Lista de Exercícios Resolvidos - Dinâmica e Vibrações Mecânicas

ATIVIDADE Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Figura 1 Figura 2 Figura 3 Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Questão 5 Um tanque é transportado por três cabos idênticos figura 4 e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre na direção z Para uma massa de 2800 kg decremento logarítmico de 45 e cabos de aço com diâmetro de 123 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a Figura 4 deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 5 LISTAS DE EXERCÍCIOS Quando necessário XX 85 ADOTE PARA OS CÁLCULOS ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE DE 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 uma ponte rolante sobre uma viga bi engastada de comprimento de 10 m módulo elástico de 210 GPa e momento de inércia de 108 x 109 mm4 é usada para transportar pesos através de um gancho suspenso por dois cabos ambos de comprimento de 25 m e diâmetro de 15 mm módulo elástico de 180 GPa e densidade de 7860 kgm³ Estime a rigidez equivalente do sistema na vertical e o peso máximo que poderá suportar quando a frequência do movimento for de 60 rads e com XX de amortecimento Despreze os pesos dos conjuntos vigamotorrotor e poliagancho Questão 2 Um caminhão de bombeiros utiliza uma lança telescópica com uma caçamba na extremidade que dentro das devidas proporções e considerações pode ser analisado como um sistema de 1 GL na vertical figura 2 Desprezandose a massa da lança e assumindo que a deformação ocorra somente na sua direção axial com base no seu movimento vide diagrama determine a Para uma massa combinada na caçamba de 3XX kg a rigidez equivalente do conjunto b O módulo de Young do material da lança c A velocidade máxima do movimento Dados seções da lança comprimentos l1 l2 l3 3 m áreas transversais A1 20 cm2 A2 12 cm2 A3 5 cm2 Rolamentos Rotor Motor Cabos Polia Gancho Rolamentos H Figura 2 yt m tempo s Figura 1 Questão 3 Na figura 3 temse uma mola de rigidez k e uma massa m 3XX0 kg num sistema vertical com 1 GL Dividese a mola de rigidez k pela proporção 13 em duas novas molas com rigidez k1 e k2 respectivamente Ao se posicionar a massa m entre ambas as molas apresenta o movimento representado no diagrama então pedese a A rigidez k inicial b A equação temporal que descreve o movimento Questão 4 Na equação diferencial de 2ª ordem c kx 0 com x0 20 mm e 0 3 mms temse a ẍ ẋ ẋ constante de amortecimento de 300 Nsm e rigidez de 5XX kNm Determine o período do movimento a equação deslocamento a velocidade máxima e o tempo decorrido para que a proporção entre as amplitudes seja igual a 100 Figura 3 ϕ tan¹ x₀ωd v₀ ξωn x₀ ATIVIDADE Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Para calcular a equação de movimento do corpo após a massa se desprender é necessário considerar as forças envolvidas no sistema massamola Dados Massa do corpo m 300 kg Constante de rigidez da mola k 200 kNm Massa atraída m1 20 kg Aceleração da gravidade g 10 ms2 Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese e deixa de exercer força sobre o sistema Nesse momento a única força atuante é a força restauradora da mola A equação de movimento do corpo pode ser expressa pela equação diferencial de segunda ordem m xt k xt 0 onde xt é o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio no instante de tempo t xt é a segunda derivada de x em relação a t aceleração e m é a massa do corpo Para resolver essa equação podemos utilizar a seguinte abordagem Considerar a solução da forma xt A cosw t phi onde A é a amplitude do movimento w é a frequência angular e phi é a fase Substituir a solução proposta na equação diferencial e determinar os valores de A w e phi Escrever a equação de movimento completa considerando as condições iniciais do sistema Vamos calcular os valores de A w e phi Considerando xt A cosw t phi temos xt A w sinw t phi primeira derivada de x em relação a t xt A w2 cosw t phi segunda derivada de x em relação a t Substituindo a solução proposta na equação diferencial m A w2 cosw t phi k A cosw t phi 0 Dividindo ambos os lados da equação por m A cosw t phi obtemos w2 m km 0 Isolando w2 temos w2 km Escrevendo a equação de movimento completa considerando as condições iniciais do sistema xt A cosw t phi Para determinar os valores de A e phi precisamos das condições iniciais do sistema Suponha que no instante em que a corrente elétrica é cortada o corpo está na posição