em todas as velocidades de operação da turbina Assumir que o amortecimento é 30 e que há uma margem de segurança de 20 para mais e para menos nos limites de operação Questão 4 Um sistema equilibra uma massa m de modo que sua componente homogênea executa 180 rpm e a relação entre 7 amplitudes sucessivas é de 151 Determine a massa m o coeficiente de amortecimento e a transmissibilidade quando o conjunto está submetido à uma excitação externa regida por Ft 200 cos227t SI 2º ATIVIDADE Adote para as resoluções aceleração da gravidade local de 10 ms2 Questão 1 O desenvolvimento de modelos matemáticos é de fundamental importância para a análise dinâmica das máquinas O sistema vibratório amortecido mostrado na figura 1 apresenta coeficiente de rigidez k coeficiente de amortecimento c massa m e representa um sistema de um grau de liberdade que apresentará movimento vertical a partir de sua linha de equilíbrio estático com coordenada generalizada xt O movimento acontecerá por meio de um desbalanceamento rotativo m0h sendo m0 a massa desbalanceada e h a distância de m0 ao centro de rotação Observase que a massa m do sistema inclui o desequilíbrio m0 O sistema apresenta frequência de excitação de 600 rpm Demonstre a equação de equilíbrio das forças resultantes na condição estática e a deflexão resultante no movimento do sistema Dados m 10 kg k 120 Nm c 50 kgs m 0h 004 kgm Questão 2 Um isolador de vibrações está testando um motor experimental com carga desbalanceada onde em teste apresentou 10 de amplificação e 30 de transmissibilidade A função movimento do rotor é dada por yt 5sen20t em cm Dentro deste comportamento desprezandose ações de atrito e perdas determine as constantes c e k e a força de excitação do sistema Considere a condição r2 1 e mee 913 kgm Questão 3 Na figura 2 a massa do sistema massamola vibra com uma força Ft 180 cos50t em N sobre uma superfície inclinada em 30º em relação à horizontal Sabendose que a deflexão inicial é de 01 m para uma rigidez equivalente de 5 kNm e o com 30 de amortecimento determine a a massa do conjunto kg b a relação percentual entre as amplitudes do movimento e da força Figura 1 Figura 2 Lista 2 Questão 1 Para a figura 1 podemos aplicar a lei de Newton para a massa m considerando a força gravitacional e a força gerada pelo desbalanceamento rotativo mgm0hw 2coswtcx kx0 Onde 1 m é a massa do sistema incluindo a massa desbalanceada m0 2 g é a aceleração gravitacional 3 h é a distância entre o centro de rotação e o ponto onde a massa m0está localizada 4 w é a frequência angular da excitação dada por w2 πf ondef é a frequência em Hz 5 t é o tempo 6 x é o deslocamento vertical da massa m em relação à posição de equilíbrio 7 c é o coeficiente de amortecimento observe que existem 2 amortecedores 8 k é a constante de rigidez da mola observe que temos 3 molas em paralelo Na condição estática x0e xx0 onde x0 é a deflexão da mola quando o sistema está em repouso Isso resulta na equação de equilíbrio de forças mgm0hw 2coswtk x00 A deflexão resultante no movimento do sistema pode ser obtida resolvendo a equação diferencial nãohomogênea do movimento da massa m dada por mx cx kxm0hw 2coswt A solução particular dessa equação é dada por xtAcoswtϕ Onde a A é a amplitude da oscilação dada por A m0h w 2 kmw 2 2c 2w 2 b ϕ é a fase da oscilação dada por ϕarctan cw km w 2 Portanto a deflexão resultante no movimento do sistema é dada por xtAcoswtϕ Podemos ainda calcular alguns valores numéricos com base nos dados fornecidos w2π 600 60 6283rads m0h004 kgm x0m0 g k 00111m A equação de equilíbrio das forças resultantes na condição estática é m gk x0 xmg k 1010 360 0278m E a deflexão resultante no movimento do sistema é dada por x t m0h k 1cosωtφ e ζωt0000111 1cos6283t e 6283 2t Onde 1 m massa do sistema kg 2 g aceleração da gravidade ms² 3 k coeficiente de rigidez da mola Nm 4 c coeficiente de amortecimento do amortecedor kgs 5 x deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio m 6 velocidade da massa em relação à posição de equilíbrio ms x 7 m0 massa desbalanceada kg 8 h distância da massa desbalanceada ao centro de rotação m 9 ω frequência angular de excitação rads ζ coeficiente de amortecimento crítico φ ângulo de fase Note que no equilíbrio esta força também se extingue Questão 2 Para resolver esse problema podemos utilizar a equação geral do movimento de um sistema com um grau de liberdade que é dada por mx tcx t kxtFt Onde m é a massa do sistema c é o coeficiente de amortecimento k é o coeficiente de rigidez xt é a posição da massa em relação à posição de equilíbrio Ft é a força de excitação e as derivadas são em relação ao tempo t Podemos calcular as constantes c e k a partir das informações de amplificação e transmissibilidade A amplificação é dada por Aym ye Onde ym é a amplitude de vibração do motor com carga desbalanceada e ye é a amplitude de vibração do motor sem carga desbalanceada Sabendo que a amplitude de vibração do motor é dada por ym F k km w 2 2cw 2 1 2 Onde F é a força de excitação w é a frequência natural do sistema e é dada por w km05 e a derivada em relação ao tempo é dada por y t F m w km w 2 2cw 2 1 2 cos Onde phi é a fase da vibração Já a transmissibilidade é dada por Tym yf Onde yf é a amplitude de vibração da fundação Sabendo que yf F kf onde kf é a constante de rigidez da fundação podemos escrever a transmissibilidade em função das constantes do sistema Tym k f F Substituindo a expressão de ym e isolando k temos k F 2 ym kf kmw 2 2cw 2 1 2 Substituindo a expressão de k na equação da amplificação e isolando c temos c F ymwkmw 2 2cw 2 1 2 A partir dessas expressões podemos calcular c e k Para calcular a força de excitação F podemos utilizar a função de movimento do rotor yt e a equação de movimento do sistema Substituindo yt por xt temos mx tcx tkxt Ft Substituindo as expressões de c e k encontradas acima e isolando Ft temos Ftmx tcx tkxt Por fim podemos calcular a força de excitação F a partir da expressão acima e dos dados do problema Substituindo m mee g e as outras constantes encontradas acima temos Fmx t cx tkxt Onde mee é a massa equivalente do sistema em kg e g é a aceleração da gravidade em ms2 Lista 1 Questão 1 Resposta Observase que a resposta em frequência máxima é alcançada em ω10rad s e a resposta é H ω 1610 3m N Para maximizar a função Hw usamos a derivada H ω1 2 1 kmω 2 2cω 23 4 mωkm ω 22c 2ω0 Esta função se anula em ω10rad s e assim temos que 40mk100m20c 20 Além disso temos que H 10 1 k100m 2100c 21610 3 A última resulta em 1 256 10 6k100m 2100c 2 Quando ω0rad s temos que H 10 1 k 2210 4 k5000 Nm Assim podemos definir os parâmetros m e c 1 256 10 65000100m 2100c 2 40m5000100m20c 2200000m4000m 220c 20 Isto nos leva a considerar c 2200m 210000m Temos uma equação do segundo grau dada por 1 256 10 4100 50m 2200m 210000m 390625250000100m 2 m 224609375 m4961kg c386958kgs Como não sabemos a força vamos exprimir a amplitude por A F0 2c ω0 F0 773916 m Questão 2 Para calcular a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000rpm precisamos primeiro determinar a frequência natural da viga com o ventilador montado a partir dos dados fornecidos A frequência natural da viga com extremidade livre engastada pode ser calculada pela equação f 1 2L EI m onde L12m é o comprimento da viga E200 kN m m 2 é o módulo de elasticidade I1310 6m 4 é o momento de inércia de área e m é a massa total da viga com o ventilador montado Substituindo os valores fornecidos temos f 1 24 20010 31310 6 40 00335927 Hz Como não temos essa informação podemos usar um valor padrão para o fator de amortecimento de uma viga engastadalivre ξ0 05 kg s A amplitude de vibração em regime permanente quando o ventilador opera em 1000 rpm é dada por X 0m0 K 1 1ω 2 ω0 2 2 4ξ 2 ω 2 ω0 2 onde k é a constante elástica da viga e omega é a frequência angular da rotação