Lista de Exercícios Resolvidos - Dinâmica das Vibrações Mecânicas

ATIVIDADE Adote para as resoluções aceleração da gravidade local de 10 ms2 Questão 1 O desenvolvimento de modelos matemáticos é de fundamental importância para a análise dinâmica das máquinas O sistema vibratório amortecido mostrado na figura 1 apresenta coeficiente de rigidez k coeficiente de amortecimento c massa m e representa um sistema de um grau de liberdade que apresentará movimento vertical a partir de sua linha de equilíbrio estático com coordenada generalizada xt O movimento acontecerá por meio de um desbalanceamento rotativo m0h sendo m0 a massa desbalanceada e h a distância de m0 ao centro de rotação Observase que a massa m do sistema inclui o desequilíbrio m0 O sistema apresenta frequência de excitação de 600 rpm Demonstre a equação de equilíbrio das forças resultantes na condição estática e a deflexão resultante no movimento do sistema Dados m 10 kg k 120 Nm c 50 kgs m 0h 004 kgm Questão 2 Um isolador de vibrações está testando um motor experimental com carga desbalanceada onde em teste apresentou 10 de amplificação e 30 de transmissibilidade A função movimento do rotor é dada por yt 5sen20t em cm Dentro deste comportamento desprezandose ações de atrito e perdas determine as constantes c e k e a força de excitação do sistema Considere a condição r2 1 e mee 913 kgm Questão 3 Na figura 2 a massa do sistema massamola vibra com uma força Ft 180 cos50t em N sobre uma superfície inclinada em 30º em relação à horizontal Sabendose que a deflexão inicial é de 01 m para uma rigidez equivalente de 5 kNm e o com 30 de amortecimento determine a a massa do conjunto kg b a relação percentual entre as amplitudes do movimento e da força Figura 1 Figura 2 1 Inicialmente calculamos a frequência da excitação transformando o valor da rotação w 6002Pi 60 w 6283 rads Em seguida obtemos a amplitude da força de desbalanceamento Fo mohw2 Fo 00462832 Fo 1579 N Calculando primeiro então a amplitude da resposta X Fo kKmw2 2C cw 2 X 1579 120 K1062832 2C 506283 2 X 0004 m Calculando em seguida a fase da resposta f arctan cw kKmw2 f arctan 506283 120 K1062832 f K00796 rad Assim a deflexão resultante do deslocamento do sistema será x t Acos wtKf x t 0004cos 6283tC00796 2 Calculando inicialmente a força de excitação baseada no enunciado do problema F t mew2sin wt F t 913202sin 20t F t 3652sin 20t Sabendo que a amplificação do sistema é igual a 10 01 1 1 Kb 2 2 C 2zb 2 E sabendo a transmissibilidade do sistema é igual a 30 03 b 2 1 C 2zb 2 1 Kb 2 2 C 2zb 2 Como devese considerar que a razão de frequências b 2K1 deve ser considerado Resolvendo o sistema de equações chegase ao valores de b e z que atendem aos requisitos b 33236 z 01448 Encontrando o valor da frequência natural wn do sistema a partir do valor obtido para β b w wn wn 20 33236 wn 6017 rads Sabendo o valor da amplitude do deslocamento e da força de excitação conseguese se achar o valor de k a partir do fator de amplificação H Ak Fo 01 5k 3652 k 7304 Nm Achase o valor da massa total do sistema a partir da definição de frequência natural wn k m 6017 7304 m m 2017 kg Por fim a partir da definição de fator de amortecimento conseguese achar o valor do coeficiente de amortecimento z c 2 mk 01448 c 2 20177304 c 3515 Nsm 3 a Inicialmente encontrase a deflexão estática para o problema dst Fo k dst 180 5000 dst 0036 m Calculando a razão de frequências e valor do coeficiente de amortecimento r w wn 50 wn r2 2500m k r2 2500m 5000 r2 05m Sabendo que a resposta do sistema está na forma x t Acos wtKf Quando t 0 x 01m 01 Xcos Kf Xcos f Aplicando então as definições de amplitude e de ângulo de fase X dst 1 Kr2 2C4z 2r2 X 0036 1 K05m 2C018m f arctan 2zr 1 Kr2 f arctan 203 05m 1 K05m 01 0036 1 K05m 2C018m cos arctan 203 05m 1 K05m Como cosx varia entre 1 e 1 então considerando que o valor inicial do cosseno seja máximo então não é possível que 0036 1 K05m 2C018m O 01 Assumese então que a deflexão inicial vale 001m para que seja possível solucionar o problema 001 0036 1 K05m 2C018m cos arctan 203 05m 1 K05m A massa poderá valer qualquer um dos três valores m1 2230 kg m2 8249 kg m3 1813 kg b Substituindo os valores da massa para achar a amplitude X 0036 1 K05m 2C018m X1 0036 1 K052230 2C0182230 X1 00559 m X2 0036 1 K058249 2C0188249 X2 00107 m X3 0036 1 K051813 2C0181813 X3 00622 m A relação percentual entre as amplitudes do movimento e da força será R1 X1 F 00559 180 100 0031 R2 X2 F 00107 180 100 00059 R3 X3 F 00622 180 100 00345