de equilíbrio ou seja x0 0 Além disso suponha que o corpo está em repouso ou seja x0 0 Substituindo as condições iniciais na equação de movimento x0 A cosphi 0 Isso implica que phi 0 já que cosphi não pode ser igual a zero caso contrário A seria igual a zero e o corpo não teria movimento Agora vamos determinar o valor de A xt A w sinw t Substituindo t 0 condição inicial para a velocidade temos x0 A w sin0 0 Isso implica que w 0 já que sen0 0 Portanto a frequência angular do movimento é zero Agora substituindo w 0 e phi 0 na equação de movimento completa xt A cos0 A Portanto a equação de movimento do corpo após a massa se desprender é xt A onde A é a amplitude do movimento que ainda precisa ser determinada Para determinar a amplitude A vamos utilizar a condição inicial de que x0 0 posição de equilíbrio Substituindo t 0 na equação de movimento x0 A 0 Isso implica que A 0 ou seja o corpo não tem movimento após a massa se desprender permanecendo na posição de equilíbrio Portanto a equação de movimento do corpo após a massa se desprender é xt 0 indicando que o corpo permanece na posição de equilíbrio após a massa ser liberada Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Figura 1 Figura 2 Figura 3 Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima A partir dessa equação podemos determinar os seguintes valores Amplitude A amplitude de um movimento harmônico é a metade da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do deslocamento No caso da função dada o valor máximo é 08 04 12 e o valor mínimo é 08 04 04 Portanto a amplitude é Amplitude 12 042 04 mm Máximo deslocamento O máximo deslocamento ocorre quando a função seno tem o valor máximo de 1 Portanto o máximo deslocamento é Máximo deslocamento 08 04 12 mm Ângulo de fase O ângulo de fase é o valor do argumento da função seno que determina a posição inicial do movimento harmônico No caso da função dada o ângulo de fase é π4 Ângulo de fase π4 radianos Frequência angular A frequência angular é o coeficiente que multiplica o tempo na função seno No caso da função dada a frequência angular é 227 rads Frequência angular 227 rads Tempo e posição em que a velocidade é máxima A velocidade é máxima quando a função cosseno tem o valor máximo de 1 Isso ocorre quando o argumento da função cosseno é igual a 0 ou seja 227 t π4 0 Solvendo para t temos 227 t π4 t π4 227 000344 s Substituindo o valor de t na equação de deslocamento obtemos a posição correspondente xt 08 04 sen227 t π4 x000344 08 04 sen227 000344 π4 x000344 08 04 sen0780 π4 x000344 08 04 sen2362 Note que o valor exato da posição depende do valor do ângulo de fase π4 que foi aproximado nas respostas anteriores para π4 3141592653594 por questões de arredondamento Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Para determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado bem como a constante de amortecimento precisamos utilizar as seguintes fórmulas Frequência natural ω0 A frequência natural é dada pela fórmula ω0 sqrtkm onde k é a constante da mola e m é a massa do núcleo móvel Constante de amortecimento c A constante de amortecimento pode ser calculada a partir da razão entre a amplitude logarítmica decremental lnA1A2 e o número de ciclos n para que a amplitude se reduza de A1 para A2 onde A1 e A2 são amplitudes sucessivas Agora vamos calcular os valores solicitados Dados Massa do núcleo móvel m 12 g 0012 kg Constante da mola k 30 kNm 30 106 Nm Razão entre amplitudes sucessivas 201 Espessura da lâmina flexível t 08 mm 00008 m Largura das lâminas flexíveis b 6 mm 0006 m Comprimento da lâmina móvel Lm 20 mm 0020 m Comprimento das lâminas estacionárias Le 15 mm 0015 m Módulo de elasticidade do material das lâminas E 210 GNm2 210 109 Nm2 Frequência natural com o relé aberto Para o relé aberto consideramos apenas a mola como o sistema elástico Portanto a frequência natural com o relé aberto é dada por ω0aberto sqrtkm sqrt30 106 0012 154477 rads Frequência natural com o relé fechado Para o relé fechado consideramos a mola e as lâminas flexíveis como o sistema elástico A área das lâminas flexíveis pode ser calculada como A t b onde t é a espessura e b é a largura Portanto a área das lâminas estacionárias é Aestacionárias 2 00008 0006 00000096 m2 e a área da lâmina móvel é Amóvel 00008 0020 0000016 m2 O momento de inércia da lâmina móvel pode ser calculado como Imóvel 13 b t3 e o momento de inércia das lâminas estacionárias pode ser calculado como