do ventilador dada por ω2π 60 1000rpm10472rads ω00211022rad s ω ω0 49625 Assim temos que X 016910 12m Questão 3 Para determinar a faixa permitida para o diâmetro do eixo é necessário calcular a frequência natural do sistema em todas as velocidades de operação e garantir que a frequência natural esteja acima da frequência de excitação devido ao desbalanceamento A frequência natural pode ser calculada pela equação f n 1 2π k m Onde k é a rigidez do sistema e m é a massa do rotor A rigidez do sistema pode ser calculada a partir da folga radial r e do módulo de elasticidade E do material do eixo k4 Er 3 3 L 3 Onde L é o comprimento do eixo A frequência de excitação devido ao desabamento é dada por f d m0 2πm ω Onde m0 é o fator de desbalanceamento m é a massa do rotor e ω é a velocidade angular Com uma margem de segurança de 20 a frequência natural deve ser 20 maior do que a frequência de excitação Além disso o diâmetro do eixo deve ser escolhido para que a velocidade crítica do eixo seja maior do que a velocidade máxima de operação da turbina A velocidade crítica pode ser calculada pela equação ωcπ 2 E ρ d 2 L 2 Onde d é o diâmetro do eixo e ρ é a densidade do material do eixo Q4 Para resolver este problema vamos utilizar a equação do movimento harmônico amortecido com excitação externa m x c x kxFt Onde 1 m é a massa do sistema 2 x é o deslocamento do sistema em relação à sua posição de equilíbrio 3 c é o coeficiente de amortecimento 4 k é a constante elástica do sistema 5 Ft é a força externa aplicada no sistema Vamos calcular cada um dos parâmetros Massa m A velocidade angular da componente homogênea é dada por w02 pi f 02π 180606 π rad s Ondef 0 é a frequência da componente homogênea A relação entre as amplitudes sucessivas é dada por A 2 A 11 r 1 15 Onde A1 e A2 são as amplitudes da primeira e segunda vibrações respectivamente e r é a razão entre as amplitudes sucessivas A relação entre as frequências é dada por w2 w1 r 1 2 Onde w1 e w2 são as frequências da primeira e segunda vibrações respectivamente Substituindo os valores dados temos w2w1r 1 26π 1 15 1 22617rad s A amplitude da excitação externa é dada por F0200 N A massa pode ser calculada pela equação m F0 w2 2w0 2 200 2617 26 π 21617kg Portanto a massa do sistema é de 1617kg Coeficiente de amortecimento c Para determinar o coeficiente de amortecimento precisamos calcular o fator de amortecimento ζ Como a relação entre as amplitudes sucessivas é menor que 1 o sistema é subamortecido e podemos usar a seguinte equação para calcular ζ ζ 1 nln A1 An Onde n é o número de ciclos completos entre as amplitudes A1 e An Substituindo os valores dados temos ζ 1 7ln 1 1 15 0634 O coeficiente de amortecimento é dado por c2m w0ζ Substituindo os valores calculados temos c216176 π 06343867 Nsm Portanto o coeficiente de amortecimento do sistema é de 3867 Ns m Transmissibilidade A transmissibilidade é a razão entre a amplitude da vibração da massa e a amplitude da excitação externa Podemos calcular a transmissibilidade utilizando a seguinte equação T x F0 Para calcular x podemos usar a seguinte equação x F t k Onde k é a constante elástica do sistema que pode ser calculada a partir da frequência natural do sistema km w0 2 Substituindo os valores calculados temos k16176 π 258777 Nm Agora podemos calcular x x F t k 200cos 227t 58777 E por fim podemos calcular a transmissibilidade T x F 0 200cos 227t 58777 200 000054cos 227t Portanto a transmissibilidade é dada por T000054 cos227t Observe que a transmissibilidade é muito baixa indicando que a vibração da massa é muito pequena em relação à amplitude da excitação externa Isso pode ser explicado pelo fato de que o sistema é subamortecido e possui uma frequência natural muito próxima da frequência da excitação externa Nesse caso a energia é transferida para o sistema de forma eficiente mas a amplitude da vibração é limitada pelo coeficiente de amortecimento