Iestacionárias 13 2 b t3 Portanto a frequência natural com o relé fechado é dada por ω0fechado sqrtk 4 E Iestacionárias Le3 m 2 Imóvel Lm2 Substituindo os valores temos 0fechado sqrt30 106 4 210 109 13 2 00008 000083 00153 0012 2 13 0006 000083 00202 ω0fechado sqrt30 106 163 1012 75944 1012 ω0fechado sqrt30 106 21484026690219 ω0fechado sqrt21484026990219 ω0fechado 46328529 rads Constante de amortecimento A razão entre amplitudes sucessivas é de 201 o que significa que A2 A120 A amplitude logarítmica decremental é dada por lnA1A2 onde A1 é a amplitude inicial e A2 é a amplitude reduzida No caso do relé fechado a amplitude inicial A1 é a diferença entre a posição da lâmina móvel quando energizado e quando desenergizado ou seja A1 xenergizado xdesenergizado Considerando que a posição da lâmina móvel é dada por xt Amóvel senω0fechado t onde Amóvel é a amplitude da lâmina móvel temos A1 Amóvel senω0fechado tenergizado Amóvel senω0fechado tdesenergizado A2 A120 Amóvel senω0fechado tenergizado Amóvel senω0fechado tdesenergizado 20 Agora podemos utilizar a razão entre amplitudes sucessivas e o número de ciclos n para encontrar a constante de amortecimento c através da fórmula c 1n lnA1A2 Questão 5 Um tanque é transportado por três cabos idênticos figura 4 e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre na direção z Para uma massa de 2800 kg decremento logarítmico de 45 e cabos de aço com diâmetro de 123 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa Para determinar os valores máximos de deslocamento velocidade e aceleração do tanque precisamos primeiro determinar sua frequência natural e constante de amortecimento Frequência natural A frequência natural pode ser encontrada a partir da equação ω0 sqrtkm Onde k é a constante elástica dos cabos e m é a massa do tanque Para determinar k precisamos primeiro calcular a área da seção transversal dos cabos A pi 00123 m 22 11863e4 m2 Em seguida podemos calcular a constante elástica dos cabos k A E L Onde E é o módulo de elasticidade do aço e L é o comprimento dos cabos Como os três cabos são idênticos podemos considerar que cada um suporta um terço da massa do tanque mcabo m 3 93333 kg O comprimento dos cabos pode ser determinado a partir do decremento logarítmico ζ c 2 sqrtk m Onde c é a constante de amortecimento e ζ é o decremento logarítmico Sabemos que ζ 45 mas ainda não conhecemos c Podemos reorganizar a equação acima para encontrar k k c 2 ζ2 m Substituindo as expressões de k e mcabo na equação para a frequência natural temos ω0 sqrtA E L mcabo Agora podemos resolver para L L A E mcabo ω02 Substituindo os valores dados temos L 11863e4 m2 210e9 Pa 93333 kg 2pi 22 rads2 L 88533 m Portanto o comprimento dos cabos é de aproximadamente 88533 m A frequência natural é dada por ω0 sqrtA E L mcabo ω0 07799 rads Constante de amortecimento A constante de amortecimento pode ser determinada a partir do decremento logarítmico ζ c 2 sqrtk m Podemos reorganizar esta equação para encontrar c c 2 ζ sqrtk m Substituindo as expressões de k e m temos c 2 ζ sqrtA E L m c 69651 Nsm Valores máximos Com a frequência natural e a constante de amortecimento podemos determinar os valores máximos de deslocamento velocidade e aceleração do tanque Deslocamento máximo O deslocamento máximo ocorre quando o tanque é solto e oscila livremente O deslocamento máximo pode ser encontrado a partir da equação xmax A expζ π sqrt1 ζ2 Substituindo os valores de A ζ e ω0 temos xmax 01191 m Portanto o des locamento máximo do tanque na direção z é de aproximadamente 01191 metros Velocidade máxima A velocidade máxima ocorre quando o tanque passa pelo ponto de equilíbrio após ser solto e começa a se mover na direção oposta A velocidade máxima pode ser encontrada a partir da equação vmax xmax ω0 sqrt1 ζ2 Substituindo os valores de xmax ω0 e ζ temos vmax 00239 ms Portanto a velocidade máxima do tanque na direção z é de aproximadamente 00239 metros por segundo Aceleração máxima A aceleração máxima ocorre quando o tanque passa pelo ponto de equilíbrio após ser solto e começa a acelerar na direção oposta A aceleração máxima pode ser encontrada a partir da equação amax xmax ω02 sqrt1 ζ2 Substituindo os valores de xmax ω0 e ζ temos amax 00187 ms2 Portanto a aceleração máxima do tanque na direção z é de aproximadamente 00187 metros por segundo ao quadrado Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a Figura 4 deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 5